五種插值法的比較

合肥師范學(xué)院2012屆本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）PAGE裝訂線裝訂線本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目：五種插值法的比較系部數(shù)學(xué)系學(xué)科門類理學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)號姓名指導(dǎo)教師PAGE17合肥師范學(xué)院2012屆本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）PAGE1五種插值法的比較摘要插值法是數(shù)值計(jì)算中一種重要的方法，在實(shí)際生活中有很多函數(shù)我們是求不出來的，但我們可以通過該函數(shù)在有限點(diǎn)處的取值，用某一函數(shù)來逼近它，然后估計(jì)出該函數(shù)在其他點(diǎn)的函數(shù)值.從古代就已經(jīng)使用二次等距插值用于天文計(jì)算了，到現(xiàn)代用于工程計(jì)算、算法理論等方面.插值方法有很多種，這篇文章主要介紹了一般常用的五種插值法，并討論了五種插值法在理論中的區(qū)別與在實(shí)際中應(yīng)用.本文先從五種插值法的定義，通過它們的定義在形式上的差異來做簡單比較；再結(jié)合相應(yīng)的例題歸納總結(jié)五種插值法的特點(diǎn)，使我們清楚的知道哪種類型的插值法更適合解決哪一種類型的問題；最后通過實(shí)際應(yīng)用來分析比較Lagrange插值、Newton插值、三次樣條插值和分段插值各自在解決相應(yīng)問題之間的差異.關(guān)鍵詞：多項(xiàng)式；插值函數(shù)；插值法ABSTRACT裝訂線Interpolationmethodisanimportantmethodofnumericalcalculation.Inreallife,therearemanyfunctionsthatwecannotworkout,butwecanpassthroughthefunctioninthefinitepointvalue,withafunctiontoapproachit,andthenestimatethefunctioninotherpointsonthefunctionvalue.Inancienttimeshaveusedtwoequidistantinterpolationinastronomicalcalculations,andapplieditinengineeringcomputation,algorithmtheoryetcinmordentime.Interpolationmethodhasmanykinds,thisarticlemainlyintroducesthecommonlyusedfivekindsofinterpolation,anddiscussthedifferenceoffivekindsofinterpolationmethodinthetheoryandapplicationinpractice.Thispaperstartsfromthedefinitionoffivekindsofinterpolation,bytheirdefinitionsintheformofdifferencetodosimplecomparison，combinedwiththecorrespondingexamplessummarizesfivekindsofinterpolationfeatures,sothatweknowwhichtypeofinterpolationmethodismoresuitabletosolvecertiankindofproblem，andfinallybypracticalapplication,wecananalysisandcomparisonthedifferencesbetweenNewtonLagrangeinterpolation,interpolation,threetimes裝訂線Keywords:polynomial；interpolationfunction；interpolation目錄摘要 IABSTRACT II1引言 12五種插值法 22.1Lagrange插值 22.2Newton插值 32.3Hermite插值 32.4分段插值 42.5三次樣條插值 53五種插值法的解題分析比較 74五種差值的實(shí)際應(yīng)用 145小結(jié) 17參考文獻(xiàn) 181引言插值方法是數(shù)值計(jì)算中的最基本方法，是一種古老的數(shù)學(xué)方法.在中國古代就開始用二次插值法來推算天文歷法，其中在《周髀》和《九章》中就已經(jīng)使用到一次插值法.現(xiàn)代插值法的應(yīng)用也十分廣泛.主要解決如信息技術(shù)中的圖象重建、圖像放大過程中為避免圖象失真、建筑工程的外觀設(shè)計(jì)、天文觀測數(shù)據(jù)、物理學(xué)中的應(yīng)用等方面的問題.函數(shù)插值法，簡稱插值法.在許多實(shí)際問題中，有的函數(shù)雖然有解析式，但計(jì)算起來很復(fù)雜而且使用起來也不方便.所以我們通過函數(shù)給出某些點(diǎn)上的函數(shù)值，構(gòu)造一個既能反映函數(shù)特征又便于計(jì)算的簡單函數(shù)來逼近原函數(shù).這就是我們所說的函數(shù)逼近.逼近函數(shù)的類型有多種選擇方法，但其基本上是代數(shù)多項(xiàng)式應(yīng)用最為廣泛.建立代數(shù)多項(xiàng)式也有多種方法，像本文介紹的Lagrange插值多項(xiàng)式就便于理論推導(dǎo)和形式地描述算法，它在理論上十分重要.Newton插值的方法具有遞推性，其組成很有規(guī)律，方便于實(shí)際計(jì)算.Hermite插值多項(xiàng)式是在插值節(jié)點(diǎn)有導(dǎo)函數(shù)限制的情況下使用.分段插值與三次樣條插的逼近效果是其他插值法難以達(dá)到的.本文則主要介紹這五種插值法之間的區(qū)別，通過理論與實(shí)際的比較使讀者更清楚的認(rèn)識和了解這五種插值法.2五種插值法對于一個插值問題來說，如果已知條件就是個互異的插值節(jié)點(diǎn)點(diǎn)處的函數(shù)值，構(gòu)造插值函數(shù)是一般不超過次的多項(xiàng)式，則稱為是一般的個基點(diǎn)的多項(xiàng)式插值問題.Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、三次樣條插值、分段插值五種插值法在定際運(yùn)用中的都有各自不同的特點(diǎn)，下面就首先從定義上做簡單的比較.2.1Lagrange插值此時(shí)我們習(xí)慣將插值節(jié)點(diǎn)和相應(yīng)的函數(shù)值采用下表1的形式列出，并簡稱由表1給出的插值問題.表1……Lagrange插值是次多項(xiàng)式插值，其成功地用構(gòu)造插值基函數(shù)的方法解決了求n次多項(xiàng)式插值函數(shù)問題.表(1)的n次Lagrange插值多項(xiàng)式的數(shù)學(xué)式：其中（i=0,1,2,…,n）是插值基函數(shù)，且.Lagrange插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)其中，；不難發(fā)現(xiàn)Lagrange插值多項(xiàng)式便于理論推導(dǎo)和形式地描述算法，它在理論上十分重要，但是不便于計(jì)算函數(shù)值,因?yàn)橛肔agrange插值多項(xiàng)式計(jì)算函數(shù)近似值，如果精度不滿足，要增加節(jié)點(diǎn)，原來計(jì)算的數(shù)據(jù)均不能用.為了克服這個缺點(diǎn)下面介紹另外一種插值法Newton插值法.2.2Newton插值Newton插值也是次多項(xiàng)式插值，其基本思路是將待求的次差值多項(xiàng)式改寫成能逐次生成的形式，然后用插值條件求待定系數(shù).由表（1）構(gòu)造的Newton插值多項(xiàng)式為.用它插值時(shí)，首先要計(jì)算各階差商，而各階差商的計(jì)算可歸結(jié)為一階差商的逐次計(jì)算.一般地,；上面給出的插值多項(xiàng)式是節(jié)點(diǎn)任意分布的情況，但實(shí)際應(yīng)用時(shí)經(jīng)常遇到等距節(jié)點(diǎn)，即的情況，這里稱為步長.設(shè)點(diǎn)的函數(shù)值為，稱為處以為步長的一階差分.一般的稱為處的階差分.所以Newton前插公式為.與Lagrange插值相比，Newton插值具有承襲性和易于變動節(jié)點(diǎn)的特點(diǎn).Newton插值在計(jì)算插值多項(xiàng)式及求解函數(shù)近似值都比較方便且計(jì)算量相對較小.從公式看每增加一個節(jié)點(diǎn)，插值多項(xiàng)式只增加一項(xiàng)，因此便于計(jì)算，所以具有靈活增加節(jié)點(diǎn)的特點(diǎn).Newton插值僅對節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)做了約束，但是如果插值條件增加的是節(jié)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的條件話，我們就需要下面的插值法—Hermite插值.2.3Hermite插值插值多項(xiàng)式要求在插值節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值相等，有的實(shí)際問題還要求在節(jié)點(diǎn)上導(dǎo)數(shù)值相等，甚至高階導(dǎo)數(shù)值也要相等，滿足這種要求的插值多項(xiàng)式稱為Hermite插值多項(xiàng)式.表2………如上表，設(shè)則滿足條件，的次Hermite插值多項(xiàng)式為其中稱為Hermite插值基函數(shù)，是Lagrange插值基函數(shù).適當(dāng)?shù)奶岣卟逯刀囗?xiàng)式的次數(shù)，有可能會提高計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確度.但絕不能認(rèn)為插值多項(xiàng)式次數(shù)越高越好，利用被插值函數(shù)節(jié)點(diǎn)信息越多，誤差越小.由插值多項(xiàng)式的截?cái)嗾`差公式可見：若，插值誤差為.截?cái)嗾`差與與有關(guān)，但其絕對值不一定隨增加而減小.所以由于高次插值的不穩(wěn)定性，一般實(shí)際計(jì)算時(shí)很少使用高次插值.2.4分段插值Lagrange插值方法根據(jù)區(qū)間上給出節(jié)點(diǎn)構(gòu)造插值多項(xiàng)式的，而一般以為次數(shù)逼近原函數(shù)，但其實(shí)并非如此，分段插值就是通過在每個小區(qū)間逼近原函數(shù).構(gòu)造分段插值多項(xiàng)式的方法仍然是基函數(shù)法.常見的主要有分段線性插值和分段三次埃米特插值.1.分段線性插值就是通過在每一個區(qū)間用折線段連接每個插值點(diǎn)來逼近.設(shè)已知插值節(jié)點(diǎn)和相應(yīng)的函數(shù)值，記求一折線函數(shù)滿足：（1）;（2）；（3）在每個小區(qū)間上是線性函數(shù).則稱稱為分段線性插值函數(shù).，，.其誤差估計(jì)可利用插值余項(xiàng)得到，其中.可見，分段線性插值的余項(xiàng)只依賴于二次導(dǎo)數(shù)的界.這說明只要小區(qū)間長度足夠小，便可保證充分靠近，即分段線性插值函數(shù)收斂于.2.三次Hermite插值是在節(jié)點(diǎn)上除已知函數(shù)值外還給出導(dǎo)數(shù)值，這樣就有，它滿足條件：（1）；（2）（3）在每個小區(qū)間上是三次多項(xiàng)式.則.上式對于成立.誤差估計(jì)為：，其中分段三次Hermite值比分段線性插值效果明顯改善，但是這種插值要求給出節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值，所要提供的信息太多，其光滑度也不高（只有一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)），所以要改進(jìn)這種插值和克服其缺點(diǎn)下面提出三次樣條插值.2.5三次樣條插值三次樣條插值法是一種分段插值法，其基本思想是將插值區(qū)間等分，再在每個區(qū)間上求插值函數(shù).設(shè)在區(qū)間上取個節(jié)點(diǎn)，給定這些點(diǎn)的函數(shù)值.如果存在分段函數(shù)：且函數(shù)滿足條件：（1）在每個區(qū)間上是不高于3次多項(xiàng)式；（2）在區(qū)間上連續(xù)；（3）稱為三次樣條插值函數(shù).由于插值節(jié)點(diǎn)處具有二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，所以三次樣條插值法具有更好的光滑性.從上面的一一介紹中我們可以看出：Lagrange插值有著形式上對稱，在理論上十分重要的有點(diǎn)，但是計(jì)算復(fù)雜.因?yàn)槊吭黾右粋€節(jié)點(diǎn)，對前面的插值基函數(shù)值就作廢了.而Newton插值每增加一個節(jié)點(diǎn)，插值多項(xiàng)式只增加一項(xiàng)，因此便于遞推運(yùn)算，所以具有靈活增加節(jié)點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn).但是Newton插值僅對節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)作了約束，如果插值條件再增加節(jié)點(diǎn)處對導(dǎo)函數(shù)的限制的話，就要用到Hermite插值多項(xiàng)式.但一般很少用這種高次插值法，因?yàn)槠洳环€(wěn)定性的緣故，更多使用分段插值來實(shí)現(xiàn).雖然插值曲線的各個分段是銜接的，但在節(jié)點(diǎn)處不能保證整個曲線的光滑性.而三次樣條不但與被插值函數(shù)很接近，而且導(dǎo)數(shù)值也很接近，這樣逼近效果是其他插值法所難以達(dá)到的.從Lagrange插值到三次樣條插值法，層層遞進(jìn)來解決問題，使的插值函數(shù)與被插值函數(shù)越來越逼近.下面就上面的五種插值法來給出他們各自適合解決哪些類型的題目的例子，通過例子更能清楚的理解和認(rèn)識五種插值法的各自特征.3五種插值法的解題分析比較下面主要從例子來比較這五種插值法之間在運(yùn)算上的不同；例1已知插值條件如下表所示：求的二次插值多項(xiàng)式.解若用單項(xiàng)式基底來解，則可設(shè)，由插值條件，解得，，，故.若用Lagrange插值基函數(shù)，則故.若用Newton插值法，則故.整理可知三種方法得到的是同一個多項(xiàng)式.通過上面的例子的解題我們不難看出，在求解二次插值多項(xiàng)式來說Newton插值法最為簡單，而Lagrange插值法計(jì)算最為復(fù)雜，對于用單項(xiàng)式基底了來說，如果次數(shù)高的話未知數(shù)的個數(shù)也越多，求解也越復(fù)雜.所以在解這類題的話，用Newton插值法更為方便簡潔.而如果插值節(jié)點(diǎn)不僅對應(yīng)的有函數(shù)值還有導(dǎo)函數(shù)值，那么就要用到Hermite插值，例如下面的題目.例2求次數(shù)小于等于3的多項(xiàng)式，使其滿足：.解本題標(biāo)準(zhǔn)的是應(yīng)用Hermite插值問題，所以可以用公式直接來計(jì)算.記由題意可知利用兩點(diǎn)的Hermite值公式，有其中是Hermite插值基函數(shù)，即，所以.Newton插值僅對節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)作了約束，如果插值條件再增加節(jié)點(diǎn)處對導(dǎo)函數(shù)的限制的話，就要用到Hermite插值多項(xiàng)式.上面的例子就是很好的應(yīng)用.我們在看一個關(guān)于三次樣條插值的例子，看看它在解決問題時(shí)有哪些特點(diǎn).例3給定數(shù)據(jù)表如下：0.250.300.390.450.530.50000.54770.62450.67080.7280試求三次樣條插值，并滿足條件：（1）（2）解由給定數(shù)據(jù)知由有均差（1）若邊界條件，則由此得矩陣形式的三彎矩方程為解得利用三次樣條表達(dá)式將代入整得

（2）若邊界條件為，則三彎矩方程為解得.代入三次樣條表達(dá)式并整理，得由于其解得存在唯一性，求解插值函數(shù)的線性方程組的系數(shù)矩陣為三對角方程組，所以算法具有較好的計(jì)算復(fù)雜性和穩(wěn)定性以及插值函數(shù)具有一定的光滑性等優(yōu)點(diǎn).所以三次樣條插值應(yīng)用也比較廣泛.例4已知函數(shù)，在區(qū)間上的等距節(jié)點(diǎn)時(shí)的函數(shù)值，求分段線性插值函數(shù).再計(jì)算的近似值，節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值如下：0解由上面節(jié)中的分段插值公式知：，，所以分段插值函數(shù)為.與原函數(shù)值比較，我們可以發(fā)現(xiàn)分段插值函數(shù)來逼近原函數(shù)時(shí)，還是比較準(zhǔn)確的，就是用分段線性插值法逼近原函數(shù)他們的誤差很小.例5給出在處的函數(shù)值.（1）用次Lagrange插值多項(xiàng)式求在的近似值，并與準(zhǔn)確值進(jìn)行比較.(2)用次Newton插值多項(xiàng)式求在的近似值，并與準(zhǔn)確值作比較.（3）用次線性插值多項(xiàng)式求在的近似值.解（1）由上面節(jié)Lagrange插值公式可知：所以四次Lagrange插值多項(xiàng)式為.則實(shí)際值為..用Newton前插公式，先構(gòu)造如下表的查分表并用Newton前插公式（前面2.2介紹的）取，，.與實(shí)際值誤差較小.由上面節(jié)中的分段插值公式知：，，，所以這與實(shí)際值誤差就很小了.從上面的例子看出對于Lagrange插值法求解的公式很有對稱性，很容易觀察出來.但有個缺點(diǎn)就是計(jì)算太復(fù)雜，麻煩，誤差值大.對于Newton插值法而言他的形式簡單，計(jì)算方便，而且誤差比Lagrange小.線性插值多項(xiàng)式求解的誤差值最小，最精確.所以我們一般如果想求解簡單計(jì)算方便最好用Newton插值法來求解，而如果要求計(jì)算精確最好用線性插值，對于Lagrange插值我們一般只在于研究其性質(zhì)，對于應(yīng)用部是很好.下面來看插值法在實(shí)際生活中的應(yīng)用.不同的插值對于同一個問題的解決他們的方法和誤差都不同，我們來比較他們的區(qū)別.4五種插值的實(shí)際應(yīng)用例1閘閥的局部阻力系數(shù)和閘閥的關(guān)閉度有關(guān)(為管內(nèi)徑,為開度),其的函數(shù)表如下01/82/83/84/85/86/87/80.000.070.200.812.065.5217.6097.80如果將閘閥控制在時(shí),求其局部阻力系數(shù)的值解該函數(shù)表是等距節(jié)點(diǎn)排序,故應(yīng)用牛頓插值公式,挑選出=0.15附近的三個節(jié)點(diǎn)進(jìn)行二次插值,列于下表,并將其一階和二階差分經(jīng)算出列于該表的右側(cè)各列00.001/80.070.072/80.200.130.063/80.810.610.480.42若按三次插值,則應(yīng)挑選4個節(jié)點(diǎn),即再添一個的節(jié)點(diǎn),此時(shí)可在表上添一行一列(用虛線框在最后的行與列),其這樣,由三次插值所得的值為：由此可以看出,如需要再取較高次的插值時(shí),只需再添一項(xiàng)對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)及其計(jì)算,而前面的計(jì)算仍保持有效.這是Newton插值法的優(yōu)點(diǎn).例2某地區(qū)冬天的一天從上午九點(diǎn)到下午三點(diǎn)的氣溫變化如下數(shù)據(jù)：求這段時(shí)間溫度與時(shí)間的關(guān)系.解方法一用拉格朗日插值法解，x=[9:1:15];y=1./(1+x.^2);x0=[9:0.1:15];y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.^2);plot(x0,y0,'--r')holdonplot(x0,y1,'-b')legend('拉格朗日插值曲線','原曲線')Runge現(xiàn)象的產(chǎn)生原曲線lagrange插值曲線原曲線lagrange插值曲線方法二用分段插值曲線解x=[9:1:15];y=1./(1+x.^2);x0=[9:0.1:15];y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.^2);y2=interpl(x,y,x0,'spline');plot(x0,y1,'-b',x0,y0,'--r',x0,y2,'xk');legend(‘原曲線’,’拉格朗日插值曲線’,’分段插值曲線’)原曲線lagrange插值曲線分段插值曲線原曲線lagrange插值曲線分段插值曲線方法三是用三次樣條插值法解x=[9:1:15];y=1./(1+x.^2);x0=[9:0.1:15];y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.^2);y2=interpl(x,y,x0,'spline');y3=interpl(x,y,x0);plot(x0,y1,'-b',x0.y0,'--r',x0,y2,'xk'x0,y3,'-y');legend(’原曲線’,’拉格朗日插值曲線’,’三次樣條插值曲線’,’分段線性插值曲線’)原曲線lagrange插值曲線原曲線lagrange插值曲線三次樣條插值曲線分段線性插值曲線從上面三種方法可以看出拉格朗日插值法來做，圖像明顯與原函數(shù)偏差較大，而分段插值克服了高次拉格朗日插值的缺點(diǎn)