點估計量的求法

關于點估計量的求法一、矩估計法由于估計量是樣本的函數(shù),是隨機變量,故對不同的樣本值,得到的參數(shù)值往往不同,因此如何求得參數(shù)

的估計量便是問題的關鍵所在.常用構造估計量的方法:(三種)1.矩估計法2.最(極)大似然估計法.3.次序統(tǒng)計量估計法第2頁,共47頁，2024年2月25日，星期天1.矩估計法

基本思想：用樣本矩估計總體矩.理論依據(jù):或格列汶科定理它是基于一種簡單的“替換”思想建立起來的一種估計方法.是英國統(tǒng)計學家K.皮爾遜最早提出的.大數(shù)定律第3頁,共47頁，2024年2月25日，星期天記總體k階原點矩為樣本k階原點矩為記總體k階中心矩為樣本k階中心矩為

用樣本矩來估計總體矩,用樣本矩的連續(xù)函數(shù)來估計總體矩的連續(xù)函數(shù),這種估計法稱為矩估計法.第4頁,共47頁，2024年2月25日，星期天矩估計法的具體步驟:設總體X的分布函數(shù)為m個待估參數(shù)(未知)為來自總體X的簡單隨機樣本.第5頁,共47頁，2024年2月25日，星期天矩估計量的觀察值稱為矩估計值.注第6頁,共47頁，2024年2月25日，星期天解根據(jù)矩估計法,例1第7頁,共47頁，2024年2月25日，星期天解例2第8頁,共47頁，2024年2月25日，星期天解方程組得到a,b的矩估計量分別為第9頁,共47頁，2024年2月25日，星期天解解方程組得到矩估計量分別為例3第10頁,共47頁，2024年2月25日，星期天上例表明:總體均值與方差的矩估計量的表達式不因不同的總體分布而異.一般地:第11頁,共47頁，2024年2月25日，星期天例4設總體X的分布密度為為來自總體X的樣本.求參數(shù)

的矩估計量.分析：一般地，只需要求：

的矩估計量.第12頁,共47頁，2024年2月25日，星期天不含有

，故不能由此得到

的矩估計量.解(方法1)要求：—的矩估計量第13頁,共47頁，2024年2月25日，星期天(方法2)要求：

的矩估計量：注此例表明：同一參數(shù)的矩估計量可不唯一.第14頁,共47頁，2024年2月25日，星期天例5(p43例2.9)解建立方程第15頁,共47頁，2024年2月25日，星期天求解方程可得第16頁,共47頁，2024年2月25日，星期天

矩法的優(yōu)點：簡單易行,并不需要事先知道總體是什么分布.缺點：當總體類型已知時，沒有充分利用分布提供的信息.一般場合下,矩估計量不具有唯一性.其主要原因在于建立矩法方程時，選取哪些總體矩用相應樣本矩代替帶有一定的隨意性.小結(jié)：第17頁,共47頁，2024年2月25日，星期天二、最大似然估計法最大似然估計法是在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計方法.它首先是由德國數(shù)學家高斯在1821年提出的,GaussFisher然而，這個方法常歸功于英國統(tǒng)計學家Fisher.

Fisher在1921年重新發(fā)現(xiàn)了這一方法，并首先研究了這種方法的一些性質(zhì).Fisher資料第18頁,共47頁，2024年2月25日，星期天先看一個簡單例子：一只野兔從前方竄過.是誰打中的呢？某位同學與一位獵人一起外出打獵.如果要你推測，你會如何想呢?只聽一聲槍響，野兔應聲倒下.1最大似然法的基本思想第19頁,共47頁，2024年2月25日，星期天你就會想，只發(fā)一槍便打中,獵人命中的概率一般大于這位同學命中的概率.看來這一槍是獵人射中的.這個例子所作的推斷已經(jīng)體現(xiàn)了最大似然法的基本思想.第20頁,共47頁，2024年2月25日，星期天設X~B(1,p),p未知.

設想我們事先知道

p只有兩種可能:問:應如何估計p?p=0.7或p=0.3如今重復試驗3次,得結(jié)果:0,0,0由概率論的知識,3次試驗中出現(xiàn)“1”的次數(shù)(k=0,1,2,3)引例第21頁,共47頁，2024年2月25日，星期天(k=0,1,2,3)Y01230.3430.4410.1890.0270.0270.1890.4410.343依題設，“重復試驗3次,得結(jié)果:0,0,0”應如何估計p?p=0.7還是p=0.3？第22頁,共47頁，2024年2月25日，星期天2似然函數(shù)第23頁,共47頁，2024年2月25日，星期天最大似然估計法第24頁,共47頁，2024年2月25日，星期天似然函數(shù)的定義第25頁,共47頁，2024年2月25日，星期天第26頁,共47頁，2024年2月25日，星期天3.求最大似然估計的步驟第27頁,共47頁，2024年2月25日，星期天最大似然估計法也適用于分布中含有多個未知參數(shù)的情況.此時只需令對數(shù)似然方程組對數(shù)似然方程第28頁,共47頁，2024年2月25日，星期天解例6(p46例2.12)第29頁,共47頁，2024年2月25日，星期天這一估計量與矩估計量是相同的.第30頁,共47頁，2024年2月25日，星期天解X的似然函數(shù)為例7(p47例2.13)第31頁,共47頁，2024年2月25日，星期天第32頁,共47頁，2024年2月25日，星期天它們與相應的矩估計量相同.第33頁,共47頁，2024年2月25日，星期天例8(p47例2.14)設總體X服從柯西分布，其分布密度為解由分布可知，其似然函數(shù)為此方程只能求解其數(shù)值解，可以以樣本中位數(shù)為初始值進行迭代。又因為此分布均值不存在，不可用矩估計.第34頁,共47頁，2024年2月25日，星期天解例9(p48例2.15)第35頁,共47頁，2024年2月25日，星期天第36頁,共47頁，2024年2月25日，星期天第37頁,共47頁，2024年2月25日，星期天4.最大似然估計的性質(zhì)定理2.4

此性質(zhì)可以推廣到總體分布中含有多個未知參數(shù)的情況.例10(p48例2.16)解第38頁,共47頁，2024年2月25日，星期天定理2.5第39頁,共47頁，2024年2月25日，星期天證由因子分解定理可知注該定理說明最大似然估計充分利用了樣本中包含的參數(shù)的信息，因而是一種比較好的估計，通常情況下，最大似然估計不僅是相合估計，而且是漸近正態(tài)估計.第40頁,共47頁，2024年2月25日，星期天三、用次序統(tǒng)計量估計參數(shù)的方法1.用樣本中位數(shù)與樣本極差估計參數(shù)由1.4節(jié)可知，由于樣本中位數(shù)與樣本極差計算方便，因而通常情況下，可以用樣本中位數(shù)估計總體期望，用樣本極差估計總體的標準差。定理2.6第41頁,共47頁，2024年2月25日，星期天因此第42頁,共47頁，2024年2月25日，星期天例10(p51例2.18)某維尼綸廠20天內(nèi)生產(chǎn)正常，隨機的抽樣得到20個纖度數(shù)值，等分成4組，每組5個數(shù)值，如下表：第43頁,共47頁，2024年2月25日，星期天極差R11.361.491.431.411.370.1321.401.321.421.471.390.1531.411.361.401.341.420.0841.421.451.351.421.390.10假設纖度服從正態(tài)分布，試估計總體的標準差。解計算平均極差顯然兩種估計結(jié)果極為接近，但極差形式簡單.第44頁,共47頁，2024年2月25日，星期天ThankYou!第45頁,