人教版九年級數(shù)學(xué)上冊同步練習(xí) 第14課 用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程（原卷版+解析）

第14課用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1.會用圖象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系；2.會求拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，掌握二次函數(shù)與不等式之間的聯(lián)系；3.經(jīng)歷探索驗(yàn)證二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，學(xué)會用函數(shù)的觀點(diǎn)去看方程和用數(shù)形結(jié)合的思想去解決問題．知識精講知識精講知識點(diǎn)01二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1.二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況

求二次函數(shù)(a≠0)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是令y＝0，求中x的值的問題．此時(shí)二次函數(shù)就轉(zhuǎn)化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個數(shù)決定了拋物線與x軸的交點(diǎn)的個數(shù)，它們的關(guān)系如下表：判別式二次函數(shù)一元二次方程圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)根的情況△＞0△＝0△＜0要點(diǎn)詮釋：

二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個數(shù)由的值來確定的.(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸，，方程有兩個不相等的實(shí)根；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸，，方程有兩個相等的實(shí)根；

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸，，方程沒有實(shí)根.

知識點(diǎn)02拋物線與直線的交點(diǎn)問題拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)的問題實(shí)質(zhì)就是拋物線與直線的交點(diǎn)問題．我們把它延伸到求拋物線(a≠0)與y軸交點(diǎn)和二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．拋物線(a≠0)與y軸的交點(diǎn)是(0，c)．拋物線(a≠0)與一次函數(shù)(k≠0)的交點(diǎn)個數(shù)由方程組的解的個數(shù)決定．當(dāng)方程組有兩組不同的解時(shí)兩函數(shù)圖象；當(dāng)方程組有兩組相同的解時(shí)兩函數(shù)圖象；當(dāng)方程組無解時(shí)兩函數(shù)圖象．總之，探究直線與拋物線的交點(diǎn)的問題，最終是討論方程(組)的解的問題．要點(diǎn)詮釋：求兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題主要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，即將函數(shù)的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為求方程組解的問題或者將求方程組的解的問題轉(zhuǎn)化為求拋物線與直線的交點(diǎn)問題．知識點(diǎn)03利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解用圖象法解一元二次方程的步驟：

1.作二次函數(shù)的圖象，由圖象確定交點(diǎn)個數(shù)，即方程解的個數(shù)；

2.確定一元二次方程的根的取值范圍．即確定拋物線與的大致范圍；

3.在(2)確定的范圍內(nèi)，用計(jì)算器進(jìn)行探索.即在(2)確定的范圍內(nèi)，從大到小或從小到大依次取值，用表格的形式求出相應(yīng)的y值．

4.確定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所對應(yīng)的x值即是一元二次方的近似根．要點(diǎn)詮釋：求一元二次方程的近似解的方法(圖象法)：

(1)直接作出函數(shù)的圖象，則圖象與就是方程的根；(2)先將方程變?yōu)樵僭谕蛔鴺?biāo)系中畫出拋物線和直線圖象交點(diǎn)的就是方程的根；

(3)將方程化為，移項(xiàng)后得，設(shè)和，在同一坐標(biāo)系中畫出拋物線和直線的圖象，圖象交點(diǎn)的即為方程的根.知識點(diǎn)04拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)之間的距離公式當(dāng)△＞0時(shí)，設(shè)拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)為A(，0)，B(，0)，則、是一元二次方程的兩個根．由根與系數(shù)的關(guān)系得，．知識點(diǎn)04拋物線與不等式的關(guān)系二次函數(shù)(a≠0)與一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之間的關(guān)系如下：判別式拋物線與x軸的交點(diǎn)不等式的解集不等式的解集△＞0△＝0△＜0注：a＜0的情況請同學(xué)們自己完成．要點(diǎn)詮釋：拋物線在x軸上方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為正，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集；在x軸下方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為負(fù)，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果帶有等號，其解集也相應(yīng)帶有等號．能力拓展能力拓展考法01二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)【典例1】已知拋物線．求：(1)k為何值時(shí)，拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)；(2)k為何值時(shí)，拋物線與x軸有唯一交點(diǎn)；(3)k為何值時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．【即學(xué)即練1】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：(1)寫出方程ax2+bx+c=0的兩個根；(2)寫出不等式ax2+bx+c＞0的解集；(3)求y的取值范圍．考法02利用圖象法求一元二次方程的解【典例2】利用函數(shù)的圖象，求方程組的解.考法03二次函數(shù)與一元二次方程的綜合運(yùn)用【典例3】如圖，拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作y軸的平行線，與直線BC相交于點(diǎn)E(1)求直線BC的解析式；(2)當(dāng)線段DE的長度最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【即學(xué)即練2】已知拋物線．(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若，且拋物線與軸交于整數(shù)點(diǎn)，求此拋物線的解析式．【典例4】如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(﹣3，0)和B(1，0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C(0，3)，點(diǎn)C、D是二次函數(shù)圖象上的一對對稱點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)B、D．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍；(3)若直線與y軸的交點(diǎn)為E，連結(jié)AD、AE，求△ADE的面積．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．已知二次函數(shù)y=x2+2x﹣10，小明利用計(jì)算器列出了下表：x﹣4.1﹣4.2﹣4.3﹣4.4x2+2x﹣10﹣1.39﹣0.76﹣0.110.56那么方程x2+2x﹣10=0的一個近似根是()A．﹣4.1 B．﹣4.2 C．﹣4.3 D．﹣4.42．已知函數(shù)與函數(shù)的圖象大致如圖。若則自變量x的取值范圍是().A．B．C．D．3．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解為()A．x1＝－3，x2＝0 B．x1＝3，x2＝－1C．x＝－3 D．x1＝－3，x2＝14．已知二次函數(shù)的圖象和x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是()A.k＞B.k≥C.k≥且k≠0D.k＞且k≠05．拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為D(-1，2)，與x軸的一個交點(diǎn)A在點(diǎn)(-3，0)和(-2，0)之間，其部分圖象如圖，則以下結(jié)論不正確的是()A．b2-4ac＜0 B．a(chǎn)+b+c＜0 C．c-a=2 D．方程ax2+bx+c-2=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根QUOTE6．如圖是拋物線y＝ax2+bx+c的圖象的一部分，請你根據(jù)圖象寫出方程ax2+bx+c＝0的兩根是_____．7．若二次函數(shù)y＝x2﹣4x+c的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，則c的取值范圍是_____．題組B能力提升練1．若函數(shù)的圖象與x軸只有一個公共點(diǎn)，則m=________.2．已知函數(shù)y＝ax2+2bx﹣c(a＞0)的圖象與x軸交于A(2，0)、B(6，0)兩點(diǎn)，則不等式cx2+2bx﹣a＜0的解集為___．3．如圖所示，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(－1，2)，且與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，其中，，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有()A．個 B．個 C．個 D．個4．已知拋物線與x軸有兩個不同的交點(diǎn)．(1)求c的取值范圍；(2)拋物線與x軸兩交點(diǎn)的距離為2，求c的值．5．已知二次函數(shù)y＝(x﹣m)2+2(x﹣m)(m為常數(shù))(1)求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個不同的公共點(diǎn)；(2)當(dāng)m取什么值時(shí)，該函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱？題組C培優(yōu)拔尖練1．已知拋物線.(1)若，，求該拋物線與軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若，且當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有且只有一個公共點(diǎn)，求的取值范圍.2．如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于A(－3，0)、B(1，0)兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C(0，3)，點(diǎn)C、D是二次函數(shù)圖像上的一對對稱點(diǎn)，一次函數(shù)的圖像過點(diǎn)B、D．(1)D點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求二次函數(shù)的解析式；(3)若把二次函數(shù)向左平移2個單位，再向下平移3個單位，直接寫出平移后的解析式；(4)根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值小于二次函數(shù)值的x的取值范圍．3．已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A(﹣1，0)，B(3，0)．(1)求拋物線的解析式；(2)過點(diǎn)D(0，)作x軸的平行線交拋物線于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求EF的長；(3)當(dāng)y≤時(shí)，直接寫出x的取值范圍是．4．已知二次函數(shù)y=a(x-m)2-a(x-m)(a，m為常數(shù)，且a≠0)．(1)求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個公共點(diǎn)；(2)設(shè)該函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)為A(x1，0)，B(x2，0)，且x12+x22=25，求m的值；(3)設(shè)該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且△ABC的面積為1，求a的值．5．給定關(guān)于x的二次函數(shù)y＝kx2﹣4kx+3(k≠0)，(1)當(dāng)該二次函數(shù)與x軸只有一個公共點(diǎn)時(shí)，求k的值；(2)當(dāng)該二次函數(shù)與x軸有2個公共點(diǎn)時(shí)，設(shè)這兩個公共點(diǎn)為A、B，已知AB＝2，求k的值；(3)由于k的變化，該二次函數(shù)的圖象性質(zhì)也隨之變化，但也有不會變化的性質(zhì)，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在探究時(shí)得出以下結(jié)論：①與y軸的交點(diǎn)不變；②對稱軸不變；③一定經(jīng)過兩個定點(diǎn)；請判斷以上結(jié)論是否正確，并說明理由．6．某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下：()自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，與的幾組對應(yīng)值如下表：其中，__________．()根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，并畫出了函數(shù)圖象的一部分，請你畫出該函數(shù)圖象剩下的部分．()觀察函數(shù)圖象，寫出一條性質(zhì)__________．()進(jìn)一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：①方程有__________個實(shí)數(shù)根．②關(guān)于的方程有個實(shí)數(shù)根時(shí)，的取值范圍是__________．第14課用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1.會用圖象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系；2.會求拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，掌握二次函數(shù)與不等式之間的聯(lián)系；3.經(jīng)歷探索驗(yàn)證二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，學(xué)會用函數(shù)的觀點(diǎn)去看方程和用數(shù)形結(jié)合的思想去解決問題．知識精講知識精講知識點(diǎn)01二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1.二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況

求二次函數(shù)(a≠0)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是令y＝0，求中x的值的問題．此時(shí)二次函數(shù)就轉(zhuǎn)化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個數(shù)決定了拋物線與x軸的交點(diǎn)的個數(shù)，它們的關(guān)系如下表：判別式二次函數(shù)一元二次方程圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)根的情況△＞0拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，且，此時(shí)稱拋物線與x軸相交一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根△＝0拋物線與x軸交切于這一點(diǎn)，此時(shí)稱拋物線與x軸相切一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根△＜0拋物線與x軸無交點(diǎn)，此時(shí)稱拋物線與x軸相離一元二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解(或稱無實(shí)數(shù)根)要點(diǎn)詮釋：

二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個數(shù)由的值來確定的.(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)時(shí)，，方程有兩個不相等的實(shí)根；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點(diǎn)時(shí)，，方程有兩個相等的實(shí)根；

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)時(shí)，，方程沒有實(shí)根.

知識點(diǎn)02拋物線與直線的交點(diǎn)問題拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)的問題實(shí)質(zhì)就是拋物線與直線的交點(diǎn)問題．我們把它延伸到求拋物線(a≠0)與y軸交點(diǎn)和二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．拋物線(a≠0)與y軸的交點(diǎn)是(0，c)．拋物線(a≠0)與一次函數(shù)(k≠0)的交點(diǎn)個數(shù)由方程組的解的個數(shù)決定．當(dāng)方程組有兩組不同的解時(shí)兩函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)；當(dāng)方程組有兩組相同的解時(shí)兩函數(shù)圖象只有一個交點(diǎn)；當(dāng)方程組無解時(shí)兩函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)．總之，探究直線與拋物線的交點(diǎn)的問題，最終是討論方程(組)的解的問題．要點(diǎn)詮釋：求兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題主要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，即將函數(shù)的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為求方程組解的問題或者將求方程組的解的問題轉(zhuǎn)化為求拋物線與直線的交點(diǎn)問題．知識點(diǎn)03利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解用圖象法解一元二次方程的步驟：

1.作二次函數(shù)的圖象，由圖象確定交點(diǎn)個數(shù)，即方程解的個數(shù)；

2.確定一元二次方程的根的取值范圍．即確定拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大致范圍；

3.在(2)確定的范圍內(nèi)，用計(jì)算器進(jìn)行探索.即在(2)確定的范圍內(nèi)，從大到小或從小到大依次取值，用表格的形式求出相應(yīng)的y值．

4.確定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所對應(yīng)的x值即是一元二次方的近似根．要點(diǎn)詮釋：求一元二次方程的近似解的方法(圖象法)：

(1)直接作出函數(shù)的圖象，則圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根；(2)先將方程變?yōu)樵僭谕蛔鴺?biāo)系中畫出拋物線和直線圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根；

(3)將方程化為，移項(xiàng)后得，設(shè)和，在同一坐標(biāo)系中畫出拋物線和直線的圖象，圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根.知識點(diǎn)04拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)之間的距離公式當(dāng)△＞0時(shí)，設(shè)拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)為A(，0)，B(，0)，則、是一元二次方程的兩個根．由根與系數(shù)的關(guān)系得，．∴即(△＞0)．

知識點(diǎn)04拋物線與不等式的關(guān)系二次函數(shù)(a≠0)與一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之間的關(guān)系如下：判別式拋物線與x軸的交點(diǎn)不等式的解集不等式的解集△＞0或△＝0(或)無解△＜0全體實(shí)數(shù)無解注：a＜0的情況請同學(xué)們自己完成．要點(diǎn)詮釋：拋物線在x軸上方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為正，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集；在x軸下方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為負(fù)，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果帶有等號，其解集也相應(yīng)帶有等號．能力拓展能力拓展考法01二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)【典例1】已知拋物線．求：(1)k為何值時(shí)，拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)；(2)k為何值時(shí)，拋物線與x軸有唯一交點(diǎn)；(3)k為何值時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．【答案與解析】．(1)當(dāng)，且，即當(dāng)k＞-3且k≠-1時(shí)，拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)．(2)當(dāng)，且2(k+1)≠0．即當(dāng)k＝-3時(shí)，拋物線與x軸有唯一交點(diǎn)．(3)當(dāng)b2-4ac＝8k+24＜0，且2(k+1)≠0．即當(dāng)k＜-3時(shí)，拋物線與x軸不相交．【總結(jié)升華】根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)個數(shù)可確定字母系數(shù)的取值范圍，其方法是根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)個數(shù)，推出△值的性質(zhì)，即列出關(guān)于字母系數(shù)的方程(或不等式)，通過方程(或不等式)求解．特別提醒：易忽視二次項(xiàng)系數(shù)2(k+1)≠0這一隱含條件．【即學(xué)即練1】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：(1)寫出方程ax2+bx+c=0的兩個根；(2)寫出不等式ax2+bx+c＞0的解集；(3)求y的取值范圍．【答案】解：(1)如圖所示：方程ax2+bx+c=0的兩個根為：﹣5或1；(2)如圖所示：不等式ax2+bx+c＞0的解集為：﹣5＜x＜1；(3)∵拋物線與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A(﹣5，0)，B(1，0)，C(0，5)，設(shè)拋物線解析式為：y=a(x+5)(x﹣1)，∵拋物線過點(diǎn)C(0，5)，∴5=a×5×(﹣1)，解得：a=﹣1，∴拋物線解析式為：y=﹣(x+5)(x﹣1)=﹣x2﹣4x+5，∵a=﹣1＜0，∴當(dāng)x=﹣=﹣2時(shí)，y最大=﹣(﹣2+5)(﹣2﹣1)=9，∴y的取值范圍為：y≤9．考法02利用圖象法求一元二次方程的解【典例2】利用函數(shù)的圖象，求方程組的解.

【答案與解析】在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)和的圖象，

如圖，得到它們的交點(diǎn)坐標(biāo)(-2，0)，(3，15)，

則方程組的解為.【總結(jié)升華】可以通過畫出函數(shù)和的圖象，得到它們的交點(diǎn)，從而得到方程組的解.考法03二次函數(shù)與一元二次方程的綜合運(yùn)用【典例3】如圖，拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作y軸的平行線，與直線BC相交于點(diǎn)E(1)求直線BC的解析式；(2)當(dāng)線段DE的長度最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【思路點(diǎn)撥】(1)利用坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)求出A、B、C點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，則縱坐標(biāo)為(m，)，E點(diǎn)的坐標(biāo)為(m，)，可得兩點(diǎn)間的距離為d=，利用二次函數(shù)的最值可得m，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案與解析】解：(1)∵拋物線y=x2﹣3x+與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，∴令y=0，可得x=或x=，∴A(，0)，B(，0)；令x=0，則y=，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，則有，，解得：，∴直線BC的解析式為：y=x；(2)設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，則坐標(biāo)為(m，)，∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為(m，m)，設(shè)DE的長度為d，∵點(diǎn)D是直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，則d=m+﹣(m2﹣3m+)，整理得，d=﹣m2+m，∵a=﹣1＜0，∴當(dāng)m==時(shí)，d最大===，∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)．【總結(jié)升華】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及其圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，設(shè)出D的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)最值得D點(diǎn)坐標(biāo)是解答此題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】已知拋物線．(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若，且拋物線與軸交于整數(shù)點(diǎn)，求此拋物線的解析式．【答案】(1)依題意，得，∴，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．(2)∵拋物線與軸交于整數(shù)點(diǎn)，∴的根是整數(shù)．∴．∵，∴是整數(shù)．∴是完全平方數(shù)．∵，∴，∴取1，4，9，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴的值為2或或．∴拋物線的解析式為或或．【典例4】如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(﹣3，0)和B(1，0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C(0，3)，點(diǎn)C、D是二次函數(shù)圖象上的一對對稱點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)B、D．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍；(3)若直線與y軸的交點(diǎn)為E，連結(jié)AD、AE，求△ADE的面積．【答案與解析】解：(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c常數(shù))，根據(jù)題意得，解得：，所以二次函數(shù)的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3；(2)如圖，一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍是：x＜﹣2或x＞1．(3)∵對稱軸：x=﹣1．∴D(﹣2，3)；設(shè)直線BD：y=mx+n代入B(1，0)，D(﹣2，3)：，解得：，故直線BD的解析式為：y=﹣x+1，把x=0代入求得E(0，1)∴OE=1，又∵AB=4∴S△ADE=×4×3﹣×4×1=4．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．已知二次函數(shù)y=x2+2x﹣10，小明利用計(jì)算器列出了下表：

x

﹣4.1

﹣4.2

﹣4.3

﹣4.4

x2+2x﹣10

﹣1.39

﹣0.76

﹣0.11

0.56那么方程x2+2x﹣10=0的一個近似根是()A．﹣4.1 B．﹣4.2 C．﹣4.3 D．﹣4.4【答案】C【解析】【分析】看0在相對應(yīng)的哪兩個y的值之間，那么近似根就在這兩個y對應(yīng)的x的值之間．【詳解】根據(jù)表格得：當(dāng)﹣4.4＜x＜﹣4.3時(shí)，﹣0.11＜y＜0.56，即﹣0.11＜x2+2x﹣10＜0.56．∵0距﹣0.11近一些，∴方程x2+2x﹣10=0的一個近似根是﹣4.3．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相對應(yīng)的y值判斷出函數(shù)值接近于0的x的值．2．已知函數(shù)與函數(shù)的圖象大致如圖。若則自變量x的取值范圍是().A．B．C．D．【答案】C．【解析】試題分析：由y1=y2，即x2=-x+3，解得：x1=-2，x2=．由圖象可知，若y1＜y2，則自變量x的取值范圍是-2＜x＜．故選C．考點(diǎn)：1.二次函數(shù)的圖象；2.一次函數(shù)的圖象．3．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解為()A．x1＝－3，x2＝0 B．x1＝3，x2＝－1C．x＝－3 D．x1＝－3，x2＝1【答案】D【分析】利用拋物線與x軸的交點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱,根據(jù)(-3,0)找到另一個交點(diǎn)即可解題.【詳解】解：由圖可知,拋物線與x軸的交點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱,∵對稱軸為x=-1,其中一個交點(diǎn)為(-3,0)∴另一個交點(diǎn)為(1,0),故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì),拋物線與x軸的交點(diǎn),屬于簡單題,讀圖能力是解題關(guān)鍵.4．已知二次函數(shù)的圖象和x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是()A.k＞B.k≥C.k≥且k≠0D.k＞且k≠0【答案】C.【解析】試題分析：∵二次函數(shù)y=kx2-7x-7的圖象和x軸有交點(diǎn)，∴，∴k≥-且k≠0．故選C.考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)．5．拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為D(-1，2)，與x軸的一個交點(diǎn)A在點(diǎn)(-3，0)和(-2，0)之間，其部分圖象如圖，則以下結(jié)論不正確的是()A．b2-4ac＜0B．a(chǎn)+b+c＜0C．c-a=2D．方程ax2+bx+c-2=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根【答案】A【解析】試題解析：∵拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，∴b2-4ac＞0，所以A錯誤；∵頂點(diǎn)為D(-1，2)，∴拋物線的對稱軸為直線x=-1，∵拋物線與x軸的一個交點(diǎn)A在點(diǎn)(-3，0)和(-2，0)之間，∴拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)在點(diǎn)(0，0)和(1，0)之間，∴當(dāng)x=1時(shí)，y＜0，∴a+b+c＜0，所以B正確；∵拋物線的頂點(diǎn)為D(-1，2)，∴a-b+c=2，∵拋物線的對稱軸為直線x=-=-1，∴b=2a，∴a-2a+c=2，即c-a=2，所以C正確；∵當(dāng)x=-1時(shí)，二次函數(shù)有最大值為2，即只有x=-1時(shí)，ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c-2=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，所以D正確．故選A．考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與性質(zhì).6．如圖是拋物線y＝ax2+bx+c的圖象的一部分，請你根據(jù)圖象寫出方程ax2+bx+c＝0的兩根是_____．【答案】x1＝﹣3，x2＝1【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性即可求出拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)橫坐標(biāo)，即求出方程ax2+bx+c＝0的另一個根.【詳解】∵由圖可知，拋物線與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(-3，0)，對稱軸為直線x=-1，∴設(shè)拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為(x，0)，則，解得x=1，

∴方程ax

2+bx+c=0的兩根是x1=-3，x2=1．【點(diǎn)睛】本題考察了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)，其對稱軸是直線：；若拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)是A(x1，0)，B(x2，0)，則拋物線的對稱軸是：.7．若二次函數(shù)y＝x2﹣4x+c的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，則c的取值范圍是_____．【答案】c＞4【分析】二次函數(shù)y＝x2﹣4x+c的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，即一元二次方程x2﹣4x+c＝0的判別式小于0，從而可得關(guān)于c的不等式，解不等式即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵二次函數(shù)y＝x2﹣4x+c的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，∴令y＝0時(shí)，x2﹣4x+c＝0的判別式△＜0，即△＝16﹣4c＜0，解得c＞4．故答案為：c＞4．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題，屬于基本知識點(diǎn)，當(dāng)對應(yīng)方程的△>0時(shí)，拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，當(dāng)△=0時(shí)，拋物線與x軸有一個交點(diǎn)，當(dāng)△<0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，熟知一元二方程的根的判別式與對應(yīng)的二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的個數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵.題組B能力提升練1．若函數(shù)的圖象與x軸只有一個公共點(diǎn)，則m=________.【答案】或0【解析】試題解析：若m=0時(shí)y=-6x+2符合題意，若m≠0，則△=36-8m=0，得m=；

所以m=0或m=時(shí)，y=mx2-6x+2的圖象與x軸只有一個公共點(diǎn)．2．已知函數(shù)y＝ax2+2bx﹣c(a＞0)的圖象與x軸交于A(2，0)、B(6，0)兩點(diǎn)，則不等式cx2+2bx﹣a＜0的解集為___．【答案】x＜或x＞【分析】根據(jù)原函數(shù)經(jīng)過A，B，得到對應(yīng)方程的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到b=-4a，c=-12a，將不等式cx2+2bx-a＜0化為12x2+8x+1＞0，解之即可．【詳解】解：∵函數(shù)y=ax2+2bx-c(a＞0)的圖象與x軸交于A(2，0)、B(6，0)兩點(diǎn)，∴ax2+2bx-c=0(a＞0)的兩個實(shí)數(shù)根分別為x1=2，x2=6，∴，，∴b=-4a，c=-12a，∴cx2+2bx-a＜0可化為-12ax2-8ax-a＜0，又a＞0，∴12x2+8x+1＞0，令12x2+8x+1=0，解得：x=或x=，∵12＞0，∴不等式的12x2+8x+1＞0解集為x＜或x＞．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知得到a，b，c的關(guān)系．3．如圖所示，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(－1，2)，且與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，其中，，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有()A．個 B．個 C．個 D．個【答案】D【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【詳解】解：①∵a＜0，＜0，∴b＜0．∵拋物線交y軸與正半軸，∴c＞0．∴abc＞0，故①正確．②根據(jù)圖象知，當(dāng)x=-2時(shí)，y＜0，即4a-2b+c＜0；故②正確；③∵該函數(shù)圖象的開口向下，∴a＜0；又∵對稱軸-1＜x=＜0，∴2a-b＜0，故③正確；④∵y=＞2，a＜0，∴4ac-b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正確．綜上所述，正確的結(jié)論有①②③④．故答案為：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查對二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識點(diǎn)的理解和掌握，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．已知拋物線與x軸有兩個不同的交點(diǎn)．(1)求c的取值范圍；(2)拋物線與x軸兩交點(diǎn)的距離為2，求c的值．【答案】(1)c＜；(2)0．【解析】分析：(1)根據(jù)拋物線與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，得出b2﹣4ac＞0，進(jìn)而求出k的取值范圍．(2)根據(jù)兩交點(diǎn)間的距離為2，∴x1﹣x2=2，再利用完全平方公式的性質(zhì)以及韋達(dá)定理，求出即可．詳解：(1)∵拋物線與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，∴b2﹣4ac＞0，∴1﹣4×c＞0，解得：c＜；(2)設(shè)拋物線與x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，x2，且x1＞x2．∵兩交點(diǎn)間的距離為2，∴x1﹣x2=2，故(x1﹣x2)2=4，∴(x1+x2)2﹣4x1x2=4①，∵x1+x2=﹣=﹣2②，x1?x2=2c③，∴由①②③得:(﹣2)2﹣4×(2c)=4，解得：c=0，即c的值為0．點(diǎn)睛：本題主要考查了二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)的個數(shù)的判斷以及圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的性質(zhì)，熟練掌握拋物線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．已知二次函數(shù)y＝(x﹣m)2+2(x﹣m)(m為常數(shù))(1)求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個不同的公共點(diǎn)；(2)當(dāng)m取什么值時(shí)，該函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱？【答案】(1)見解析；(2)當(dāng)m＝1時(shí)，該函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱．【分析】(1)若證明二次函數(shù)與x軸總有兩個不同的公共點(diǎn)，只需令y＝0，得到一元二次方程(x﹣m)2+2(x﹣m)＝0，計(jì)算方程的判別式b2﹣4ac＞0即可；(2)若二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則對稱軸x＝﹣＝0，計(jì)算即可得到m的值．【詳解】(1)證明：令y＝0，則(x﹣m)2+2(x﹣m)＝0，即x2+(2﹣2m)x+m2﹣2m＝0，∵△＝(2﹣2m)2﹣4×1×(m2﹣2m)＝4＞0，∴方程x2+(2﹣2m)x+m2﹣2m＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個不同的公共點(diǎn)；(2)二次函數(shù)y＝(x﹣m)2+2(x﹣m)＝x2+(2﹣2m)x+m2﹣2m，∵函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，∴x＝﹣＝0，解得m＝1，∴當(dāng)m＝1時(shí)，該函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù)的判定、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系和二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟練掌握圖象的特征是解題的關(guān)鍵．題組C培優(yōu)拔尖練1．已知拋物線.(1)若，，求該拋物線與軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若，且當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有且只有一個公共點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)和.(2)或【分析】(1)求出拋物線解析式，再求與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)由已知可得，有，再根據(jù)，分情況分析：當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，①時(shí)；②時(shí)；慮其對稱軸為，應(yīng)有，即，解不等式組可得.【詳解】(1)當(dāng)，時(shí)，拋物線為，方程的兩個根為，.所以該拋物線與軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)是和.(2)當(dāng)時(shí)，拋物線為，且與軸有公共點(diǎn).對于方程，判別式，有.①當(dāng)時(shí)，由方程，解得，此時(shí)拋物線為與軸只有一個公共點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，.由已知時(shí)，該拋物線與軸有且只有一個公共點(diǎn)，考慮其對稱軸為，應(yīng)有，即，解得.綜上，或.【點(diǎn)睛】考核知識點(diǎn)：二次函數(shù)與不等式.2．如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于A(－3，0)、B(1，0)兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C(0，3)，點(diǎn)C、D是二次函數(shù)圖像上的一對對稱點(diǎn)，一次函數(shù)的圖像過點(diǎn)B、D．(1)D點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求二次函數(shù)的解析式；(3)若把二次函數(shù)向左平移2個單位，再向下平移3個單位，直接寫出平移后的解析式；(4)根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值小于二次函數(shù)值的x的取值范圍．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【分析】(1)根據(jù)已知條件“二次函數(shù)的圖像與x軸相交于、兩點(diǎn)”利用拋物線的對稱性得出其對稱軸，進(jìn)而再根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)是對稱點(diǎn)求得點(diǎn)坐標(biāo)；(2)根據(jù)“二次函數(shù)的圖像與軸相交于、兩點(diǎn)”，可設(shè)交點(diǎn)式解析式，再將拋物線與軸的交點(diǎn)代入其中，即可求得，進(jìn)而把其代入解析式即可求得答案；(3)由(2)的結(jié)論再結(jié)合拋物線平移的規(guī)律可得到平移后的二次函數(shù)的解析式；(4)觀察圖象可知，寫出一次函數(shù)圖象位于二次函數(shù)圖象下方時(shí)所對應(yīng)的自變量取值范圍即可．【詳解】解：(1)∵二次函數(shù)的圖像與軸相交于、兩點(diǎn)∴拋物線的對稱軸是：直線∵，點(diǎn)、是二次函數(shù)圖像上的一對對稱點(diǎn)∴點(diǎn)坐標(biāo)是：．(2)∵二次函數(shù)的圖像與軸相交于、兩點(diǎn)∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為：∵拋物線與軸相交于點(diǎn)∴∴∴二次函數(shù)的解析式為：，即．(3)∵由(2)可知二次函數(shù)的解析式為：∴將其變形為頂點(diǎn)式為：∵二次函數(shù)向左平移個單位，再向下平移個單位∴平移后的解析式為：，即．(4)∵觀察圖象可知，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交點(diǎn)為：、，一次函數(shù)圖象位于二次函數(shù)圖象下方時(shí)自變量取值范圍是∴使一次函數(shù)值小于二次函數(shù)值的的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、拋物線的對稱性、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)解析式形式的互相轉(zhuǎn)化、拋物線平移規(guī)律、通過圖象解不等式等，比較典型但難度不大．3．已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A(﹣1，0)，B(3，0)．(1)求拋物線的解析式；(2)過點(diǎn)D(0，)作x軸的平行線交拋物線于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求EF的長；(3)當(dāng)y≤時(shí)，直接寫出x的取值范圍是．【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)EF長為2；(3或．【解析】【分析】(1)把A(-1，0)，B(3，0)代入y=ax2+bx+3，即可求解；

(2)把點(diǎn)D的y坐標(biāo)代入y=-x2+2x+3，即可求解；

(3)直線EF下側(cè)的圖象符合要求．【詳解】(1)把A(﹣1，0)，B(3，0)代入y＝ax2+bx+3，解得：a＝﹣1，b＝2，拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；(2)把點(diǎn)D的y坐標(biāo)y＝，代入y＝﹣x2+2x+3，解得：x＝或，則EF長；(3)由題意得：當(dāng)y≤時(shí)，直接寫出x的取值范圍是：或，故答案為或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與一元二次方程，利用圖像解不等式及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是一道基本題，難度不大．4．已知二次函數(shù)y=a(x-m)2-a(x-m)(a，m為常數(shù)，且a≠0)．(1)求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個公共點(diǎn)；(2)設(shè)該函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)為A(x1，0)，B(x2，0)，且x12+x22=25，求m的值；(3)設(shè)該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且△ABC的面積為1，求a的值．【答案】(1)證明見解析；(2)m的值為-4或3；(3)a的值是±8．【解析】【分析】(1)把(x-m)看作一個整體，令y=0，利用根的判別式進(jìn)行判斷即可；(2)令y=0，利用因式分解法解方程求出x1=m，x2=m+1，根據(jù)x12+x22=25，代入得到關(guān)于m的方程，解方程即可求解；(3)根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出AB，再把拋物線轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式形式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】(1)證明：令y=0，a(x-m)2-a(x-m)=0，△=(-a)2-4a×0=a2，∵a≠0，∴a2＞0，∴不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個公共點(diǎn)；(2)解：y=0，則a(x-m)2-