工程振動分析與控制基礎 第2版 課件 第5、6章 傳遞矩陣法、有限元法

《工程振動分析與控制基礎》第5章傳遞矩陣法第5

章傳遞矩陣法5.1引言5.2向量狀態(tài)5.3基本單元的傳遞矩陣5.4系統(tǒng)的固有振動分析5.5系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應23145675.1引言

5.1引言

傳遞矩陣法(TransferMatrixMethod)是伴隨計算機的出現和發(fā)展而逐步形成并廣泛應用的一種工程結構動態(tài)分析方法,其基本思想是把一個整體結構系統(tǒng)的力學分析問題轉化為若干單元或子結構的“對接”與“傳遞”的力學分析問題傳遞矩陣法非常適合進行工程實際中具有鏈式分布特征的結構系統(tǒng)的振動分析,往往要求采用基于拉格朗日方程的分析力學方法將復雜結構簡化為集總參數系統(tǒng)(LumpedParametersSystem),再利用傳遞矩陣法進行分析和求解21345675.2向量狀態(tài)5.2向量狀態(tài)狀態(tài)向量是描述某一單元端面力學特性的物理量,通常由單元端面內的廣義位移(位移、轉角)和廣義力(力、力矩)組成的一個矩陣向量來表示對于直線振動單元,如離散系統(tǒng)的質量、彈簧和黏性阻尼器單元以及縱向振動桿單元,其狀態(tài)向量Zi通常由位移xi和力Fi組成如下對于角振動單元,如轉動慣量單元、扭轉彈簧單元和扭轉振動桿單元,其狀態(tài)向量Zi由轉角θi和扭矩TMi組成如下:對于既有直線振動又有角振動的單元,如彎曲振動梁單元,其狀態(tài)向量Zi分別由位移wi、轉角θi、彎矩Mi和剪力Qi組成如下:21345675.3基本單元的傳遞矩陣

5.3基本單元的傳遞矩陣-1

一般情況下,質量單元和轉動慣量單元左、右兩端狀態(tài)向量常常分別用和表示(當然也可視具體情況用上、下兩端的狀態(tài)向量描述),兩者之間的傳遞矩陣稱為點傳遞矩陣,用表示而其他基本單元(如彈簧、扭簧和黏性阻尼器單元以及縱向振動桿單元、扭轉振動桿單元和彎曲振動梁單元等)兩端的狀態(tài)向量之間的傳遞矩陣通常稱為場傳遞矩陣,用表示

5.3基本單元的傳遞矩陣-2

1.質量單元對于做簡諧振動、質量為m的剛性質量單元,其左右兩端狀態(tài)向量之間的傳遞矩陣方程如下:則該單元的點傳遞矩陣為:

5.3基本單元的傳遞矩陣-3

2.轉動慣量單元對于做簡諧振動、轉動慣量為I的純轉動慣量單元,其左右兩端狀態(tài)向量之間的傳遞矩陣方程如下:則該單元的點傳遞矩陣為:

5.3基本單元的傳遞矩陣-3

3.彈簧單元對于做簡諧振動、剛度為k的彈簧單元,其兩端狀態(tài)向量之間的傳遞矩陣方程如下:則該單元的場傳遞矩陣為:

5.3基本單元的傳遞矩陣-4

4.扭轉彈簧單元對于做簡諧振動、抗扭剛度為kt的扭轉彈簧單元,其兩端狀態(tài)向量之間的傳遞矩陣方程如下:則該單元的場傳遞矩陣為:

5.3基本單元的傳遞矩陣-5

5.黏性阻尼器單元對于做簡諧振動、阻尼系數為c的黏性阻尼器單元,其兩端狀態(tài)向量之間的傳遞矩陣方程如下:則該單元的場傳遞矩陣為:

5.3基本單元的傳遞矩陣-6

6.縱向震動桿單元對于長度為l、截面面積為A、密度為ρ、彈性模量為E的做簡諧振動的縱向振動桿單元,其兩端狀態(tài)向量之間的傳遞矩陣方程可借助于第4章的式(4-36)及其振型表達式U(x)=C1cos(klx)+C2sin(klx)推導得出7.對于長度為l、截面極慣性矩為Jp、密度為ρ、剪切模量為G的做簡諧振動的圓形截面扭轉振動桿單元,容易得到其兩端狀態(tài)向量之間的傳遞矩陣方程如下:

5.3基本單元的傳遞矩陣-7

6.彎曲振動梁單元對于長度為l、截面積為A、慣性矩為J、密度為ρ、彈性模量為E的做簡諧振動的彎曲振動梁單元,其兩端狀態(tài)向量之間的傳遞矩陣方程可借助于第4章的式(4-53)及其振型表達式W(x)=C1cos(kbx)+C2sin(kbx)+C3ch(kbx)+C4sh(kbx)推導得出,與桿的縱向振動相類似,方程如右圖21345675.4系統(tǒng)的固有振動分析5.4.1系統(tǒng)的傳遞矩形方程設某鏈式分布系統(tǒng)由n個單元組成,第i個單元的傳遞矩陣為Ti,系統(tǒng)前端的狀態(tài)向量為Z0,系統(tǒng)末端的狀態(tài)向量為Zn,則該系統(tǒng)的傳遞矩陣方程為:Zn=TnTn-1…Ti…T2T1Z0(5-29)則系統(tǒng)的總傳遞矩陣為:Ttotal=TnTn-1…Ti…T2T1(5-30)對于由質量單元、彈簧單元和黏性阻尼器單元組成的離散系統(tǒng),以及縱向振動(或扭轉振動)的桿系(或軸系),易知系統(tǒng)的總傳遞矩陣為2階方陣(矩陣階數等于單元的狀態(tài)向量的行數);而對于彎曲振動的梁系,系統(tǒng)的總傳遞矩陣則為4階方陣5.4.2離散系統(tǒng)的固有振動分析對于離散系統(tǒng)(單自由度和多自由度系統(tǒng)),具有兩種邊界條件,即固定和自由條件,固定端:位移x=0;自由端:力F=0。對于兩端固定的離散系統(tǒng),可以得到如下頻率方程:T12(ω)=0(5-31)對于一端固定、另一端自由的離散系統(tǒng),頻率方程如下:1)前端固定、末端自由:T22(ω)=0。2)前端自由、末端固定:T11(ω)=0。(5-33)由上述頻率方程,很容易求得系統(tǒng)的固有頻率。5.4.3扭轉振動軸系的固有振動分析考慮如圖5-2所示的扭轉振動軸系,它是由n個抗扭剛度kti的無質量桿單元和n+1個轉動慣量為Ii的純轉動慣量剛性圓盤組成的鏈式系統(tǒng),很容易得到系統(tǒng)的傳遞矩陣方程如下:

式中：則系統(tǒng)總傳遞矩陣為:Ttotal=TnTn-1…Ti…T2T1(5-36)5.4.4彎曲振動梁的固有振動分析彎曲振動梁的固有振動分析也同前面的離散系統(tǒng)和扭轉軸系一樣,也是通過單元矩陣的相乘得到系統(tǒng)的總傳遞矩陣Ttotal(為4階方陣),再利用邊界條件,從而得到系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)振型彎曲振動梁的邊界條件比較復雜,它有3種邊界條件,即固定、簡支和自由條件,其中:1)固定端:位移w=0,轉角θ=0

2)簡支端:位移w=0,彎矩M=0

3)自由端:彎矩M=0,剪力Q=0。對于兩端固定梁,可以得到如下頻率方程:對于兩端簡支梁,可以得到如下的頻率方程:21345675.5系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應謝謝?！豆こ陶駝臃治雠c控制基礎》第6章有限元法第6

章有限元法6.1引言6.2假設模態(tài)法6.3一維彈性體振動的有限元分析6.4常用有限元分析軟件23145676.1引言

6.1引言

有限元法(FiniteElementMethod,FEM)是一種靈活、快速、有效地進行各領域數理方程求解的通用數值分析方法有限元法的基本思想是將連續(xù)體(彈性體)系統(tǒng)離散成有限多個單元組成的多自由度系統(tǒng)進行近似求解,即將復雜結構分割為若干彼此之間僅在結點處相互連接的單元,每一個單元都是一個彈性體,為了保證單元之間的連續(xù)性,插值函數通常由結點處的廣義位移來表示有限元法涉及的主要近似解法主要有變分法、瑞利—里茨(Rayleigh-Ritz)法、權重余項法(如伽遼金法)等方法21345676.2假設模態(tài)法6.2假設模態(tài)法假設模態(tài)法是一種將彈性體系統(tǒng)離散化的方法,可用于求解彈性體在激勵下的近似強迫響應,其主要思路是選取合適的假設模態(tài),將彈性體的響應展開成假設模態(tài)和待定廣義坐標的線性組合形式,進而計算彈性體在廣義坐標下的動能和勢能,代入拉格朗日方程后,將彈性體系統(tǒng)強迫響應的求解轉換成n個自由度系統(tǒng)強迫響應的求解問題用假設模態(tài)法求解彈性體的近似強迫振動響應,首要的前提是需要知道假設模態(tài),即容許函數,假設模態(tài)取得越精確(越接近于真實模態(tài)振型),則得到的強迫響應的近似程度就越高。然而在實際求解過程中,選取足夠精確的假設模態(tài)是較為困難的,這也是阻礙假設模態(tài)法廣泛應用的瓶頸21345676.3一維彈性體振動的有限元分析6.3.1網格劃分進行結構有限元分析時,最重要的前處理工作之一是將結構進行網格劃分。對于本節(jié)研究的一維彈性體,首先把結構劃分成s個單元,再分別對單元和結點進行編號,如圖6-1所示,可得s+1個結點。顯然,網格劃分得越細,計算精度也越高,但計算工作量也越大,計算時間就越長。所以要根據實際情況和要求,綜合考慮精度要求和計算量這兩方面因素,對結構進行適當、合理的網格劃分圖6-1一維彈性體結構的網格劃分6.3.2桿單元的質量陣和剛度陣下面針對圖6-2所示的長度為le的桿單元,采用假設模態(tài)法確定其單元質量陣Me和剛度陣Ke。假設在單元局部坐標系xe下,桿單元的兩端結點位移分別為qe1和qe2,u(xe,t)為單元位移,桿單元的位移邊界條件如下:圖6-2桿單元示意圖6.3.3梁單元的質量陣和剛度陣梁單元的質量陣和剛度陣的推導過程與桿單元相似,只不過對于梁單元來說,其結點廣義位移有2個(分別為撓度和轉角,見圖6-3)圖6-3梁單元示意圖6.3.4單元集成與穩(wěn)態(tài)響應求解相應的單元運動微分方程:式中,單元激勵力向量Re(t)的第j個元素的表達式為:其中的φj(xe)見式(6-18)(對于桿)或式(6-26)(對于梁)21345