2023-2024學年北京市大興區(qū)高二年級上冊期末數學模擬試題(含解析)

2023-2024學年北京市大興區(qū)高二上冊期末數學模擬試題

一、單選題

1.空間向量。二二。方；()

A.ABB.CBC.OCD.BC

【正確答案】D

【分析】利用向量的加減法則即可求解.

【詳解】OA-OB+AC^BA+AC=BC

故選：D

2.圓3=0的半徑是()

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】B

【分析】將圓的一般式化為標準式即得.

【詳解】由x?+/-2y-3=0,可得x?=4,

所以圓x,+/-2y-3=0的半徑是2,

故選：B.

3.拋物線V=8y的焦點到準線的距離是(〉

A.1B.2C.4D.8

【正確答案】C

【詳解】拋物線x2=8y的焦點為(0,2),準線方程為尸-2,焦點到準線的距離為4.

故選：C.

4.已知數列｛4“｝的前〃項和S“=〃2,則％=()

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】C

【分析】根據,再,關系解決即可.

【詳解】由題知，數列｛q,｝的前”項和S“=/,

，

所以電=S2-SI=4-1=3,

故選：C

5.若等差數列｛/｝滿足/=-1,%=1,則其前〃項和的最小值為()

A.—9B.—8C.-7D.—6

【正確答案】A

【分析】由己知求出生和d的值，得至115,,="2-6〃=(〃-3)2-9,即可求出最小值.

【詳解】由題意可得，4=4一%=2,又。3=q+"，所以q=-5.

所以，｛?”｝的前n項和S“=—5〃+""；［x2=-6/j=(n-3)--9>-9,

當〃=3時，S“有最小值-9.

故選：A.

6.設｛%｝是各項不為0的無窮數列,“▼女E㈤,尸?/」是^叫為等比數列叩勺()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】C

【分析】根據等比數列的定義可以判斷“▼〃€^,4+尸4%+2”是“｛%｝為等比數歹『，的充分必

要條件，即可選出結果.

【詳解】解:由題知｛%｝是各項不為0,

若V〃eN",a3=a“，

則

'a?%'

故｛叫為等比數列；

若｛%｝為等比數列，

則有S±L=4±1

a“a?+1

即=4%；

綜上“W〃e/“a"，是”｛《,｝為等比數列”的充分必要條件.

故選:C

7.設/鳥是橢圓C:[+f=l的兩個焦點，點尸在橢圓C上，閥|=4,則圈=（）

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】B

【分析】利用橢圓的定義|咫|+-用=2。即可得解.

【詳解】因為橢圓C:工+片=1,

94

所以a?=9,則。=3,

因為|P周+|P瑪|=2a=6,|P制=4,

所以|尸居|=2.

故選：B.

8.如圖，在三棱柱/8C-481G中，egJ■平面=8C==441=2.D,E.

尸分別為44,4G，的中點，則直線EF與平面5co的位置關系是（)

A.平行B.垂直C.直線在平面內D.相交且不垂直

【正確答案】D

【分析】根據圖形位置證明線線垂直，建立空間直角坐標系，通過計算平面8co的法向量,

直線E尸的方向向量，判斷平面8co的法向量是否與直線E尸的法向量垂直，又判斷直線E尸

與直線CD是否垂直，可得直線與平面的位置關系.

【詳解】解：如圖取/C中點M,連接EW,BM

因為==為/C中點，所以"8_LZC

又在三棱柱/8C-48G中，CG，平面N8C,E為4G中點，所以EM//CC；

則E〃_L平面N8C,又/C,M8u平面N8C,所以EM_L/C,EM±MB,

又4c=44=2,則力"=；4c=1,所以MB={AB?+AM?=2，

以點M為坐標原點，朋4ME為x,y,z軸建立空間直角坐標系如圖所示，

則3(0,2,0),C(-l,0,0),0(1,0,1),￡(0,0,2),尸(0,2,1),

設平面58的法向量為"=(x),z),

,令N=-l,貝!jx=2,z=-4,故〃=(2,-L-4),

[n-BD=0[x-2y+z=0

又EFXOZ-l),DC=(-2,0,-1)

因為O=2x0+(-l)x2+(-4)x(-l)=2w。又EFZ>d=O+O+(-l)x(-l)=lwO

所以直線EF與平88交，且不垂直于平面BCD.

故選：D.

9.記S,為等比數列｛《｝的前”項和.已知q=-4,%=g,則數列｛S,,｝()

A.無最大項，有最小項B.有最大項，無最小項

C.無最大項，無最小項D.有最大項，有最小項

【正確答案】D

【分析】求出公比q,求出s.，然后分析｛sj的性質即可.

【詳解】設公比為/則八>4,=4>

Qf1\O

當〃為偶數時，^,,=--11--L對應函數為減函數，即$2>'>56>>->

Q/1\O

當〃為奇數時，1+—I,對應函數為增函數，即岳<53<項<

所以｛S“｝有最大項為反，最小項為￡.

故選：D.

本題考查等比數列的前〃項和形成的數列的最值問題，解題關鍵是求得邑后按奇偶數分類,

QQ

得出奇數項遞增，偶數項遞減，但所有偶數項比大，所有奇數項比小，即可確定最

值.

10.已知M是圓（x-了+支=1上的動點，則“到直線y=H+l（左eR）距離的最大值為（）

A.2B.五+1C.3D.26+1

【正確答案】B

【分析】根據圓上的點到一條直線距離的最大值等于圓心到此直線距離與半徑和，根據

y=b+l（keR）恒過的定點C（O』），過圓心ZQ,0）作直線y=b+l/eR）的垂線，垂足為

B,得知點B的軌跡為以/C為直徑的圓，則4m=以用皿+1=應+1求解.

【詳解】設圓（x-lY+V=1的圓心為/Q,0）,點“到直線y=b+l（keR）的距離為"，過

點A作直線y=b+l（&eR）的垂線，垂足為8,

則點A到直線y=依+l（keR）的距離為,所以=\AB\^+1,

又因為直線y=丘+1（左eR）恒過定點C（0,l）,則垂足B的軌跡為以/C為直徑的圓,

則MMmax=MO=g=亞，所以咚"=四L+1=應+1

故選：B

二、填空題

11.3與7的等差中項為.

【正確答案】5

【分析】由等差中項的定義，若4G，8成等差數列，則6=中即可求得.

2

【詳解】設3與7的等差中項為x,則由等差中項的定義得x=*=5.

故5

12.直線N=X+1關于y軸對稱的直線的方程為.

【正確答案】y=—X+1

【分析】設所求直線上任一點為（X,y）,可得關于V軸的對稱點（-XJ）,然后代入y=x+i即

得.

【詳解】設所求直線上任一點為（X/）,則關于y軸的對稱點為（-x,y）,

將(-X/)代入直線y=x+l得，y=-x+l,

即直線y=x+l關于>軸對稱的直線的方程為y=-x+l.

故答案為J=-x+l

13.已知雙曲線￡-了2=13>0）的一條漸近線方程為》+23，=0,則。=

Q

【正確答案】2

【分析】先由雙曲線的漸近線設出雙曲線的方程，再利用待定系數法即可求得。的值.

【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為x+2y=0,

22）

所以雙曲線的方程可設為工-/=〃4/0）,即三一二二1,

4.'742A

丫2

因為-7-y2=1（?！?）,

a

42=a2

所以解得〃=2（負值舍去）,

A=1

所以。=2.

故答案為.2

14.能說明“若等比數列應｝滿足％<出，則等比數列｛氏｝是遞增數歹IJ”是假命題的一個等比

數列｛勺｝的通項公式可以是.

【正確答案】氏=-(-2)"T,〃eN"(答案不唯一)

【分析】根據等比數列單調性可知，首項6和公比4共同決定了數列｛《,｝的單調性，即可寫

出符合題意的數列.

【詳解】由題意可知，若"等比數列｛%｝是遞增數列”，

需滿足當《<0時，公比0<4<1；或％>0時，公比g>i；

又因為命題為假命題，所以公比4<0即可滿足題意，

不妨取,首項4=-1時,公比g=-2,則出=2,滿足《〈心

此時數列｛《,｝是擺動數列，通項公式為為=(-1)(-2嚴=-(—2尸,〃eN,

故4,=-(-2)i,〃eN*

15.平面內，動點M與點尸(L0)的距離和M到直線x=-l的距離的乘積等于2,動點加的

軌跡為曲線C.給出下列四個結論：

①曲線C過坐標原點；

②曲線C關于x軸對稱；

③曲線C與x軸有2個交點；

④點”與點尸(1,0)的距離都不小于百-1.

其中所有正確結論的序號為.

【正確答案】②③④

【分析】將所求點用(x，y)直接表示出來，然后根據條件列出方程即可求出軌跡方程，令

x=0y=0可判斷A,根據T代入可判斷B,令歹=0可解x的值，進而可判斷C,利用消元法,

然后利用函數的單調性求最值可判斷D.

【詳解】設動點的坐標為”(x,y),

曲線C是平面內與定點尸(1,0)和定直線x=-l的距離的積等于2的點的軌跡，

??J(x-1)-+y，+11=2>

當x=0時，y=o,J(o_i)2+()21+11#2曲線C不過坐標原點,故①錯誤；

將將x-l)2+W+l|=2中的y用-1代入該等式不變,???曲線C關于X軸對稱，故②正確；

令y=0時，肘+l|=2n|x-l||x+l|=2nx=±6,故曲線C與x軸有2個交點，故③正

確；

J(X_1)2+/F+1|=2,

y2=J,4-(x-If>0,解得-G<x<^,

V(x+1)

__________22

???若點〃在曲線C上，則阿尸|=J(xT>+/=51P下后=6一1,故④正確.

故②③④.

三、解答題

16.已知點40,1)和點8(2,3)是圓C直徑的兩個端點.

(1)求線段N8的中點坐標和圓C的方程；

(2)過點/作圓C的切線/,求切線/的方程.

【正確答案】(1)48中點(1,2),C:(X-1)2+(^-2)2=2

(2)1-x+y-\=0

【分析】(1)根據中點坐標公式即可求得48的中點，即圓心坐標，利用兩點間距離公式可

求得直徑48,即可寫出圓C的方程；

(2)根據直線和圓的位置關系可得切線/的斜率，再利用點斜式方程即可求得切線/的方程.

【詳解】(1)由點40,1)和點8(2,3)是圓C直徑的兩個端點，

可得NB的中點即為圓心C,根據中點坐標公式可得CQ,2),

即線段45的中點坐標為C(l,2),根據兩點間距離公式得直徑N8=J(2-0)2+(3-l)2=2&，

所以圓C的半徑為廠=&,

則圓的方程為C：(x-l)2+(y-2)2=2

3-1

(2)根據題意可知直線N8與切線/垂直，直線的斜率為3"=二五=1,

設切線/的斜率為左，滿足力.仍=-1,得無=一1;

又切線/過點力,利用直線的點斜式方程得/：y-i=-ix(x-o)；

即切線/的方程為/：x+y-l=O.

17.已知等差數列｛《,｝滿足《=1,%+%=5.

(1)求｛《,｝的通項公式；

(2)設他,｝是等比數列，(=2也=2b-求數列｛%+等｝的前〃項和看.

【正確答案】(1)4=〃;

⑵7；=與*2向—2.

【分析】(1)結合題意利用等差數列的通項公式求出公差d,即可求出通項公式；

(2)根據也｝是等比數列及4=2也=24，即可求出等比數列也｝的通項公式，再利用分

組求和即可求出7；.

【詳解】(1)｛4｝是等差數列且4=1,々+%=5

q+d+q+"=5

d=\

an=l+〃—1=〃

(2)｛"｝是等比數列，4=2也=24

:.q=2

??也=2"

?,?%+?=〃+2"

采用分組求和即得7—(>2")=上工2””-2.

"21-22

18.已知拋物線C:/=4x的焦點為F.

(1)求產的坐標和拋物線C的準線方程；

(2)過點尸的直線/與拋物線C交于兩個不同點4B,再從條件①、條件②這兩個條件中選

擇一個作為已知，求的長.

條件①：直線/的斜率為1;

條件②：線段48的中點為M（3,2）.

注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個解答計分.

【正確答案】（1）焦點尸（1,0）,準線方程為x=-l

（2）8

【分析】（1）直接根據開口的方向以及P的值即可得結果；

（2）選擇條件①：直接聯立直線與拋物線的方程，根據韋達定理可得須+乙=6,由弦長公

式即可得結果；選擇條件②：可得%+%=6,由弦長公式即可得結果.

【詳解】（1）拋物線C:/=4x開口向右，其中p=2,

所以焦點尸（1,0）,準線方程為尸-1.

（2）選擇條件①：直線/的斜率為1

所以直線/的方程為y=x-l,

設力（項,必），8（乙，%），

[y=x-\

聯立｛2.得X2-6X+1=0,顯然△＞（）,

=4x

所以X|+工2=6,

g|J\AB\=+/+p=6+2=8.

選擇條件②：線段45的中點為2（3,2）

設，（國,必）,B（x2,y2）,則匹+W=6,

即同=芭+々+°=6+2=8.

19.如圖，在長方體中，AB=AD=\,AAt=2,E是棱。。的中點.

(2)求平面AB、E與平面AMQi夾角的余弦值:

(3)求點G到平面48姿的距離.

【正確答案】(1)答案見解析.

6

⑶半

6

【分析】對于(1),證明8/即可.

對于(2),(3),利用向量法可得答案.

【詳解】(1)證明：由題，四邊形AGC5為矩形，四邊形是正方形，

則8c=BC=AD,8cBCAD,故四邊形49cs是平行四邊形，得G。B}A,

又CQZ平面8/u平面N8E，則CQ〃平面

(2)如圖，建立以力為原點的空間直角坐標系.

則4(0,0,0),B(1,0,0),。仙1,0),瑪(,0,2),0QJ2)，E[11),

得=(1,0,2),AE=(0,1,1),設平面法向量為"=(x,y,z),

X??"、

n-AB.=x+2z=0/、

則x"，取〃=(2,1,-1).

nAE=y-^z=0')

又平面44CQ]法向量:二(0,0,1),且由圖可知，

m__-_n____近

平面/8E與平面44GA夾角。為銳角，貝Ijcosj=

\m「\-M而6

(3)由圖可得，C,(1,1,2),則/￡=(1,1,2),又由(2)解析可知

平面法向量為〃=(2,1,-1),

AC-n1

則點G到平面的距離"=X

H忑

20.已知橢圓C:K記=1(.>0,6>0)過點P(2,l),且a=26.

(1)求橢圓C的方程和離心率;

(2)設。為原點，直線。尸與直線/平行，直線/與橢圓C交于不同的兩點/，N,直線尸M,

PN分別與x軸交于點E,F.當E,尸都在y軸右側時，求證：|?；?|。F|為定值.

【正確答案】(l)E+《=i,巫

822

(2)證明過程見詳解

【分析】(1)將點P(2,D代入橢圓C:￡+《=l中，再結合。=26,即可求出a和6,進而

ab

求得橢圓C的方程，再根據02=/-〃，代入e=￡中，即可得到橢圓c的離心率；

a

(2)根據題意設直線/的方程為y=gx+m,設"(2乂-2〃?,》),N(2%-2%%),從而得

到直線PM的方程，進而得到目一-50和尸--50,聯立直線/與橢圓C的方程，再

根據韋達定理得乂+外,乂“，即可求得|。同+|。日的值為4,即結論得證.

22

2Ib=y/2x22

【詳解】（1）解：依題意有/+記=1得?L，所以橢圓C的方程為土+匕=1,

2

a=2ba=2V28

又c=J7=F=76.則橢圓C的離心率為e=?=^=曰;

（2）證明：依題意可得直線OP的方程為y=

則可設直線/的方程為卜=3^+機，不妨設〃（2乂-2見乂），N（2y2-2m,y2）,

\

則直線加的方程為二資+（尸2）+1,得E2m2m

,0,同理得尸,0,

必T

/

1

y=—x+m

22,消X整理得2爐-2,號+/-2=0,

聯立

土+J

82

ni2-2

則必+%="?，乂?力=

2

2m2m

又E,尸都在y軸右側,即—7>0,>0,

弘-1%-1

2m2m2加（必+以一2）2〃z（加一2）

所以|困+|叫=------卜—=4

必一1為一1必.為一（必+必）+1m2-21-（定值）,

---m+1

2

故結論|。目+|。尸|為定值成立.

解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟:

①設出直線方程，設交點為小士,必），5（x2，%）；

②聯立直線與曲線的方程，得到關于x（或y）的一元二次方程;

③寫出韋達定理;

④將所求問題轉化為玉+多，（或必+%,y｝-y2,）的形式;

⑤代入韋達定理求解.

21.已知｛%｝為無窮遞增數列，且對于給定的正整數鼠總存在i,j,使得生4〃,%2%,其

中""令"為滿足qW上的所有i中的最大值，q為滿足勺的所有J中的最小值.

（1）若無窮遞增數列｛4｝的前四項是1,2,3,5,求“和1的值；

（2）若｛凡｝是無窮等比數列，q=l,公比g是大于1的整數，&<%=々勺=，4,求4的值;

(3)若｛%｝是無窮等差數列，4=1,公差為上，其中加為常數，且加>l,〃?eN",求證:

m

b也,也，和C/2，都是等差數列，并寫出這兩個數列的通項公式.

【正確答案】(1)4=3,1=4,

(2)q=2或q=4

(3)證明見解析，bn=nm-m+\,cn=nm-m+\

【分析】(1)根據題意求解即可；

(2)由等比數列的通項公式寫出｛對｝的通項，由題意列式后解指數型方程可得結果；

(3)由等差數列的通項公式寫出｛4