2018年數(shù)學(xué)同步優(yōu)化指導(dǎo)(北師大版選修2-2)練習(xí)：第4章-1.1、1.2-定積分的概念-活頁(yè)作業(yè)15-Word版含解析

活頁(yè)作業(yè)(十五)定積分的概念1．對(duì)于由直線x＝1，y＝0和曲線y＝x3所圍成的曲邊梯形，把區(qū)間3等分，則曲邊梯形面積的近似值(取每個(gè)區(qū)間的左端點(diǎn))是()A．eq\f(1,9) B．eq\f(1,25)C．eq\f(1,27) D．eq\f(1,30)解析：將區(qū)間[0,1]三等分為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))，各小矩形的面積和為s1＝03×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3×eq\f(1,3)＝eq\f(9,81)＝eq\f(1,9).答案：A2．當(dāng)n很大時(shí)，函數(shù)f(x)＝x2在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)，\f(i,n)))上的值，可以用下列中的哪一項(xiàng)來(lái)近似代替()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n))) B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)))C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i,n))) D．f(0)解析：任一函數(shù)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)，\f(i,n)))上的值均可以用feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i,n)))近似代替．答案：C3．下列等式成立的是()A．eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))0dx＝b－aB．eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))xdx＝eq\f(1,2)C．eq\a\vs4\al(\i\in(－1,1,))|x|dx＝2eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))|x|dxD．eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))(x＋1)dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))xdx解析：eq\a\vs4\al(\i\in(－1,1,))|x|dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(－1,0,))|x|dx＋eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))|x|dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(－1,0,))(－x)dx＋eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))xdx＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))xdx＋eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))xdx＝2eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))xdx＝2eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))|x|dx.答案：C4．已知定積分eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(6,0)f(x)dx＝8，且f(x)為偶函數(shù)，則eq\i\in(,6,)－6f(x)dx等于()A．0 B．16C．12 D．8解析：偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，故eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(6,－6)f(x)dx＝2eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(6,0)f(x)dx＝16.答案：B5．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2x≥0，,2xx<0，))則eq\a\vs4\al(\i\in(－1,1,))f(x)dx的值是()A．eq\a\vs4\al(\i\in(－1,1,))x2dx B．eq\a\vs4\al(\i\in(－1,1,))2xdxC．eq\a\vs4\al(\i\in(－1,0,))x2dx＋eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))2xdx D．eq\a\vs4\al(\i\in(－1,0,))2xdx＋eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))x2dx解析：由定積分的性質(zhì)4求f(x)在區(qū)間[－1,1]上的定積分，可以通過求f(x)在區(qū)間[－1,0]與[0,1]上的定積分來(lái)實(shí)現(xiàn)，顯然D正確．答案：D6．已知eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))f(x)dx＝6，則eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))6f(x)dx＝________.解析：eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))6f(x)dx＝6eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))f(x)dx＝6×6＝36.答案：367．用定積分表示下列各圖中陰影部分的面積(不要求計(jì)算)：(1)圖(1)中S1＝________；(2)圖(2)中S2＝________；(3)圖(3)中S3＝________.答案：(1)eq\a\vs4\al(∫π\(zhòng)f(π,3))sinxdx(2)eq\a\vs4\al(\i\in(－4,2,))eq\f(x2,2)dx(3)－eq\a\vs4\al(\i\in(4,9,))(－xeq\f(1,2))dx8．計(jì)算：eq\a\vs4\al(\i\in(0,6,))(2x－4)dx＝________.解析：如右圖，由y＝2x－4可得A(0，－4)，B(6,8)．則S△AOM＝eq\f(1,2)×2×4＝4，S△BCM＝eq\f(1,2)×4×8＝16.∴eq\a\vs4\al(\i\in(0,6,))(2x－4)dx＝16－4＝12.答案：129．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx∈[0，2，,4－xx∈[2，3，,\f(5,2)－\f(x,2)x∈[3，5]，))求f(x)在區(qū)間[0,5]上的定積分．解：如右圖，由定積分的幾何意義，得eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))xdx＝eq\f(1,2)×2×2＝2，eq\a\vs4\al(\i\in(2,3,))(4－x)dx＝eq\f(1,2)×(1＋2)×1＝eq\f(3,2)，eq\a\vs4\al(\i\in(3,5,))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－\f(x,2)))dx＝eq\f(1,2)×2×1＝1.∴eq\a\vs4\al(\i\in(0,5,))f(x)dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))xdx＋eq\a\vs4\al(\i\in(2,3,))(4－x)dx＋eq\a\vs4\al(\i\in(3,5,))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－\f(x,2)))dx＝2＋eq\f(3,2)＋1＝eq\f(9,2).10．利用定積分的幾何意義計(jì)算eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))(2x＋1)dx.解：如右圖，所求定積分為陰影部分的面積，其面積為eq\f(1,2)×(1＋5)×2＝6.故eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))(2x＋1)dx＝6.11．如下圖，由曲線y＝x2－1和x軸圍成圖形的面積等于S.給出下列結(jié)果：①eq\a\vs4\al(\i\in(－1,1,))(x2－1)dx；②eq\a\vs4\al(\i\in(－1,1,))(1－x2)dx；③2eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))(x2－1)dx；④2eq\a\vs4\al(\i\in(－1,0,))(1－x2)dx.則S等于()A．①③ B．③④C．②③ D．②④解析：eq\a\vs4\al(\i\in(－1,1,))(1－x2)dx＝2eq\a\vs4\al(\i\in(－1,0,))(1－x2)dx答案：D12．若eq\a\vs4\al(∫\f(π,2)0)cosxdx＝1，則由x＝0，x＝π，f(x)＝sinx及x軸圍成的圖形的面積為________．解析：由正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖像，知f(x)＝sinx，x∈[0，π]的圖像與x軸圍成的圖形的面積等于g(x)＝cosx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的圖像與x軸圍成的圖形的面積的2倍．所以答案應(yīng)為2.答案：213．在等分區(qū)間的情況下，寫出f(x)＝eq\f(1,1＋x2)(x∈[0,1])及x軸所圍成的曲邊梯形面積和式的極限形式為___________．解析：將區(qū)間[0,1]等分成n份，形成n個(gè)小區(qū)間[xi－1，xi]＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)，\f(i,n)))(i＝1,2，…，n)，且每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為Δxi＝eq\f(1,n)(i＝1,2，…，n)，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)，\f(i,n)))(i＝1,2，…，n)上取一點(diǎn)ξi＝eq\f(i,n)(i＝1,2，…，n)，則eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)Δxi＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i,n)))2)·\f(1,n))).∴和式的極限形式為eq\o(lim,\s\do4(n→＋∞))eq\i\su(＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i,n)))2)·\f(1,n))).答案：eq\o(lim,\s\do4(n→＋∞))eq\i\su(＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i,n)))2)·\f(1,n)))14．將和式的極限eq\o(lim,\s\do4(n→＋∞))eq\f(1p＋2p＋3p＋…＋np,np＋1)(p>0)表示成定積分為________．解析：令ξi＝eq\f(i,n)，f(x)＝xp，則eq\o(lim,\s\do4(n→＋∞))eq\f(1p＋2p＋3p＋…＋np,np＋1)＝eq\o(lim,\s\do4(n→＋∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(1,n)f(ξi)＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))xpdx.答案：eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))xpdx15．利用定義計(jì)算定積分eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))(x2＋2)dx.解：把區(qū)間[0,1]分成n等份，分點(diǎn)和小區(qū)間的長(zhǎng)度分別為xi＝eq\f(i,n)(i＝1,2，…，n－1)，Δxi＝eq\f(1,n)(i＝1,2，…，n)，取ξi＝eq\f(i,n)(i＝1,2，…，n)，作積分和eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)Δxi＝eq\i\su(i＝1,n,)(ξeq\o\al(2,i)＋2)Δxi＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i,n)))2＋2))·eq\f(1,n)＝eq\f(1,n3)eq\i\su(i＝1,n,i)2＋2＝eq\f(1,n3)·eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)＋2＝eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,n)))＋2.∴eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))(x2＋2)dx＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)Δxi＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,n)))＋2))＝eq\f(1,3)＋2＝eq\f(7,3).16．利用定積分表示由曲線y＝x－2和x＝y(tǒng)2圍成的平面區(qū)域的面積．解：曲線所圍成的平面