2023-2024學(xué)年北京市大興區(qū)高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題(含解析)

2023-2024學(xué)年北京市大興區(qū)高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.空間向量。二二。方；()

A.ABB.CBC.OCD.BC

【正確答案】D

【分析】利用向量的加減法則即可求解.

【詳解】OA-OB+AC^BA+AC=BC

故選：D

2.圓3=0的半徑是()

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】B

【分析】將圓的一般式化為標(biāo)準(zhǔn)式即得.

【詳解】由x?+/-2y-3=0,可得x?=4,

所以圓x,+/-2y-3=0的半徑是2,

故選：B.

3.拋物線V=8y的焦點到準(zhǔn)線的距離是(〉

A.1B.2C.4D.8

【正確答案】C

【詳解】拋物線x2=8y的焦點為(0,2),準(zhǔn)線方程為尸-2,焦點到準(zhǔn)線的距離為4.

故選：C.

4.已知數(shù)列｛4“｝的前〃項和S“=〃2,則％=()

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】C

【分析】根據(jù),再,關(guān)系解決即可.

【詳解】由題知，數(shù)列｛q,｝的前”項和S“=/,

，

所以電=S2-SI=4-1=3,

故選：C

5.若等差數(shù)列｛/｝滿足/=-1,%=1,則其前〃項和的最小值為()

A.—9B.—8C.-7D.—6

【正確答案】A

【分析】由己知求出生和d的值，得至115,,="2-6〃=(〃-3)2-9,即可求出最小值.

【詳解】由題意可得，4=4一%=2,又。3=q+"，所以q=-5.

所以，｛?”｝的前n項和S“=—5〃+""；［x2=-6/j=(n-3)--9>-9,

當(dāng)〃=3時，S“有最小值-9.

故選：A.

6.設(shè)｛%｝是各項不為0的無窮數(shù)列,“▼女E㈤,尸?/」是^叫為等比數(shù)列叩勺()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義可以判斷“▼〃€^,4+尸4%+2”是“｛%｝為等比數(shù)歹『，的充分必

要條件，即可選出結(jié)果.

【詳解】解:由題知｛%｝是各項不為0,

若V〃eN",a3=a“，

則

'a?%'

故｛叫為等比數(shù)列；

若｛%｝為等比數(shù)列，

則有S±L=4±1

a“a?+1

即=4%；

綜上“W〃e/“a"，是”｛《,｝為等比數(shù)列”的充分必要條件.

故選:C

7.設(shè)/鳥是橢圓C:[+f=l的兩個焦點，點尸在橢圓C上，閥|=4,則圈=（）

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】B

【分析】利用橢圓的定義|咫|+-用=2。即可得解.

【詳解】因為橢圓C:工+片=1,

94

所以a?=9,則。=3,

因為|P周+|P瑪|=2a=6,|P制=4,

所以|尸居|=2.

故選：B.

8.如圖，在三棱柱/8C-481G中，egJ■平面=8C==441=2.D,E.

尸分別為44,4G，的中點，則直線EF與平面5co的位置關(guān)系是（)

A.平行B.垂直C.直線在平面內(nèi)D.相交且不垂直

【正確答案】D

【分析】根據(jù)圖形位置證明線線垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，通過計算平面8co的法向量,

直線E尸的方向向量，判斷平面8co的法向量是否與直線E尸的法向量垂直，又判斷直線E尸

與直線CD是否垂直，可得直線與平面的位置關(guān)系.

【詳解】解：如圖取/C中點M,連接EW,BM

因為==為/C中點，所以"8_LZC

又在三棱柱/8C-48G中，CG，平面N8C,E為4G中點，所以EM//CC；

則E〃_L平面N8C,又/C,M8u平面N8C,所以EM_L/C,EM±MB,

又4c=44=2,則力"=；4c=1,所以MB={AB?+AM?=2，

以點M為坐標(biāo)原點，朋4ME為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則3(0,2,0),C(-l,0,0),0(1,0,1),￡(0,0,2),尸(0,2,1),

設(shè)平面58的法向量為"=(x),z),

,令N=-l,貝!jx=2,z=-4,故〃=(2,-L-4),

[n-BD=0[x-2y+z=0

又EFXOZ-l),DC=(-2,0,-1)

因為O=2x0+(-l)x2+(-4)x(-l)=2w。又EFZ>d=O+O+(-l)x(-l)=lwO

所以直線EF與平88交，且不垂直于平面BCD.

故選：D.

9.記S,為等比數(shù)列｛《｝的前”項和.已知q=-4,%=g,則數(shù)列｛S,,｝()

A.無最大項，有最小項B.有最大項，無最小項

C.無最大項，無最小項D.有最大項，有最小項

【正確答案】D

【分析】求出公比q,求出s.，然后分析｛sj的性質(zhì)即可.

【詳解】設(shè)公比為/則八>4,=4>

Qf1\O

當(dāng)〃為偶數(shù)時，^,,=--11--L對應(yīng)函數(shù)為減函數(shù)，即$2>'>56>>->

Q/1\O

當(dāng)〃為奇數(shù)時，1+—I,對應(yīng)函數(shù)為增函數(shù)，即岳<53<項<

所以｛S“｝有最大項為反，最小項為￡.

故選：D.

本題考查等比數(shù)列的前〃項和形成的數(shù)列的最值問題，解題關(guān)鍵是求得邑后按奇偶數(shù)分類,

QQ

得出奇數(shù)項遞增，偶數(shù)項遞減，但所有偶數(shù)項比大，所有奇數(shù)項比小，即可確定最

值.

10.已知M是圓（x-了+支=1上的動點，則“到直線y=H+l（左eR）距離的最大值為（）

A.2B.五+1C.3D.26+1

【正確答案】B

【分析】根據(jù)圓上的點到一條直線距離的最大值等于圓心到此直線距離與半徑和，根據(jù)

y=b+l（keR）恒過的定點C（O』），過圓心ZQ,0）作直線y=b+l/eR）的垂線，垂足為

B,得知點B的軌跡為以/C為直徑的圓，則4m=以用皿+1=應(yīng)+1求解.

【詳解】設(shè)圓（x-lY+V=1的圓心為/Q,0）,點“到直線y=b+l（keR）的距離為"，過

點A作直線y=b+l（&eR）的垂線，垂足為8,

則點A到直線y=依+l（keR）的距離為,所以=\AB\^+1,

又因為直線y=丘+1（左eR）恒過定點C（0,l）,則垂足B的軌跡為以/C為直徑的圓,

則MMmax=MO=g=亞，所以咚"=四L+1=應(yīng)+1

故選：B

二、填空題

11.3與7的等差中項為.

【正確答案】5

【分析】由等差中項的定義，若4G，8成等差數(shù)列，則6=中即可求得.

2

【詳解】設(shè)3與7的等差中項為x,則由等差中項的定義得x=*=5.

故5

12.直線N=X+1關(guān)于y軸對稱的直線的方程為.

【正確答案】y=—X+1

【分析】設(shè)所求直線上任一點為（X,y）,可得關(guān)于V軸的對稱點（-XJ）,然后代入y=x+i即

得.

【詳解】設(shè)所求直線上任一點為（X/）,則關(guān)于y軸的對稱點為（-x,y）,

將(-X/)代入直線y=x+l得，y=-x+l,

即直線y=x+l關(guān)于>軸對稱的直線的方程為y=-x+l.

故答案為J=-x+l

13.已知雙曲線￡-了2=13>0）的一條漸近線方程為》+23，=0,則。=

Q

【正確答案】2

【分析】先由雙曲線的漸近線設(shè)出雙曲線的方程，再利用待定系數(shù)法即可求得。的值.

【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為x+2y=0,

22）

所以雙曲線的方程可設(shè)為工-/=〃4/0）,即三一二二1,

4.'742A

丫2

因為-7-y2=1（。〉0）,

a

42=a2

所以解得〃=2（負(fù)值舍去）,

A=1

所以。=2.

故答案為.2

14.能說明“若等比數(shù)列應(yīng)｝滿足％<出，則等比數(shù)列｛氏｝是遞增數(shù)歹IJ”是假命題的一個等比

數(shù)列｛勺｝的通項公式可以是.

【正確答案】氏=-(-2)"T,〃eN"(答案不唯一)

【分析】根據(jù)等比數(shù)列單調(diào)性可知，首項6和公比4共同決定了數(shù)列｛《,｝的單調(diào)性，即可寫

出符合題意的數(shù)列.

【詳解】由題意可知，若"等比數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列”，

需滿足當(dāng)《<0時，公比0<4<1；或％>0時，公比g>i；

又因為命題為假命題，所以公比4<0即可滿足題意，

不妨取,首項4=-1時,公比g=-2,則出=2,滿足《〈心

此時數(shù)列｛《,｝是擺動數(shù)列，通項公式為為=(-1)(-2嚴(yán)=-(—2尸,〃eN,

故4,=-(-2)i,〃eN*

15.平面內(nèi)，動點M與點尸(L0)的距離和M到直線x=-l的距離的乘積等于2,動點加的

軌跡為曲線C.給出下列四個結(jié)論：

①曲線C過坐標(biāo)原點；

②曲線C關(guān)于x軸對稱；

③曲線C與x軸有2個交點；

④點”與點尸(1,0)的距離都不小于百-1.

其中所有正確結(jié)論的序號為.

【正確答案】②③④

【分析】將所求點用(x，y)直接表示出來，然后根據(jù)條件列出方程即可求出軌跡方程，令

x=0y=0可判斷A,根據(jù)T代入可判斷B,令歹=0可解x的值，進(jìn)而可判斷C,利用消元法,

然后利用函數(shù)的單調(diào)性求最值可判斷D.

【詳解】設(shè)動點的坐標(biāo)為”(x,y),

曲線C是平面內(nèi)與定點尸(1,0)和定直線x=-l的距離的積等于2的點的軌跡，

??J(x-1)-+y，+11=2>

當(dāng)x=0時，y=o,J(o_i)2+()21+11#2曲線C不過坐標(biāo)原點,故①錯誤；

將將x-l)2+W+l|=2中的y用-1代入該等式不變,???曲線C關(guān)于X軸對稱，故②正確；

令y=0時，肘+l|=2n|x-l||x+l|=2nx=±6,故曲線C與x軸有2個交點，故③正

確；

J(X_1)2+/F+1|=2,

y2=J,4-(x-If>0,解得-G<x<^,

V(x+1)

__________22

???若點〃在曲線C上，則阿尸|=J(xT>+/=51P下后=6一1,故④正確.

故②③④.

三、解答題

16.已知點40,1)和點8(2,3)是圓C直徑的兩個端點.

(1)求線段N8的中點坐標(biāo)和圓C的方程；

(2)過點/作圓C的切線/,求切線/的方程.

【正確答案】(1)48中點(1,2),C:(X-1)2+(^-2)2=2

(2)1-x+y-\=0

【分析】(1)根據(jù)中點坐標(biāo)公式即可求得48的中點，即圓心坐標(biāo)，利用兩點間距離公式可

求得直徑48,即可寫出圓C的方程；

(2)根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系可得切線/的斜率，再利用點斜式方程即可求得切線/的方程.

【詳解】(1)由點40,1)和點8(2,3)是圓C直徑的兩個端點，

可得NB的中點即為圓心C,根據(jù)中點坐標(biāo)公式可得CQ,2),

即線段45的中點坐標(biāo)為C(l,2),根據(jù)兩點間距離公式得直徑N8=J(2-0)2+(3-l)2=2&，

所以圓C的半徑為廠=&,

則圓的方程為C：(x-l)2+(y-2)2=2

3-1

(2)根據(jù)題意可知直線N8與切線/垂直，直線的斜率為3"=二五=1,

設(shè)切線/的斜率為左，滿足力.仍=-1,得無=一1;

又切線/過點力,利用直線的點斜式方程得/：y-i=-ix(x-o)；

即切線/的方程為/：x+y-l=O.

17.已知等差數(shù)列｛《,｝滿足《=1,%+%=5.

(1)求｛《,｝的通項公式；

(2)設(shè)他,｝是等比數(shù)列，(=2也=2b-求數(shù)列｛%+等｝的前〃項和看.

【正確答案】(1)4=〃;

⑵7；=與*2向—2.

【分析】(1)結(jié)合題意利用等差數(shù)列的通項公式求出公差d,即可求出通項公式；

(2)根據(jù)也｝是等比數(shù)列及4=2也=24，即可求出等比數(shù)列也｝的通項公式，再利用分

組求和即可求出7；.

【詳解】(1)｛4｝是等差數(shù)列且4=1,々+%=5

q+d+q+"=5

d=\

an=l+〃—1=〃

(2)｛"｝是等比數(shù)列，4=2也=24

:.q=2

??也=2"

?,?%+?=〃+2"

采用分組求和即得7—(>2")=上工2””-2.

"21-22

18.已知拋物線C:/=4x的焦點為F.

(1)求產(chǎn)的坐標(biāo)和拋物線C的準(zhǔn)線方程；

(2)過點尸的直線/與拋物線C交于兩個不同點4B,再從條件①、條件②這兩個條件中選

擇一個作為已知，求的長.

條件①：直線/的斜率為1;

條件②：線段48的中點為M（3,2）.

注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個解答計分.

【正確答案】（1）焦點尸（1,0）,準(zhǔn)線方程為x=-l

（2）8

【分析】（1）直接根據(jù)開口的方向以及P的值即可得結(jié)果；

（2）選擇條件①：直接聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得須+乙=6,由弦長公

式即可得結(jié)果；選擇條件②：可得%+%=6,由弦長公式即可得結(jié)果.

【詳解】（1）拋物線C:/=4x開口向右，其中p=2,

所以焦點尸（1,0）,準(zhǔn)線方程為尸-1.

（2）選擇條件①：直線/的斜率為1

所以直線/的方程為y=x-l,

設(shè)力（項,必），8（乙，%），

[y=x-\

聯(lián)立｛2.得X2-6X+1=0,顯然△＞（）,

=4x

所以X|+工2=6,

g|J\AB\=+/+p=6+2=8.

選擇條件②：線段45的中點為2（3,2）

設(shè)，（國,必）,B（x2,y2）,則匹+W=6,

即同=芭+々+°=6+2=8.

19.如圖，在長方體中，AB=AD=\,AAt=2,E是棱。。的中點.

(2)求平面AB、E與平面AMQi夾角的余弦值:

(3)求點G到平面48姿的距離.

【正確答案】(1)答案見解析.

6

⑶半

6

【分析】對于(1),證明8/即可.

對于(2),(3),利用向量法可得答案.

【詳解】(1)證明：由題，四邊形AGC5為矩形，四邊形是正方形，

則8c=BC=AD,8cBCAD,故四邊形49cs是平行四邊形，得G。B}A,

又CQZ平面8/u平面N8E，則CQ〃平面

(2)如圖，建立以力為原點的空間直角坐標(biāo)系.

則4(0,0,0),B(1,0,0),。仙1,0),瑪(,0,2),0QJ2)，E[11),

得=(1,0,2),AE=(0,1,1),設(shè)平面法向量為"=(x,y,z),

X??"、

n-AB.=x+2z=0/、

則x"，取〃=(2,1,-1).

nAE=y-^z=0')

又平面44CQ]法向量:二(0,0,1),且由圖可知，

m__-_n____近

平面/8E與平面44GA夾角。為銳角，貝Ijcosj=

\m「\-M而6

(3)由圖可得，C,(1,1,2),則/￡=(1,1,2),又由(2)解析可知

平面法向量為〃=(2,1,-1),

AC-n1

則點G到平面的距離"=X

H忑

20.已知橢圓C:K記=1(.>0,6>0)過點P(2,l),且a=26.

(1)求橢圓C的方程和離心率;

(2)設(shè)。為原點，直線。尸與直線/平行，直線/與橢圓C交于不同的兩點/，N,直線尸M,

PN分別與x軸交于點E,F.當(dāng)E,尸都在y軸右側(cè)時，求證：|?；?|。F|為定值.

【正確答案】(l)E+《=i,巫

822

(2)證明過程見詳解

【分析】(1)將點P(2,D代入橢圓C:￡+《=l中，再結(jié)合。=26,即可求出a和6,進(jìn)而

ab

求得橢圓C的方程，再根據(jù)02=/-〃，代入e=￡中，即可得到橢圓c的離心率；

a

(2)根據(jù)題意設(shè)直線/的方程為y=gx+m,設(shè)"(2乂-2〃?,》),N(2%-2%%),從而得

到直線PM的方程，進(jìn)而得到目一-50和尸--50,聯(lián)立直線/與橢圓C的方程，再

根據(jù)韋達(dá)定理得乂+外,乂“，即可求得|。同+|。日的值為4,即結(jié)論得證.

22

2Ib=y/2x22

【詳解】（1）解：依題意有/+記=1得?L，所以橢圓C的方程為土+匕=1,

2

a=2ba=2V28

又c=J7=F=76.則橢圓C的離心率為e=?=^=曰;

（2）證明：依題意可得直線OP的方程為y=

則可設(shè)直線/的方程為卜=3^+機(jī)，不妨設(shè)〃（2乂-2見乂），N（2y2-2m,y2）,

\

則直線加的方程為二資+（尸2）+1,得E2m2m

,0,同理得尸,0,

必T

/

1

y=—x+m

22,消X整理得2爐-2,號+/-2=0,

聯(lián)立

土+J

82

ni2-2

則必+%="?，乂?力=

2

2m2m

又E,尸都在y軸右側(cè),即—7>0,>0,

弘-1%-1

2m2m2加（必+以一2）2〃z（加一2）

所以|困+|叫=------卜—=4

必一1為一1必.為一（必+必）+1m2-21-（定值）,

---m+1

2

故結(jié)論|。目+|。尸|為定值成立.

解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟:

①設(shè)出直線方程，設(shè)交點為小士,必），5（x2，%）；

②聯(lián)立直線與曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程;

③寫出韋達(dá)定理;

④將所求問題轉(zhuǎn)化為玉+多，（或必+%,y｝-y2,）的形式;

⑤代入韋達(dá)定理求解.

21.已知｛%｝為無窮遞增數(shù)列，且對于給定的正整數(shù)鼠總存在i,j,使得生4〃,%2%,其

中""令"為滿足qW上的所有i中的最大值，q為滿足勺的所有J中的最小值.

（1）若無窮遞增數(shù)列｛4｝的前四項是1,2,3,5,求“和1的值；

（2）若｛凡｝是無窮等比數(shù)列，q=l,公比g是大于1的整數(shù)，&<%=々勺=，4,求4的值;

(3)若｛%｝是無窮等差數(shù)列，4=1,公差為上，其中加為常數(shù)，且加>l,〃?eN",求證:

m

b也,也，和C/2，都是等差數(shù)列，并寫出這兩個數(shù)列的通項公式.

【正確答案】(1)4=3,1=4,

(2)q=2或q=4

(3)證明見解析，bn=nm-m+\,cn=nm-m+\

【分析】(1)根據(jù)題意求解即可；

(2)由等比數(shù)列的通項公式寫出｛對｝的通項，由題意列式后解指數(shù)型方程可得結(jié)果；

(3)由等差數(shù)列的通項公式寫出｛4