浙江省部分學校聯(lián)考高三高考適應性測試數(shù)學試題

浙江省2024年普通高考適應性測試數(shù)學注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.中，，，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理求出的值，利用同角三角函數(shù)的基本關系求出的值，再利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】由余弦定理可得，則為銳角，故，因此，的面積為.故選：A.2.已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，對于下列四個命題：①；②；③；④．其中正確命題的個數(shù)有（）A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線、面位置關系結合線、面平行的判定定理分析判斷.【詳解】對于①：因為面面平行的判定定理要求相交，若沒有，則可能相交，故①錯誤；對于②：因為線面平行的判定定理要求，若沒有，則可能，故②錯誤；對于③：根據(jù)線、面位置關系可知：//，或異面，故③錯誤；對于④：根據(jù)線、面位置關系可知：//，或異面，故④錯誤；故選：A.3.下列說法正確的是（）A若隨機變量，則B.若隨機變量，且，則C.一組數(shù)據(jù)11，12，12，13，14，15，16，18，20，22的第80百分位數(shù)為19D.若，，，則事件A與事件B相互獨立【答案】C【解析】【分析】對A，根據(jù)二項分布的方差公式求解即可；對B，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解即可；對C，根據(jù)百分位數(shù)的定義判斷即可；對D，根據(jù)對立事件的概率公式，結合事件與事件相互獨立事件滿足判斷即可．【詳解】對A，，故A錯誤；對B，若隨機變量，且，則，故B錯誤；對C，數(shù)據(jù)組共10個數(shù)據(jù)，故第80百分位數(shù)為從小到大第8，9個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即，故C正確；對D，，，故，故事件與事件不相互獨立，故D錯誤；故選：C．4.設是非零向量，是非零實數(shù)，則下列結論中正確的是（）A.的方向的方向相反 B.C.與方向相同 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)數(shù)乘向量運算的定義判斷各選項.【詳解】對于A，當時，與方向相同，因此A不正確；對于B，時，，因此B不正確；對于C，因為，所以與同向，C正確；對于D，是實數(shù)，是向量，不可能相等．故選：C．5.已知，，則的值為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】則，故選B6.在某班進行的演講比賽中，共有6位選手參加，其中2位女生，4位男生，如果2位女生不能連續(xù)出場，且女生不能排在第一個和最后，則出場順序的排法種數(shù)為（）A.120 B.144 C.480 D.90【答案】B【解析】【分析】先排4位男生，再在他們形成的間隔(除兩端)插入兩個女生即可得解.【詳解】計算出場順序的排法種數(shù)需要兩步：第一步，排4位男生有種，第二步，在4位男生形成的中間間隔中插入2位女生有種，由分步乘法計算原理得，所以出場順序的排法種數(shù)為144.故選：B7.已知過原點且斜率為的直線交雙曲線于，兩點，點是雙曲線的一個焦點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.【答案】A【解析】【分析】通過對稱性以及數(shù)量積與垂直的關系可得是直角三角形，，由題意可設出，代入雙曲線方程可得關于的齊次式，進而可得結果.【詳解】設坐標原點為，雙曲線的另一個焦點為，連接，，由對稱性知，，所以四邊形是平行四邊形，又，所以四邊形是矩形，故是直角三角形，.不妨設點在第一象限，直線的傾斜角為，則，，，則點，即.又點在雙曲線上，所以，即，即，又，所以，，故選：A.【點睛】本題是求解雙曲線離心率的問題，解決本題的關鍵是由已知條件建立關于，的等式，解題時，應善于從題目給出的條件中挖掘幾何元素間的關系，然后將這種關系用含，的等式表示，即可求得離心率.8.已知數(shù)列滿足，且，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求出，判斷出數(shù)列遞減，且，再對兩邊取倒數(shù)，然后平方整理得，再利用單調性進行放縮，可得出當時，，結合不等式的性質即可得解.【詳解】∵，，∴，，則，∵，∴，即數(shù)列遞減，則，∵，∴兩邊取倒數(shù)得，即，則，∵數(shù)列遞減，∴當時，，即；當時，，即，，，，∴根據(jù)不等式的性質可得，即，∴.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.B.的單調減區(qū)間為C.圖象的一條對稱軸方程為D.點是圖象的一個對稱中心【答案】ABC【解析】【分析】由題可知，解得，又在的圖象上，結合得，得，即可判斷A；根據(jù)三角函數(shù)的性質可判斷B、C、D.【詳解】由題可知，所以，解得，所以，又在的圖象上，所以，所以，所以，又，所以，所以，故A正確；令，解得，所以的單調減區(qū)間為，故B正確；令，解得，當時，，故C正確；令，解得，令，則，故D錯誤.故選：ABC.10.四邊形內接于圓，，，，下列結論正確有（）A.四邊形為梯形B.四邊形的面積為C.圓的直徑為7D.的三邊長度可以構成一個等差數(shù)列.【答案】ABD【解析】【分析】直接利用余弦定理，三角形的面積公式，圓的內接四邊形性質，和等差數(shù)列的證明對選項逐一判斷即可.【詳解】+連接，由可得，又因為，所以顯然不平行即四邊形為梯形，故正確；在中，=49在中由余弦定理可得解得或（舍去）故B正確在中由余弦定理可得圓的直徑不可能是，故C錯誤；在中，，，，滿足的三邊長度可以構成一個等差數(shù)列，故D正確.故選：ABD11.已知正方體的棱長為1，建立如圖所示的空間直角坐標系，則下列說法正確的是（）A.點到直線的距離為B.點到平面的距離為C.若點在直線上，則D.若點在平面內，則【答案】AB【解析】【分析】由題意對于A，可由等面積法驗算；對于B，由即可驗算；對于C，由與共線即可驗證；對于D，由即可驗證.【詳解】由題意，所以，若點在直線上，則，由與共線可得，故C正確；又，所以，而，，不妨設點到直線的距離為，由等面積法有，解得，故A錯誤；，不妨設平面的法向量為，則，令，解得，即取平面的法向量為，若點在平面內，則，所以，即，故C錯誤；又，所以點到平面的距離為，故B正確.故選：AB.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.=______【答案】【解析】【分析】利用指數(shù)冪的運算性質和對數(shù)的運算性質計算即可求解.【詳解】原式==．故答案為：.13.已知函數(shù)，，若函數(shù)有三個零點，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由題意首先得，，進一步有，由此即可順利得解.【詳解】由題意設，則函數(shù)的零點即為方程的根，在同一平面直角坐標系中分別畫出函數(shù)的圖象以及直線如圖所示：若函數(shù)有三個零點，（不妨設為），則方程的根有三個根，且，所以，且，因為在單調遞增，所以，即，所以，令，，解得，令，，解得，所以.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：關鍵根據(jù)函數(shù)單調性得到，由此即可順利得解.14.如圖，邊長為的正三角形的邊落在直線l上，中點與定點重合，頂點與定點重合.將正三角形沿直線l順時針滾動，即先以頂點為旋轉中心順時針旋轉，當頂點落在l上，再以頂點為旋轉中心順時針旋轉，如此繼續(xù).當滾動到時，頂點運動軌跡的長度為___________；在滾動過程中，的取值范圍為___________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)題意可知，點軌跡為兩個圓心角都為的圓弧和一個點，即可求出點的軌跡長度，分別求出點在滾動的過程中縱坐標的范圍，求出點，即可求解.【詳解】根據(jù)題意可知，點的軌跡為兩個圓心角都為的圓弧和一個點，且圓弧的半徑為，所以頂點運動軌跡的長度為，，，設，則所以，滾動的過程中的縱坐標滿足，所以，故答案為：；.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處的切線為．（1）求實數(shù)的值；（2）求的單調區(qū)間和最小值．【答案】（1）；（2）的單調減區(qū)間為的單調增區(qū)間為，.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算，可求出a，b的值；（2）求出函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；進而可求得函數(shù)的最小值.【詳解】（1）又∵函數(shù)在處的切線為，，解得：（2）由（1）可得：，當時，單調遞減；當時，單調遞增，的單調減區(qū)間為的單調增區(qū)間為，.【點睛】該題考查的是有關導數(shù)的問題，涉及到的知識點有根據(jù)切線方程確定參數(shù)的值，應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值，屬于簡單題目.16.如圖，三棱柱的側棱與底面垂直，，點是的中點.求證：（1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）作輔助線連接，設與的交點為，連接，利用三角形中位線證明，根據(jù)線面平行的判定定理證明結論；（2）證明，再證明，根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明結論.【小問1詳解】證明：連接，設與的交點為，連接，則為中點，因為點是的中點，所以，因為平面平面，所以平面.;【小問2詳解】證明：在三棱柱中，因為平面平面，所以，又，點是的中點，所以.因為平面，所以平面，又平面，所以平面平面.17.考查黃煙經過培養(yǎng)液處理與是否跟發(fā)生青花病的關系．調查了1633株黃煙，得到如表中數(shù)據(jù)，請根據(jù)數(shù)據(jù)作統(tǒng)計分析：培養(yǎng)液處理未處理合計青花病30224254無青花病2413551379合計5415791633附：0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.83【答案】有的把握認為黃煙經過培養(yǎng)液處理與是否跟發(fā)生青花病是有關系的．【解析】【詳解】【試題分析】先依據(jù)題設中的22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，運用公式計算出，再與參考數(shù)據(jù)表中的數(shù)據(jù)進行比對與分析進行推斷：解：根據(jù)公式，則有．∵，∴說明有的把握認為黃煙經過培養(yǎng)液處理與是否跟發(fā)生青花病是有關系的．18.已知函數(shù)（1）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；（2）若函數(shù)在上的圖象與直線總有兩個不同交點，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）把代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)在出的導數(shù)，可得函數(shù)f(x)在點處的切線方程；（2）求出原函數(shù)的導函數(shù)，分和討論，當時由導函數(shù)在不同區(qū)間的符號得到原函數(shù)的單調性，從而求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值點，由題意列出不等式組，可得a的取值范圍.詳解】（1）當時，，，，函數(shù)在點處的切線方程為：;（2）由，得，當時，在上單調遞減，不滿足題意；當時，在上恒小于0，函數(shù)在上單調遞減，不滿足題意；當，由可得，當或時，或，函數(shù)在都是單調函數(shù)，函數(shù)在上的圖象與直線不可能兩個不同交點，故需；由，得，當時，＜0，單調遞減；由＞0，得，當時，，單調遞增；函數(shù)在上的圖象與直線恒有兩個不同交點，則需，可得，實數(shù)a的取值范圍是.【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想及分類討論的思想，是中檔題.解答時要注意將圖象的交點問題轉化為函數(shù)的最值問題進行解決.19.同余定理是數(shù)論中的重要內容．同余的定義為：設a，，且．若則稱a與b關于模m同余，記作（modm）（“|”為整除符號）．（1）解同余方程（mod3）；（2）設（1）中方程的所有正根構成數(shù)列，其中．①若（），數(shù)列的前n項和為，求；②若（），求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）或（）．（2）①3036；②【解析】【分析】（1）根據(jù)帶除的定義求解