2023-2024學(xué)年上海市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年上海市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、填空題

1.已知原〃表示兩個(gè)不同的平面，機(jī)為平面α內(nèi)的一條直線，則“a，，”是“相，尸”的

________條件

【正確答案】必要不充分

[分析]根據(jù)直線和平面的位置關(guān)系以及充分必要條件的定義可判斷.

【詳解】若口，￡,加與面用不一定垂直，

若“，尸，根據(jù)面面垂直的判定定理可得a_L力，

故必要不充分?

2.一個(gè)總體分為AB兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個(gè)容量為20的樣本.已知B層

中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是W，則總體中的個(gè)體數(shù)為.

【正確答案】240

【分析】根據(jù)分層抽樣每個(gè)個(gè)體抽到的概率相等，即可求出結(jié)論

【詳解】因?yàn)橛梅謱映闃臃椒◤目傮w中抽取一個(gè)容量為20的樣本.

由B層中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都為、，知道在抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是總，

所以總體中的個(gè)體數(shù)為20q=240.

故答案為.24()

3.已知數(shù)據(jù)不、々、?'巧、與是互不相等的正整數(shù)，且7=3，中位數(shù)是3,則這組數(shù)據(jù)的

方差是.

【正確答案】2

【分析】根據(jù)題意可求得五個(gè)數(shù)據(jù)，利用方差公式可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)公<W<*3<Z</，則七=3,

又因?yàn)閿?shù)據(jù)是互不相等的正整數(shù)，所以％=1,%=2,

X=3,.?.x4+x5=9,x4=4,X5=5,

22222

S=?[(?,-3)+(x2-3)2+(Λ3-3)+(x4-3)+(X5-3)]=2.

故答案為.2

4.若正四棱柱ABeZ)-AqGA的底面邊長(zhǎng)為1,A片與底面ABe。成60。角，則AG到底面

ABCD的距離為.

【正確答案】√3

【分析】確定Aa到底面ABCZ)的距離為正四棱柱ABCO-AMGA的高，即可求得結(jié)論.

【詳解】；正四棱柱ABCD-ABeP,

，平面ABCD//平面AiBlClDt,

AClU平面AiBiClDl,

.?.AC〃平面ABCD,

AG到底面ABCo的距離為正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高

：正四棱柱ABC。-ABCQ的底面邊長(zhǎng)為1,ABl與底面ABa)成60。角，

AAt=G

故答案為:6.

5.某學(xué)校有學(xué)生1485人，教師132人，職工33人.為有效預(yù)防甲型HINI流感，擬采用分

層抽樣的方法從以上人員中抽取50人進(jìn)行抽查，則在學(xué)生中應(yīng)抽取人.

【正確答案】45

【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，先求出抽樣比例，進(jìn)而可求出結(jié)果.

【詳解】由題意可知：分層抽樣的抽樣比為

1485+132+3333

所以學(xué)生中應(yīng)抽取1485χf=45,

故答案為.45

6.過(guò)正方形ABCD之頂點(diǎn)4作A4_L平面ABa>,若E4=AB,則平面43P與平面Cf)P所

成的銳二面角的度數(shù)為.

【正確答案】45°

【分析】將四棱錐補(bǔ)成正方體即可求解.

【詳解】根據(jù)已知條件可將四棱錐補(bǔ)成正方體如圖所示：

連接CE,則平面COP和平面CPE為同一個(gè)平面,

由題可知PEj_平面BCE,BE,CEu平面BeE,

：.PELBE,PELCE,又平面ABP和平面CDP=PE,BEU平面ABP,CEU平面CDP,

.?.NCEB為平面4?尸和平面CDP所成的銳二面角的平面角，大小為45。.

故答案為.45。

7.ABC的三邊長(zhǎng)分別為3、4、5,P為平面45C外一點(diǎn)，它到三邊的距離都等于2,則尸

到平面ABC的距離是.

【正確答案】√3

【分析】作Pol平面ABC于。，由題可得。是「4BC的內(nèi)切圓圓心，可得半徑r=1,進(jìn)而

即得.

【詳解】如圖；ΛBC,ΛB=3,BC=4,AC=5,貝ILABC為直角三角形，

作Pol平面ABC于。，PDLAB于D,PELBC于E,PF_LAC于F,連接。。,。旦。尸，

由題可知Pf)=PE=P尸=2,故OD=OE=OF,

由Pol平面ABC,ABU平面ABC,

所以PolA8,又?,PDPO=P,PDu平面POr),POU平面POr),

.?.ΛB∕平面POO,Z)OU平面POz),

.?.ABA.OD,同理BC_LOE,4C_LOF,

故。是RtZVlBC的內(nèi)切圓圓心，設(shè)其半徑為r,

貝ιjgx3x4=∕x(3+4+5)r,

所以r=OD=l,

所以PO=J2?-P=6?

故答案為?G

8.口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、黃球、白球，從中摸出一個(gè)球，摸出紅球或白球的概

率為0.65,摸出黃球或白球的概率為0.6,那么摸出白球的概率為.

【正確答案】0.25

【詳解】設(shè)摸出白球、紅球、黃球的事件分別為A,RC,根據(jù)互斥事件概率加法公式

P(A+B)=P(A)+P(B)=0.65,P(A+C)=P(A)+P(C)=0.6,

P(A+3+C)=P(A)+P(3)+P(C)=I,解得P(A)=0.25.

9.在如圖所示的莖葉圖中，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別是、

甲乙

829~

91345

254826

785535

667

【正確答案】45,46

【詳解】10?如圖，在長(zhǎng)方體ABCQ片G。中，AB=BC=2,與8C∣所成的角為

則BG與平面防QQ所成角的正弦值為

【正確答案】1##0.5

【分析】由題可得ABS-ABIGA為正方體，根據(jù)正方體的性質(zhì)結(jié)合條件可得NCf。為直

線BG與平面B8QQ所成角，進(jìn)而即得.

【詳解】因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABC。-AqG。中，AB=BC=2,

，上下底面為正方形，

連接AR,則8CJ/AR,AQ與BG所成的角為

.?.A。與4。所形成的角為即

.?.MRO為正方形，ABeQ-ABlG。為正方體，

因?yàn)橛?J.平面AlBtClDl,GOU平面AlBiCiD,,

所以B18_LG。，又B]B?B∣2=B],B∣BU平面BBQQ,BaU平面BBaD,

所以GOJ?平面BBQ。，連接80,

則NGBO為直線BC1與平面54DQ所成角，

由題可知RtCIB。中，BC1=2√2,CQ=M,

：.sinNGB。=；,即BG與平面BBa。所成角的正弦值為g.

故答案為]

o

11.如圖，在三棱柱ABC-ABlG中，ZAC8=90。，ZΛCCl=60,ZBCC1=45°,側(cè)棱CG

的長(zhǎng)為1，則該三棱柱的高等于

B1

G

【正確答案】T##0.5

【分析】過(guò)CI作平面AC8、直線BCAC的垂線，交點(diǎn)分別為O,D,E,可得四邊形OECD

B1

為矩形，結(jié)合條件可得CQ=芋，OD=；,進(jìn)而即得.

【詳解】過(guò)G作平面AC5、直線8C、AC的垂線，交點(diǎn)分別為O,D,E,連接O。、OC.

0E,則G。即為三棱柱的高,

由Goj.平面ACB,ACU平面ACB,可得Go_LAC,

又AC?LGE,GOGE=G,CQu平面C0E,GEU平面GOE,

所以ACL平面C0E,又OEU平面GOE,

所以ACLOE,同理可得OZ)J.8C,又NACB=90。，

所以四邊形OEC。為矩形，

o

在直角三角形ECa和。Ccl中，ZACC1=60,ZBCC1=45°,側(cè)棱CG的長(zhǎng)為1,

則CE=gcC∣=g,CD=GD=

所以O(shè)D=CE=L,

2

所以O(shè)e=JOCjU=M

即三棱柱的高等于

故答案為T

12.根據(jù)《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》規(guī)定：車輛駕駛員血液酒精濃度在20?

80mg∕IOOml（不含80）之間，屬于酒后駕車，處暫扣一個(gè)月以上三個(gè)月以下駕駛證，并處

200元以上500元以下罰款；血液酒精濃度在80mg∕100ml（含80）以上時(shí)，屬醉酒駕車，

處十五日以下拘留和暫扣三個(gè)月以上六個(gè)月以下駕駛證，并處500元以上2000元以下罰

款.據(jù)《法制晚報(bào)》報(bào)道，2009年8月15日至8月28日，全國(guó)查處酒后駕車和醉酒駕車

共28800人，如圖是對(duì)這28800人血液中酒精含量進(jìn)行檢測(cè)所得結(jié)果的頻率分布直方圖，則

屬于醉酒駕車的人數(shù)約為

【正確答案】4320

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合醉酒駕車的含義即得.

【詳解】由題意結(jié)合頻率分布直方圖可得，醉酒駕車，即血液酒精濃度在80mg∕100ml（含

80）以上的人數(shù)約為：

288∞×（0.01+0.005）×10=4320.

故4320.

二、單選題

13.已知/是直線，α,α是兩個(gè)不同平面，下列命題中的真命題是（）

A.若IHa,lHβ,則α〃6B.若a1β,l"a,則/

C.若/，4〃/￡,則D.若〃∕α,ɑ〃尸，則〃/￡

【正確答案】C

【分析】利用空間中線、面的平行和垂直的性質(zhì)和判定定理即可判斷.

【詳解】若CC/?=,",〃/見(jiàn)∕αα,∕o尸，則有〃/%〃//?,故可判斷A錯(cuò)誤.

若ac/3=m,Wm,lHa,則〃/夕或/u#,故B錯(cuò)誤.

若lLa,lHβ,則夕存在直線與/平行，所以故C正確.

若IHa,aH0,則〃啰或/u尸，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

14.設(shè)直線/u平面α,過(guò)平面心外一點(diǎn)A與/,α都成30。角的直線有且只有:

A.1條B.2條C.3條D.4條

【正確答案】B

【分析】過(guò)A與平面。成30。角的直線形成一個(gè)圓錐的側(cè)面（即圓錐的母線與底面成30。角）,

然后考慮這些母線中與直線/成30。角的直線有幾條，通過(guò)圓錐的軸截面可得.

【詳解】如圖，AOla,以Ao為軸，A為頂點(diǎn)作一個(gè)圓錐，圓錐軸截面頂角大小為120。,

則圓錐的母線與平面ɑ所成角為30。，因此過(guò)A的所有與平面α成30。角的直線都是這個(gè)圓

錐母線所在直線，

過(guò)圓錐底面圓心。作直線/〃/,交底面圓于B,C兩點(diǎn)，圓錐的母線中與直線/'夾角為30。的

直線是母線AB,AC,也只有這兩條直線，

故選：B.

?AB±EF；

②4B與CM成60。的角；

③EF與MN是異面直線；

④MN〃CD其中正確的是（）

A.①②B.③④C.②③D.φ(3)

【正確答案】D

【詳解】將展開(kāi)圖還原為正方體，由于EF〃ND,KffND±AB,ΛEF±AB;顯然AB與CM

平行；EF與MN

是異面直線，MN與CD也是異面直線，故①③正確，②④錯(cuò)誤.

/>

16.在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間沒(méi)有發(fā)生在規(guī)模群體感

染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過(guò)7人”.根據(jù)過(guò)去10天甲、乙、丙、丁四

地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是

A.甲地：總體均值為3,中位數(shù)為4B.乙地：總體均值為1,總體方差大于0

C.丙地：中位數(shù)為2,眾數(shù)為3D.丁地：總體均值為2,總體方差為3

【正確答案】D

【詳解】試題分析：由于甲地總體均值為3,中位數(shù)為4，即中間兩個(gè)數(shù)（第,6天）人數(shù)

的平均數(shù)為，因此后面的人數(shù)可以大于“，故甲地不符合.乙地中總體均值為1,因此這10

天的感染人數(shù)總數(shù)為10,又由于方差大于0,故這10天中不可能每天都是1,可以有一天

大于?，故乙地不符合，丙地中中位數(shù)為二，眾數(shù)為3,3出現(xiàn)的最多，并且可以出現(xiàn)￡,

故丙地不符合，故丁地符合.

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差

三、解答題

17.如圖，正四棱錐S-ABS的底面邊長(zhǎng)為4,側(cè)棱長(zhǎng)為2a,點(diǎn)P、Q分別在BQ和SC上,

并且BP:PZ）=I:2,PQ//平面SAD,求線段PQ的長(zhǎng).

【正確答案】顯a

3

【分析】過(guò)戶作PM〃BC,交CD于M,根據(jù)線面平行即面面平行的判定定理可得平面

PQW〃平面SAQ,進(jìn)而MQ//S。，然后利用余弦定理結(jié)合條件即得.

【詳解】如圖，過(guò)戶作PM〃3C,交Co于M,連結(jié)QM,

因?yàn)镻M〃BC,ADHBC,

所以PM//AO,又PMa平面SAD,Af)U平面S4),

所以PM〃平面SAQ,又尸?！ㄆ矫鍿AD,

又PMPQ=P,PM,PQu平面P0M,

所以平面PQM〃平面SAD,又平面PQM平面SDC=MQ,平面SoCl平面SAD=SE>,

.?.MQHSD,

22

由8P:P￡)=1:2,可得PM=嚴(yán)=鏟，

:.QM=gso=?∣α,

SD//QM,ADHMP,

."PMQ=ZADS,

AD

COSNADS=-2-=1'

SD4

f)↑l^PQ2=PM2+QM2-2PMQMcos^PMQ=-a2+-a2-2×-a×-a×-=-,

993349

所以線段也的長(zhǎng)為如a?

3

18.如圖所示是一多面體的表面展開(kāi)圖，M,Q,P分別為展開(kāi)圖中線段BC,CRDE的中點(diǎn),

則在原多面體中，求直線ME與平面APQ所成角的正弦值.

b*-4—

M2

2

h*2*1

【正確答案】巫

42

【分析】先還原幾何體，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算線面角正弦值.

【詳解】還原多面體為長(zhǎng)方體，以。為原點(diǎn)，D4,nc,r>E分別為χ,y,z軸，建立如圖空間直

角坐標(biāo)系,

由題意得50,0,0),A(2,0,0),β(0,l,0),P(0,0,2),E(0,0,4),Λ∕(l,2,0),

:.PA=(2,0,-2),PQ=(0,1,-2),Λ∕E=(-1,-2,4),

設(shè)面APQ的法向量"=(x,y,z),

nPA=O2x-2z=0

則＜,即令X=I得〃=（1,2,1）

n-PQ=Oy-2z=0

設(shè)直線ME與平面AP。所成角為。，

n`ME_√M

則sina=

∣∕7∣?∣ME∣一石

19.設(shè)在直三棱柱45C-ABc中，AB=AC=44=2,々4：=90。,￡尸依次為弓匕8(7的

中點(diǎn).

(1)求異面直線AB,EF所成角。的大小(用反三角函數(shù)值表示)；

(2)求點(diǎn)Bt到平面AEF的距離.

【正確答案】(Darccos逅

3

⑵?

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求異面直線所成的角.

(2)先求出平面A防的法向量，利用空間向量求點(diǎn)到面的距離.

【詳解】(1)以A為原點(diǎn)建立如圖空間坐標(biāo)系，

則A(0,0,2),B(2,0,0),B1(2,0,2),E(0,2,l),F(l,l,0),

X

/I1B=(2,0,-2),EF=(1,-1,-1),

'K'器氤=Mr手

.?.0=arccos老

3

(2)設(shè)平面AE尸的一個(gè)法向量為〃=(X,y,z),

.AE=(0,2,1),AF=(1,1,0),

小AE=OJ2γ+z=0

小"=o[χ+y=o解得:n=(x,-x,2x)

令X=I可得〃=(12),

;A4=(2,0,2)

，點(diǎn)Bl到平面AEF的距離為".

20.為預(yù)防甲型HINI病毒暴發(fā)，某生物技術(shù)公司研制出一種新流感疫苗，為測(cè)試該疫苗的

有效性(若疫苗有效的概率小于90%,則認(rèn)為測(cè)試沒(méi)有通過(guò))，公司選定2000個(gè)流感樣本分

成三組，測(cè)試結(jié)果如下表:

A組8組C組

疫苗有效673Xy

疫苗無(wú)效7790Z

已知在全體樣本中隨機(jī)抽取1個(gè)，抽到B組疫苗有效的概率是0.33.

⑴求X的值；

(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全體樣本中抽取360個(gè)測(cè)試結(jié)果，問(wèn)應(yīng)在C組抽取多少個(gè)?

(3)已知y2465,z≥25,求不能通過(guò)測(cè)試的概率.

【正確答案】(I)X=66()

(2)90

【分析】(1)根據(jù)概率與頻率的關(guān)系求解；(2)根據(jù)分層抽樣的抽取方法求解；(3)利用古典概

率模型求解.

【詳解】(1)因?yàn)樵谌w樣本中隨機(jī)抽取1個(gè)，

Y

抽到B組疫苗有效的概率是麗=0.33,所以x=660.

(2)C組的樣本個(gè)數(shù)為y+z=2000-(673+77+660+90)=500,

所以應(yīng)在C組抽取360X=90.

(3)由(2)可知，y+z=500,且y,zeN,

所以樣本空間包含的基本事件有：(465,35),(466,34),(467,33),(468,32),(469,31),(470,30),

(471,29),(472,28),(473,27),(474,26),(475,25),共有11個(gè)，

若測(cè)試不能通過(guò)，則77+90+z>2000χ0.1,解得z>33,

所以包含的樣本點(diǎn)由(465,35),(466,34)共2個(gè)，

所以不能通過(guò)測(cè)試的概率為A.

21.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB=2EF=2,

EF√AB,EF±FB,ZBFC=90o,BF=FC,H為BC的中點(diǎn)，

(I)求證：FH〃平面EDB;

(II)求證