2024年江蘇省高考數(shù)學(xué)過關(guān)練習(xí)卷（一）（含解析）

年江蘇省高考數(shù)學(xué)過關(guān)練習(xí)卷（一）一、單選題1．已知樣本數(shù)據(jù)1，2，2，3，7，9，則2.5是該組數(shù)據(jù)的（

）A．極差 B．眾數(shù) C．平均數(shù) D．中位數(shù)2．3名男生和2名女生站成一排．若男生不相鄰，則不同排法種數(shù)為（

）A．6 B．12 C．24 D．723．設(shè)．若函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，且，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．且4．若a，b為兩條異面直線，，為兩個(gè)平面，，，，則下列結(jié)論中正確的是(

)A．l至少與a，b中一條相交B．l至多與a，b中一條相交C．l至少與a，b中一條平行D．l必與a，b中一條相交，與另一條平行5．設(shè)各項(xiàng)均不相等的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則公比（

）A． B． C． D．6．記的內(nèi)角A，B的對(duì)邊分別為a，b，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在C的左支上，，的周長(zhǎng)為，則C的離心率為（

）A．2 B． C． D．8．已知正五邊形的邊長(zhǎng)為a，內(nèi)切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R，，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知直線與圓，則下列說法中正確的有（

）A．當(dāng)時(shí)，直線l與圓P相切B．當(dāng)時(shí)，直線l與圓P的相交弦最長(zhǎng)C．直線l與圓P一定相交D．圓心P到直線l的距離的最大值為10．已知，.若隨機(jī)事件A，B相互獨(dú)立，則（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，的定義域均為R，的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱，，，則（）A．為偶函數(shù) B．為偶函數(shù) C． D．三、填空題12．設(shè)，i為虛數(shù)單位.若集合，，且，則m＝.13．兩學(xué)生在學(xué)校操場(chǎng)完成老師布置的實(shí)習(xí)作業(yè)，已知兩人從同一起點(diǎn)A出發(fā)，沿兩個(gè)不同的方向分別以60米/分鐘、100米/分鐘的速度離開出發(fā)點(diǎn)A，5分鐘后分別到達(dá)B點(diǎn)與C點(diǎn)，他們測(cè)得B、C之間的距離是700米，現(xiàn)在請(qǐng)你幫助他們計(jì)算他們離開A點(diǎn)向外跑開的不同方向之間的夾角為.14．若正四棱錐的棱長(zhǎng)均為2，則以所有棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的十面體的體積為，該十面體的外接球的表面積為.四、解答題15．甲公司推出一種新產(chǎn)品，為了解某地區(qū)消費(fèi)者對(duì)新產(chǎn)品的滿意度，從中隨機(jī)調(diào)查了1000名消費(fèi)者，得到下表：滿意不滿意男44060女46040(1)能否有的把握認(rèn)為消費(fèi)者對(duì)新產(chǎn)品的滿意度與性別有關(guān)；(2)若用頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)消費(fèi)者中隨機(jī)選取3人，用X表示不滿意的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：，.0.10.050.01k2.7063.8416.63516．設(shè)函數(shù).已知的圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸間的距離為，且.(1)若在區(qū)間上有最大值無最小值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)設(shè)l為曲線在處的切線，證明：l與曲線有唯一的公共點(diǎn).17．如圖，邊長(zhǎng)為4的兩個(gè)正三角形，所在平面互相垂直，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱AD上，，直線AB與平面相交于點(diǎn)H.(1)從下面兩個(gè)結(jié)論中選一個(gè)證明：①；②直線HE，GF，AC相交于一點(diǎn)；注：若兩個(gè)問題均作答，則按第一個(gè)計(jì)分.(2)求直線BD與平面的距離.18．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)是否存在正整數(shù)p，q（），使得，，成等差數(shù)列？若存在，求p，q；若不存在，說明理由.19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓Γ：的離心率為，直線l與Γ相切，與圓O：相交于A，B兩點(diǎn).當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，.(1)求Γ的方程；(2)對(duì)于給定的點(diǎn)集M，N，若M中的每個(gè)點(diǎn)在N中都存在距離最小的點(diǎn)，且所有最小距離的最大值存在，則記此最大值為.（?。┤鬗，N分別為線段AB與圓O上任意一點(diǎn)，P為圓O上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求；（ⅱ）若，均存在，記兩者中的較大者為.已知，，均存在，證明：.參考答案：1．D【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)求得眾數(shù)、極差、均值、中位數(shù)后判斷.【詳解】由題意得眾數(shù)為，極差，均值，中位數(shù)，故D正確.故選：D.2．B【分析】不相鄰問題借助插空法計(jì)算即可得.【詳解】先排2名女生，有種排法，借助插空法，共有3個(gè)空位，故3名男生有種排法，共有種排法.故選：B.3．A【分析】借助指數(shù)函數(shù)性質(zhì)分類討論即可得.【詳解】由函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，故且，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，有，不符合題意，故舍去；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，有，符合題意，故正確.故選：A.4．A【分析】此種類型的題可以通過舉反例判斷正誤.【詳解】因?yàn)閍，b為兩條異面直線且，，，所以a與l共面，b與l共面.若l與a、b都不相交，則a∥l，b∥l，a∥b，與a、b異面矛盾，故A對(duì)；當(dāng)a、b為如圖所示的位置時(shí)，可知l與a、b都相交，故B、C、D錯(cuò).

故選：A.5．C【分析】根據(jù)題意可求出，即，再結(jié)合，列出相關(guān)方程組，從而可求解.【詳解】由數(shù)列為各項(xiàng)均不相等的等比數(shù)列，設(shè)公比為，由，得，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，則，化簡(jiǎn)得，解得，或（舍）；當(dāng)，則，化簡(jiǎn)得，因，所以無解；綜上可得，故C正確.故選：C.6．A【分析】結(jié)合充要條件的性質(zhì)、正弦定理、二倍角的正弦公式計(jì)算即可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，由正弦定理可得，又，在中，，故，即，故“”是“”的充分條件；當(dāng)時(shí)，例如，，，，有，符合題意，但，故“”不是“”的必要條件；故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7．C【分析】根據(jù)綜合條件，結(jié)合雙曲線定義，利用余弦定理計(jì)算即得.【詳解】令雙曲線的焦距為，依題意，，解得，在中，，由余弦定理得，整理得，所以雙曲線C的離心率為.

故選：C8．B【分析】畫出圖形，結(jié)合圖形中為直角三角形，可表示出、，結(jié)合三角恒等變換計(jì)算即可得.【詳解】如圖所示，，，故，故，，由，故，即，即，故.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于得出、的表達(dá)式，從而得到，結(jié)合三角恒等變換計(jì)算即可得.9．ABD【分析】對(duì)于A，求出圓心到直線的距離進(jìn)行判斷，對(duì)于B，判斷圓心是否在直線上，對(duì)于C，舉例判斷，對(duì)于D，由于直線恒過原點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，圓心P到直線l的距離最大，從而可求出其最大值【詳解】圓的圓心，半徑為1，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線為，此時(shí)圓心到直線的距離等于半徑，所以直線l與圓P相切，所以A正確，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，直線為，此時(shí)直線恰好過圓心，所以直線l與圓P的相交弦最長(zhǎng)為直徑，所以B正確，對(duì)于C，若直線為，則圓心到直線的距離為，此時(shí)直線與圓相離，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)楹氵^原點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，圓心P到直線l的距離最大，最大值為，所以D正確，故選：ABD10．BCD【分析】根據(jù)條件概率公式和獨(dú)立事件乘法公式即可判斷ABC，再根據(jù)即可判斷D.【詳解】對(duì)B，，B正確；對(duì)A，，，A錯(cuò)誤；對(duì)C，，，C正確；對(duì)D，，D正確.故選：BCD.11．ACD【分析】由賦值法，函數(shù)奇偶性，對(duì)稱性對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】令，則，注意到不恒為，故，故A正確；因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱，所以，令，得，故，故B錯(cuò)誤；令，得，令，得，故，從而，故,令，得，化簡(jiǎn)得，故C正確；令，得，而，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：抽象函數(shù)的對(duì)稱性常有以下結(jié)論（1）關(guān)于軸對(duì)稱，（2）關(guān)于中心對(duì)稱，12．1【分析】由集合的包含關(guān)系得兩個(gè)集合中元素的關(guān)系，由復(fù)數(shù)的相等解的值.【詳解】集合，，且，則有或，解得.故答案為：113．【分析】根據(jù)題意求出的值，然后利用余弦定理可求得結(jié)果.【詳解】由題意得米，米，米，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，所以他們離開A點(diǎn)向外跑開的不同方向之間的夾角為，故答案為：14．/【分析】根據(jù)給定條件，利用割補(bǔ)法，結(jié)合錐體體積公式計(jì)算體積；建立空間直角坐標(biāo)系，求出外接球半徑即可求出表面積.【詳解】正四棱錐的所有棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是所在棱的中點(diǎn)，如圖，顯然，即有，則正四棱錐的高為，于是，到平面的距離，所以所求十面體的體積為；令，以直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，則，，設(shè)外接球球心，半徑，則，因此，解得，所以十面體的外接球的表面積為.故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求幾何體的體積，將給定的幾何體進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆指?，轉(zhuǎn)化為可求體積的幾何體求解是關(guān)鍵.15．(1)有的把握認(rèn)為消費(fèi)者對(duì)新產(chǎn)品的滿意度與性別有關(guān)(2)分布列見解析，期望【分析】（1）先利用所給數(shù)據(jù)表完善列聯(lián)表，再利用公式求出，利用臨界值表進(jìn)行判定；（2）先求出不滿意的概率為，由二項(xiàng)分布求解概率，列表得到分布列，利用期望公式進(jìn)行求解【詳解】（1）補(bǔ)全列聯(lián)表如圖所示：滿意不滿意總計(jì)男44060500女46040500總計(jì)9001001000，故有的把握認(rèn)為消費(fèi)者對(duì)新產(chǎn)品的滿意度與性別有關(guān)．（2）由題知，從該地區(qū)的消費(fèi)者中隨機(jī)抽取1人，不滿意的概率為，的所有可能取值為0，1，2，3，且．，所以的分布列為：0123所以．16．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)周期以及可求解，進(jìn)而根據(jù)整體法即可求解，（2）求導(dǎo)，根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）由題意可得周期，故，，由于，故，故，當(dāng)時(shí)，，由于在區(qū)間上有最大值無最小值，故，解得，故.（2），，，故直線方程為，令，則，故在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，又，因此有唯一的的零點(diǎn)，故l與曲線有唯一的交點(diǎn)，得證.17．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）選擇條件①，利用線面平行的判定性質(zhì)推理即得；選擇條件②，利用平面的基本事實(shí)推理即得.（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面距離公式求解即得.【詳解】（1）選擇條件①，由,分別為,的中點(diǎn)，得，又平面平面，則平面，又平面，平面平面，所以.選擇條件②，在中，為中點(diǎn)，則與不平行，設(shè)，則，又平面平面，于是平面平面，又平面平面，因此，所以,,相交于一點(diǎn).（2）若第（1）問中選①，由（1）知，平面，則點(diǎn)到平面的距離即為與平面的距離，若第（1）問中選②，由,分別為,的中點(diǎn)，則，又平面平面，于是平面，因此點(diǎn)到平面的距離即為與平面的距離，連接,，由均為正三角形，為的中點(diǎn)，得，又平面平面，平面平面平面，于是平面，又平面，則，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，,，設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則，令，得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以與平面的距離為.18．(1)證明見解析；(2)；(3)存在，.【分析】（1）利用給定的遞推公式，結(jié)合及等比數(shù)列定義推理即得.（2）由（1）求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可.（3）由（1）求出，由已知建立等式，驗(yàn)證計(jì)算出，再分析求解即可.【詳解】（1），，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，則有，當(dāng)時(shí)，，則，即，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，，則，數(shù)列是等差數(shù)列，于是，解得，則，所以的前項(xiàng)和.（3）由（1）知，，由成等差數(shù)列，得，整理得，由，得，又，，不等式成立，因此，即，令，則,從而，顯然，即，所以存在，使得成等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：裂項(xiàng)法求和，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．19．(1)；(2)（?。?；（ⅱ）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出，再結(jié)合離心率求出即得.（2）（?。┰谥本€的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，借助判別式求出圓心到距離，列出的面積關(guān)系求解，再驗(yàn)證斜率不存在的情況；（ⅱ）利用新定義，結(jié)合對(duì)稱性推理即得.【詳解】（1）因?yàn)楫?dāng)垂直于軸時(shí)，，而直線與Γ相切，則，解得，又橢圓的離心率為，則橢圓的半焦距，，所以的方程為.（2）（i）當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的方程為：，由消去得：，由直線與橢圓相切，得，整理得，于是圓心到直線的距離，則的面積為，設(shè)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，當(dāng)