桿件的內(nèi)力、強(qiáng)度、剛度及穩(wěn)定性-扭轉(zhuǎn)（建筑力學(xué)）

9.3剪切胡克定理9.3剪切胡克定理9.3剪切胡克定理一、剪應(yīng)變?nèi)鐖D所示，當(dāng)某構(gòu)件在兩個(gè)大小相等，方向相反，作用線(xiàn)相距很近的平行外力作用下產(chǎn)生剪切變形時(shí)，截面將沿外力的方向產(chǎn)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)。構(gòu)件內(nèi)的微立方體abcd則變成了平行六面體a/b/cd。9.3剪切胡克定理線(xiàn)段aa/（或bb/）是所在的側(cè)面ab相對(duì)于側(cè)面cd的滑移量，稱(chēng)為絕對(duì)剪切變形。而將滑移量aa/與六面體長(zhǎng)度dx的比值，即稱(chēng)為相對(duì)剪切變形或剪應(yīng)變。由圖可見(jiàn)，剪應(yīng)變?chǔ)檬侵苯堑母淖兞?，故又稱(chēng)角應(yīng)變。它的單位是rad（弧度）。剪應(yīng)變?chǔ)门c線(xiàn)應(yīng)變?chǔ)攀嵌攘孔冃纬潭鹊膬蓚€(gè)基本量9.3剪切胡克定理二、剪切胡克定理 實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)剪應(yīng)力τ不超過(guò)材料的剪切比例極限τP時(shí)，剪應(yīng)力τ與剪應(yīng)變?chǔ)贸烧龋ㄈ鐖D）。即

τ=Gγ(9-2)式（9-2）稱(chēng)為剪切胡克定理。式中的比例常數(shù)G稱(chēng)為切變模量，它反映了材料抵抗剪切變形的能力。它的單位與應(yīng)力的單位相同。各種材料的G值可由實(shí)驗(yàn)測(cè)定，也可從有關(guān)手冊(cè)中查得。鋼材的切變模量G

=80～84GPa.9.3剪切胡克定理可以證明，對(duì)于各向同性材料，彈性模量E、切變模量G和泊松比μ，這三者之間存在以下關(guān)系：（9-3）由此可見(jiàn)，E、G和μ是三個(gè)互相關(guān)聯(lián)的彈性常數(shù)，若己知其中的任意兩個(gè)，則可由上式求得第三個(gè)。9.6剪應(yīng)力互等定理9.6剪應(yīng)力互等定理一、單元體的概念在受力物體中，可以圍繞任意一點(diǎn)，截取一個(gè)邊長(zhǎng)為dx、dy、dz的微小正六面體，該六面體稱(chēng)為單元體。如圖所示。單元體有三對(duì)平面，如果建立圖示坐標(biāo)系，則與某軸垂直的一對(duì)面就稱(chēng)為該軸的面。如左右平面為x面，前后平面為z面，上下平面為y面。9.6剪應(yīng)力互等定理在單元體的每一個(gè)平面上，都可能有兩種應(yīng)力分量，即垂直于平面的正應(yīng)力，平行于截面的剪應(yīng)力。其中正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，如x平面上的正應(yīng)力，即命名為σx；由于一個(gè)平面上的剪應(yīng)力，還可能有兩種形式，所以用三個(gè)符號(hào)命名，如τxy，即為x面上y方向的剪應(yīng)力，其正負(fù)規(guī)定順時(shí)針為正。9.6剪應(yīng)力互等定理若單元體中有某一對(duì)相互平行的平面上（如z平面），既無(wú)正應(yīng)力，又無(wú)剪應(yīng)力，則可把單元體簡(jiǎn)化成圖所示的平面形式。由于單元體的邊長(zhǎng)是微量，可以認(rèn)為應(yīng)力在平面上均勻分布。設(shè)在此單元體的左右兩側(cè)面上，作用有由剪應(yīng)力τxy和τ‘xy構(gòu)成的剪力τxydydz和τ’xydydz。這對(duì)大小相等、方向相反的力將構(gòu)成力偶，其矩為(τxydydz)dx。然而由于單元體處于平衡狀態(tài)，因此，在單元體的頂面和底面上，必然有剪應(yīng)力τyx和τ‘yx存在，組成逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的力偶(τyxdxdz)dy以保持單元體的平衡，即：

∑Mz=0,(τxydydz)dx=(τyxdxdz)dy由此得：

τxy=τyx9.6剪應(yīng)力互等定理

τxy=τyx式（9—22）表明，在單元體的兩個(gè)互相垂直的截面上，垂直于該兩截面交線(xiàn)的剪應(yīng)力，大小相等、方向?yàn)楣餐赶蚧蚬餐畴x這一交線(xiàn)。這一關(guān)系稱(chēng)為剪應(yīng)力互等定理。上述單元體的四個(gè)側(cè)面上只有剪應(yīng)力，沒(méi)有正應(yīng)力，這種受力狀態(tài)稱(chēng)為純剪切狀態(tài)。9.1扭轉(zhuǎn)的概念建筑力學(xué)扭轉(zhuǎn)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解圓軸受扭時(shí)的受力與變形特點(diǎn)；2.理解剪切胡克定理、剪應(yīng)力互等定理；3.掌握?qǐng)A軸受扭時(shí)的內(nèi)力、應(yīng)力、變形的計(jì)算；4.掌握?qǐng)A軸受扭時(shí)的強(qiáng)度條件、剛度條件及其計(jì)算；5.理解矩形截面受扭轉(zhuǎn)時(shí)的計(jì)算。9.1扭轉(zhuǎn)的概念9.1扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)是生活與工程實(shí)踐中常遇到的現(xiàn)象，也是構(gòu)件的四種基本變形之一。我們用螺釘旋具擰螺絲釘時(shí)，在螺釘旋具上用手指作用一個(gè)力偶，螺絲釘?shù)淖枇驮诼葆斝叩牡犊谏蠘?gòu)成了一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反的力偶，這兩個(gè)力偶都是作用于在垂直于桿軸的平面內(nèi)的，此時(shí)，螺釘旋具桿就產(chǎn)生了扭轉(zhuǎn)變形（如圖所示）9.1扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)這種受力形式在機(jī)械傳動(dòng)部分也經(jīng)常發(fā)生，如圖所示，機(jī)器的傳動(dòng)軸，汽車(chē)方向盤(pán)操縱桿等等，都是受扭轉(zhuǎn)的具體例子。各種產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形的構(gòu)件,雖然外力作用在構(gòu)件上的方式有所不同,但是有兩個(gè)共同的特點(diǎn)：在受力方面,構(gòu)件為直桿,并在垂直于桿件軸線(xiàn)的兩個(gè)平面內(nèi),作用著一對(duì)大小相等、轉(zhuǎn)向相反的力偶;在變形方面,受扭轉(zhuǎn)構(gòu)件的各橫截面都繞桿軸線(xiàn)發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。桿件任意兩橫截面間的相對(duì)角位移稱(chēng)為扭轉(zhuǎn)角,右圖中的

角就是B截面相對(duì)于A截面的扭轉(zhuǎn)角。本章主要研究圓截面軸的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題，包括軸的外力、內(nèi)力、應(yīng)力與變形，并在此基礎(chǔ)上討論軸的強(qiáng)度與剛度計(jì)算。在工程上，常把以扭轉(zhuǎn)變形為主的桿件稱(chēng)為軸。9.2扭轉(zhuǎn)時(shí)的外力偶矩與扭矩9.2扭轉(zhuǎn)時(shí)的

外力偶矩與扭矩9.2扭轉(zhuǎn)時(shí)的外力偶矩與扭矩一、功率、轉(zhuǎn)速與扭轉(zhuǎn)時(shí)的外力偶矩在工程實(shí)際中，傳動(dòng)軸等轉(zhuǎn)動(dòng)構(gòu)件，作用在軸上的外力偶矩往往不直接給出，通常只知道它們的轉(zhuǎn)速與所傳遞的功率。因此，在分析傳動(dòng)軸等轉(zhuǎn)動(dòng)類(lèi)構(gòu)件的內(nèi)力之前，首先需要根據(jù)轉(zhuǎn)速與功率換算該軸所承受的外力偶矩。由動(dòng)力學(xué)可知,力偶在單位時(shí)間內(nèi)所作之功即功率P，等于該力偶之矩M與相應(yīng)角速度

的乘積,即：

P

=M

(9-1a)9.2扭轉(zhuǎn)時(shí)的外力偶矩與扭矩在工程實(shí)際中,功率P的常用單位為kW,力偶矩M與轉(zhuǎn)速n的常用單位分別N·m為與r/min(轉(zhuǎn)/分),此外,又由于1W=(1N·m)×

(1rad/s)于是式（9-1a）變?yōu)橛纱丝傻檬街?，M為外力偶矩，單位是牛頓米（N·m）；P為軸的傳遞功率，單位為千瓦（kW）；n為軸的轉(zhuǎn)速，單位為轉(zhuǎn)/分（r/min）。9.2扭轉(zhuǎn)時(shí)的外力偶矩與扭矩二、扭矩圓軸在外力偶矩的作用下，橫截面上將產(chǎn)生內(nèi)力，求內(nèi)力的方法仍為截面法。如圖所示，設(shè)有一軸在一對(duì)外力偶矩M的作用下發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，現(xiàn)欲求任一截面C處的內(nèi)力。9.2扭轉(zhuǎn)時(shí)的外力偶矩與扭矩應(yīng)用截面法用一個(gè)垂直于桿軸的平面m-m在截面C處將軸截開(kāi)，并取左段為研究對(duì)象（如圖所示）。為了保持平衡，橫截面上分布的內(nèi)力，必然合成為一個(gè)內(nèi)力偶Mn與外力偶M相互平衡。由平衡條件∑Mx=0，可得這個(gè)內(nèi)力偶的內(nèi)力偶矩的大?。篗n

=M9.2扭轉(zhuǎn)時(shí)的外力偶矩與扭矩桿件產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，橫截面上產(chǎn)生的內(nèi)力偶矩Mn稱(chēng)為扭矩,其常用單位為N·m或kN·m。如果取右段為研究對(duì)象,也可求得該截面上的內(nèi)力偶,且與左段的內(nèi)力偶矩大小相等、轉(zhuǎn)向相反。9.2扭轉(zhuǎn)時(shí)的外力偶矩與扭矩為了使無(wú)論取哪一部分作為研究對(duì)象時(shí)，所求得的同一截面上的扭矩有相同的正負(fù)號(hào)，對(duì)扭矩Mn的正負(fù)號(hào)按右手螺旋法則作如下規(guī)定：以右手四指代表扭矩的轉(zhuǎn)向，若此時(shí)大拇指的指向離開(kāi)截面，即與橫截面的外法線(xiàn)方向相同時(shí)，扭矩為正；反之為負(fù)，如圖所示。9.2扭轉(zhuǎn)時(shí)的外力偶矩與扭矩三、扭矩圖當(dāng)一根軸上有多個(gè)外力偶作用時(shí)，軸內(nèi)各橫截面或各軸段的扭矩不盡相同，所以扭矩需分段計(jì)算。為了清楚表明沿桿軸線(xiàn)各截面上扭矩的變化情況，類(lèi)似軸力圖的作法，可繪制扭矩圖。扭矩圖是表示扭矩沿桿軸線(xiàn)變化的圖形，扭矩圖的繪制是以平行于軸線(xiàn)的橫坐標(biāo)代表截面位置，以垂直于軸線(xiàn)的縱坐標(biāo)表示扭矩的數(shù)值，正扭矩畫(huà)在橫坐標(biāo)上方，負(fù)扭矩畫(huà)在橫坐標(biāo)下方。在扭矩圖上，還必須要注明正負(fù)。下面舉例說(shuō)明扭矩的計(jì)算和扭矩圖的繪制。9.2扭轉(zhuǎn)時(shí)的外力偶矩與扭矩例9-1

傳動(dòng)軸如圖所示，主動(dòng)輪A的輸入功率P

A=50kW，從動(dòng)輪B、C輸出功率PB=30kW，PC=20kW，軸的轉(zhuǎn)速為n=300r/min，試畫(huà)出軸的扭矩圖。9.2扭轉(zhuǎn)時(shí)的外力偶矩與扭矩解:(1)外力分析按式（9-1）求出作用于各輪上的外力偶矩9.2扭轉(zhuǎn)時(shí)的外力偶矩與扭矩(2)內(nèi)力分析。該軸需分成BA、AC兩段來(lái)求其扭矩?，F(xiàn)在用截面法，根據(jù)平衡條件計(jì)算各段內(nèi)的扭矩。求BA段的內(nèi)力時(shí)，可在該段的任一截面Ⅰ-Ⅰ處將軸截開(kāi)，現(xiàn)取左部分為研究對(duì)象（如圖），截面上的扭矩先設(shè)為正向，由平衡條件ΣMx=0得：MB+M

n1=0所以

Mn1=－MB=－955N·m式中負(fù)號(hào)表示實(shí)際扭矩的轉(zhuǎn)向與所假設(shè)的相反，為負(fù)扭矩。9.2扭轉(zhuǎn)時(shí)的外力偶矩與扭矩同理，為求AC段的內(nèi)力，在該段的任一截面Ⅱ-Ⅱ處將軸截開(kāi)，取右部分為研究對(duì)象（如圖）由平衡條件：ΣMx=0得

MC

－Mn2=0所以Mn2

=MC=637N·m9.2扭轉(zhuǎn)時(shí)的外力偶矩與扭矩(3)作扭矩圖。根據(jù)各段軸的扭矩值及其正負(fù)號(hào)，按一定比例尺量取后作出扭矩圖。如圖所示。從圖中可以看出，在集中力偶作用處，其左右截面扭矩不同，發(fā)生突變，突變值等于該處集中力偶的大??；且最大扭矩發(fā)生在BA段內(nèi)。9.2扭轉(zhuǎn)時(shí)的外力偶矩與扭矩對(duì)同一根軸來(lái)說(shuō),若調(diào)換主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的位置,把主動(dòng)輪A置于軸的一端,如右端,則軸的扭矩圖將如左下圖所示。這時(shí)軸的最大扭矩的絕對(duì)值是：Mnmax=1592N·m。由此可見(jiàn),傳動(dòng)軸上主動(dòng)輪和從動(dòng)輪布置的位置不同,軸所承受的最大扭矩也就不同。兩者相比,顯然以前面圖所示布置比較合理，此時(shí)，傳動(dòng)軸所承受的最大扭矩較小，在同等條件下，其強(qiáng)度與剛度容易得到保證。9.5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度9.5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度9.5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度一、強(qiáng)度計(jì)算為了保證圓軸在扭轉(zhuǎn)時(shí)不致因強(qiáng)度不足而破壞，應(yīng)使軸內(nèi)的最大工作剪應(yīng)力不超過(guò)材料的許用剪應(yīng)力。因此，等截面圓軸的強(qiáng)度條件為

式中Mnmax為整個(gè)圓軸的最大扭矩。因此，在進(jìn)行扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，必須先畫(huà)出扭矩圖。9.5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度對(duì)于階梯軸，由于各段軸的WP不同，τmax不一定發(fā)生在Mnmax所在的截面上，因此需綜合考慮WP和Mn兩個(gè)因素來(lái)確定τmax。上面[τ]稱(chēng)為材料的許用剪應(yīng)力，可以由試驗(yàn)并考慮安全系數(shù)，也可按照材料的許用拉應(yīng)力［σ］的大小，按下式確定：塑性材料：［τ］=（0.5～0.6）［σ］脆性材料：［τ］=（0.8～1.0）［σ］9.5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度二、剛度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，不僅要滿(mǎn)足其強(qiáng)度條件，同時(shí)還需滿(mǎn)足剛度條件，特別是機(jī)械傳動(dòng)軸對(duì)剛度的要求比較高。如機(jī)床的主軸扭轉(zhuǎn)變形過(guò)大，就會(huì)影響工件的加工精度和光潔度。因此工程上常要求圓軸的最大單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角θmax不超過(guò)軸的單位長(zhǎng)度許用扭轉(zhuǎn)角［θ］，即

式（9-21）就是圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件。9.5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度許用扭轉(zhuǎn)角［θ］的數(shù)值可根據(jù)工件的加工精度和軸的工作條件，從有關(guān)手冊(cè)中查得。一般規(guī)定如下：精密機(jī)器的軸［θ］=0.25°/m～0.5°/m一般傳動(dòng)軸［θ］=0.5°/m～1.0°/m精度較低的軸［θ］=1.0°/m～2.5°/m圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件和剛度條件也可以解決三類(lèi)問(wèn)題，即校核軸的強(qiáng)度和剛度、設(shè)計(jì)截面尺寸和確定許可傳遞的功率或力偶矩。例9-3某汽車(chē)傳動(dòng)軸由無(wú)縫鋼管制成,已知鋼管外徑D=90mm,內(nèi)徑d=85mm。軸傳遞的最大力偶矩M=1.5kN·m,軸的許用剪應(yīng)力［τ］=60MPa,許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角［θ］=1°/m,材料的切變模量G=80GPa。試計(jì)算以下問(wèn)題：（1）試校核此軸的強(qiáng)度和剛度；（2）若改用強(qiáng)度相同的實(shí)心軸，試設(shè)計(jì)軸的直徑；（3）求空心軸與實(shí)心軸的重量的比值。解：(1)校核強(qiáng)度和剛度因傳動(dòng)軸所受的外力偶矩M=1.5kN·m，故圓軸各橫截面上的扭矩也均為:

Mn=M=1.5kN·m軸的內(nèi)外徑比：d/D=0.944截面的極慣性矩和抗扭截面系數(shù)分別為將以上結(jié)果代入公式（9-20）和（9-21）。得軸的最大剪應(yīng)力為故軸滿(mǎn)足強(qiáng)度要求。軸的最大單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角θmax為故軸也滿(mǎn)足剛度要求。（2）求改為實(shí)心軸時(shí)的直徑：為保證兩軸有相等的強(qiáng)度，應(yīng)使兩軸的抗扭截面系數(shù)相等，即：所以實(shí)心軸的直徑為：（3）求兩軸的重量比當(dāng)兩軸的材料相同、長(zhǎng)度相等時(shí)，它們的重量比將等于橫截面面積之比。設(shè)空心軸與實(shí)心軸的重量分別為G1和G2，則：以上結(jié)果表明，在扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度相等的條件下，空心軸的重量?jī)H為實(shí)心軸的31%，其減輕重量和節(jié)約材料是非常明顯的。這是因?yàn)闄M截面上的剪應(yīng)力沿半徑按線(xiàn)性分布，軸心附近的剪應(yīng)力很小，材料沒(méi)有充分發(fā)揮作用。若把軸心附近的材料向邊緣移置，便可增大IP和WP，充分利用了材料，提高了軸的強(qiáng)度。因此，工程中對(duì)于大尺寸的軸常采用空心軸。9.5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度例9-4某傳動(dòng)軸如圖a所示。己知輪B輸入的功率NB=30kW，輪A、C、D分別輸出功率為NA=15kW、NC=10kW、ND=5kW。軸的轉(zhuǎn)速n=500r/min，［τ］=60MPa，［θ］=1.5°/m，G=80GPa。試按強(qiáng)度條件和剛度條件選擇軸的直徑。解：(1)計(jì)算外力偶矩(2)作扭矩圖：用截面法求出各段軸的扭矩，并作扭矩圖如圖b所示。由扭矩圖可知，AB段與BC段軸有最大扭矩，其絕對(duì)值為（3）按強(qiáng)度條件選擇軸的直徑：由強(qiáng)度條件（4）按剛度條件選擇軸的直徑：由剛度條件為使軸既滿(mǎn)足強(qiáng)度條件滿(mǎn)足又剛度條件，應(yīng)選取直徑d=35mm。9.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力與變形9.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)

橫截面上的應(yīng)力與變形9.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力與變形通過(guò)前面的討論，我們己解決了軸的內(nèi)力計(jì)算問(wèn)題，本節(jié)將進(jìn)一步研究圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力和變形。一、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力分析圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力時(shí)，需要從幾何、物理和靜力學(xué)三個(gè)方面來(lái)討論。（一）變形幾何關(guān)系為了求得圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力，必須了解應(yīng)力在橫截面上的分布規(guī)律。為此，首先可通過(guò)試驗(yàn)觀察其表面的變形現(xiàn)象。取一根圓軸，實(shí)驗(yàn)前先在它的表面上劃兩條圓周線(xiàn)和兩條與軸線(xiàn)平行的縱向線(xiàn)。實(shí)驗(yàn)時(shí)，在圓軸兩端施加一對(duì)力偶矩為M的外力偶，使其產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，如圖所示。9.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力與變形在變形微小的情況下，可以觀察到如下現(xiàn)象：⒈兩條縱向線(xiàn)均傾斜了相同的角度，使原來(lái)軸表面上的小方格變成了平行四邊形。⒉各圓周線(xiàn)均繞圓軸的軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度，但其大小、形狀和相鄰圓周線(xiàn)的距離均保持不變。9.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力與變形根據(jù)觀察到的這些現(xiàn)象，我們可以作出如下假設(shè)：各橫截面在圓軸扭轉(zhuǎn)變形后仍保持為平面,形狀、大小都不變,半徑仍為直線(xiàn),只是繞軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度，橫截面間的距離均保持不變（稱(chēng)為平面假設(shè)）。9.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力與變形根據(jù)平面假設(shè)推論，可得到以下結(jié)論：1）由于相鄰截面間相對(duì)地轉(zhuǎn)過(guò)了一個(gè)角度，即橫截面間發(fā)生了旋轉(zhuǎn)式的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，出現(xiàn)了剪切變形，故截面上有剪應(yīng)力存在。2）由于半徑的長(zhǎng)度不變，故圓軸無(wú)徑向應(yīng)力，且剪應(yīng)力方向必與半徑垂直。3）由于相鄰截面的間距不變，所以橫截面上沒(méi)有正應(yīng)力。為了分析剪應(yīng)力在橫截面上的分布規(guī)律，我們從軸中取出長(zhǎng)為dx微段來(lái)研究。在力偶的作用下,截面n-n與m-m的相對(duì)轉(zhuǎn)角為d

,圓軸表面所畫(huà)的矩形ABCD變?yōu)槠叫兴倪呅蜛BC/D/,其變形程度可用原矩形直角的改變量γ表示,稱(chēng)為剪應(yīng)變（也稱(chēng)為切應(yīng)變）。9.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力與變形現(xiàn)再用過(guò)軸線(xiàn)的兩徑向平面OO/AD和OO/BC切出如圖所示楔形塊，從圖中可見(jiàn)，在小變形下，圓軸表面層的剪應(yīng)變?yōu)?/p>

同樣離圓心為ρ處的剪應(yīng)變?yōu)?/p>

(a)

9.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力與變形上式中，表示扭轉(zhuǎn)角

沿軸線(xiàn)

x

的變化率，稱(chēng)為單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角。（或簡(jiǎn)稱(chēng)單位扭轉(zhuǎn)角）對(duì)某一個(gè)給定平面來(lái)說(shuō)，是常量，所以剪應(yīng)變?chǔ)忙雅cρ成正比，即剪應(yīng)變的大小與該點(diǎn)到圓心的距離成正比。9.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力與變形（二）物理關(guān)系根據(jù)剪切胡克定理，當(dāng)剪應(yīng)力τ不超過(guò)材料的剪切比例極限τP時(shí)，橫截面上距圓心為ρ處的剪應(yīng)力τP與該處的剪應(yīng)變?chǔ)忙殉烧?，即τ?Gγρ將(a)式代入上式，得(b)9.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力與變形上式表明：橫截面上任一點(diǎn)處的剪應(yīng)力的大小,與該點(diǎn)到圓心的距離ρ成正比。也就是說(shuō),在截面的圓心處剪應(yīng)力為零,在周邊上剪應(yīng)力最大。在半徑都等于ρ的圓周上各點(diǎn)處的剪應(yīng)力τρ的數(shù)值均相等。橫截面的剪應(yīng)力沿著半徑按直線(xiàn)規(guī)律分布。剪應(yīng)力的分布規(guī)律如右圖所示，剪應(yīng)力的方向與半徑垂直。9.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力與變形（三）靜力學(xué)關(guān)系式(b)雖然表明了剪應(yīng)力在截面上的分布規(guī)律，但其中尚未知，因此必須根據(jù)靜力平衡條件，建立剪應(yīng)力與扭矩的關(guān)系，才能求出剪應(yīng)力。在上面圓軸的截面上距圓心為ρ的點(diǎn)處，取一微面積dA，此面積上的微剪力為τρdA，它對(duì)圓心的力矩為ρτρdA，整個(gè)截面上各處的微剪力對(duì)圓心的力矩的總和應(yīng)等于該截面上的扭矩Mn，即9.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力與變形即有關(guān)系式上式中，積分號(hào)下的A表示對(duì)整個(gè)橫截面的面積進(jìn)行積分。將(b)式代入上式，得9.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力與變形有關(guān)系式上式中，由于G、均為常量，故可寫(xiě)成

（d）上式中：積分為截面對(duì)圓心O的極慣性矩，已經(jīng)在介紹。它與橫截面的幾何形狀和尺寸有關(guān)，表示截面的一種幾何性質(zhì)，其常用單位為mm4或m4，用IP表示，即9.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力與變形于是(d)式可寫(xiě)成或（e）將(e)式代入(b)式，即得橫截面上任一點(diǎn)處的剪應(yīng)力的計(jì)算公式為

(9—4)式中：

Mn

——橫截面上的扭矩；

ρ——橫截面上任一點(diǎn)到圓心的距離；

IP——橫截面對(duì)圓心的極慣性矩。9.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力與變形在式（9-4）中，如取ρ=ρmax=R，則可得圓軸橫截面周邊上的最大剪應(yīng)力為若令則最大剪應(yīng)力可寫(xiě)成(9—5)

WP稱(chēng)為抗扭截面系數(shù)，常用單位為mm3或m3。9.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力與變形歸納圓軸受扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力要點(diǎn)1.橫截面上只有剪應(yīng)力，沒(méi)有正應(yīng)力；2.剪應(yīng)力的作用線(xiàn)與截面的半徑垂直，指向與扭矩方向?qū)?yīng)。3.剪應(yīng)力的大小與扭矩成正比，與應(yīng)力點(diǎn)到圓心的距離成正比，與截面的極慣性矩成反比；4.剪應(yīng)力的計(jì)算公式為：5.剪應(yīng)力的分布圖如圖。9.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力與變形下面介紹截面的極慣性矩IP和抗扭截面系數(shù)WP的計(jì)算。1）圓形截面對(duì)于直徑為D的圓形截面，可取一距圓心為ρ

、厚度為dρ的圓環(huán)作為微面積dA（如圖）則dA=2πρdρ

圓形截面的抗扭截面系數(shù)為9.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力與變形2）圓環(huán)形截面對(duì)于內(nèi)徑為d,外徑為D的空心圓截面,如圖,其慣性矩可以采用和圓形截面相同的方法求出：若取內(nèi)外徑比

=d/D,則上式可寫(xiě)成圓環(huán)形截面的抗扭截面系數(shù)為9.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力與變形例9-2如圖所示，某實(shí)心圓軸，直徑D=50mm，傳遞的扭矩Mn=2kN