第04講因式分解（知識解讀達(dá)標(biāo)檢測）

第04講因式分解【題型1因式分解的定義】【題型2公因式】【題型3提公因式】【題型4因式分解平方差】【題型5因式分解完全平方】【題型6提公因式與公式法綜合】【題型7十字相乘法】【題型8因式分解的應(yīng)用】考點1：因式分解1.定義：把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解．2.掌握其定義應(yīng)注意以下幾點：（1）分解對象是多項式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可；（2）因式分解必須是恒等變形；（3）因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止．3.弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系．因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式．【題型1因式分解的定義】【典例1】（2023秋?海門市校級月考）下列各式由左邊到右邊的變形中，是因式分解的是（）A．a(chǎn)（x﹣y）＝ax﹣ay B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3 D．a(chǎn)2+1＝（a+1）（a﹣1）【答案】B【解答】解：a（x﹣y）＝ax﹣ay，是整式的乘法，則A不符合題意；a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），則B符合題意；x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3，等號的右邊不是積的形式，則C不符合題意；a2+1不能因式分解，則D不符合題意；故選：B．【變式11】（2023春?玄武區(qū)期中）下列各式從左到右不屬于因式分解的是（）A．x2﹣x＝x（x﹣1） B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）【答案】B【解答】解：A、符合因式分解的定義，屬于因式分解，故此選項不符合題意；B、右邊不是整式的積的形式，不屬于因式分解，故此選項符合題意；C、符合因式分解的定義，屬于因式分解，故此選項不符合題意；D、符合因式分解的定義，屬于因式分解，故此選項不符合題意．故選：B．【變式12】（2022秋?閔行區(qū)校級期末）下列各式從左到右的變形是因式分解的是（）A．a(chǎn)（a+b）＝a2+ab B．a(chǎn)2+2a+1＝a（a+2）+1 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：A．等式右邊不是乘積形式，故選項錯誤，不合題意；B．等式右邊不是乘積形式，故選項錯誤，不合題意；C．等式右邊不是乘積形式，故選項錯誤，不合題意；D．符合定義，故選項正確，符合題意．故選：D．考點2：公因式像多項式papbpc，它的各項都有一個公共的因式p，我們把這個公共因式p叫做這個多項式各項的公因式注意：公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分：①系數(shù)一各項系數(shù)的最大公約數(shù)；②字母——各項含有的相同字母；③指數(shù)——相同字母的最低次數(shù)；【題型2公因式】【典例21】（2023春?榆陽區(qū)期末）多項式6a2b﹣3ab2的公因式是3ab．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵系數(shù)的最大公約數(shù)是3，相同字母的最低指數(shù)次冪是ab，∴多項式6a2b﹣3ab2的公因式是3ab．【典例22】（2023春?大竹縣校級期末）4x（m﹣n）+8y（n﹣m）2的公因式是4（m﹣n）．【答案】4（m﹣n）．【解答】解：4x（m﹣n）+8y（n﹣m）2的公因式是4（m﹣n）．故答案為：4（m﹣n）．【變式21】（2023春?禮泉縣期中）多項式．4ab2+8a2b的公因式是4ab．【答案】4ab．【解答】解：多項式4ab2+8a2b各項的公因式是4ab．故答案為：4ab．【變式22】（2023春?巴州區(qū)月考）多項式3x+3y與x2﹣y2的公因式是x+y．【答案】x+y．【解答】解：3x+3y＝3（x+y），x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），則多項式3x+3y與x2﹣y2的公因式是x+y．故答案為：x+y．【變式23】（2023春?開江縣校級期末）多項式4x（m﹣n）+2y（m﹣n）2的公因式是2（m﹣n）．【答案】2（m﹣n）．【解答】解：4x（m﹣n）+2y（n﹣m）2的公因式是2（m﹣n）．故答案為：2（m﹣n）．考點3：提公因式提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一個因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)一致，這一點可用來檢驗是否漏項．注意：①提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡形式，即分解到“底”；②如果多項式的第一項的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出“－”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)是正的．【題型3提公因式】【典例3】（2022秋?白云區(qū)期末）分解因式：（1）2y+3xy；（2）2（a+2）+3b（a+2）．【答案】（1）y（2+3x）；（2）（a+2）（2+3b）．【解答】解：（1）原式＝y(tǒng)（2+3x）；（2）原式＝（a+2）（2+3b）．【變式31】（2023春?常德期中）因式分解（1）x2﹣4x；（2）8y3﹣2x2y．【答案】（1）x（x﹣4）；（2）2y（2y+x）（2y﹣x）．【解答】解：（1）原式＝x（x﹣4）；（2）原式＝2y（4y2﹣x2）＝2y（2y+x）（2y﹣x）．【變式22】（2022秋?番禺區(qū)校級期末）因式分解：（1）8abc﹣2bc2；（2）2x（x+y）﹣6（x+y）．【答案】（1）2bc（4a﹣c）；（2）2（x+y）（x﹣3）．【解答】解：（1）8abc﹣2bc2＝2bc（4a﹣c）；（2）2x（x+y）﹣6（x+y）＝2（x+y）（x﹣3）．【變式33】（2022春?源城區(qū)校級期中）分解因式：x（m+n）﹣y（n+m）+（m+n）．【答案】（m+n）（x﹣y+1）．【解答】解：x（m+n）﹣y（n+m）+（m+n）＝x（m+n）﹣y（m+n）+（m+n）＝（m+n）（x﹣y+1）．考點4：公式法運用公式法分解因式的實質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用；常用的公式：①平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）2【題型4因式分解平方差】【典例4】（2023?云南）分解因式：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．故答案為：（x+2）（x﹣2）．【變式41】（2023?武威一模）因式分解：a2﹣169＝（a+13）（a﹣13）．【答案】（a+13）（a﹣13）．【解答】解：a2﹣169＝（a+13）（a﹣13）．故答案為：（a+13）（a﹣13）．【變式42】（2022秋?洞口縣期末）因式分解：4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b）．【答案】（2a+b）（2a﹣b）．【解答】解：4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b）；故答案為：（2a+b）（2a﹣b）．【變式43】（2023春?東源縣期末）把多項式a2﹣9b2分解因式結(jié)果是（a+3b）（a﹣3b）．【答案】（a+3b）（a﹣3b）．【解答】解：原式＝（a+3b）（a﹣3b）．故答案為：（a+3b）（a﹣3b）．【題型5因式分解完全平方】【典例5】（2023?通榆縣三模）分解因式：a2+8a+16＝（a+4）2．【答案】（a+4）2．【解答】解：a2+8a+16＝（a+4）2．故答案為：（a+4）2．【變式51】（2023春?亳州期末）因式分解x2﹣6ax+9a2＝（x﹣3a）2．【答案】（x﹣3a）2．【解答】解：x2﹣6ax+9a2＝（x﹣3a）2．故答案為：（x﹣3a）2．【變式52】（2023?前郭縣四模）分解因式：a2﹣6a+9＝（a﹣3）2．【答案】（a﹣3）2．【解答】解：原式＝（a﹣3）2．故答案為：（a﹣3）2．考點5：提公因式與公式法綜合提公因式：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．公式法：①平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）【題型6提公因式與公式法綜合】【典例6】（2023春?海曙區(qū)期中）分解因式（1）x2y﹣y；（2）ax2﹣6ax+9a．【答案】（1）y（x+1）（x﹣1）；（2）a（x﹣3）2．【解答】解：（1）原式＝y(tǒng)（x2﹣1）＝y(tǒng)（x+1）（x﹣1）；（2）原式＝a（x2﹣6x+9）＝a（x﹣3）2．【變式61】（2023春?婁星區(qū)校級期中）因式分解：（1）x3y﹣xy3；（2）8a2﹣16ab+8b2．【答案】（1）xy（x+y）（x﹣y）；（2）8（a﹣b）2．【解答】解：（1）xy（x2﹣y2）＝xy（x+y）（x﹣y）；（2）原式＝8（a2﹣2ab+b2）＝8（a﹣b）2．【變式62】（2022秋?武漢期末）因式分解：（1）2x3y﹣2xy3；（2）﹣a3+2a2﹣a．【答案】（1）2xy（x﹣y）（x+y）；（2）﹣a（a﹣1）2．【解答】解：（1）2x3y﹣2xy3＝2xy（x2﹣y2）＝2xy（x﹣y）（x+y）；（2）﹣a3+2a2﹣a＝﹣a（a2﹣2a+1）＝﹣a（a﹣1）2．【變式63】（2023?肅州區(qū)校級開學(xué)）分解因式：（1）5x2﹣5y2；（2）2mx2+4mxy+2my2．【答案】（1）5（x﹣y）（x+y）；（2）2m（x+y）2．【解答】解：（1）5x2﹣5y2＝5（x2﹣y2）＝5（x﹣y）（x+y）；（2）2mx2+4mxy+2my2＝2m（x2+2xy+y2）＝2m（x+y）2．【變式64】（2022秋?興城市期末）因式分解：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．考點6：十字相乘法1.x2pqxpq（x+p）（x+q）2.在二次三項式ax2bxc(a0)中，如果二次項系數(shù)a可以分解成兩個因數(shù)之積，即aa1a2，常數(shù)項c可以分解成兩個因數(shù)之積，即cc1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：按斜線交叉相乘，再相加，得到a1c2a2c1，若它正好等于二次三項式ax2bxc的一次項系數(shù)b，即a1c2a2c1b，那么二次三項式就可以分解為兩個因式a1xc1與a2xc2之積，即ax2bxc(a1xc1)(a2xc2)．【題型7十字相乘法】【典例7】（2023春?銀海區(qū)期中）閱讀理解：用“十字相乘法”因式分解：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．a(chǎn)1c2+a2c1＝b．例如：2x2﹣x﹣3＝（x+1）（2x﹣3）．求：（1）x2﹣x﹣6；（2）3x2+5x﹣12．【答案】（1）（x﹣3）（x+2）；（2）（3x﹣4）（x+3）．【解答】解：（1）原式＝（x﹣3）（x+2）；（2）原式＝（3x﹣4）（x+3）．【變式71】（2023春?岳陽期末）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法（如圖）．第一步：二次項2x2＝x?2x；第二步：常數(shù)項﹣3＝﹣1×3＝1×（﹣3），畫“十字圖”驗算“交叉相乘之和”；第三步：發(fā)現(xiàn)第③個“交叉相乘之和”的結(jié)果等于一次項﹣x．即2x2﹣x﹣3＝（x+1）（2x﹣3）；像這樣，通過畫“十字圖”，把二次三項式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．運用結(jié)論：（1）將多項式x2﹣x﹣2進(jìn)行因式分解，可以表示為x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1）；（2）若3x2+px+5可分解為兩個一次因式的積，請畫好“十字圖”，并求整數(shù)p的所有可能值．【答案】（1）（x﹣2）（x+1）（2）p的所有可能值：16，8，﹣8，﹣16．【解答】解：（1）將多項式因式分解，可以表示為x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1）（2）根據(jù)畫好的“十字圖”，求出p的所有可能值：16，8，﹣8，﹣16.【變式72】（2023春?子洲縣期末）閱讀下列材料：將一個形如x2+px+q的二次三項式因式分解時，如果能滿足q＝mn且p＝m+n，則可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）．例如：①x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；②x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．根據(jù)材料，把下列式子進(jìn)行因式分解．（1）x2﹣6x+8；（2）x2﹣2x﹣15；（3）（x﹣4）（x+7）+18．【答案】（1）（x﹣2）（x﹣4）；（2）（x+3）（x﹣5）；（3）（x﹣2）（x+5）．【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；（2）x2﹣2x﹣15＝（x+3）（x﹣5）；（3）（x﹣4）（x+7）+18＝x2+3x﹣28+18＝x2+3x﹣10＝（x﹣2）（x+5）．【變式73】（2022秋?沙洋縣校級期末）閱讀與思考：利用多項式的乘法法則可推導(dǎo)得出：（x+p）（x+q）＝x2+px+qx+pq＝x2+（p+q）x+pq．因式分解與整式乘法是方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用這個式子可以將某些二次項系數(shù)為1的二次三項式分解因式，例如：將式子x2+3x+2分解因式．分析：這個式子的常數(shù)項2＝1×2，一次項系數(shù)3＝1+2．這是一個x2+（p+q）x+pq型的式子，∴x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2，∴x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．（1）填空：式子x2+7x+10的常數(shù)項10＝2×5，一次項系數(shù)7＝2+5，分解因式x2+7x+10＝（x+2）（x+5）．（2）若x2+px+8可分解為兩個一次因式的積，則整數(shù)p的所有可能值是±6或±9．【答案】（1）2，5，2，5，（x+2）（x+5）；（2）±6或±9．【解答】解：（1）根據(jù)題意可得：10＝2×5，7＝2+5，∴x2+7x+10＝（x+2）（x+5），故答案為：2，5，2，5，（x+2）（x+5）；（2）當(dāng)8＝1×8時，則p＝1+8＝9；當(dāng)8＝（﹣1）×（﹣8）時，則p＝（﹣1）+（﹣8）＝﹣9；當(dāng)8＝2×4時，則p＝2+4＝6；當(dāng)8＝（﹣2）×（﹣4）時，則p＝（﹣2）+（﹣4）＝﹣6；綜上所示：p＝±6或±9；故答案為：±6或±9．【題型8因式分解的應(yīng)用】【典例8】（2023秋?商水縣期末）已知m2+n2＝25，mn＝12，則m3n﹣mn3的值為（）A．±300 B．±84 C．±48 D．±12【答案】B【解答】解：m3n﹣mn3＝mn（m2﹣n2）＝mn（m+n）（m﹣n）．∵m2+n2＝25，mn＝12，∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝25+2×12＝49；（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝25﹣2×12＝1．∴m+n＝±7；m﹣n＝±1．①m+n＝7，m﹣n＝1．原式＝12×7×1＝84；②m+n＝7，m﹣n＝﹣1．原式＝12×7×（﹣1）＝﹣84；③m+n＝﹣7，m﹣n＝1．原式＝12×（﹣7）×1＝﹣84；④m+n＝﹣7，m﹣n＝﹣1．原式＝12×（﹣7）×（﹣1）＝84．故選：B．【變式81】（2023秋?鹿寨縣期末）已知：ab＝2，a﹣b＝1，則a2b﹣ab2＝（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解答】解：∵ab＝2，a﹣b＝1，∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝2×1＝2．故選：C．【變式82】（2023秋?倉山區(qū)校級期末）如果a，b，c為三角形的三邊長，且滿足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，那么該三角形的形狀為（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．不等邊三角形 D．無法確定【答案】A【解答】解：∵（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，∴（a﹣b）＝0或（b﹣c）＝0或（c﹣a）＝0，∴a＝b，或b＝c或c＝a，∴該三角形為等腰三角形，故選：A．【變式83】（2023秋?金州區(qū)期末）若x+y＝3，xy＝5，則x2y+xy2的值為15．【答案】15．【解答】解：∵x+y＝3，xy＝5，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝3×5＝15．故答案為：15．一．選擇題（共9小題）1．（2023秋?關(guān)嶺縣期末）把4xy2+2xy分解因式，應(yīng)提取的公因式是（）A．2x B．xy C．2xy D．xy2【答案】C【解答】解：把4xy2+2xy分解因式，應(yīng)提取的公因式是2xy．故選：C．2．（2023秋?滄州期末）下列由左到右的變形，屬于因式分解的是（）A．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x D．x3+4x﹣2＝x（x+4）﹣2【答案】A【解答】解：B，C，D選項都沒有寫成積的形式，故B，C，D選項不符合題意；A選項，根據(jù)平方差公式寫成了積的形式，故A選項符合題意；故選：A．3．（2023秋?舒蘭市期末）如圖，邊長為a，b的長方形的周長為10，面積為6，則a3b+ab3的值為（）A．15 B．30 C．60 D．78【答案】D【解答】解：根據(jù)題意得：a+b＝5，ab＝6，則a3b+ab3＝ab（a2+b2）＝ab[（a+b）2﹣2ab]＝6×（52﹣2×6）＝6×13＝78．故選：D．4．（2023秋?永城市期末）下列多項式中，可以運用平方差公式進(jìn)行因式分解的是（）A．2x2+y2 B．2x2﹣y C．x2﹣9y2 D．x2+9y2【答案】C【解答】解：2x2與y2無法因式分解，則A不符合題意；2x2﹣y無法因式分解，則B不符合題意；x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y），則C符合題意；x2+9y2無法因式分解，則D不符合題意；故選：C．5．（2023秋?霸州市期末）若a2+ab＝16+m，b2+ab＝9﹣m，則a+b的值為（）A．±5 B．5 C．±4 D．4【答案】A【解答】解：∵a2+ab＝16+m，b2+ab＝9﹣m，∴（a2+ab）+（b2+ab）＝（16+m）+（9﹣m），∴（a+b）2＝25，∴a+b＝±5，故選：A．6．（2023秋?廣饒縣期末）小強是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分別對應(yīng)下列六個字：華、我、愛、美、游、中，現(xiàn)將2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（）A．愛我中華 B．我游中華 C．中華美 D．我愛美【答案】A【解答】解：2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）＝2（x2﹣y2）（a﹣b）＝2（x+y）（x﹣y）（a﹣b），信息中的漢字有：華、我、愛、中．所以結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能為愛我中華．故選：A．7．（2023秋?廣饒縣期末）如圖，四邊形ABCD是一個長方形，利用不同的方法可以計算出長方形的面積．通過分析圖形中所標(biāo)線段的長度，將多項式m2+3mn+2n2因式分解，其結(jié)果正確的是（）A．（m+2n）2 B．（m+2n）（m+n） C．（2m+n）（m+n） D．（m+2n）（m﹣n）【答案】B【解答】解：觀察圖形可知m2+3mn+2n2＝（m+2n）（m+n）．故選：B．8．（2023秋?正陽縣期末）若x2+mx﹣18能分解為（x﹣9）（x+n），那么m、n的值是（）A．7、2 B．﹣7、2 C．﹣7、﹣2 D．7、﹣2【答案】B【解答】解：根據(jù)題意得：x2+mx﹣18＝（x﹣9）（x+n）＝x2+（n﹣9）x﹣9n，∴m＝n﹣9，﹣18＝﹣9n，解得：m＝﹣7，n＝2．故選：B．9．（2023秋?望城區(qū)期末）分解因式a2b﹣b3結(jié)果正確的是（）A．b（a2﹣b2） B．b（a﹣b）2 C．（ab+b）（a﹣b） D．b（a+b）（a﹣b）【答案】D【解答】解：a2b﹣b3＝b（a2﹣b2）＝b（a+b）（a﹣b）．故選：D．二．填空題（共3小題）10．（2023秋?岱岳區(qū)期末）分解因式：4ax2﹣16ay2＝4a（x+2y）（x﹣2y）．【答案】4a（x+2y）（x﹣2y）．【解答】解：4ax2﹣16ay2＝4a（x2﹣4y2）＝4a（x+2y）（x﹣2y），故答案為：4a（x+2y）（x﹣2y）．11．（2023秋?普陀區(qū)校級期末）因式分解：a2﹣13a+36＝（a﹣4）（a﹣9）．【答案】（a﹣4）（a﹣9）．【解答】解：a2﹣13a+36∵﹣4a+（﹣9a）＝﹣13a，∴a2﹣13a+36＝（a﹣4）（a﹣9）．故答案為：（a﹣4）（a﹣9）．12．（2023秋?通榆縣期末）分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝（y﹣z）（2a+3b）．【答案】（y﹣z）（2a+3b）．【解答】解：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝2a（y﹣z）+3b（y﹣z）＝（y﹣z）（2a+3b）．三．解答題（共6小題）13．（2023秋?涼州區(qū)校級期末）分解因式：（1）3x2﹣12；（2）x2y﹣2xy+y．【答案】（1）3（x+2）（x﹣2）；（2）y（x﹣1）2．【解答】解：（1）3x2﹣12＝3（x2﹣4）＝3（x+2）（x﹣2）；（2）x2y﹣2xy+y＝y(tǒng)（x2﹣2x+1）＝y(tǒng)（x﹣1）2．14．（2023秋?臨高縣期末）分解因式：（1）﹣2x3+8xy2（2）3a2﹣12a+12【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）﹣2x3+8xy2＝﹣2x（x2﹣4y2）＝﹣2x（x+2y）（x﹣2y）；（2）3a2﹣12a+12＝3（a2﹣4a+4）＝3（a﹣2）2．15．（2023秋?費縣期末）分解因式：（1）﹣a3+6a2﹣9a；（2）x2（x﹣3）+4（3﹣x）．【答案】（1）﹣a（a﹣3）2；（2）（x﹣3）（x+2）（x﹣2）．【解答】解：（1）﹣a3+6a2﹣9a＝﹣a（a2﹣6a+9）＝﹣a（a﹣3）2；（2）x2（x﹣3）+4（3﹣x）＝x2（x﹣3）﹣4（x﹣3）＝（x﹣3）（x2﹣4）＝（x﹣3）（x+2）（x﹣2）．16．（2023秋?宜都市期末）因式分解：（1）（m+n）2﹣4（m+n）+4；（2）2x2﹣18．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）（m+n）2﹣4（m+n）+4＝[（m+n）﹣2]2＝（m+n﹣2）2；（2）2x2﹣18＝2（x2﹣9）＝2（x+3）（x﹣3）．17．（2023秋?淮陽區(qū)期末）我們知道，對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式．例如圖①可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．請回答下列問題：（1）寫出圖②中所表示的數(shù)學(xué)等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）猜測（a+b+c+d）2＝a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd．（3）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知a+b+c＝12，ab+bc+ca＝48，求a2+b2+c2的值；（4）在（3）的條件下，若a、b、c分別是一個三角形的三邊長，請判斷該三角形的形狀，并說明理