五種插值法的比較

合肥師范學院2012屆本科生畢業(yè)論文（設計）PAGE裝訂線裝訂線本科生畢業(yè)論文（設計）題目：五種插值法的比較系部數學系學科門類理學專業(yè)數學與應用數學學號姓名指導教師PAGE17合肥師范學院2012屆本科生畢業(yè)論文（設計）PAGE1五種插值法的比較摘要插值法是數值計算中一種重要的方法，在實際生活中有很多函數我們是求不出來的，但我們可以通過該函數在有限點處的取值，用某一函數來逼近它，然后估計出該函數在其他點的函數值.從古代就已經使用二次等距插值用于天文計算了，到現代用于工程計算、算法理論等方面.插值方法有很多種，這篇文章主要介紹了一般常用的五種插值法，并討論了五種插值法在理論中的區(qū)別與在實際中應用.本文先從五種插值法的定義，通過它們的定義在形式上的差異來做簡單比較；再結合相應的例題歸納總結五種插值法的特點，使我們清楚的知道哪種類型的插值法更適合解決哪一種類型的問題；最后通過實際應用來分析比較Lagrange插值、Newton插值、三次樣條插值和分段插值各自在解決相應問題之間的差異.關鍵詞：多項式；插值函數；插值法ABSTRACT裝訂線Interpolationmethodisanimportantmethodofnumericalcalculation.Inreallife,therearemanyfunctionsthatwecannotworkout,butwecanpassthroughthefunctioninthefinitepointvalue,withafunctiontoapproachit,andthenestimatethefunctioninotherpointsonthefunctionvalue.Inancienttimeshaveusedtwoequidistantinterpolationinastronomicalcalculations,andapplieditinengineeringcomputation,algorithmtheoryetcinmordentime.Interpolationmethodhasmanykinds,thisarticlemainlyintroducesthecommonlyusedfivekindsofinterpolation,anddiscussthedifferenceoffivekindsofinterpolationmethodinthetheoryandapplicationinpractice.Thispaperstartsfromthedefinitionoffivekindsofinterpolation,bytheirdefinitionsintheformofdifferencetodosimplecomparison，combinedwiththecorrespondingexamplessummarizesfivekindsofinterpolationfeatures,sothatweknowwhichtypeofinterpolationmethodismoresuitabletosolvecertiankindofproblem，andfinallybypracticalapplication,wecananalysisandcomparisonthedifferencesbetweenNewtonLagrangeinterpolation,interpolation,threetimes裝訂線Keywords:polynomial；interpolationfunction；interpolation目錄摘要 IABSTRACT II1引言 12五種插值法 22.1Lagrange插值 22.2Newton插值 32.3Hermite插值 32.4分段插值 42.5三次樣條插值 53五種插值法的解題分析比較 74五種差值的實際應用 145小結 17參考文獻 181引言插值方法是數值計算中的最基本方法，是一種古老的數學方法.在中國古代就開始用二次插值法來推算天文歷法，其中在《周髀》和《九章》中就已經使用到一次插值法.現代插值法的應用也十分廣泛.主要解決如信息技術中的圖象重建、圖像放大過程中為避免圖象失真、建筑工程的外觀設計、天文觀測數據、物理學中的應用等方面的問題.函數插值法，簡稱插值法.在許多實際問題中，有的函數雖然有解析式，但計算起來很復雜而且使用起來也不方便.所以我們通過函數給出某些點上的函數值，構造一個既能反映函數特征又便于計算的簡單函數來逼近原函數.這就是我們所說的函數逼近.逼近函數的類型有多種選擇方法，但其基本上是代數多項式應用最為廣泛.建立代數多項式也有多種方法，像本文介紹的Lagrange插值多項式就便于理論推導和形式地描述算法，它在理論上十分重要.Newton插值的方法具有遞推性，其組成很有規(guī)律，方便于實際計算.Hermite插值多項式是在插值節(jié)點有導函數限制的情況下使用.分段插值與三次樣條插的逼近效果是其他插值法難以達到的.本文則主要介紹這五種插值法之間的區(qū)別，通過理論與實際的比較使讀者更清楚的認識和了解這五種插值法.2五種插值法對于一個插值問題來說，如果已知條件就是個互異的插值節(jié)點點處的函數值，構造插值函數是一般不超過次的多項式，則稱為是一般的個基點的多項式插值問題.Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、三次樣條插值、分段插值五種插值法在定際運用中的都有各自不同的特點，下面就首先從定義上做簡單的比較.2.1Lagrange插值此時我們習慣將插值節(jié)點和相應的函數值采用下表1的形式列出，并簡稱由表1給出的插值問題.表1……Lagrange插值是次多項式插值，其成功地用構造插值基函數的方法解決了求n次多項式插值函數問題.表(1)的n次Lagrange插值多項式的數學式：其中（i=0,1,2,…,n）是插值基函數，且.Lagrange插值多項式的余項其中，；不難發(fā)現Lagrange插值多項式便于理論推導和形式地描述算法，它在理論上十分重要，但是不便于計算函數值,因為用Lagrange插值多項式計算函數近似值，如果精度不滿足，要增加節(jié)點，原來計算的數據均不能用.為了克服這個缺點下面介紹另外一種插值法Newton插值法.2.2Newton插值Newton插值也是次多項式插值，其基本思路是將待求的次差值多項式改寫成能逐次生成的形式，然后用插值條件求待定系數.由表（1）構造的Newton插值多項式為.用它插值時，首先要計算各階差商，而各階差商的計算可歸結為一階差商的逐次計算.一般地,；上面給出的插值多項式是節(jié)點任意分布的情況，但實際應用時經常遇到等距節(jié)點，即的情況，這里稱為步長.設點的函數值為，稱為處以為步長的一階差分.一般的稱為處的階差分.所以Newton前插公式為.與Lagrange插值相比，Newton插值具有承襲性和易于變動節(jié)點的特點.Newton插值在計算插值多項式及求解函數近似值都比較方便且計算量相對較小.從公式看每增加一個節(jié)點，插值多項式只增加一項，因此便于計算，所以具有靈活增加節(jié)點的特點.Newton插值僅對節(jié)點處的函數做了約束，但是如果插值條件增加的是節(jié)點處導數的條件話，我們就需要下面的插值法—Hermite插值.2.3Hermite插值插值多項式要求在插值節(jié)點上函數值相等，有的實際問題還要求在節(jié)點上導數值相等，甚至高階導數值也要相等，滿足這種要求的插值多項式稱為Hermite插值多項式.表2………如上表，設則滿足條件，的次Hermite插值多項式為其中稱為Hermite插值基函數，是Lagrange插值基函數.適當的提高插值多項式的次數，有可能會提高計算結果的準確度.但絕不能認為插值多項式次數越高越好，利用被插值函數節(jié)點信息越多，誤差越小.由插值多項式的截斷誤差公式可見：若，插值誤差為.截斷誤差與與有關，但其絕對值不一定隨增加而減小.所以由于高次插值的不穩(wěn)定性，一般實際計算時很少使用高次插值.2.4分段插值Lagrange插值方法根據區(qū)間上給出節(jié)點構造插值多項式的，而一般以為次數逼近原函數，但其實并非如此，分段插值就是通過在每個小區(qū)間逼近原函數.構造分段插值多項式的方法仍然是基函數法.常見的主要有分段線性插值和分段三次埃米特插值.1.分段線性插值就是通過在每一個區(qū)間用折線段連接每個插值點來逼近.設已知插值節(jié)點和相應的函數值，記求一折線函數滿足：（1）;（2）；（3）在每個小區(qū)間上是線性函數.則稱稱為分段線性插值函數.，，.其誤差估計可利用插值余項得到，其中.可見，分段線性插值的余項只依賴于二次導數的界.這說明只要小區(qū)間長度足夠小，便可保證充分靠近，即分段線性插值函數收斂于.2.三次Hermite插值是在節(jié)點上除已知函數值外還給出導數值，這樣就有，它滿足條件：（1）；（2）（3）在每個小區(qū)間上是三次多項式.則.上式對于成立.誤差估計為：，其中分段三次Hermite值比分段線性插值效果明顯改善，但是這種插值要求給出節(jié)點上的導數值，所要提供的信息太多，其光滑度也不高（只有一階導數連續(xù)），所以要改進這種插值和克服其缺點下面提出三次樣條插值.2.5三次樣條插值三次樣條插值法是一種分段插值法，其基本思想是將插值區(qū)間等分，再在每個區(qū)間上求插值函數.設在區(qū)間上取個節(jié)點，給定這些點的函數值.如果存在分段函數：且函數滿足條件：（1）在每個區(qū)間上是不高于3次多項式；（2）在區(qū)間上連續(xù)；（3）稱為三次樣條插值函數.由于插值節(jié)點處具有二階導數連續(xù)，所以三次樣條插值法具有更好的光滑性.從上面的一一介紹中我們可以看出：Lagrange插值有著形式上對稱，在理論上十分重要的有點，但是計算復雜.因為每增加一個節(jié)點，對前面的插值基函數值就作廢了.而Newton插值每增加一個節(jié)點，插值多項式只增加一項，因此便于遞推運算，所以具有靈活增加節(jié)點的優(yōu)點.但是Newton插值僅對節(jié)點處的函數作了約束，如果插值條件再增加節(jié)點處對導函數的限制的話，就要用到Hermite插值多項式.但一般很少用這種高次插值法，因為其不穩(wěn)定性的緣故，更多使用分段插值來實現.雖然插值曲線的各個分段是銜接的，但在節(jié)點處不能保證整個曲線的光滑性.而三次樣條不但與被插值函數很接近，而且導數值也很接近，這樣逼近效果是其他插值法所難以達到的.從Lagrange插值到三次樣條插值法，層層遞進來解決問題，使的插值函數與被插值函數越來越逼近.下面就上面的五種插值法來給出他們各自適合解決哪些類型的題目的例子，通過例子更能清楚的理解和認識五種插值法的各自特征.3五種插值法的解題分析比較下面主要從例子來比較這五種插值法之間在運算上的不同；例1已知插值條件如下表所示：求的二次插值多項式.解若用單項式基底來解，則可設，由插值條件，解得，，，故.若用Lagrange插值基函數，則故.若用Newton插值法，則故.整理可知三種方法得到的是同一個多項式.通過上面的例子的解題我們不難看出，在求解二次插值多項式來說Newton插值法最為簡單，而Lagrange插值法計算最為復雜，對于用單項式基底了來說，如果次數高的話未知數的個數也越多，求解也越復雜.所以在解這類題的話，用Newton插值法更為方便簡潔.而如果插值節(jié)點不僅對應的有函數值還有導函數值，那么就要用到Hermite插值，例如下面的題目.例2求次數小于等于3的多項式，使其滿足：.解本題標準的是應用Hermite插值問題，所以可以用公式直接來計算.記由題意可知利用兩點的Hermite值公式，有其中是Hermite插值基函數，即，所以.Newton插值僅對節(jié)點處的函數作了約束，如果插值條件再增加節(jié)點處對導函數的限制的話，就要用到Hermite插值多項式.上面的例子就是很好的應用.我們在看一個關于三次樣條插值的例子，看看它在解決問題時有哪些特點.例3給定數據表如下：0.250.300.390.450.530.50000.54770.62450.67080.7280試求三次樣條插值，并滿足條件：（1）（2）解由給定數據知由有均差（1）若邊界條件，則由此得矩陣形式的三彎矩方程為解得利用三次樣條表達式將代入整得

（2）若邊界條件為，則三彎矩方程為解得.代入三次樣條表達式并整理，得由于其解得存在唯一性，求解插值函數的線性方程組的系數矩陣為三對角方程組，所以算法具有較好的計算復雜性和穩(wěn)定性以及插值函數具有一定的光滑性等優(yōu)點.所以三次樣條插值應用也比較廣泛.例4已知函數，在區(qū)間上的等距節(jié)點時的函數值，求分段線性插值函數.再計算的近似值，節(jié)點處的函數值如下：0解由上面節(jié)中的分段插值公式知：，，所以分段插值函數為.與原函數值比較，我們可以發(fā)現分段插值函數來逼近原函數時，還是比較準確的，就是用分段線性插值法逼近原函數他們的誤差很小.例5給出在處的函數值.（1）用次Lagrange插值多項式求在的近似值，并與準確值進行比較.(2)用次Newton插值多項式求在的近似值，并與準確值作比較.（3）用次線性插值多項式求在的近似值.解（1）由上面節(jié)Lagrange插值公式可知：所以四次Lagrange插值多項式為.則實際值為..用Newton前插公式，先構造如下表的查分表并用Newton前插公式（前面2.2介紹的）取，，.與實際值誤差較小.由上面節(jié)中的分段插值公式知：，，，所以這與實際值誤差就很小了.從上面的例子看出對于Lagrange插值法求解的公式很有對稱性，很容易觀察出來.但有個缺點就是計算太復雜，麻煩，誤差值大.對于Newton插值法而言他的形式簡單，計算方便，而且誤差比Lagrange小.線性插值多項式求解的誤差值最小，最精確.所以我們一般如果想求解簡單計算方便最好用Newton插值法來求解，而如果要求計算精確最好用線性插值，對于Lagrange插值我們一般只在于研究其性質，對于應用部是很好.下面來看插值法在實際生活中的應用.不同的插值對于同一個問題的解決他們的方法和誤差都不同，我們來比較他們的區(qū)別.4五種插值的實際應用例1閘閥的局部阻力系數和閘閥的關閉度有關(為管內徑,為開度),其的函數表如下01/82/83/84/85/86/87/80.000.070.200.812.065.5217.6097.80如果將閘閥控制在時,求其局部阻力系數的值解該函數表是等距節(jié)點排序,故應用牛頓插值公式,挑選出=0.15附近的三個節(jié)點進行二次插值,列于下表,并將其一階和二階差分經算出列于該表的右側各列00.001/80.070.072/80.200.130.063/80.810.610.480.42若按三次插值,則應挑選4個節(jié)點,即再添一個的節(jié)點,此時可在表上添一行一列(用虛線框在最后的行與列),其這樣,由三次插值所得的值為：由此可以看出,如需要再取較高次的插值時,只需再添一項對應的節(jié)點及其計算,而前面的計算仍保持有效.這是Newton插值法的優(yōu)點.例2某地區(qū)冬天的一天從上午九點到下午三點的氣溫變化如下數據：求這段時間溫度與時間的關系.解方法一用拉格朗日插值法解，x=[9:1:15];y=1./(1+x.^2);x0=[9:0.1:15];y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.^2);plot(x0,y0,'--r')holdonplot(x0,y1,'-b')legend('拉格朗日插值曲線','原曲線')Runge現象的產生原曲線lagrange插值曲線原曲線lagrange插值曲線方法二用分段插值曲線解x=[9:1:15];y=1./(1+x.^2);x0=[9:0.1:15];y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.^2);y2=interpl(x,y,x0,'spline');plot(x0,y1,'-b',x0,y0,'--r',x0,y2,'xk');legend(‘原曲線’,’拉格朗日插值曲線’,’分段插值曲線’)原曲線lagrange插值曲線分段插值曲線原曲線lagrange插值曲線分段插值曲線方法三是用三次樣條插值法解x=[9:1:15];y=1./(1+x.^2);x0=[9:0.1:15];y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.^2);y2=interpl(x,y,x0,'spline');y3=interpl(x,y,x0);plot(x0,y1,'-b',x0.y0,'--r',x0,y2,'xk'x0,y3,'-y');legend(’原曲線’,’拉格朗日插值曲線’,’三次樣條插值曲線’,’分段線性插值曲線’)原曲線lagrange插值曲線原曲線lagrange插值曲線三次樣條插值曲線分段線性插值曲線從上面三種方法可以看出拉格朗日插值法來做，圖像明顯與原函數偏差較大，而分段插值克服了高次拉格朗日插值的缺點