等差數(shù)列與等比數(shù)列 高三數(shù)學二輪復習專題

等差數(shù)列與等比數(shù)列考情預覽

明確考向1.[等比數(shù)列基本量](2022·全國乙卷)已知等比數(shù)列{an}的前3項和為168,a2-a5=42,則a6等于(

)A.14 B.12 C.6 D.3√√2.[等比數(shù)列的性質](2023·新課標Ⅱ卷)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,若S4=-5,S6=21S2,則S8等于(

)A.120 B.85 C.-85 D.-120√3.[等比數(shù)列的判斷與基本量運算](2020·全國Ⅱ卷)數(shù)列{an}中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,則k等于(

)A.2 B.3 C.4 D.54.[等差數(shù)列基本量](2023·全國甲卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a2+a6=10,a4a8=45,則S5等于(

)A.25 B.22 C.20 D.15√考法聚焦

講練突破熱點一等差、等比數(shù)列的基本運算(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通項公式;(2)若{bn}為等差數(shù)列,且S99-T99=99,求d.等差數(shù)列、等比數(shù)列問題的求解策略(1)抓住基本量,首項a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些結構特征,如前n項和為Sn=an2+bn(a,b是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列,通項公式為an=p·qn-1(p,q≠0)的形式的數(shù)列為等比數(shù)列.(3)由于等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式中變量n在指數(shù)位置,所以常用兩式相除(即比值的方式)進行相關計算.熱點訓練1

(1)(2023·全國甲卷)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若8S6=7S3,則{an}的公比為

.

(2)(2023·北京卷)我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史,戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質量的“環(huán)權”.已知9枚環(huán)權的質量(單位:銖)從小到大構成項數(shù)為9的數(shù)列{an},該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列,后7項成等比數(shù)列,且a1=1,a5=12,a9=192,則a7=

,數(shù)列{an}所有項的和為

.

48384熱點二等差、等比數(shù)列的性質(2)前n項和的性質:①對于等差數(shù)列有Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等差數(shù)列;對于等比數(shù)列有Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等比數(shù)列(q=-1且m為偶數(shù)的情況除外).②對于等差數(shù)列,有S2n-1=(2n-1)an.√(2)(2023·四川德陽統(tǒng)考一模)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S5=5,S10=30,則S15等于(

)A.90 B.125 C.155 D.180解析:(2)因為等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,所以S5,S10-S5,S15-S10成等比數(shù)列,因為S5=5,S10=30,所以S10-S5=25,則S15-S10=25×5=125,故S15=125+30=155.故選C.√(3)(2023·寧夏銀川聯(lián)考一模)已知等比數(shù)列{an}滿足an>0,n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3),則當n≥1時,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1等于(

)A.n(2n-1) B.(n+1)2C.n2 D.(n-1)2√等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質問題的求解策略(1)抓關系,抓住項與項之間的關系及項的序號之間的關系,從這些特點入手,選擇恰當?shù)男再|進行求解.(2)用性質,數(shù)列是一種特殊的函數(shù),具有函數(shù)的一些性質,如單調性、周期性等,可利用函數(shù)的性質解題.A.3 B.12 C.18 D.24√√熱點三等差、等比數(shù)列的判斷與證明證明數(shù)列為等差(比)數(shù)列,一般使用定義法.(1)證明:{an}是等差數(shù)列;(2)若a4,a7,a9成等比數(shù)列,求Sn的最小值.(2){an}為等比數(shù)列,可推出a1,a2,a3成等比數(shù)列,但a1,a2,a3成等比數(shù)列并不能說明{an}為等比數(shù)列.(3)證明{an}不是等比數(shù)列可用特值法.熱點訓練3若數(shù)列{an}滿足:a1=1,a2=5,對于任意的n∈N*,都有an+2=6an+1-9an.(1)證明:數(shù)列{an+1-3an}是等比數(shù)列;(1)證明:由an+2=6an+1-9an,得an+2-