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文檔簡介
2023-2024學年安徽省六安二中高考仿真卷數(shù)學試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的結果為()A. B. C. D.2.已知是第二象限的角,,則()A. B. C. D.3.已知雙曲線:的焦距為,焦點到雙曲線的漸近線的距離為,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.4.《九章算術》是我國古代數(shù)學名著,書中有如下問題:“今有勾六步,股八步,問勾中容圓,徑幾何?”其意思為:“已知直角三角形兩直角邊長分別為6步和8步,問其內(nèi)切圓的直徑為多少步?”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機取一點,則此點取自內(nèi)切圓的概率是()A. B. C. D.5.為得到函數(shù)的圖像,只需將函數(shù)的圖像()A.向右平移個長度單位 B.向右平移個長度單位C.向左平移個長度單位 D.向左平移個長度單位6.如圖,在三棱錐中,平面,,,,,分別是棱,,的中點,則異面直線與所成角的余弦值為A.0 B. C. D.17.已知函數(shù),則()A.1 B.2 C.3 D.48.已知是雙曲線的兩個焦點,過點且垂直于軸的直線與相交于兩點,若,則的內(nèi)切圓半徑為()A. B. C. D.9.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.10.由實數(shù)組成的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則“a1>0”是“S9>S8”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.已知橢圓的短軸長為2,焦距為分別是橢圓的左、右焦點,若點為上的任意一點,則的取值范圍為()A. B. C. D.12.定義,已知函數(shù),,則函數(shù)的最小值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合,,則_____________.14.已知復數(shù),且滿足(其中為虛數(shù)單位),則____.15.在邊長為2的正三角形中,,則的取值范圍為______.16.已知兩點,,若直線上存在點滿足,則實數(shù)滿足的取值范圍是__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在以為頂點的五面體中,底面為菱形,,,,二面角為直二面角.(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)求二面角的余弦值.18.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)函數(shù),若對于,使得成立,求的取值范圍.19.(12分)在邊長為的正方形,分別為的中點,分別為的中點,現(xiàn)沿折疊,使三點重合,構成一個三棱錐.(1)判別與平面的位置關系,并給出證明;(2)求多面體的體積.20.(12分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)).以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;(2)若點是直線的一點,過點作曲線的切線,切點為,求的最小值.21.(12分)某景點上山共有級臺階,寓意長長久久.甲上臺階時,可以一步走一個臺階,也可以一步走兩個臺階,若甲每步上一個臺階的概率為,每步上兩個臺階的概率為.為了簡便描述問題,我們約定,甲從級臺階開始向上走,一步走一個臺階記分,一步走兩個臺階記分,記甲登上第個臺階的概率為,其中,且.(1)若甲走步時所得分數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望;(2)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;(3)求甲在登山過程中,恰好登上第級臺階的概率.22.(10分)某大學開學期間,該大學附近一家快餐店招聘外賣騎手,該快餐店提供了兩種日工資結算方案:方案規(guī)定每日底薪100元,外賣業(yè)務每完成一單提成2元;方案規(guī)定每日底薪150元,外賣業(yè)務的前54單沒有提成,從第55單開始,每完成一單提成5元.該快餐店記錄了每天騎手的人均業(yè)務量,現(xiàn)隨機抽取100天的數(shù)據(jù),將樣本數(shù)據(jù)分為七組,整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)隨機選取一天,估計這一天該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務量不少于65單的概率;(2)從以往統(tǒng)計數(shù)據(jù)看,新聘騎手選擇日工資方案的概率為,選擇方案的概率為.若甲、乙、丙、丁四名騎手分別到該快餐店應聘,四人選擇日工資方案相互獨立,求至少有兩名騎手選擇方案的概率,(3)若僅從人日均收入的角度考慮,請你為新聘騎手做出日工資方案的選擇,并說明理由.(同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】循環(huán)依次為直至結束循環(huán),輸出,選D.點睛:算法與流程圖的考查,側重于對流程圖循環(huán)結構的考查.先明晰算法及流程圖的相關概念,包括選擇結構、循環(huán)結構、偽代碼,其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件,更要通過循環(huán)規(guī)律,明確流程圖研究的數(shù)學問題,是求和還是求項.2、D【解析】
利用誘導公式和同角三角函數(shù)的基本關系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【詳解】因為,由誘導公式可得,,即,因為,所以,由二倍角的正弦公式可得,,所以.故選:D【點睛】本題考查誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系和二倍角的正弦公式;考查運算求解能力和知識的綜合運用能力;屬于中檔題.3、A【解析】
利用雙曲線:的焦點到漸近線的距離為,求出,的關系式,然后求解雙曲線的漸近線方程.【詳解】雙曲線:的焦點到漸近線的距離為,可得:,可得,,則的漸近線方程為.故選A.【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質的應用,構建出的關系是解題的關鍵,考查計算能力,屬于中檔題.4、C【解析】
利用直角三角形三邊與內(nèi)切圓半徑的關系求出半徑,再分別求出三角形和內(nèi)切圓的面積,根據(jù)幾何概型的概率計算公式,即可求解.【詳解】由題意,直角三角形的斜邊長為,利用等面積法,可得其內(nèi)切圓的半徑為,所以向次三角形內(nèi)投擲豆子,則落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率為.故選:C.【點睛】本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計算問題,其中解答中熟練應用直角三角形的性質,求得其內(nèi)切圓的半徑是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力.5、D【解析】,所以要的函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象向左平移個長度單位得到,故選D6、B【解析】
根據(jù)題意可得平面,,則即異面直線與所成的角,連接CG,在中,,易得,所以,所以,故選B.7、C【解析】
結合分段函數(shù)的解析式,先求出,進而可求出.【詳解】由題意可得,則.故選:C.【點睛】本題考查了求函數(shù)的值,考查了分段函數(shù)的性質,考查運算求解能力,屬于基礎題.8、B【解析】
首先由求得雙曲線的方程,進而求得三角形的面積,再由三角形的面積等于周長乘以內(nèi)切圓的半徑即可求解.【詳解】由題意將代入雙曲線的方程,得則,由,得的周長為,設的內(nèi)切圓的半徑為,則,故選:B【點睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質,考查三角形的內(nèi)心的概念,考查了轉化的思想,屬于中檔題.9、C【解析】
根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除AB選項;結合特殊值,即可排除D選項.【詳解】∵,,∴函數(shù)為奇函數(shù),∴排除選項A,B;又∵當時,,故選:C.【點睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,注意奇偶性及特殊值的用法,屬于基礎題.10、C【解析】
根據(jù)等比數(shù)列的性質以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】解:若{an}是等比數(shù)列,則,
若,則,即成立,
若成立,則,即,
故“”是“”的充要條件,
故選:C.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,利用等比數(shù)列的通項公式是解決本題的關鍵.11、D【解析】
先求出橢圓方程,再利用橢圓的定義得到,利用二次函數(shù)的性質可求,從而可得的取值范圍.【詳解】由題設有,故,故橢圓,因為點為上的任意一點,故.又,因為,故,所以.故選:D.【點睛】本題考查橢圓的幾何性質,一般地,如果橢圓的左、右焦點分別是,點為上的任意一點,則有,我們常用這個性質來考慮與焦點三角形有關的問題,本題屬于基礎題.12、A【解析】
根據(jù)分段函數(shù)的定義得,,則,再根據(jù)基本不等式構造出相應的所需的形式,可求得函數(shù)的最小值.【詳解】依題意得,,則,(當且僅當,即時“”成立.此時,,,的最小值為,故選:A.【點睛】本題考查求分段函數(shù)的最值,關鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出,再由基本不等式求得最值,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由集合和集合求出交集即可.【詳解】解:集合,,.故答案為:.【點睛】本題考查了交集及其運算,屬于基礎題.14、【解析】
計算出,兩個復數(shù)相等,實部與實部相等,虛部與虛部相等,列方程組求解.【詳解】,所以,所以.故答案為:-8【點睛】此題考查復數(shù)的基本運算和概念辨析,需要熟練掌握復數(shù)的運算法則.15、【解析】
建立直角坐標系,依題意可求得,而,,,故可得,且,由此構造函數(shù),,利用二次函數(shù)的性質即可求得取值范圍.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系,則,,,設,,,,根據(jù),即,,,則,,即,,,則,,所以,,,,,,且,故,設,,易知二次函數(shù)的對稱軸為,故函數(shù)在,上的最大值為,最小值為,故的取值范圍為.故答案為:.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標運算,考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力,求解時注意通過設元、消元,將問題轉化為元二次函數(shù)的值域問題.16、【解析】
問題轉化為求直線與圓有公共點時,的取值范圍,利用數(shù)形結合思想能求出結果.【詳解】解:直線,點,,直線上存在點滿足,的軌跡方程是.如圖,直線與圓有公共點,圓心到直線的距離:,解得.實數(shù)的取值范圍為.故答案為:.【點睛】本題主要考查直線方程、圓、點到直線的距離公式等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)連接交于點,取中點,連結,證明平面得到答案.(Ⅱ)分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系,平面的法向量為,平面的法向量為,計算夾角得到答案.【詳解】(Ⅰ)連接交于點,取中點,連結因為為菱形,所以.因為,所以.因為二面角為直二面角,所以平面平面,且平面平面,所以平面所以因為所以是平行四邊形,所以.所以,所以,所以平面,又平面,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知兩兩垂直,分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.設設平面的法向量為,由,取.平面的法向量為.所以二面角余弦值為.【點睛】本題考查了線線垂直,二面角,意在考查學生的計算能力和空間想象能力.18、(1)當時,在上增;當時,在上減,在上增(2)【解析】
(1)求出導函數(shù),分類討論確定的正負,確定單調(diào)區(qū)間;(2)題意說明,利用導數(shù)求出的最小值,由(1)可得的最小值,從而得出結論.【詳解】解:(1)定義域為當時,即在上增;當時,即得得綜上所述,當時,在上增;當時,在上減,在上增(2)由題在上增由(1)當時,在上增,所以此時無最小值;當時,在上減,在上增,即,解得綜上【點睛】本題考查用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查不等式恒成立問題,解題關鍵是掌握轉化與化歸思想,本題恒成立問題轉化為,求出兩函數(shù)的最小值后可得結論.19、(1)平行,證明見解析;(2).【解析】
(1)由題意及圖形的翻折規(guī)律可知應是的一條中位線,利用線面平行的判定定理即可求證;(2)利用條件及線面垂直的判定定理可知,,則平面,在利用錐體的體積公式即可.【詳解】(1)證明:因翻折后、、重合,∴應是的一條中位線,∴,∵平面,平面,∴平面;(2)解:∵,,∴面且,,,又,.【點睛】本題主要考查線面平行的判定定理,線面垂直的判定定理及錐體的體積公式,屬于基礎題.20、(1),;(2)見解析【解析】
(1)消去t,得直線的普通方程,利用極坐標與普通方程互化公式得曲線的直角坐標方程;(2)判斷與圓相離,連接,在中,,即可求解【詳解】(1)將的參數(shù)方程(為參數(shù))消去參數(shù),得.因為,,所以曲線的直角坐標方程為.(2)由(1)知曲線是以為圓心,3為半徑的圓,設圓心為,則圓心到直線的距離,所以與圓相離,且.連接,在中,,所以,,即的最小值為.【點睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程,極坐標與普通方程互化,直線與圓的位置關系,是中檔題21、見解析【解析】
(1)由題可得的所有可能取值為,,,,且,,,,所以的分布列為所以的數(shù)學期望.(2)由題可得,所以,又,,所以,所以是以為首項,為公比的等比數(shù)列.(3)由(2)可得.22、(1)0.4;(2);(3)應選擇方案,理由見解析【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,可求得該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務量不少于65單的頻率,即可估算其概率;(2)根據(jù)獨立重復試驗概率求法,先求得四人中有0人、1人選擇方案的概率,再由對立事件概率性質即可求得至少有兩名騎手選擇方案的概率;(3)設騎手每日完成外賣業(yè)務量為件,分別表示出方案的日工資和方案的日工資函數(shù)解析式,即可計算兩種計算方式下的數(shù)學期望,并根據(jù)數(shù)學期望作出選擇.【詳解】(1)設事件為“隨機選取一天,這一天該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務量不少于65單”.根據(jù)頻率分布直方圖可知快餐店的人均日外賣業(yè)務量不少于65單的頻率分別為,∵,∴估計為0.4.(2)設事件′為“甲、乙、丙
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