結構的內(nèi)力、位移及影響線計算-位移法（建筑力學）

18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程建筑力學位移法位移法【學習目標】1.理解位移法的基本原理；2.理解位移法的基本未知量與基本結構的確定；3.掌握等截面單跨超靜定梁的轉(zhuǎn)角位移方程；4.熟練掌握用位移法計算連續(xù)梁和超靜定剛架。【學習目標】【引言】位移法是分析超靜定結構的另一種基本方法。力法是以結構中的多余未知力作為基本未知量，通過結構的變形條件建立力法方程求出多余未知力后，再求出結構的其它未知力。在一定的外因作用下，對于線彈性結構，結構的內(nèi)力和位移之間恒具有一定的關系。因此，在結構計算時，也可以將結構中的某些未知位移作為基本未知量，先根據(jù)結構的平衡條件求出這些基本未知量，然后利用位移與內(nèi)力之間的關系求出相應的內(nèi)力。這個方法是以未知的結點位移作為基本未知量，故稱為位移法。位移法18.1等截面單跨超靜定梁的轉(zhuǎn)角位移方程18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程一、等截面單跨超靜定梁的概念在位移法計算超靜定結構時，常需要把所有的桿件全部處理成為等截面單跨超靜定梁，而各桿兩端的位移則為單跨梁的支座位移。所謂等截面單跨超靜定梁，顧名思義就是桿件的橫截面都相同、只有一跨的超靜定梁（以下簡稱為單超梁），這樣的梁有三種形式，分別是兩端固定的單跨超靜定梁、一端固定一端鉸支的單跨超靜定梁和一端固定一端定向（滑動）的單跨超靜定梁。18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程如圖1.兩端固定的單跨超靜定梁、2.一端固定一端鉸支的單跨超靜定梁3.一端固定一端定向（滑動）的單跨超靜定梁18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程二、作用在單超梁上的外因作用在單超梁上的外因，分為有兩種：一種是支座位移，另一種是荷載。1．支座位移：又可以分為支座轉(zhuǎn)角和支座桿端相對線位移兩種。（1）支座轉(zhuǎn)角：

A、

B，規(guī)定以順時針轉(zhuǎn)為正，反之為負，如圖。（2）支座桿端相對線位移：

,規(guī)定使桿端A、B連線的弦轉(zhuǎn)角

產(chǎn)生順時針轉(zhuǎn)動為正,反之為負,如圖。18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程2．荷載：作用在單超梁上的荷載，一般有均布荷載、集中力、集中力偶三種，如圖所示，其中均布荷載和集中力經(jīng)常以向下為正，集中力偶以順時針形式出現(xiàn)?；A層教學教學18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程三、單超梁在外因作用下的桿端內(nèi)力1．單超梁受支座位移作用引起的桿件兩端的內(nèi)力——桿端內(nèi)力單超梁在支座位移作用下，梁的支座反力及內(nèi)力都可以用上一章介紹的力法求得。在位移法中，將單超梁由于支座位移作用引起的桿件兩端的內(nèi)力，稱為桿端內(nèi)力，分為桿端彎矩與桿端剪力，分別用MAB、FSAB等表示。其中桿端彎矩規(guī)定繞桿端以順時針為正，繞支座（或結點）以逆時針為正；桿端剪力仍然規(guī)定繞桿端或繞支座（結點）以順時針為正，如圖所示。2．單超梁受荷載作用引起的桿件兩端的內(nèi)力——固端內(nèi)力單超梁在荷載作用下，梁的支座反力及內(nèi)力仍然都可以用上一章介紹的力法求得。在位移法中，將單超梁由于荷載作用引起的桿件兩端的內(nèi)力，稱為固端內(nèi)力，分為固端彎矩與固端剪力，分別用、等表示，其中上角標F表示固端內(nèi)力是由于荷載作用引起的。其中固端彎矩與上面桿端彎矩一樣，也規(guī)定繞桿端以順時針為正，繞支座（或結點）以逆時針為正；固端剪力仍然規(guī)定繞桿端或繞支座（結點）以順時針為正。18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程為了計算方便,將三種單超梁受支座位移作用引起的桿端內(nèi)力全部用力法求得,并列于表18-1中。其中稱為單超梁的線剛度；將三種單超梁受荷載作用引起的固端內(nèi)力也全部用力法求得,并列于表18-2中。

18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程表18-1單超梁的桿端內(nèi)力（1）思考：第1欄中，若變成右邊支座發(fā)生單位轉(zhuǎn)角，結果怎樣18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程表18-1單超梁的桿端內(nèi)力（2）18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程表18-2單超梁的固端內(nèi)力（1）18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程表18-2單超梁的固端內(nèi)力（2）思考：若左右支座互換，結果又會怎樣？18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程表18-2單超梁的固端內(nèi)力（3）同樣應注意：左右支座若互換的結果。18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程四、單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程如果單超梁受到支座移動（包括支座轉(zhuǎn)角和支座桿端相對線位移）與各種荷載同時作用，則根據(jù)疊加原理，其桿端內(nèi)力可以由表18-1和表18-2中的相應欄目的結果相疊加后得到。18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程1．兩端固定單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程：如圖所示，兩端固定單超梁受到支座移動與各種荷載同時作用，其中桿端A和B的角位移分別為θA和θB，A、B兩端在垂直于桿軸AB方向的相對線位移為Δ，梁上還作用有外荷載，則其桿端彎矩和剪力分別為：

（18-1）

（18-2）2．一端固定另端鉸支單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程：如圖所示，一端固定另端鉸支單超梁受到支座移動與各種荷載同時作用，其中桿端A的角位移為θA，A、B兩端在垂直于桿軸AB方向的相對線位移為Δ，梁上還作用有外荷載，則其桿端彎矩和剪力分別為：

（18-3）

（18-4）18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程3．一端固定另端定向單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程：如圖所示，一端固定另端定向單超梁受到支座移動與各種荷載同時作用，其中桿端A的角位移為θA，梁上還作用有外荷載，則該桿的桿端彎矩和剪力分別為：

（18-5）

（18-6）18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程上面的公式（18-1）～（18-6）稱為等截面單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程。它反映了桿端內(nèi)力與桿端位移及所作用荷載之間的關系。該6個公式今后可以直接應用。例。如圖單超梁，設i=EI/4，試作其彎矩圖。已知：?A=8/i，

?B=4/i，q=6kN/m。解：如圖。（注意桿端彎矩的正負）18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程作AB桿作彎矩圖的步驟如下：（1）根據(jù)桿端彎矩的正負確定彎矩弧線的轉(zhuǎn)向，由于MAB和MBA都為正，所以彎矩弧線繞桿端都是順時針方向的；如圖所示。（2）根據(jù)彎矩弧線的箭尾確定桿端的哪一側(cè)為受拉側(cè)，其中彎矩MAB弧線的箭尾在下面為下側(cè)受拉，彎矩MBA弧線的箭尾在上面為上側(cè)受拉。（3）將彎矩的豎標值畫在桿端的受拉側(cè)，并連虛線；（4）用區(qū)段疊加法作出該桿的最后彎矩圖（由于AB桿段受均布荷載，所以在虛線疊加拋物線），如圖所示。18.1單超梁的轉(zhuǎn)角位移方程18.5位移法的典型方程及其應用18.5位移法的典型方程及其應用前面介紹的位移法計算超靜定結構，主要是根據(jù)基本結構上添加約束處的平衡條件建立位移法方程進行求解。位移法還可以先對基本結構建立典型方程，再進行求解。以如圖所示剛架介紹建立位移法典型方程的步驟。該剛架有兩個基本未知量，分別為結點B的角位移Z1和結點C的水平線位移Z2。

如果在結點B附加剛臂，可以阻止剛結點的轉(zhuǎn)動；在結點C附加支座鏈桿，可以阻止結點水平位移。再令附加剛臂產(chǎn)生順時針方向的轉(zhuǎn)角Z1，附加支座鏈桿產(chǎn)生正向的位移Z2，得到基本結構如圖所示。由于基本結構的受力和變形與原結構完全相同，但原結構上并沒有附加剛臂和附加鏈桿，所以基本結構上附加剛臂上的反力矩F1和附加鏈桿上的反力F2均為零。即

（a）18.5位移法的典型方程及其應用根據(jù)疊加原理，把基本結構中F1、F2分解成下面三種情況的疊加：（1）基本結構在原荷載作用下的計算；（2）基本結構在Z1單獨作用時的計算；（3）基本結構在Z2單獨作用時的計算。18.5位移法的典型方程及其應用18.5位移法的典型方程及其應用（1）基本結構在原荷載單獨作用下的計算：如圖可以根據(jù)表18-2先求出各桿的固端彎矩和固端剪力，再根據(jù)B點的力矩平衡條件以及BA、BC桿端的固端彎矩求得附加剛臂上的反力矩F1F；根據(jù)剪力隔離體的平衡以及BA、CD桿端的固端剪力求得附加支座鏈桿中的反力F2F。18.5位移法的典型方程及其應用（2）基本結構在Z1單獨作用時的計算：如圖使基本結構在結點B發(fā)生轉(zhuǎn)角位移Z1，但結點C不動（即Z2=0）。根據(jù)B點的力矩平衡條件以及BA、BC桿端的桿端彎矩求得附加剛臂上的反力矩F11；根據(jù)剪力隔離體的平衡以及BA、CD桿的桿端剪力求得附加支座鏈桿中的反力F21。18.5位移法的典型方程及其應用（3）基本結構在Z2單獨作用時的計算：如圖使基本結構在結點C發(fā)生結點水平線位移Z2，但結點B不動（Z1=0）。根據(jù)B點的力矩平衡條件以及BA、BC桿端的桿端彎矩求得附加剛臂上的反力矩F12；根據(jù)剪力隔離體的平衡以及BA、CD桿的桿端剪力求得附加支座鏈桿中的反力F22。18.5位移法的典型方程及其應用疊加以上三種情況，得基本結構在荷載和結點位移Z1、Z2共同作用下附加剛臂的反力矩F1和附加鏈桿上的反力F2，根據(jù)原結構的平衡條件，有：

F1=F1F+F11+F12=0(a)

F2=F2F+F21+F22=0根據(jù)疊加原理，F(xiàn)11、F21、F12、F22與Z1、Z2的關系為：

Fij=kijZj代入式（a）可得：

F1=k11Z1+k12Z2+F1F=0(18-8)

F2=k21Z1+k22Z2+F2F=018.5位移法的典型方程及其應用式中符號意義：k11、k21——基本結構在剛結點產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角位移Z1＝1單獨作用(而Z2＝0)時，在附加剛臂上產(chǎn)生的反力矩和附加鏈桿中產(chǎn)生的反力；k12、k22——基本結構在結點產(chǎn)生單位線位移Z2＝1單獨作用(而Z1＝0)時，在附加剛臂上產(chǎn)生的反力矩和附加鏈桿中產(chǎn)生的反力。在上面所有外因作用下引起附加約束的反力中，附加剛臂上反力矩的正負，規(guī)定與附加剛臂的正向轉(zhuǎn)動方向一致，即順時針方向為正；附加支座鏈桿上反力的正負，規(guī)定與附加支座鏈桿的正向移動方向一致，即位移向右使豎桿產(chǎn)生順時針方向的弦轉(zhuǎn)角為正。18.5位移法的典型方程及其應用公式(18-8)就是具有兩個基本未知量Z1和Z2的位移法方程，稱為位移法的典型方程。式(18-8)中的每一方程表示基本結構中與每一基本未知量相應的附加約束處約束力等于零的平衡條件。若原結構是具有n個基本未知量的結構，其基本結構就有n個附加約束，也就有n個附加約束處的平衡條件,即n個平衡方程。顯然，可由n個平衡方程解出n個基本未知量，即：

（18---9）在建立位移法方程時，基本未知量Z1、Z2…、Zn均假設為正，即假設結點角位移為順時針轉(zhuǎn)向，結點線位移使桿產(chǎn)生順時針轉(zhuǎn)動。計算結果為正時，說明實際的位移方向與所設方向一致；計算結果為負時，說明實際的位移方向與所設方向相反。18.5位移法的典型方程及其應用例18-4用位移法典型方程計算例18-3所示剛架，作最后彎矩圖。18.5位移法的典型方程及其應用18.5位移法的典型方程及其應用解：（1）確定基本未知量和基本結構剛架有兩個基本未知量,即剛結點C的轉(zhuǎn)角位移Z1和結點D的線位移Z2.在結點C加附加剛臂，在結點D加附加水平支座鏈桿，并使附加剛臂順時針轉(zhuǎn)動Z1，附加支座鏈桿向右產(chǎn)生位移Z2（使豎桿的弦轉(zhuǎn)角為順時針方向），得到基本結構如右圖所示。（2）建立位移法典型方程F1=k11Z1+k12Z2+F1F=0F2=k21Z1+k22Z2+F2F=0（3）計算方程的系數(shù)和自由項令i=EI/4，則iAC=iBD=EI/4=i，iCD=3EI/6=2i

18.5位移法的典型方程及其應用18.5位移法的典型方程及其應用1）基本結構在單位轉(zhuǎn)角單獨作用下的計算查表18-1，得到各桿端彎矩：作出單位彎矩圖圖，

如圖。由單位彎矩圖圖以及結點C的力矩平衡，求k11根據(jù)平衡條件：∑MC=0，可得：k11

=4i+6i=10i18.5位移法的典型方程及其應用18.5位移法的典型方程及其應用為計算k21，沿有側(cè)移的柱AC和BD柱頂處作一截面，取柱頂以上橫梁CD為剪力隔離體，如圖所示，建立水平投影方程（只有作用）查表18-可得，；而所以：18.5位移法的典型方程及其應用2）基本結構在單位結點線位移單獨作用下的計算查表18-1，得到各桿端彎矩作出單位彎矩圖圖，如圖。由單位彎矩圖圖以及結點C的力矩平衡，求k12根據(jù)平衡條件：∑MC=0，可得：根據(jù)反力互等定理，得：18.5位移法的典型方程及其應用為計算k22，取柱頂以上橫梁CD為剪力隔離體，如圖，建立水平投影方程查表18-1，可得，所以：18.5位移法的典型方程及其應用18.5位移法的典型方程及其應用3）基本結構在原荷載單獨作用下的計算查表18-2，得到各桿的固端彎矩作出MF圖，如圖。根據(jù)基本結構的MF圖以及結點C的力矩平衡，如圖，求F1F根據(jù)∑MC=0，可得：F1F

=018.5位移法的典型方程及其應用取柱頂以上橫梁CD為建立剪力隔離體，如圖，建立水平投影方程查表18-2，可得，所以，18.5位移法的典型方程及其應用18.5位移法的典型方程及其應用

(4) 解位移法方程，求解Z1、Z2將系數(shù)和自由項代入位移法方程，得（與前面相同的方程）解得：（）

（）18.5位移法的典型方程及其應用最后彎矩圖可以根據(jù)疊加原理求作，其公式為：各彎矩圖如圖所示。而結點位移：疊加以后，得到的最后彎矩圖如圖18.5位移法的典型方程及其應用18.5位移法的典型方程及其應用總結本例用位移法的典型方程求解超靜定結構的過程為：（1）確定基本未知量和建立基本結構。確定原結構的基本未知量即剛結點轉(zhuǎn)角位移和獨立結點線位移數(shù)目。在原結構產(chǎn)生剛結點轉(zhuǎn)角位移處添加附加剛臂阻止其轉(zhuǎn)動，在獨立的結點線位移處添加附加支座鏈桿阻止其移動，并令附加約束發(fā)生正向的位移，得到基本結構。（2）建立位移法方程。根據(jù)基本結構在原荷載和結點位移共同作用下，在附加約束處的約束反力（力矩）等于零的條件，建立位移法方程。（3）計算系數(shù)及自由項。作基本結構在單位結點位移Zi=1作用下的彎矩圖圖，再查表得到相關桿件的桿端剪力,由平衡條件計算方程的系數(shù)；作基本結構在荷載單獨作用下的彎矩圖MF圖,再查表得到相關桿件的固端剪力,由平衡條件計算方程的自由項。（4）解位移法方程，求出基本未知量。（5）作內(nèi)力圖。利用疊加公式，計算結構各桿的桿端彎矩并作M圖；利用各桿力矩平衡方程計算各桿桿端剪力并作Fs圖；利用結點的平衡條件計算桿端軸力并作FN圖。18.5位移法的典型方程及其應用位移法小結

位移法是以結構的結點位移作為基本未知量的求解超靜定結構的另一基本方法。內(nèi)容主要包括位移法的求解思路、等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程及位移法的基本未知量、基本結構及位移法方程的建立與求解。重點是會利用等截面直桿的桿端內(nèi)力表和固端內(nèi)力表計算各種外因影響下的桿端內(nèi)力，并熟練掌握用位移法計算超靜定梁和剛架，具體內(nèi)容如下：位移法小結1．等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程表示桿端內(nèi)力與桿端位移及所受荷載之間的關系,是位移法的基本公式。單位桿端位移產(chǎn)生的桿件兩端的內(nèi)力稱為桿端內(nèi)力；荷載作用下產(chǎn)生的桿件兩端的內(nèi)力稱為固端內(nèi)力。位移法是以力法解得的三種單跨超靜定梁的桿端內(nèi)力和固端內(nèi)力作為計算基礎。注意位移法中關于結點位移和桿端內(nèi)力、固端內(nèi)力的正負號規(guī)定。位移法小結

2．位移法的基本未知量是結構上的結點位移，包括剛結點的轉(zhuǎn)角位移和獨立的結點線位移。剛結點轉(zhuǎn)角位移的數(shù)目等于結構剛結點的數(shù)目；獨立結點線位移的數(shù)目等于將剛結點改為鉸結點后得到的鉸接鏈桿體系成為幾何不變所需附加的最少鏈桿數(shù)目。3．位移法是在原超靜定結構的剛結點處附加剛臂、在獨立結點線位移方向附加鏈桿后，變成的一個若干超靜定梁的組合體,即位移法的基本結構。在基本結構上作用有原結構的原荷載以及附加約束產(chǎn)生正向的結點位移。4．位移法分為直接平衡法和典型方程法兩種解題思路。直接平衡法是以桿件的轉(zhuǎn)角位移方程為基礎直接寫平衡方程的方法，對應每一個剛結點的未知角位移,可以寫一個結點力矩平衡方程。對應每一個獨立的結點線位移，可以寫一個截面剪力平衡方程。平衡方程的數(shù)目與基本未知量的數(shù)目正好相等。5．位移法的典型方程也是平衡方程。是根據(jù)疊加原理，對每一個剛結點寫一個結點力矩平衡方程；對應每一個獨立的結點線位移寫一個隔離體的剪力平衡方程。平衡方程的數(shù)目與基本未知量的數(shù)目也相等。位移法小結6．力法與位移法的比較位移法力法基本未知量獨立的結點位移，基本未知量與超靜定結構的超靜定次數(shù)無關。多余未知力，基本未知量的數(shù)目等于超靜定結構的超靜定次數(shù)。基本結構添加附加約束后的若干單超梁的一個組合體。對同一超靜定結構，位移法的基本結構是唯一的。去掉多余約束后得到的靜定結構，同一超靜定結構可以選取多個不同的基本結構。典型方程的物理意義基本結構附加約束上的反力（矩）等于零，實質(zhì)上是原結構應滿足的平衡條件，方程右端項總為零。基本結構沿多余未知力方向的位移等于原結構相應的位移，實質(zhì)上是位移條件。方程右端項也可能不為零（等于原來的位移）系數(shù)的物理意義Kij

表示基本結構由單位結點位移Zj=1單獨作用時，在第i個附加約束上產(chǎn)生的約束力。δij表示基本結構在單位多余未知力Xj=1單獨作用時，產(chǎn)生的Xi作用點沿Xi方向的位移。自由項的物理意義FiF

表示基本結構由原荷載單獨作用時，在第i個附加約束上產(chǎn)生的約束力。ΔiF表示基本結構在原荷載單獨作用時，產(chǎn)生的Xi作用點沿Xi方向的位移。18.3位移法的基本未知量與基本結構18.3位移法的基本未知量與基本結構18.3位移法的基本未知量與基本結構一、位移法的基本未知量通過上面的內(nèi)容介紹可知，如果將超靜定結構上每根桿件都變成單超梁，并求得兩端的轉(zhuǎn)角位移和垂直于桿軸的相對線位移，則各桿的內(nèi)力均可根據(jù)公式（18-1）～（18-6）確定。由于超靜定結構中的桿件是在結點處相互連接的，匯交于某剛結點處的各桿桿端位移相等，且等于結點位移。因此，在位移法中，基本未知量應是剛結點的轉(zhuǎn)角位移和結點線位移。在計算時，應首先確定剛結點轉(zhuǎn)角位移和獨立的結點線位移的數(shù)目。18.3位移法的基本未知量與基本結構1．剛結點的轉(zhuǎn)角位移由于結構滿足變形協(xié)調(diào)條件，匯交于同一剛結點處各桿端的轉(zhuǎn)角相等且等于剛結點的轉(zhuǎn)角。所以，每一個剛結點只有一個獨立的轉(zhuǎn)角位移。在結構的固定支座處，其轉(zhuǎn)角為零或是已知的支座位移；鉸結點或鉸支座處的桿端轉(zhuǎn)角不是獨立的位移，確定桿件內(nèi)力時并不需要知道它們的數(shù)值，可不作為基本未知量。因此，超靜定結構的剛結點轉(zhuǎn)角位移未知量的數(shù)目就等于剛結點的數(shù)目。18.3位移法的基本未知量與基本結構如圖所示剛架，A、B、C均為固定支座，它們的轉(zhuǎn)角為零；結點E為鉸結點；D、F都是剛結點，分別產(chǎn)生結點角位移

D和

F，在位移法中，未知量都用Z表示，結點角位移

D和

F分別用Z1和Z2表示。因此，該剛架有兩個剛結點轉(zhuǎn)角位移。為了限制剛結點的轉(zhuǎn)角位移，需要在剛結點上施加附加剛臂“”。18.3位移法的基本未知量與基本結構2．獨立的結點線位移在超靜定梁及剛架的計算中，為了減少基本未知量的個數(shù)，使計算得到簡化，通常忽略各桿的軸向變形對位移的影響，并假設結點轉(zhuǎn)角θ和各桿弦轉(zhuǎn)角φ都是微小的。因而認為受彎直桿兩端之間的距離在變形后仍保持不變，這樣，每一根受彎直桿就相當于一個約束，從而減少了獨立的結點線位移數(shù)目。18.3位移法的基本未知量與基本結構圖示剛架，A、B、C是固定端,由于AD、BE、CF兩端距離保持不變,因此在微小位移的情況下，結點D、E、F都沒有豎向位移。結點D、E、F雖然有水平線位移，但由于桿DE、EF長度不變,故三結點D、E、F均有相同的水平位移,用Z3表示。所以,該剛架只有一個獨立的結點線位移。為了限制結點線位移,需要在結點上添加附加支座鏈桿“”下面介紹如何確定位移法計算超靜定結構時，獨立的結點線位移其數(shù)目在位移法中，對于超靜定剛架，由于不考慮各桿長度的改變，因此，獨立的結點線位移數(shù)目，可以用幾何組成分析的方法確定，即“結點鉸結化、增設外鏈桿”的方法：把剛架所有剛結點和固定支座都改為鉸結點，得到一個相應的鉸接鏈桿體系，若此體系一般是幾何可變或瞬變體系，則為使其成為幾何不變所需添加的最少（支座）鏈桿數(shù)目即為原結構的獨立結點線位移數(shù)目。18.3位移法的基本未知量與基本結構左圖圖示剛架，若把所有的剛結點和固定支座都改為鉸結點，得到右圖所示鉸接鏈桿體系，它是幾何可變的，但是添加一根非豎向鏈桿就能使其成為幾何不變體系，因此，原剛架只有一個獨立的結點線位移。18.3位移法的基本未知量與基本結構位移法的基本未知量包括剛結點轉(zhuǎn)角位移和獨立的結點線位移，因此其數(shù)目等于超靜定結構的剛結點轉(zhuǎn)角位移和獨立的結點線位移之和。圖示剛架的全部基本未知量共有三個：即剛結點轉(zhuǎn)角位移Z1、Z2和獨立的結點線位移Z3。18.3位移法的基本未知量與基本結構圖示剛架有三個剛結點E、F、G，因而有三個獨立的結點角位移。其相應的鉸接鏈桿體系如中圖所示，需在結點E、G處加入兩根水平附加鏈桿后體系才能成為幾何不變。故原結構有五個基本未知量：即三個剛結點轉(zhuǎn)角位移和兩個獨立的結點線位移。18.3位移法的基本未知量與基本結構二、位移法的基本結構在確定的位移法的基本未知量以后,在產(chǎn)生剛結點轉(zhuǎn)角位移的剛結點上,添加附加剛臂“”，限制剛結點的轉(zhuǎn)動；在產(chǎn)生獨立結點線位移的結點上，添加附加支座鏈桿“”，限制獨立的結點線位移。原超靜定結構在添加了附加約束后，變成為若干單超梁的組合體即位移法求解超靜定結構的基本結構。18.3位移法的基本未知量與基本結構18.2位移法的基本原理18.2位移法的基本原理以圖示連續(xù)梁為例說明。圖示等截面連續(xù)梁，設各桿的抗彎剛度都等于EI，線剛度都為（i=EI/l），在均布荷載作用下產(chǎn)生如圖中虛線所示的變形。其中桿AB和桿BC在B點處剛性連接，在B端兩桿產(chǎn)生相同的角位移

B。18.2位移法的基本原理18.2位移法的基本原理位移法研究時，設想將該連續(xù)梁的兩根桿件經(jīng)過處理，變成如圖所示的單超梁，其中桿AB為兩端固定梁在B端發(fā)生角位移

B；桿BC為B端固定、C端鉸支的梁，在B端也發(fā)生角位移

B，且在梁上受均布荷載作用。如果能求得單超梁的支座轉(zhuǎn)角

B，各單超梁即可以按照公式（18-1）～（18-6）計算桿端內(nèi)力，作最后內(nèi)力圖。下面介紹如何計算角位移

B。為了實現(xiàn)上面的設想并進行計算，我們假設在連續(xù)梁結點B處加入一附加剛臂，其符號為“”，如圖所示，附加剛臂的作用是約束B點的轉(zhuǎn)動，而不能約束移動。由于結點B原來無線位移，所以加入此附加剛臂后，B點就不能產(chǎn)生任何位移了，即相當于固定端。于是原結構變成了AB和BC兩個單超梁的組合體，我們稱該組合體為位移法的基本結構。18.2位移法的基本原理基本結構原來已受荷載作用,再使B點處的附加剛臂轉(zhuǎn)過與實際變形相同的轉(zhuǎn)角Z1=

B,就可使基本結構的受力和變形與原結構相同，如圖。因此可以用基本結構代替原結構進行計算。在這里，Z1是剛結點的轉(zhuǎn)角,是位移法的基本未知量,由于Z1又是單超梁的支座位移,所以先假定為正,即按順時針方向轉(zhuǎn)動。

18.2位移法的基本原理研究基本結構上B點的平衡，如圖所示，根據(jù)∑MB=0,可得：

MBA+MBC=0（a）其中MBA和MBC都為單超梁的桿端彎矩，對圖示各桿可以按公式（18-1）～（18-6）計算，即：18.2位移法的基本原理將MBA和MBC的表達式代入到上面的平衡方程（a）式中，可得：解得：（）求得Z1為正，說明轉(zhuǎn)角Z1（

B）與假設方向一致，即為順時針方向轉(zhuǎn)動。將其代入到MBA和MBC的表達式中，可得

而A端的桿端彎矩為：18.2位移法的基本原理18.2位移法的基本原理求得各桿的桿端彎矩以后，就可以應用區(qū)段疊加法作出連續(xù)梁的最后彎矩圖，如圖所示。將其中作AB桿作彎矩圖的步驟如下：（1）根據(jù)桿端彎矩的正負確定彎矩弧線的轉(zhuǎn)向，由于MAB和MBA都為正，所以彎矩弧線繞桿端都是順時針方向的；如圖所示。（2）根據(jù)彎矩弧線的箭尾確定桿端的哪一側(cè)為受拉側(cè)，其中彎矩MAB弧線的箭尾在下面為下側(cè)受拉，彎矩MBA弧線的箭尾在上面為上側(cè)受拉。（3）將彎矩的豎標值畫在桿端的受拉側(cè)，并連虛線；（4）用區(qū)段疊加法作出該桿的最后彎矩圖（由于AB桿段無荷載，所以可以將虛線直接變成實線），如圖所示。18.2位移法的基本原理歸納上面位移法的思路，其過程如下：1．位移法是以結點位移（剛結點轉(zhuǎn)角為其中之一）作為基本未知量，通過添加附加約束限制結點位移（附加剛臂限制剛結點的轉(zhuǎn)動，其他形式的結點位移用其他約束限制），使原超靜定結構變成若干單超梁的組合體，即位移法求解超靜定結構的基本結構；2．在添加附加約束處列出相應的平衡條件。例如附加剛臂限制了剛結點的轉(zhuǎn)動，所以建立的平衡條件為力矩平衡條件；3．根據(jù)公式（18-1）～（18-6）分別列出各單超梁在原荷載以及支座位移共同作用下的桿端內(nèi)力表達式；4．將表達式代入到平衡條件中，求出結點位移值；5．將求得的結點位移值再代回到桿端內(nèi)力表達式中，求出各桿端最后內(nèi)力，作出最后內(nèi)力圖。18.2位移法的基本原理18.4位移法的計算示例18.4位移法的計算示例18.4位移法的計算示例一、位移法計算連續(xù)梁在位移法計算連續(xù)梁時，一般情況下，只有剛結點轉(zhuǎn)角位移而沒有結點線位移。所以，只需要在剛結點上添加附加剛臂，即可取得基本結構。例18-1用位移法計算如圖所示連續(xù)梁，并作內(nèi)力圖，已知EI=常數(shù)。解：（1）確定基本未知量和基本結構連續(xù)梁有一個剛結點B，基本未知量為結點B的轉(zhuǎn)角位移Z1

。在結點B加附加剛臂，并使剛臂順時針轉(zhuǎn)動Z1，得到基本結構如圖所示。（2）建立平衡條件：如右圖所示，根據(jù)基本結構上添加附加剛臂B處的力矩平衡條件，即：∑MB=0,可得：MBA+MBC=018.4位移法的計算示例對基本結構來說，在加了附加剛臂后，AB桿變成為兩端固定的單超梁，BC桿變成為一端固定一端鉸支的單超梁，所以可以根據(jù)公式（18-1）～（18-6）分別列出桿端彎矩表達式,令i=EI/24，則iAB=3i,iBC=4i

，因此：18.4位移法的計算示例（3）將桿端彎矩表達式代入平衡條件，得：24iZ1－12=0解得：（）求得的Z1為正,說明剛結點B的轉(zhuǎn)角為順時針方向轉(zhuǎn)動。（4）求各桿端最后彎矩，作最后彎矩圖18.4位移法的計算示例根據(jù)各桿端最后彎矩作彎矩圖，如圖所示，其中AB桿與BC桿根據(jù)各自的最后桿端彎矩正負，可作示意圖如圖所示，顯然AB桿兩端都是上側(cè)受拉，BC桿的B端也是上側(cè)受拉。用區(qū)段疊加法可以作出最后彎矩圖。18.4位移法的計算示例（5）根據(jù)彎矩圖作剪力圖分別截取AB桿與BC桿畫隔離體的受力圖，如圖所示。根據(jù)平衡條件，可以推導出公式（過程略）(18-7)：

上面式中為將AB當作簡支梁時在原荷載作用下AB桿A端的剪力18.4位移法的計算示例所以：18.4位移法的計算示例根據(jù)各桿端最后剪力作剪力圖，如圖所示。18.4位移法的計算示例總結本例，位移法有兩個要點：一個是在原結構上添加附加約束，并使附加約束產(chǎn)生正向的位移，從而得到基本結構后，需要分析原結構各桿都變成了哪一種單超梁，并受到哪些作用？（從而可以寫出各桿端的轉(zhuǎn)角位移方程）二是應建立什么平衡條件？18.4位移法的計算示例二、位移法計算無側(cè)移剛架無側(cè)移剛架的各結點只有轉(zhuǎn)角位移而沒有線位移，這種剛架的計算與連續(xù)梁完全相似，下面舉例說明。例18-2用位移法計算如圖所示剛架，作彎矩圖。18.4位移法的計算示例解：(1)確定基本未知量和基本結構：剛架有兩個剛結點B、C，沒有結點線位移，基本未知量為結點B、C的角位移Z1和Z2。在結點B、C添加附加剛臂，并使剛臂分別順時針轉(zhuǎn)動Z1和Z2，得到基本結構如圖所示。18.4位移法的計算示例（2）建立平衡條件：根據(jù)基本結構上添加附加剛臂處的力矩平衡條件，可得：∑MB=0，

∑MC=0即：MBA+MBC+MBD=0，MCB+MCE=018.4位移法的計算示例（3）根據(jù)公式（18-1）～（18-6）分別列出上面的桿端彎矩表達式令i=EI/4，則橫桿iAB=