2023-2024學年山西省高平市高一年級下冊期中數(shù)學模擬試題（含解析）

2023-2024學年山西省高平市高一下冊期中數(shù)學模擬試題

一、單選題

1.設iz=4-3i,則復數(shù)z=()

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

【正確答案】A

【分析】由題意結(jié)合復數(shù)的除法運算法則即可求得z的值.

【詳解】由題意可得.2=上2=(4-34=￡9=凸―

ii2-1

故選：A.

2.復數(shù)Z=i3-1(i是虛數(shù)單位)的共葩復數(shù)』在復平面內(nèi)對應的點在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【正確答案】B

【分析】根據(jù)復數(shù)單位的性質(zhì)進行運算，求得復數(shù)z,以及〉根據(jù)復數(shù)的幾何意義即可得

答案.

【詳解】由題意得z=i3-l=_l-i,.i=7+i，其對應點(-11)位于第二象限，

故選：B

3.若平面向量Z與石的夾角為60。，a=(2,0),同=1,則p+2可等于().

A.73B.273C.4D.12

【正確答案】B

【分析】利用7=同轉(zhuǎn)化即可

【詳解】解析：因為￡=(2,0),所以值1=2,又因為向量Z與5的夾角為60。，1*1=1,

所以G石=|司W(wǎng)cos6()o=2xlx；=l,所以歸+2可=揚+4》石+4鏟=-4+4+4=2道.

故選：B

4.若/(1,，"),8(〃?+1,3),。(1-私7)三點共線，則機=()

A.-5B.5C.0或-5D.0或5

【正確答案】D

【分析】由題意可得9//就，再利用向量共線求解即可.

【詳解】因為益=（利,3-機）屈=（-2機,4）,

若4（1,〃?）,8（加+1,3）,。（1-"1,7）三點共線，則~ABIIBC，

所以4加=-2m（3-m）,

解得加=0或5.

故選：D.

5.如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取A、B兩點，從A、8兩點分別測得樹尖的

仰角為30。、45°,且A、8兩點之間的距離為60m,則樹的高度為（）

A.卜0+306)01B.卜0+156)mC.(15+30石)mD.(15+15^/3)m

【正確答案】A

【分析】利用正弦定理可得PB,進而即得.

【詳解】在NP/B=3Q°,4尸8=45°-30。=15°,/8=60,

又sin15。=sin(45°-30°)=sin45°cos300-cos45°sin30°

五也e、V6-V2

=X-------------------X—=--------------------

22224

PBAB

由正弦定理得:

sin30°sin15°

ix60

PB=3~~產(chǎn)=30(76+V2),

V6-V2

4

二樹的高度為PBsm45°=30x(V6+五)x[=(30+30<3；(m).

故選:A.

6.已知ABC的三個內(nèi)角48,C所對的邊分別為a,4c.若

sin2A+csinA=sin/lsinB+/>sinC>則該三角形的形狀一定是（）

A.鈍角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.銳角三角形

【正確答案】C

【分析】利用正弦定理的邊角轉(zhuǎn)化，將已知變形asin/+qc=bsinZ+6c,化簡從而得出a=b

【詳解】因為sin?A+csinA=sinAsinB+bsinC，

由正弦定理，三=2R(2R為。8c外接圓的直徑)，

sin4sin8sinC

—a.▲ab.A[c

可得---smA+----c=----sinJ+p----,

2R2R2R2R

所以a(sinA+c)=b(sinA+c).

又因為sin4+c>0,所以。=6.即小3c為等腰三角形.

故選：C

7.。是平面上一定點，4、B、C是平面上不共線的三個點，動點尸滿足

AB

OP-OA+A、雨,Ae[O,+a>),則P的軌跡一定通過“BC的)

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【正確答案】B

【分析】根據(jù)必?+￡是以A為始點,向量空與￡為鄰邊的菱形的對角線對應的

\AB\\AC\\AB\MC|

向量，可知P點軌跡，據(jù)此可求解.

【詳解】?.?麗-刀=萬，._?_."="A瀉R+A誓C

I叫MC|

人ABAC

令,=AM，

\AB\\AC\

ADAT

則而是以A為始點，向量巖與冬為鄰邊的菱形的對角線對應的向量,

I481IAC|

即心在/歷IC的平分線上，

?/AP=XAM>而共線，

故點P的軌跡一定通過△ZBC的內(nèi)心，

故選：B

8.已知向量1與向量5均為單位向量，且它們的夾角為6（1,則向量Z在向量右上的投影

向量為（）

|-3-1-3-

A.——aB.—bC.——bD.—a

2222

【正確答案】B

【分析】由已知條件求出75,再由投影向量公式計算即可求出答案.

——―[]—?—?—?2113

【詳解】V(a-/?)/?=Ixlx—=—,/.ab-b=—,則。?b=—,

2222

a53

一

故向量￡在向量3上的投影向量為同cos^^將第=力

B-2-

力

故選：B.

二、多選題

9.已知復數(shù)z=（l+2i『（i是虛數(shù)單位），下列正確的是（）

A.復數(shù)z的實部為-4B.復數(shù)z的共擾復數(shù)為-3-布

C.|z|=|l+2i|2D.復數(shù)|z+6|的模為5

【正確答案】BCD

【分析】由復數(shù)的乘法運算、共軌復數(shù)的概念及復數(shù)的模長依次計算即可.

【詳解】z=（l+2i『=-3+4i,故實部為-3,故A錯誤：復數(shù)z=-3+4i,故共輾復數(shù)為

-3-4/,故B正確：

=J9+16=5,|1+2i『=（W+4）=5，|z|=|1+2i|',故C正確；z+6=3+4i,故復數(shù)|z+6]

=J9+16=5，故D正確.

故選：BCD.

10.下列命題不正確的是（）.

A.棱臺的上,下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等

B.有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐

C.有兩個平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱

D.直角三角形繞其任意一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐

【正確答案】ABCD

【分析】直接根據(jù)棱臺、棱柱、棱錐和圓錐的定義判斷各選項即可.

【詳解】對于A：棱臺的上、下底似，但側(cè)棱長不一定相等，故A錯誤；

對于B：有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐，也可能是組合體，與棱

錐的定義相矛盾，故B錯誤；

對于C：兩個的斜棱柱扣到一起，也滿足這種情況，但是不是棱柱，故C錯誤；

對于D：直角三角形繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體才是圓錐，故D錯誤；

故選：ABCD

11.已知向量聯(lián)=(3,1),力=(1,3),則下列說法正確的是()

A.(a+6)l(a-6)B.a>各的夾角為60

C.￡在加上的投影向量為(36-D.加在￡上的投影向量為14。-

【正確答案】AC

【分析】對于A選項，伍+B)_L(Z-5)oR+4僅-5)=0即可求解；

a-b

對于B選項，利用向量夾角公式cos<￡5>=函計算;

對于C、D選項，由投影向量的定義得，而在［上的投影向量為問cos<和

【詳解】由4=(3,1),6=(1,3),可知卜|=W=6/6=3x14-1x3=6，

對于A選項，(Q+^).(Q-5)=a2-b2=同-+/|=U10=0,故故A正確;

八a》31

對于B選項，設。為￡,刃的夾角，則8$。=麗=《二5,故B錯誤；對于C選項，￡在

加上的投影向量為同8$"a=|否，故C正確；對于D選項，了在々上的投影向量為

限,夕京=N，故D錯誤?

故選：AC.

12.在“8C中，內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,b,c,且。=近，則下列選項正確的是

()

A.若B=—,1<^<>/2,則A/8C有兩解

4

B.若3?，兀)/>五，則△/3C無解

C.若A/8C為銳角三角形，且3=2C,則sin4e2aL

D.若力+8=2C,則”+6的最大值為2五

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)邊角的關系，可判斷三角形的個數(shù)，即可判斷AB；

根據(jù)三角形是銳角三角形，求角。的范圍，即可判斷C；

利用正弦定理，將邊表示為三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷D.

【詳解】對于A,因為8=2,1<6〈收，所以csin8<b<c,則“8C有兩解，A正確.

4

對于B,因為8€(曰,兀)力>應，所以"8C有且僅有一解，B錯誤.

0<K-3C<-

2

對于C,由<0<2C<]得/C<%則sine"；,*),

0<C<-

2

e且〃ca”.,asinC拒1\―十外

因為一―7=丁)，所以sin/=--------e—a.-a,C正確.

sinAsinCc142J

a_b_c_5/2_2-76

對于D.因為4+5=2C,所以。=三，又因為sin/一sin8-sinC一耳一行"

2

所以Q=A,b=B，則

33

-2c..276.□2c..276.f2^-V

a+b=-----sinAH--------sinB=------sinAH-------sm|——A-

333313)

^^-f-sin^+—cos^=26sin(4+四］,由0cze女，^―<A+—<—,

322I6J3666

所以當/+F=m，即/=9時，。+6取得最大值2近，D正確.

623

故選：ACD

三、填空題

13.在復數(shù)范圍內(nèi)，將多項式/-1分解成為一次因式的積，則/-1=.

【正確答案】(x-D(x+l)(x-D(x+i)

【分析】根據(jù)平方差公式在復數(shù)范圍內(nèi)分解因式即可.

【詳解】由已知X”一1=(一)2-『=J2-1)(/+1)=(x-l)(x+l)(x-i)(x+i).

故(x-l)(x+l)(x-i)(x+i).

14.已知|町=1,防|=0,d與5的夾角為則。在5方向上的投影向量為.

4

1r

【正確答案】-b

2

【分析】由向量投影的定義即可求得則1在B方向上的投影向量.

【詳解】2在5方向上的投影向量為I町cosE-芻二4無

故與

2

15.若“8C中，已知a=2ji,6=2,S：=△，則c=.

【正確答案】2或2近

【分析】由三角形面積公式可得角C,再由余弦定理即可得結(jié)果.

【詳解】因為a=26，b=2,S“Bc=gabsinC=百,

即sinC=(，由于Ce(O,兀)，所以C=?或?qū)W，

當C=3時，c2=/+/_2“6cosC=12+4-2x2百x2x巫=4，即c=2；

62

當C=2時，c2=a2+b2-2abcosC=12+4-2x2/3x2>—=2$,即c=26，

6I2J

即c的值為2或2近，

故2或2#.

2兀

16.“8C的內(nèi)角的對邊分別為a,6,c.若/=彳，8c邊角平分線/。=1,則邊a的

最小值為.

【正確答案】2也

【分析】由SUBC=S”即+5“，8結(jié)合已知條件可得前=6+*再利用基本不等式可得A24,

由余弦定理得a2=h2+c2-2bccosA=b2+c2+hc>3bc>\2,當且僅當6=c,時取等

號，即當6=c時，。取得最小值,

【詳解】因為/=y，是/8ZC的平分線,

77

所以

3

因為SdABC=S,ABD+S“CD，AD=1,

所以IbcsinNB/C=-b-?iDsinZ.CAD+-c-/lZ)sin/.BAD,

222

CTLi、i1727r\.7T17t

qI■以一Ocsin——=—nsin—+—csin—,

232323

所以bc=b+c,

所以bc=b+c之2版，Wbc>4,當且僅當6=C時取等號，

2兀

在中，A=—f由余弦定理得

a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc>3bc>12,

當且僅當b=c時取等號，即當b=c時，/取得最小值12,

所以。的最小值為2港，

故2百

四、解答題

17.已知復數(shù)z=（m2+癡-8）+（拓2+如-3｝儂€/?）在復平面內(nèi)所對應的點為A.

（1）若復數(shù)Z-"7+2為純虛數(shù)，求加的值；

（2）若點A在第三象限，求加的取值范圍.

【正確答案】（l）m=2

⑵（fl）

【分析】（1）先化簡Z-"7+2,再利用Z-機+2為純虛數(shù)列方程組即可求解（2）依題意的

實部和虛部均小于0,解此不等式組即可求解

【詳解】(1)由題意得2-，〃+2=(/+，〃-6)+W2+2加-3),

因為z-"?+2為純虛數(shù)，

m2+m-6=0

所以，解得m=2.

m2+2m-3豐0

(2)復數(shù)z在平面內(nèi)所對應的點為/(加2+2加-8,/+2m-3),

因為點A在第三象限,所以"I；：：；：：解得一3<〃1，

所以實數(shù)切的取值范圍為(-3,1).

18.已知函數(shù)/(》)=加+加

(1)若/⑴=2,求上1+；4的最小值;

ab

(2)若/⑴=-1,求關于x的不等式/(x)+l>0的解集.

q

【正確答案】(I)]

(2)|x卜/敢<1

【分析】(1)利用代入法，結(jié)合基本不等式進行求解即可：

(2)利用代入法，結(jié)合一元二次不等式的解法進行求解即可.

【詳解】(1)由"1)=2可得:a+b=2,

因為〃€(0,1),所以2-6?0,1)=>1<6<2,

141U1+4+卻b”4〃

所以一+￡=「x(a+b)

ao22ab

當且僅當片不時取等號,即當且僅當人*取得最小值為去

(2)由/⑴=T可得：a+b=-\,

則/(x)+l>0化為:

ax2-(a+l)x+l=((7x-l)(x-l)>0

因為0<“<l,所以L>1,

a

則解不等式可得x>1或X<1,

a

則不等式的解集為］XX>：或t<l

19.”叱的內(nèi)角48.C的對邊分別為j“區(qū)的面積為S'且S=*+6~2）.

（1）求角C；

acos8-bcosZ

⑵求的最大值.

-JT

【正確答案】（1）:；

4

Q）五.

【分析】（1）利用余弦定理及面積公式，可求出tanC的值，進而即得；

（2）由題可得絲%巨二%4=收疝（2/-當，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即得.

c4

【詳解】（1）=-（a2+b2-c2）=—absinC,

42

.萬a2+b2-c2》

sinC=---------=cosC,

lab

tanC=1,

（2）由正弦定理得:

acosB-bcosA_sinAcos5-sin5cosA_sin(?l-B)_歷.3開

~c-sinC~~至~-S，n-T

~T

??,4E(0,學)，

4

_.3萬,3乃3乃、

/.2A----G(------,—),

444

37r

/.sin(27l---)G[―1,1],

4

.acosB-bcosAg炬回,

〃cos8-6cos4Mr-

所以-------------的最Q大.值為啦.

C

20.在銳角力8c中，48,C的對邊分別為a,b,c,且a=2csirvl.

⑴求C;

(2)若c=2,且ab=46，求a+6.

【正確答案】(1)C=J

6

⑵.+6=2+2百

【分析】(1)由邊角互化得出C；

(2)由余弦定理結(jié)合必=46得出a+b.

【詳解】(1)由a=2csiir4及正弦定理得siM=2sinCsiM.

因為sir》〉。，故sinC=L

2

1jr

所以在銳角ABC中，C=~.

6

(2)由余弦定理/+〃-2abcos￡=4,

ab=4A/3,得/+62=16,

所以a+b=〃2+2H+萬=2+26.

21.已知向量比=(sinx,->/3cosx),n=(sinx,sinx)，函數(shù)/(x)=(而+n)2.

(1)求/*)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)若+=<it,求Jisina+石cosa的值.

TTIT

【正確答案】(1)kit--,kit+-("eZ)

36

(2)—V3.

【分析】(I)根據(jù)向量的加法及數(shù)量積的坐標表示，利用同角三角函數(shù)函數(shù)的平方關系及二

倍角的正弦、余弦公式，結(jié)合輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

(2)根據(jù)已知條件及三角函數(shù)的誘導公式，結(jié)合二倍角的余弦公式即可求解.

【詳解】(1)因為而=(sinx,-Vicosx),萬=(sinx,sinx)

所以m+〃=(2sinx,sinx-VJcosx),

所以

/(x)=(〃7+〃y=4sin2x+sin2x+3cos2X-2A/3sinxcosx

=4-cos2x->/3sin2x=4-2sin2x+—

k6

TTJi'llTT