等差數(shù)列求和公式-4課件

2.3.1

等差數(shù)列的求和公式

(第一課時(shí))11.數(shù)列前n項(xiàng)和的定義

一般地，稱__________________為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，

用Sn表示，即Sn＝__________________.

Sn與通項(xiàng)an之間的關(guān)系：

a1＋a2＋a3＋…＋an

a1＋a2＋a3＋…＋an

新課講解

知，an＝?????

S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.

22.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

已知量

首項(xiàng)、末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)

首項(xiàng)、公差與項(xiàng)數(shù)

求和公式

Sn＝__________

Sn＝______________

n?a1＋an?2

na1＋n?n－1?2d

求和公式變形：

2)1(1nnaaanaS???中中，?????????AdBAaBnAnSn2)2(123等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征

(2)當(dāng)A＝0，B＝0時(shí)，Sn＝0是關(guān)于n的常數(shù)函數(shù)(此時(shí)a1＝0，

d＝0)；

當(dāng)A＝0，B≠0時(shí)，Sn＝Bn是關(guān)于n的正比例函數(shù)(此時(shí)a1≠0，

d＝0)；

當(dāng)A≠0，B≠0時(shí)，Sn＝An2＋Bn是關(guān)于n的二次函數(shù)(此時(shí)d≠0)．

(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝na1＋n?n－1?2d通過變形，可得Sn＝d2n2＋??????a1－d2n的形式．我們可以令A(yù)＝d2，B＝a1－d2，則

Sn＝na1＋n?n－1?2d可改寫為Sn＝An2＋Bn.4題型一

與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量的計(jì)算

(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.

(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.

(1)a1＝56，an＝－32，Sn＝－5，求n和d.【例1】

在等差數(shù)列{an}中．

例題講解

5解

(1)由題意，得Sn＝n?a1＋an?2＝n??????56－322＝－5，

解得n＝15.又a15＝56＋(15－1)d＝－32，

∴d＝－16.(2)由已知，得S8＝8?a1＋a8?2＝8?4＋a8?2，解得a8＝39，

又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.6(3)由?????

an＝a1＋?n－1?d，Sn＝na1＋n?n－1?2d，

得?????

a1＋2?n－1?＝11，na1＋n?n－1?2×2＝35，解方程組得?????

n＝5，a1＝3或?????

n＝7，a1＝－1.

71.在等差數(shù)列{an}中；

(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；

(2)已知a3＋a15＝40，求S17.

解

(1)?????

S5＝5a1＋5×42d＝5，a6＝a1＋5d＝10，

解得a1＝－5，d＝3.∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16.S10＝10a1＋10×92d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.(2)S17＝17×?a1＋a17?2＝17×?a3＋a15?2＝17×402＝340.跟蹤練習(xí)

8題型二

利用Sn與an的關(guān)系求an

解

(1)①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3＋2＝5.②當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝3＋2n－1，

又Sn＝3＋2n，

∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.

【例2】

(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3＋2n，求an.

(2)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，且滿足Sn＝?an＋1?24(n∈N*，求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.9化簡(jiǎn)得(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0，

因?yàn)閍n＞0，∴an＋1－an＝2，

又4S1＝4a1＝(a1＋1)2得a1＝1，

故{an}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以an＝2n－1.

又當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝21－1＝1≠5，

∴an＝?????

5

?n＝1?，2n－1

?n≥2?.

(2)法一

(消Sn)；由Sn＝?an＋1?24(n∈N*)，得4an＋1＝4(Sn＋1－Sn)＝(an＋1＋1)2－(an＋1)2

10法二

(消an)：由上可知

2Sn＝an＋1，∴2Sn＝Sn－Sn－1＋1(n≥2)，

化簡(jiǎn)可得(Sn－1)2＝Sn－1，

(Sn＋Sn－1－1)(Sn－Sn－1－1)＝0，

又S1＝1，{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，

所以Sn－Sn－1＝1.所以Sn＝n，從而Sn＝n2，

所以an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，a1＝1也適合，故an＝2n－1.11

(2)已知一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn＝n2＋n－1，求它的通項(xiàng)公式，問它是等差數(shù)列嗎？

解

(1)a1＝S1＝5，

當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1，

當(dāng)n＝1時(shí)也適合，∴an＝4n＋1.

1.(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2＋3n，求an.跟蹤練習(xí)

12(2)當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n；

當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1，∴an＝?????

1，n＝1，2n，n≥2.

∵a2－a1＝4－1＝3≠2，

∴數(shù)列{an}中每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差不是同一個(gè)常數(shù)，

∴{an}不是等差數(shù)列．

132．已知數(shù)列{an}中，a1＝2，nan+1＝Sn+n(n+1)求證：{an}是等差數(shù)列.

4．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，)2(,1222???nSSannn，

（1）求an

（2）設(shè)存在正數(shù)k，使12)1)....(1)(1(21?????nkSSSn對(duì)一切??Nn都成立，求k的最大值。

3．已知數(shù)列{an}中，a1＝2，nnnSaSaSaS???????24...24242211

,求an.

14題型三

求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和

【例3】

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝－32n2＋2052n，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn.[規(guī)范解答]a1＝S1＝－32×12＋2052×1＝101.當(dāng)n≥2時(shí)，

an＝Sn－Sn－1

＝??????－32n2＋2052n－??????－32?n－1?2＋2052?n－1?

15＝－3n＋104.∵n＝1也適合上式，

∴數(shù)列通項(xiàng)公式為an＝－3n＋104(n∈N*)．

由an＝－3n＋104≥0，得n≤34.7.即當(dāng)n≤34時(shí)，an>0；當(dāng)n≥35時(shí)，an<0.

(1)當(dāng)n≤34時(shí)，

Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an

(2)當(dāng)n≥35時(shí)，

Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)

＝Sn＝－32n2＋2052n；

(6分)16＝2S34－Sn

(8＝2??????－32×342＋2052×34－??????－32n2＋2052n

＝32n2－2052n＋3502.

(1故Tn＝?????

－32n2＋2052n，?n≤34且n∈N*?32n2－2052n＋3502?n≥35且n∈N*?.

(1171.已知數(shù)列{an}中，Sn＝－n2＋10n，數(shù)列{bn}的每一項(xiàng)都有bn＝|an|，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)之和Tn的表達(dá)式．

解

由Sn＝－n2＋10n得an＝Sn－Sn－1＝11－2n，(n≥2，n∈N*)．

驗(yàn)證a1＝9也符合上式．∴an＝11－2n，n∈N*

∴當(dāng)n≤5時(shí)，an>0，此時(shí)Tn＝Sn＝－n2＋10n；

當(dāng)n>5時(shí)，an<0，此時(shí)Tn＝2S5－Sn＝n2－10n＋50.

即Tn＝?????

－n2＋10n?n≤5?，n2－10n＋50?n>5?.

跟蹤練習(xí)

18方法技巧

等差數(shù)列中創(chuàng)新型問題的求解策略

關(guān)于等差數(shù)列的創(chuàng)新型試題，常以圖表、數(shù)陣、新定義等形式出現(xiàn)．

【示例】

下表給出一個(gè)“等差數(shù)陣”：

4

7

(

)

(

)

(

)

…

a1j

…

7

12

(

)

(

)

(

)

…

a2j

…

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

…

a3j

…

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

…

a4j

…

…

…

…

…

…

…

…

…

ai1

ai2

ai3

ai4

ai5

…

aij

…

…

…

…

…

…

…

…

…

19其中每行、每列都是等差數(shù)列，aij表示位于第i行第j列的數(shù)．

(1)寫出a45的值；

(2)寫出aij的計(jì)算公式．

解

(1)通過觀察“等差數(shù)陣”發(fā)現(xiàn)：第一行的首項(xiàng)為4，公差為3；第二行首項(xiàng)為7，公差為5.歸納總結(jié)出：第一列(每行的首項(xiàng))是以4為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，即3i＋1，各行的公差是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即2i＋1.所以a45在第4行，首項(xiàng)應(yīng)為13，公差為9，進(jìn)而得出a45＝49.20(2)該“等差數(shù)陣”的第一行是首項(xiàng)為4，公差為3的等差數(shù)列：a1j＝4＋3(j－1)；

第二行是首項(xiàng)為7，公差為5的等差數(shù)列：

a2j＝7＋5(j－1)；

……

第i行是首項(xiàng)為4＋3(i－1)，公差為2i＋1的等差數(shù)列，因此，aij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)＝2ij＋i＋j＝i(2j＋1)＋j.

212.3.1

等差數(shù)列的求和公式

(第二課時(shí))221.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

(1)Sm，S2m，S3m分別為{an}的前m項(xiàng)，前2m項(xiàng)，前3m項(xiàng)的和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差數(shù)列，公差為____.

(2)

(3)設(shè)兩個(gè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，則

anbn＝S2n－1T2n－1.

m2d

新課講解

(3)設(shè)兩個(gè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，則

anbn＝S2n－1T2n－1.

23(3)若S奇表示奇數(shù)項(xiàng)的和，S偶表示偶數(shù)項(xiàng)的和，公差為d，

①若

，則S偶－

S奇

=

②若

，

則

kn2?kd12??kn??????中偶中奇kaSakS)1(kkSS1??偶奇24思考：如果數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝An2＋Bn，其中A，B為常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列是否一定為等差數(shù)列？

提示：由Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an①

得Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1(n≥2)②

由①－②得an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∵S1＝a1，

又Sn＝An2＋Bn，

∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2An－A＋B.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝A＋B符合上式，

∴an＝2An－A＋B(n∈N*)∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為A＋B，公差為2A.

∴an＝?????

S1?n＝1?，Sn－Sn－1?n≥2?，

252.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值

(1)在等差數(shù)列{an}中

當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，Sn有_____值，使Sn取到最值的n可由不等

式組

確定；

當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，Sn有_____值，使Sn取到最值的n可由不等

式組

確定．

(2)因?yàn)镾n＝d2n2＋??????a1－d2n，若d≠0，則從二次函數(shù)的角度看：當(dāng)d>0時(shí)，Sn有_____值；當(dāng)d<0時(shí)，Sn有_____值；且n取最接近對(duì)稱軸的自然數(shù)時(shí)，Sn取到最值．

最大

最小

最小

最大

?????

an≥0an＋1≤0

?????

an≤0an＋1≥0

26題型一

等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用

(2)一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)之和為100，前100項(xiàng)之和為10，求前110項(xiàng)之和．

(3)兩個(gè)等差數(shù)列{ann}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,

1）若,求

；2）若

，求

【例1】(1)設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，已知前6項(xiàng)和36，Sn＝324，最后6項(xiàng)的和為180(n＞6)，求數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n.例題講解

3225???nnbann77TS3225???nnTSnn77ba27解

(1)由題意可知a1＋a2＋…＋a6＝36①

an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180②

①＋②得

(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216.∴a1＋an＝36.又Sn＝n?a1＋an?2＝324，

∴18n＝324.∴n＝18.28(2)法一

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則Sn＝na1＋n?n－1?2d.由已知得?????

10a1＋10×92d＝100100a1＋100×992d＝10

①②

①×10－②，整理得d＝－1150，

代入①，得a1＝1099100.29∴S110＝110a1＋110×1092d

＝110×1099100＋110×1092×??????－1150

＝110????????1099－109×11100＝－110.故此數(shù)列的前110項(xiàng)之和為－110.30法二

數(shù)列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100為等差數(shù)列，設(shè)公差為d′，則

10S10＋10×92×d′＝S100＝10，

又∵S10＝100，代入上式得d′＝－22，

∴S110－S100＝S10＋(11－1)×d′＝100＋10×(－22)＝

－120，

∴S110＝－120＋S100＝－110.31法三

設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an2＋bn.∵S10＝100，S100＝10，

∴?????

102a＋10b＝100，1002a＋100b＝10，∴?????

a＝－11100，b＝11110，

∴Sn＝－11100n2＋11110n，

∴S110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.規(guī)律：等差數(shù)列中，Sm=n,Sn=m，則Sm+n=－(m+n)321.等差數(shù)列中，

(1)am=n，an=m，求證：am+n=0(2)Sm=Sn，求證：Sm+n=0(3)Sm=n,Sn=m，求證：Sm+n=－(m+n)跟蹤練習(xí)

333.等差數(shù)列中，S30=90，a3+a6+a9+…+a30=36

(1)求d(2)求a1+a4+a7+…+a282.等差數(shù)列中，S3=45，Sn=360,Sn-3=225,求n

34【例2】一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和之比為32∶27，求公差d.解

法一

設(shè)此數(shù)列首項(xiàng)為a1，公差為d，

∵S偶－S奇＝6d，∴d＝5.

則?????????

12a1＋12×12×11d＝3546?a1＋d?＋12×6×5×2d6a1＋12×6×5×2d＝3227，

解得d＝5.法二

?????

S奇＋S偶＝354S偶S奇＝3227??????

S偶＝192，S奇＝162.

?????????

12a1＋12×12×11d＝3546?a1＋d?＋12×6×5×2d6a1＋12×6×5×2d＝3227，

解得d＝5.法二

?????

S奇＋S偶＝354S偶S奇＝3227??????

S偶＝192，S奇＝162.

35跟蹤練習(xí)

1.一個(gè)等差數(shù)列有奇數(shù)項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)和為132，

偶數(shù)項(xiàng)和為120，求項(xiàng)數(shù)。

36題型二

等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題

【例2】

已知數(shù)列{an}，an∈N*，Sn是其前n項(xiàng)和，Sn＝18(an

＋2)2.(1)求證{an}是等差數(shù)列；

(2)設(shè)bn＝12an－30，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和的最小值．

37解

(1)證明

當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝18(a1＋2)2，解得a1＝2.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝18(an＋2)2－18(an－1＋2)2，即8an＝(an＋2)2－(an－1＋2)2，

整理得，(an－2)2－(an－1＋2)2＝0，即(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0.∵an∈N*，∴an＋an－1＞0，∴an－an－1－4＝0，即an－an－1＝4(n≥2)．

故{an}是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列．

38(2)解

設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為Tn，∵bn＝12an－30，且由(1)知an＝2＋(n－1)×4＝4n－2，

∴bn＝12(4n－2)－30＝2n－31，故數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增的等差數(shù)列．

令2n－31＝0，得n＝1512，∵n∈N*，∴當(dāng)n≤15時(shí)，bn＜0；

當(dāng)n≥16時(shí)，bn＞0，即b1＜b2＜…＜b15＜0＜b16＜b17＜…，

當(dāng)n＝15時(shí)，Tn取得最小值，最小值為T15＝－29－12×15＝－225.391.已知等差數(shù)列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)當(dāng)n為何值時(shí)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和取得最大值．

解

(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，

得a1＋3d＋a1＋6d＝0，

解得d＝－2，

∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.(2)法一

a1＝9，d＝－2，

Sn＝9n＋n?n－1?2·(－2)跟蹤練習(xí)

40＝－n2＋10n

＝－(n－5)2＋25∴當(dāng)n＝5時(shí)，Sn取得最大值．

法二

由(1)知a1＝9，d＝－2<0，

∴{an}是遞減數(shù)列．

∵n∈N*，∴n≤5時(shí)，an>0，n≥6時(shí)，an<0.∴S5最大．

令an≥0，則11－2n≥0，解得n≤112.412.等差數(shù)列中，

(1)求Sn最大值；

(2)求Sn最大值；

(3)求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|

,201?a,4??d,3??d,4??d42

已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求an及Sn.

解(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

因?yàn)閍3＝7，a5＋a7＝26，所以有

題型三

裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和

【例3】

(2)令bn＝1an2－1(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.?????

a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.43所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1；

Sn＝3n＋n?n－1?2×2＝n2＋2n.

(2)由(1)知an＝2n＋1，所以

bn＝1an2－1＝1?2n＋1?2－1＝14·1n?n＋1?＝14????????1n－1n＋1

所以Tn＝14????????1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1

＝14????????1－1n＋1＝n4?n＋1?.

即數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝n4?n＋1?.

441.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，

a3＝6，S3＝12.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

解

(1)∵?????

a3＝a1＋2d＝6，S3＝3a1＋3d＝12，∴a1＝2，d＝2，

∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.(2)由(1)知Sn＝2n＋n?n－1?2×2＝n(n＋1)．

∴1S1＋1S2＋…＋1Sn＝11×2＋12×3＋…＋1n?n＋1?＝??????1－12＋??????12－13＋…＋????????1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.(2)求1S1＋1S2＋…＋1Sn.跟蹤練習(xí)

45(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

題型四

等差數(shù)列的綜合應(yīng)用

【例4】

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)??????n，Snn(n∈N*)均在函

數(shù)y＝3x－2的圖象上．

(2)設(shè)bn＝3anan＋1，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得Tn＜m20對(duì)所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m.46[規(guī)范解答](1)依題意得，Snn＝3n－2，即Sn＝3n2－2n.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；

當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3×12－2×1＝6×1－5適合，

所以an＝6n－5(n∈N*)．(5分)(2)由(1)得bn＝3anan＋1＝3?6n－5?[6?n＋1?－5]

＝12????????16n－5－16n＋1，(7分)47故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝12???

??????1－17＋??????17－113＋…＋

????????????16n－5－16n＋1＝12????????1－16n＋1.(10分)因此，使得12????????1－16n＋1＜m20(n∈N*)成立的m必須滿足12≤m20，即m≥10，故滿足要求的最小整數(shù)m為10.(12分)48解

(1)∵－an＝2SnSn－1，

∴－Sn＋Sn－1＝2SnSn－1(n≥2)，又Sn≠0(n＝1,2,3，…)，

∴1Sn－1Sn－1＝2.又1S1＝1a1＝2，

∴??????1Sn是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．

1.

已知數(shù)列

{

a

n

}

的前

n

項(xiàng)和為

S

n

(

S

n

≠

0)

，且滿足

a

n

＋

2

S

n

S

n

－

1

＝

0(

n

≥

2)

，

a