七年級下冊-相交線與平行線-培優(yōu)訓練(含答案)

七年級下冊相交線與平行線培優(yōu)訓練1．如圖，若∠1＝∠2，∠A＝∠3．則可以推出AC∥DE．請完成下面的推理過程：因為∠1＝∠2，所以AB∥所以∠A＝∠4又因為∠A＝∠3，所以∠3＝∠所以AC∥DE2．如圖，已知∠1＝∠BDE，∠2+∠3＝180°（1）證明：AD∥EF．（2）若DA平分∠BDE，F(xiàn)E⊥AF于點F，∠1＝40°，求∠BAC的度數(shù)．3．如圖，AB∥CD，AB＝CD，點B、E、F、D在同一直線上，∠BAE＝∠DCF．（1）求證：AE＝CF；（2）連結AF、EC，若AE＝AF，試猜想四邊形AECF是什么四邊形，并證明你的結論．4．【問題原型】如圖①，AB∥CD，點M在直線AB、CD之間，則∠M＝∠B+∠D，小明解決上述問題的過程如下：如圖②，過點M作MN∥AB則∠B＝（）∵AB∥CD，（已知）MN∥AB（輔助線的做法）∴MN∥CD（）∴∠＝∠D（）∴∠B+∠D＝∠BMD請完成小明上面的過程．【問題遷移】如圖③，AB∥CD，點M與直線CD分別在AB的兩側，猜想∠M、∠B、∠D之間有怎樣的數(shù)量關系，并加以說明．【推廣應用】（1）如圖④，AB∥CD，點M在直線AB、CD之間，∠ABM的平分線與∠CDM的平分線交于點N，∠M＝96°，則∠N＝°；（2）如圖⑤，AB∥CD，點M與直線CD分別在AB的兩側，∠ABM的平分線與∠CDM的平分線交于點N，∠N＝25°，則∠M＝°；（3）如圖⑥，AB∥CD，∠ABG的平分線與∠CDE的平分線交于點M，∠G＝78°，∠F＝64°，∠E＝64°，則∠M＝°．5．感知：如圖①，若AB∥CD，點P在AB、CD內(nèi)部，則∠P、∠A、∠C滿足的數(shù)量關系是．探究：如圖②，若AB∥CD，點P在AB、CD外部，則∠APC、∠A、∠C滿足的數(shù)量關系是．請補全以下證明過程：證明：如圖③，過點P作PQ∥AB∴∠A＝∵AB∥CD，PQ∥AB∴∥CD∴∠C＝∠∵∠APC＝∠﹣∠∴∠APC＝應用：（1）如圖④，為北斗七星的位置圖，如圖⑤，將北斗七星分別標為A、B、C、D、E、F、G，其中B、C、D三點在一條直線上，AB∥EF，則∠B、∠D、∠E滿足的數(shù)量關系是．（2）如圖⑥，在（1）問的條件下，延長AB到點M，延長FE到點N，過點B和點E分別作射線BP和EP，交于點P，使得BD平分∠MBP，EN平分∠DEP，若∠MBD＝25°，則∠D﹣∠P＝°．6．如圖，直線AB與CD相交于點O，OD平分∠BOE．（1）圖中∠AOD的補角是（把符合條件的角都填出來）；（2）若∠AOC＝28°，求∠BOE的度數(shù)．7．如圖，直線AB與CD相交于點E，射線EG在∠AEC內(nèi)（如圖1）．（1）若∠BEC的補角是它的余角的3倍，則∠BEC＝°；（2）在（1）的條件下，若∠CEG比∠AEG小25度，求∠AEG的大??；（3）若射線EF平分∠AED，∠FEG＝m°（m＞90°）（如圖2），則∠AEG﹣∠CEG＝°（用m的代數(shù)式表示）．8．如圖，射線OA∥射線CB，∠C＝∠OAB＝120°．點D、E在線段BC上，且∠DOB＝∠BOA，OE平分∠DOC．（1）說明AB∥OC的理由；（2）求∠BOE的度數(shù)；（3）平移線段AB，若在平移過程中存在某種情況使得∠OEC＝∠OBA，試求此時∠OEC的度數(shù)．9．如圖，在△ABC中，∠A＝∠B，D、E是邊AB上的點，DG∥AC，EF∥BC，DG、EF相交于點H．（1）∠HDE與∠HED是否相等？并說明理由．解：∠HDE＝∠HED．理由如下：∵DG∥AC（已知）∴＝（）∵EF∥BC（已知）∴＝（）又∵∠A＝∠B（已知）∴＝（）．（2）如果∠C＝90°，DG、EF有何位置關系？并仿照（1）中的解答方法說明理由．解：．理由如下：10．如圖，已知直線AB與CD相交于點O，OE⊥AB，OF⊥CD，OM是∠BOF的角平分線．（1）若∠AOC＝25°，求∠BOD和∠COE的度數(shù)；（2）若∠AOC＝α，求∠EOM的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．參考答案1．解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CE，∴∠A＝∠4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等，∵∠A＝∠3，∴∠3＝∠4，∴AC∥DE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故答案為：CE，（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），4，（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．2．（1）證明：∵∠1＝∠BDE，∴AC∥DE，∴∠2＝∠ADE，∵∠2+∠3＝180°，∴∠3+∠ADE＝180°，∴AD∥EF；（2）∵∠1＝∠BDE，∠1＝40°，∴∠BDE＝40°，∵DA平分∠BDE，∴∠ADE＝BDE＝20°，∴∠2＝∠ADE＝20°，∵∠2+∠3＝180°∴∠3＝160°，∵FE⊥AF，∴∠F＝90°，∴∠B＝360°﹣90°﹣160°﹣40°＝70°，在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠1﹣∠B＝180°﹣40°﹣70°＝70°．3．（1）證明：∵AB∥CD∴∠B＝∠D又∵AB＝CD，∠BAE＝∠DCF∴△BAE≌△DCF（ASA）∴AE＝CF（2）四邊形AECF是菱形，證明如下：由（1）△BAE≌△DCF得：∠AEB＝∠CFD∴∠AEF＝∠CFE∴AE∥CF又∵AE＝CF∴四邊形AECF為平行四邊形∵AE＝AF∴四邊形AECF為菱形．4．解：【問題原型】如圖①，過點M作MN∥AB，則∠B＝∠BMN（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵AB∥CD，（已知）∴MN∥AB（輔助線的做法）∴MN∥CD（平行于同一條直線的兩直線平行）∴∠NMD＝∠D（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∴∠B+∠D＝∠BMD，故答案為：∠BMN，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，平行于同一條直線的兩直線平行，∠NMD，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，【問題遷移】過點M作MN∥AB，∴∠1＝∠B，∵AB∥CD，∴MN∥AB，∴∠NMD＝∠D，∵∠NMD＝∠1+∠BMD，∴∠BMD＝∠D﹣∠B；【推廣應用】如圖④，由如圖①的結論可得，∠ABM+∠CDM＝∠M＝96°，∠N＝∠ABN+∠CDN，∵BN，DN分別平分∠ABM，∠CDM，∴∠ABN+∠CDN＝＝（∠ABM+∠CDM）＝48°，∴∠N＝48°；如圖⑤，由如圖②的結論可得，∠M＝∠CDM﹣∠ABM，∵BN，DN分別平分∠ABM，∠CDM，∴∠CDN﹣∠ABN＝∠CDM﹣∠ABM＝（∠CDM﹣∠ABM）＝M＝∠N＝25°，∴∠M＝50°；如圖⑥，過G，F(xiàn)，E分別作GN∥AB，F(xiàn)H∥AB，EP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥GN∥FH∥EP∥CD，∴∠2＝∠GFH，∠3＝∠EFH，∴∠2+∠3＝∠GFE＝64°，∴∠1+∠4＝∠BGF+∠DEF﹣∠GFE＝78°，∵AB∥GN，EP∥CD，∴∠ABG＝∠1，∠CDE＝∠4，∴∠ABG+∠CDE＝78°，∵BM，DM分別平分∠ABG，∠CDE，∴∠ABM＝∠ABG，∠CDM＝∠CDE，由如圖①中的結論可得∠M＝∠ABM+∠CDM＝（∠ABG+∠CDE）＝78°＝39°，故答案為：48，50，39．5．解：感知：如圖①，過點P作PQ∥AB∴∠A＝∠APQ，∵AB∥CD，PQ∥AB∴PQ∥CD，∴∠C＝∠QPC，∴∠APQ+∠QPC＝∠A+∠C，∠APC＝∠A+∠C．故答案為∠P＝∠A+∠C；探究：證明：如圖③，過點P作PQ∥AB∴∠A＝∠APQ∵AB∥CD，PQ∥AB∴PQ∥CD∴∠C＝∠CPQ∵∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ∴∠APC＝∠A﹣∠C．故答案為：∠APC＝∠A﹣∠C，∠APQ，PQ，∠CPQ，∠APQ，∠CPQ，∠A﹣∠C．應用：（1）如圖⑤，過點D作DH∥EF，∴∠HDE＝∠E，∵AB∥EF，DH∥EF∴AB∥DH，∴∠B+∠BDH＝180°，即∠BDH＝180°﹣∠B，∴∠HDE+∠BDH＝∠E+180°﹣∠B，即∠BDE+∠B﹣∠E＝180°，故答案為∠D+∠B﹣∠E＝180°，（2）如圖⑥，過點P作PH∥EF，∴∠EPH＝∠NEP，∵AB∥EF，PH∥EF，∴AB∥PH，∴∠MBP+∠BPH＝180°，∵BD平分∠MBP，∠MBD＝25°，∠MBP＝2∠MBD＝2×25°＝50°，∠BPH＝180°﹣50°＝130°，∵EN平分∠DEP，∴∠NEP＝∠DEN∴∠BPE＝∠BPH﹣∠EPH＝∠BPH﹣∠NEP＝∠BPH﹣∠DEN＝130°﹣（180°﹣∠DEF）＝∠DEF﹣50°由①∠D+∠ABD﹣∠DEF＝180°，∵∠MBD＝25°，∴∠ABD＝155°，∴∠D+∠155°﹣∠DEF＝180°，∴∠DEF＝∠D﹣25°∴∠BPE＝∠DEF﹣50°＝∠D﹣25°﹣50°＝∠D﹣75°∠D﹣∠BPE＝75°即∠D﹣∠P＝75°，故答案75．6．解：（1）由圖示可得，∠AOD+∠AOC＝180°，∠AOD+∠BOD＝180°，∵OD平分∠BOE，∴∠BOD＝∠DOE，∴∠AOD+∠DOE＝180°，故∠AOD的補角是∠AOC、∠BOD、∠EOD；故答案為：∠AOC、∠EOD、∠DOB．（2）∵直線AB與CD相交于點O，∠AOC＝28°，∴∠BOD＝∠AOC＝28°．又∵OD平分∠BOE，∴∠BOE＝2∠BOD＝56°．答：∠BOE的度數(shù)是56°．7．解：（1）設∠BEC＝x°，根據(jù)題意，可列方程：180﹣x＝3（90﹣x），解得x＝45°，故∠BEC＝45°故答案為：45°（2）∵∠CEG＝∠AEG﹣25°∴∠AEG＝180°﹣∠BEC﹣∠CEG＝180°﹣45°﹣（∠AEG﹣25°）＝160°﹣∠AEG∴∠AEG＝80°（3）∵EF平分∠AED，∴∠AEF＝∠DEF，設∠AEF＝∠DEF＝α，∠AEG＝∠FEG﹣∠AEF＝m﹣α，∠CEG＝180°﹣∠GEF﹣DEF＝180﹣m﹣α，∴∠AEG﹣∠CEG＝m﹣α﹣（180﹣m﹣α）＝2m﹣180故答案為：2m﹣1808．解：（1）∵OA∥CB，∴∠OAB+∠ABC＝180°，∵∠C＝∠OAB＝120°，∴∠C+∠ABC＝180°，∴AB∥OC（2）∵CB∥OA，∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣120°＝60°，∵OE平分∠COD，∴∠COE＝∠EOD，∵∠DOB＝∠AOB，∴∠EOB＝∠EOD+∠DOB＝∠AOC＝×60°＝30°；（3）在△COE和△AOB中，∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，∴∠COE＝∠AOB，∴OB、OE、OD是∠AOC的四等分線，∴∠COE＝∠AOC＝×60°＝15°，∴∠OEC＝180°﹣∠C﹣∠COE＝180°﹣120°﹣15°＝45°，∴∠OEC＝∠OBA，此時∠OEC＝∠OBA＝45°9．解：（1）∠HDE＝∠HED．理由如下：∵DG∥AC（已知）∴∠A＝∠HDE（兩直線平行，同位角相等）∵EF∥BC（已知）∴∠B＝∠HED（兩直線平行，同位角相等）又∵∠A＝∠B（已知）∴∠HDE＝∠HED（等量代換）．（2）DG⊥EF．理由如下：∵EF∥BC∴∠AFE＝∠C＝90°∵AC∥DG∴∠DHE＝∠AFE＝90°∴DG⊥EF