2023-2024學年福建省莆田市仙游縣楓亭中學高考仿真卷數(shù)學試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2023-2024學年福建省莆田市仙游縣楓亭中學高考仿真卷數(shù)學試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯在公元前六世紀發(fā)現(xiàn)了第一、二個“完全數(shù)”6和28,進一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個“完全數(shù)”分別為496,8128,33550336,現(xiàn)將這五個“完全數(shù)”隨機分為兩組,一組2個,另一組3個,則6和28恰好在同一組的概率為A. B. C. D.2.如圖所示,已知某幾何體的三視圖及其尺寸(單位:),則該幾何體的表面積為()A. B.C. D.3.已知,滿足約束條件,則的最大值為A. B. C. D.4.已知點P在橢圓τ:=1(a>b>0)上,點P在第一象限,點P關于原點O的對稱點為A,點P關于x軸的對稱點為Q,設,直線AD與橢圓τ的另一個交點為B,若PA⊥PB,則橢圓τ的離心率e=()A. B. C. D.5.已知函數(shù)的定義域為,且,當時,.若,則函數(shù)在上的最大值為()A.4 B.6 C.3 D.86.已知函數(shù),若對于任意的,函數(shù)在內都有兩個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.7.已知函數(shù),若關于的方程恰好有3個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.8.數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線,例如:四葉草曲線就是其中一種,其方程為.給出下列四個結論:①曲線有四條對稱軸;②曲線上的點到原點的最大距離為;③曲線第一象限上任意一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積最大值為;④四葉草面積小于.其中,所有正確結論的序號是()A.①② B.①③ C.①③④ D.①②④9.對于任意,函數(shù)滿足,且當時,函數(shù).若,則大小關系是()A. B. C. D.10.已知定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足(且),若,則函數(shù)的單調遞增區(qū)間為()A. B. C. D.11.已知函數(shù),若對任意,都有成立,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.為了貫徹落實黨中央精準扶貧決策,某市將其低收入家庭的基本情況經過統(tǒng)計繪制如圖,其中各項統(tǒng)計不重復.若該市老年低收入家庭共有900戶,則下列說法錯誤的是()A.該市總有15000戶低收入家庭B.在該市從業(yè)人員中,低收入家庭共有1800戶C.在該市無業(yè)人員中,低收入家庭有4350戶D.在該市大于18歲在讀學生中,低收入家庭有800戶二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標系xOy中,A,B為x軸正半軸上的兩個動點,P(異于原點O)為y軸上的一個定點.若以AB為直徑的圓與圓x2+(y-2)2=1相外切,且∠APB的大小恒為定值,則線段OP的長為_____.14.已知函數(shù)函數(shù),其中,若函數(shù)恰有4個零點,則的取值范圍是__________.15.學校藝術節(jié)對同一類的,,,四件參賽作品,只評一件一等獎,在評獎揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預測如下:甲說:“或作品獲得一等獎”;乙說:“作品獲得一等獎”;丙說:“,兩項作品未獲得一等獎”;丁說:“作品獲得一等獎”.若這四位同學中有且只有兩位說的話是對的,則獲得一等獎的作品是______.16.已知直角坐標系中起點為坐標原點的向量滿足,且,,,存在,對于任意的實數(shù),不等式,則實數(shù)的取值范圍是______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為,且,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設,求數(shù)列的前項和.18.(12分)如圖,四邊形是邊長為3的菱形,平面.(1)求證:平面;(2)若與平面所成角為,求二面角的正弦值.19.(12分)某早餐店對一款新口味的酸奶進行了一段時間試銷,定價為元/瓶.酸奶在試銷售期間足量供應,每天的銷售數(shù)據(jù)按照,,,分組,得到如下頻率分布直方圖,以不同銷量的頻率估計概率.從試銷售期間任選三天,求其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶的概率;試銷結束后,這款酸奶正式上市,廠家只提供整箱批發(fā):大箱每箱瓶,批發(fā)成本元;小箱每箱瓶,批發(fā)成本元.由于酸奶保質期短,當天未賣出的只能作廢.該早餐店以試銷售期間的銷量作為參考,決定每天僅批發(fā)一箱(計算時每個分組取中間值作為代表,比如銷量為時看作銷量為瓶).①設早餐店批發(fā)一大箱時,當天這款酸奶的利潤為隨機變量,批發(fā)一小箱時,當天這款酸奶的利潤為隨機變量,求和的分布列和數(shù)學期望;②以利潤作為決策依據(jù),該早餐店應每天批發(fā)一大箱還是一小箱?注:銷售額=銷量×定價;利潤=銷售額-批發(fā)成本.20.(12分)在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為.(Ⅰ)求直線的直角坐標方程與曲線的普通方程;(Ⅱ)已知點設直線與曲線相交于兩點,求的值.21.(12分)如圖,在直三棱柱中,分別是中點,且,.求證:平面;求點到平面的距離.22.(10分)已知數(shù)列的前項和為,且滿足().(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(),數(shù)列的前項和.若對恒成立,求實數(shù),的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

推導出基本事件總數(shù),6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù),由此能求出6和28恰好在同一組的概率.【詳解】解:將五個“完全數(shù)”6,28,496,8128,33550336,隨機分為兩組,一組2個,另一組3個,基本事件總數(shù),6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù),∴6和28恰好在同一組的概率.故選:B.【點睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、排列組合等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.2、C【解析】

由三視圖知,該幾何體是一個圓錐,其母線長是5,底面直徑是6,據(jù)此可計算出答案.【詳解】由三視圖知,該幾何體是一個圓錐,其母線長是5,底面直徑是6,該幾何體的表面積.故選:C【點睛】本題主要考查了三視圖的知識,幾何體的表面積的計算.由三視圖正確恢復幾何體是解題的關鍵.3、D【解析】

作出不等式組對應的平面區(qū)域,利用目標函數(shù)的幾何意義,利用數(shù)形結合即可得到結論.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示,等價于,作直線,向上平移,易知當直線經過點時最大,所以,故選D.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用,利用目標函數(shù)的幾何意義,結合數(shù)形結合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法.4、C【解析】

設,則,,,設,根據(jù)化簡得到,得到答案.【詳解】設,則,,,則,設,則,兩式相減得到:,,,即,,,故,即,故,故.故選:.【點睛】本題考查了橢圓的離心率,意在考查學生的計算能力和轉化能力.5、A【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關系及指數(shù)冪運算,可得;利用定義可證明函數(shù)的單調性,由賦值法即可求得函數(shù)在上的最大值.【詳解】函數(shù)的定義域為,且,則;任取,且,則,故,令,,則,即,故函數(shù)在上單調遞增,故,令,,故,故函數(shù)在上的最大值為4.故選:A.【點睛】本題考查了指數(shù)冪的運算及化簡,利用定義證明抽象函數(shù)的單調性,賦值法在抽象函數(shù)求值中的應用,屬于中檔題.6、D【解析】

將原題等價轉化為方程在內都有兩個不同的根,先求導,可判斷時,,是增函數(shù);當時,,是減函數(shù).因此,再令,求導得,結合韋達定理可知,要滿足題意,只能是存在零點,使得在有解,通過導數(shù)可判斷當時,在上是增函數(shù);當時,在上是減函數(shù);則應滿足,再結合,構造函數(shù),求導即可求解;【詳解】函數(shù)在內都有兩個不同的零點,等價于方程在內都有兩個不同的根.,所以當時,,是增函數(shù);當時,,是減函數(shù).因此.設,,若在無解,則在上是單調函數(shù),不合題意;所以在有解,且易知只能有一個解.設其解為,當時,在上是增函數(shù);當時,在上是減函數(shù).因為,方程在內有兩個不同的根,所以,且.由,即,解得.由,即,所以.因為,所以,代入,得.設,,所以在上是增函數(shù),而,由可得,得.由在上是增函數(shù),得.綜上所述,故選:D.【點睛】本題考查由函數(shù)零點個數(shù)求解參數(shù)取值范圍問題,構造函數(shù)法,導數(shù)法研究函數(shù)增減性與最值關系,轉化與化歸能力,屬于難題7、D【解析】

討論,,三種情況,求導得到單調區(qū)間,畫出函數(shù)圖像,根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當時,,故,函數(shù)在上單調遞增,在上單調遞減,且;當時,;當時,,,函數(shù)單調遞減;如圖所示畫出函數(shù)圖像,則,故.故選:.【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的零點問題,意在考查學生的計算能力和應用能力.8、C【解析】

①利用之間的代換判斷出對稱軸的條數(shù);②利用基本不等式求解出到原點的距離最大值;③將面積轉化為的關系式,然后根據(jù)基本不等式求解出最大值;④根據(jù)滿足的不等式判斷出四葉草與對應圓的關系,從而判斷出面積是否小于.【詳解】①:當變?yōu)闀r,不變,所以四葉草圖象關于軸對稱;當變?yōu)闀r,不變,所以四葉草圖象關于軸對稱;當變?yōu)闀r,不變,所以四葉草圖象關于軸對稱;當變?yōu)闀r,不變,所以四葉草圖象關于軸對稱;綜上可知:有四條對稱軸,故正確;②:因為,所以,所以,所以,取等號時,所以最大距離為,故錯誤;③:設任意一點,所以圍成的矩形面積為,因為,所以,所以,取等號時,所以圍成矩形面積的最大值為,故正確;④:由②可知,所以四葉草包含在圓的內部,因為圓的面積為:,所以四葉草的面積小于,故正確.故選:C.【點睛】本題考查曲線與方程的綜合運用,其中涉及到曲線的對稱性分析以及基本不等式的運用,難度較難.分析方程所表示曲線的對稱性,可通過替換方程中去分析證明.9、A【解析】

由已知可得的單調性,再由可得對稱性,可求出在單調性,即可求出結論.【詳解】對于任意,函數(shù)滿足,因為函數(shù)關于點對稱,當時,是單調增函數(shù),所以在定義域上是單調增函數(shù).因為,所以,.故選:A.【點睛】本題考查利用函數(shù)性質比較函數(shù)值的大小,解題的關鍵要掌握函數(shù)對稱性的代數(shù)形式,屬于中檔題..10、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性用方程法求出的解析式,進而求出,再根據(jù)復合函數(shù)的單調性,即可求出結論.【詳解】依題意有,①,②①②得,又因為,所以,在上單調遞增,所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.故選:D.【點睛】本題考查求函數(shù)的解析式、函數(shù)的性質,要熟記復合函數(shù)單調性判斷方法,屬于中檔題.11、D【解析】

先將所求問題轉化為對任意恒成立,即得圖象恒在函數(shù)圖象的上方,再利用數(shù)形結合即可解決.【詳解】由得,由題意函數(shù)得圖象恒在函數(shù)圖象的上方,作出函數(shù)的圖象如圖所示過原點作函數(shù)的切線,設切點為,則,解得,所以切線斜率為,所以,解得.故選:D.【點睛】本題考查導數(shù)在不等式恒成立中的應用,考查了學生轉化與化歸思想以及數(shù)形結合的思想,是一道中檔題.12、D【解析】

根據(jù)給出的統(tǒng)計圖表,對選項進行逐一判斷,即可得到正確答案.【詳解】解:由題意知,該市老年低收入家庭共有900戶,所占比例為6%,則該市總有低收入家庭900÷6%=15000(戶),A正確,該市從業(yè)人員中,低收入家庭共有15000×12%=1800(戶),B正確,該市無業(yè)人員中,低收入家庭有15000×29%%=4350(戶),C正確,該市大于18歲在讀學生中,低收入家庭有15000×4%=600(戶),D錯誤.故選:D.【點睛】本題主要考查對統(tǒng)計圖表的認識和分析,這類題要認真分析圖表的內容,讀懂圖表反映出的信息是解題的關鍵,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】分析:設O2(a,0),圓O2的半徑為r(變量),OP=t(常數(shù)),利用差角的正切公式,結合以AB為直徑的圓與圓x2+(y-2)2=1相外切.且∠APB的大小恒為定值,即可求出線段OP的長.詳解:設O2(a,0),圓O2的半徑為r(變量),OP=t(常數(shù)),則∵∠APB的大小恒為定值,

∴t=,∴|OP|=.故答案為點睛:本題考查圓與圓的位置關系,考查差角的正切公式,考查學生的計算能力,屬于中檔題.14、【解析】∵,∴,∵函數(shù)y=f(x)?g(x)恰好有四個零點,∴方程f(x)?g(x)=0有四個解,即f(x)+f(2?x)?b=0有四個解,即函數(shù)y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象有四個交點,,作函數(shù)y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象如下,,結合圖象可知,<b<2,故答案為.點睛:(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值,要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間,然后代入該段的解析式求值,當出現(xiàn)f(f(a))的形式時,應從內到外依次求值.(2)當給出函數(shù)值求自變量的值時,先假設所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上,然后求出相應自變量的值,切記要代入檢驗,看所求的自變量的值是否滿足相應段自變量的取值范圍.15、B【解析】

首先根據(jù)“學校藝術節(jié)對四件參賽作品只評一件一等獎”,故假設分別為一等獎,然后判斷甲、乙、丙、丁四位同學的說法的正確性,即可得出結果.【詳解】若A為一等獎,則甲、丙、丁的說法均錯誤,不滿足題意;若B為一等獎,則乙、丙的說法正確,甲、丁的說法錯誤,滿足題意;若C為一等獎,則甲、丙、丁的說法均正確,不滿足題意;若D為一等獎,則乙、丙、丁的說法均錯誤,不滿足題意;綜上所述,故B獲得一等獎.【點睛】本題屬于信息題,可根據(jù)題目所給信息來找出解題所需要的條件并得出答案,在做本題的時候,可以采用依次假設為一等獎并通過是否滿足題目條件來判斷其是否正確.16、【解析】

由題意可設,,,由向量的坐標運算,以及恒成立思想可設,的最小值即為點,到直線的距離,求得,可得不大于.【詳解】解:,且,可設,,,,可得,可得的終點均在直線上,由于為任意實數(shù),可得時,的最小值即為點到直線的距離,可得,對于任意的實數(shù),不等式,可得,故答案為:.【點睛】本題主要考查向量的模的求法,以及兩點的距離的運用,考查直線方程的運用,以及點到直線的距離,考查運算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

(1)判斷公比不為1,運用等比數(shù)列的求和公式,解方程可得公比,進而得到所求通項公式;(2)求得,運用數(shù)列的錯位相減法求和,以及等比數(shù)列的求和公式,計算可得所求和.【詳解】解:(1)設公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為,且,,可得時,,不成立;當時,,即,解得(舍去),則;(2),前項和,,兩式相減可得,化簡可得.【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用,考查數(shù)列的錯位相減法求和,考查方程思想和運算能力,屬于中檔題.18、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)由已知線面垂直得,結合菱形對角線垂直,可證得線面垂直;(2)由已知知兩兩互相垂直.以分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系如圖所示,由已知線面垂直知與平面所成角為,這樣可計算出的長,寫出各點坐標,求出平面的法向量,由法向量夾角可得二面角.【詳解】證明:(1)因為平面,平面,所以.因為四邊形是菱形,所以.又因為,平面,平面,所以平面.解:(2)據(jù)題設知,兩兩互相垂直.以分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系如圖所示,因為與平面所成角為,即,所以又,所以,所以所以設平面的一個法向量,則令,則.因為平面,所以為平面的一個法向量,且所以,.所以二面角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的判定定理和性質定理,考查用向量法求二面角.立體幾何中求空間角常常是建立空間直角坐標系,用空間向量法求空間角,這樣可減少思維量,把問題轉化為計算.19、;①詳見解析;②應該批發(fā)一大箱.【解析】

酸奶每天銷量大于瓶的概率為,不大于瓶的概率為,設“試銷售期間任選三天,其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶”為事件,則表示“這三天酸奶的銷量都不大于瓶”.利用對立事件概率公式求解即可.①若早餐店批發(fā)一大箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,,,四種情況,分別求出相應概率,列出分布列,求出的數(shù)學期望,若早餐店批發(fā)一小箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,兩種情況,分別求出相應概率,由此求出的分布列和數(shù)學期望;②根據(jù)①中的計算結果,,從而早餐應該批發(fā)一大箱.【詳解】解:根據(jù)圖中數(shù)據(jù),酸奶每天銷量大于瓶的概率為,不大于瓶的概率為.設“試銷售期間任選三天,其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶”為事件,則表示“這三天酸奶的銷量都不大于瓶”.所以.①若早餐店批發(fā)一大箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,,,四種情況.當銷量為瓶時,利潤為元;當銷量為瓶時,利潤為元;當銷量為瓶時,利潤為元;當銷量為瓶時,利潤為元.隨機變量的分布列為所以(元)若早餐店批發(fā)一小箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,兩種情況.當銷量為瓶時,利潤為元;當銷量為瓶時,利潤為元.隨機變量的分布列為所以(元).②根據(jù)①中的計算結果,,所以早餐店應該批發(fā)一大箱.【點睛】本題考查概率,離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法,考查古典概型、對立事件概率計算公式等基礎知識,屬于中檔題.20、(Ⅰ)

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