2023學(xué)年保定市唐縣一中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次考試卷附答案解析

2023學(xué)年保定市唐縣一中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次考試卷

(考試時間120分鐘；試卷滿分150分)

第I卷(選擇題)

一、單選題(本大題共8個小題，每小題5分，共40分)

1.已知向量a=(x,l,l),b=(-2,2,y),a-b=0>則2x—y=()

A.1B.-1C.2D.-2

2.已知圓心為(-2,1)的圓與y軸相切，則該圓的標準方程是()

A.(x+2『+(y-B.(x+2)2+(y-l)2=4

C.(x-2)2+(y+l)2=lD.(x-2)2+(y+l)2=4

3.直線xsina+y+2=O的傾斜角的取值范圍是()

八兀3兀兀一C兀，兀37r

B.0,—C.0,—D.0)—VJ

ML4jL4J]_4jL4」124_

4.長方體ABC。-AAG。中，A4,=A8=2,BC=4,M、N分別為棱AB、CR中點，則/、N兩點的距

離為()

A.2立B.2gC.3D.3亞

22[

5.已知點P是橢圓:+卷=1上一點，橢圓的左、右焦點分別為6、F”且cos/月尸乙=(,則△尸耳鳥

的面積為()

A.6B.12C.--D.2正

6.如圖，正方體ABCO-A4GA的棱長為1,E,尸分別為棱5C,GA的中點，則三棱錐旦-AEF的體

積為()

7.若函數(shù)廣-a-口-爐的圖象與直線x-2y+m=0有公共點,則實數(shù)機的取值范圍為()

A.[―2A/^—1,1]B..2-75—1,—2A/5+1JC.[―21V^+1,—1]D.[—3,1]

8.設(shè)橢圓C「+￡=l(a>b>0)的左、右焦點分別為耳、鳥，其焦距為2c,點Q1C，5在橢圓的外部,

1

點P是橢圓C上的動點，且|尸耳|+|尸。|<［忻用恒成立，則橢圓離心率的取值范圍是（）

二、多選題（本題共4個小題，選對5分，漏選2分，錯選0分，共20分）

9.已知直線/：x+y-3=O與圓C：（x-iy+y2=l,若點尸為直線/上的一個動點，下列說法正確的是（）

A.直線/與圓C相交

B.與直線/平行且截圓C的弦長為正的直線為x+y=O或x+y-2=0

C.若點。為圓C上的動點，則|尸@的取值范圍為［血-1,加+1］

D.過點尸作圓C的兩條切線，切點分別為A,8,則的最小值為2

10.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A￡CQ中，E,F,G分別為棱AR,9，CO的中點，則（）

A.EFEB=f>B.8QJ■平面BE/7

C.直線AB交平面EFC于點P,則1D.點A到平面的距離為彳2

11.圓:X?+>~-2x=0和圓2：+2x-8y=0的交點為A,8,則有（）

A.公共弦A3所在直線方程為x-2y=0

B.線段AB中垂線方程為2x+y-2=0

C.公共弦45的長為半

D.P為圓。?上一動點，則P到直線A8距離的最大值為乎+1

12.在棱長為2的正方體A8CO-AAG。中，M,N分別為8R,8?的中點，點尸在正方體的表面

上運動，且滿足CM記點P的軌跡為。，則（）

A.點P可以是側(cè)面BCG瓦的中心B.。是菱形

C.線段河尸的最大值為5D.。的面積是26

第II卷（非選擇題）

三、填空題（本大題共4個小題，每題5分，共20分）

13.直線x+y-3=0與圓/+丁=25的位置關(guān)系是.（相交，相切，相離）

2

14.直線y=x+3和X、)，軸分別交于A、5兩點，點C在橢圓標+5=1上運動，則橢圓上點C到直線

AB的最大距離為.

22

15.已知橢圓C:0+與=1(">8>0)的上、下頂點分別為A,B,右焦點為凡B關(guān)于直線加■的對稱點

CTb~

為B’.若過A,B',F三點的圓的半徑為。，則C的離心率為.

16.已知曲線G：y=J^，與曲線G：y=^/f，長度為1的線段AB的兩端點A、B分別在曲線C1、

G上沿順時針方向運動，若點A從點(-1,0)開始運動，點8到達點(a,0)時停止運動，則線段A8所掃

過的區(qū)域的面積為.

四、解答題(本大題共6小題，17題10分，其余各題12分，共60分)

17.已知直線/的方程為3x-4y+2=0.

(1)求圓心為(1,0)且與直線/相切的圓的標準方程；

⑵求直線x-y-l=0與2x+y-2=0的交點A坐標，并求點A關(guān)于直線/的對稱的點的坐標.

18.四棱錐尸-ABC。的底面是邊長為2的菱形，ZDAB=6O°,對角線AC與8。相交于點O,P。/底

ffiABCD,P8與底面ABC。所成的角為60。，E是PB的中點.

B

(1)求異面直線。E與必所成角的余弦值；

(2)證明：OE〃平面以。，并求點E到平面附。的距離.

19.已知圓M:(x+3)2+V=4,圓N:(x-3)?+y?=100,動圓尸與圓”外切并且與圓N內(nèi)切，圓心戶的

軌跡為曲線C

⑴求C的方程；

(2)是否存在過點的直線交曲線C于AB兩點，使得。為A3中點？若存在，求該直線方程，若不

存在，請說明理由.

20.某公園有一圓柱形建筑物，底面半徑為2米，在其南面有一條東西走向的觀景直道(圖中用實線表

示)，建筑物的東西兩側(cè)有與直道平行的兩段輔道(圖中用虛線表示)，觀景直道與輔道距離5米.在

建筑物底面中心。的北偏東45。方向10夜米的點A處，有一臺360。全景攝像頭，其安裝高度低于建筑物

高度.請建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，并解決問題：

攝展頭

西輔道Q東輔道

西品觀建筑物觀景點道東

3

(1)在西輔道上與建筑物底面中心。距離4米處的游客，是否在攝像頭監(jiān)控范圍內(nèi)？

(2)求觀景直道不在攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長度.

21.如圖，在三棱錐中，ABJ.BC,M,N分別為AC,A3的中點，PMLAB.

(1)求證：AB1PN；

(2)若4B=3C=2,BP=PM=3,求二面角N-PM-3的余弦值.

2y2

22.已知橢圓E:1+=1(“>b>0)的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，且橢圓E

過7(2,1),直線/：y=x+m與橢圓E交于A、B.

(1)求橢圓E的標準方程;

(2)設(shè)直線以、7B的斜率分別為K、右，證明：kt+k2=O.

1.C

【分析】利用空間向量的數(shù)量積運算的坐標形式計算求解.

【詳解】因為a=(x,l,l),8=(-2,2,y),a-b=0<

所以-2x+2+y=0,解得2x—y=2,.

故選：C.

2.B

【分析】圓的圓心為(-2,1),半徑為2,得到圓方程.

【詳解】根據(jù)題意知圓心為(-2,1),半徑為2,故圓方程為：(x+2)2+(y-lf=4.

故選：B.

3.B

【分析】設(shè)直線的傾斜角為，.由己知，可推得-IVtan”1.分兩種情況公0段)時以及共惇兀)時,

結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)求解即可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)直線的傾斜角為夕

因為，一iWsinaWl,k=-sina,所以，一1<女(1.

又攵=tan。，貝ij一1Wtan。W1.

4

當Oe0,|)時，〃。)=1311。單調(diào)遞增，解一iWtandWl,可得

當匹停,“時，/(e)=tan6單調(diào)遞增，解—14tan641,可得,4"兀.

綜上所述，y［叼7E」［彳37t，兀、)

故選：B.

4.D

【分析】連接MC,利用兩次勾股定理求解.

【詳解】連接MC,

在Rt.MBC中，MC=y/BM2+BC2=71+16=V17>

在Rt￡JVCM中，MN=yjNC2+CM2=71+17=3^?

故選：D.

5.C

77

【分析】設(shè)|「用=加，|尸閭="，由橢圓定義得"?+〃=10，由余弦定理求出〃?〃=W,從而利用三角形

面積公式求出答案.

，2

【詳解】由橢圓工+匕v=1,得。=5,b=3,c=4.

259

設(shè)|戶用=機，|P閭=〃，

222

m+n=\Q,在△尸片用中，由余弦定理可得：(2cf=m+n-2mncosZF}PF2=(m+n)-2mn-2mn-,

Q27

可得64=100——mn,得nm=—,

32

5

痂s]?/ITpr]27二逑

故6%=-^sinZFtPF2=-x—x1-5

3J2

故選：c.

6.A

【分析】建立空間直角坐標系,求得/平面AB|E的距離為〃=等,S^E=乎,根據(jù)等體積法解決即

可.

【詳解】建立如圖所示。-孫z空間直角坐標系,

因為正方體ABC。-A4GA的棱長為1,

1______1

所以AE=(-5J0),Ag=(0J1),A尸=(-1,Q/),

設(shè)平面AB}E的法向量為〃=(x,y,z),

n?AE=——x+y=0

所以2,令y=l,得x=2,z=—1,

n?AB}=y+z=0

所以〃=(2,1,T),

AFn5x/6

所以尸平面ABE的距離為。=

H~\2

又因為Kg=y/2,AE=B,E=—,

2

所以s,嗚/.2-(喇=g."m，

所以三.棱錐4-AE廠的體積為為…"叱4%3寸手￥=卷,

故選：A

7.A

【分析】作出函數(shù)y=-j4—(x-lj的圖象,利用直線與圓的位置關(guān)系求解.

6

【詳解】函數(shù)y=-j4-（x-iy的圖象如圖所示:

?舊1=2,解得"z=—2右一1或，〃=2>/^-1（舍去）；

當直線與半圓相切時:

因為函數(shù)y=-j4-（x-l『的圖象與直線*-2y+m=0有公共點,

所以實數(shù)機的取值范圍是[-2逐一"],

故選：A

8.D

【分析】由點。在橢圓外部得一不等關(guān)系，變形后得離心率e的一個范圍，歸用+歸0<|忻用恒成立,

利用橢圓定義變形后，結(jié)合平面上兩點間距離的性質(zhì)得一不等關(guān)系，從而以得e的一個范圍，兩者再結(jié)

合橢圓的性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】???點。（嗚）在橢圓的外部廁捺+。1,可化為2c"a）,

.cy/2日[]V2

??一>---,即e>------>

a22

由橢圓的定義得\PF\+\P^=2a-\PF^\P^,

一閥|+|國=園一|產(chǎn)段引第=與

???|p聞+|PQ|<g忻周恒成立,

/.2(7+—<—x2c

23

c33

解得了“即

所以橢圓離心率的取值范圍是

7

故選：D.

9.BCD

【分析】A選項，圓心(1,0)到，：x+y-3=0的距離大于圓的半徑，A錯誤；B選項，設(shè)與直線/平行直線

方程為x+y+C=0,利用點到直線距離和垂徑定理得到方程，求出C=0或-2；C選項，圓心C到直線

的距離加上半徑為歸。|的最大值，減去半徑為歸。|的最小值，求出答案；D選項，推導(dǎo)出要想忸。卜|48|

最小，只需△PAC的面積最小，由三角形面積得到只需CP最小，數(shù)形結(jié)合得到PC最小值為近，從而

得到答案.

【詳解】A選項，C：(x-iy+y2=l的圓心為(1,0),半徑為1,

|1+0-3|

則圓心(1,。)到八+?-3=0的距離為d=>/2>1,故直線/與圓C相離,A錯誤;

^/i+T

B選項，設(shè)與直線/平行直線方程為x+y+c=(),

|l+0+c|

則圓心(1,0)到/：x+y-3=0的距離為1=

由垂徑定理得屋=1\解得4=立，故匕匕&=修，解得c=0或—2,

[2)2V17T2

故與直線/平行且截圓C的弦長為正的直線為x+y=()或x+y-2=0,B正確；

C選項，圓心C到直線的距離加上半徑為|PQ|的最大值，減去半徑為|PQ|的最小值,

由A可知，圓心C到直線的距離為近，故|PQ|的取值范圍為[也-1,也+1],C正確;

D選項，由題意可知，PC與相垂直，且四邊形R4cB的面積為

故要想|PC|-\AB\取得最小值，則只需四邊形PACB的面積最小，

因為四邊形的面積等于△P4C面積的2倍，故只需△B4C的面積最小，

因為S%=g|叫|AC|=*4昌廬陌，

其中CPL直線以+y-3=0時，|pq最小，最小為應(yīng)，

故四邊形R4cB的面積最小值為2x；小則忸。卜|4卻最小值為2,D正確.

故選：BCD

10.BCD

8

【分析】對于ABD,以。為原點，DA,DC,DR所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，然后利

用空間向量逐個分析判斷即可，對于C,延長ERD4交于點連接交A8于點P,然后利用三角

形相似可求得結(jié)果.

【詳解】如圖，以。為原點，DC。。所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則

0（0,0,0）,A（2,（）,0）,8（2,2,0）,C（（）,2,0），A（2,0,2）,g（2,2,2）,￡（0,2,2），A（0,0,2）,

因為E,F,G分別為棱A。，A4,C￡）的中點，

所以E（l,0,2）,尸（2,0,l）G（0,l,0）,

對于A,因為￡尸=（1,0,-1）,￡8=（1,2,-2）,所以EF-EB=l+0+2=3，所以A錯誤，

對于B,因為4G=(—2),BE=(—1,—2,2),跖=(0,-2,1),

所以々GBE=2+2—4=0,gGBF=0+2—2=0,

所以BQ±BE,BtG±BF,即B,G1BE,Bfi1BF,

因為=BE,BFu平面BEF,所以4G，平面5防，所以B正確，

對于C,延長EROA交于點M,連接MC交A8于點P,因為尸為棱的中點，

所以4尸=4尸=1,因為/￡41尸=/何4尸=90。,乙41五￡=乙4五河，所以“3尸=”加4尸，

所以EA=4M=1,

/\4AAP

因為APQO,所以.MAPMDC,所以霖=蕓，

MDDC

\Ap1

因為A8=C。，所以；=啜，所以AP=qAB,所以C正確，

3AB3

對于D,設(shè)平面5所的法向量為機=（x,y,z）,則

m?BE=-x-2y+2z=0

,令y=l,則-=(2,1,2),

m-BF=-2y+z=0

因為％=（1,0,0）,所以點A到平面8EF的距離為

E4m2_2

1所以D正確,

m「4+1+43

故選：BCD

9

11.ABD

【分析】直接把兩圓的方程作差判斷A；利用直線方程的點斜式寫出線段AB的中垂線方程判斷B；求出

公共弦長判斷C；由＜9,到AB的距離加上的半徑判斷D.

【詳解】對于A,由/+y2-2x=0與》2+9+2、-8)，=0,兩式作差可得4x-8y=。，即x-2y=0,

公共弦AB所在直線方程為x-2)，=0,故A正確；

對于B,圓。?：x?+y2-2x=0的圓心為(1,0),

圓Q:/+y2+2x-8y=0的圓心(一1,4),

A3的中點坐標(0,2),砥"=；，

A3的中垂線的斜率為-2,可得A3的中垂線方程為y-2=-2x(x—0),

即2x+y-2=0,故B正確：

對于C,圓心。倒直線x-2y=0的距離半徑為T=],

4吃故C錯誤;

則|A3|=

對于D,P為圓01上一動點，圓心。?到直線x-y=0的距離為日，半徑r=l,

則尸到直線A8的距離的最大值為1+亞，故D正確.

5

故選：ABD

12.ACD

【分析】以。為坐標原點，建立空間直角坐標系，設(shè)P(x,y,z),結(jié)合空間向量的坐標表示與數(shù)量積的運

算，逐項判定，即可求解.

【詳解】如圖所示，以。為坐標原點，分別以。4。。，。與所在的直線分別為8軸、V軸和z軸，建立空

間直角坐標系，如圖所示，

可得￡>(0,0,0),N(l,2,2),C(0,2,0),所以CN=(1,0,2),

設(shè)P(x,y,z),則MP=(x-1,y-l,z-l),

對于A中，當點尸可以是側(cè)面BCG片的中心，可得P(L2,1),此時MP=(()/,())，

10

可得MPCN=O，所以MF_LC7V,所以A正確；

對于B中，因為MP_LaV,所以lx(x-l)+2(z-l)=0,可得x+2z-3=0,

13

當x=2時，z=—；當x=0時，z=—,

22

1133

JRE(2,0,-),F(2,2,-),H(0,0,-),G(0,2,-),連接EF,FG,GH,HE,

2222

則EF=HG=(0,2,0),EH=FG=(-2,0,-),

2

所以四邊形EFG"為矩形，則EF-CN=0,EH-CN=0,即EFLCN,EHLCN,

又EF和EH為平面EFGH中的兩條相交直線，所以CN，平面EFGH,

又由EM=(-1,1,《),MG=(-1,1,2),即EM=MG,

22

所以M為EG的中點，則Me平面EFGA,

因為點尸在正方體的表面上運動，所以點P的軌跡為四邊形瓦6〃，

又由EF=GH=2,EH=FG=布,所以EFxEH,

則點尸的軌跡為矩形，不是菱形，所以B錯誤；

所以矩形EFG”的面積S=￡尸-E”=2石，所以D正確，

,_________EG3

因為EG=JEF?+E//2=3,所以MP的最大值為=w,所以C正確.

故選：ACD.

y

13.相交

【分析】結(jié)合圓心到直線x+y-3=0的距離來進行判斷.

【詳解】圓尤2+丁=25的圓心為(0,0),半徑為5,

3

(0,0)到直線x+y-3=0的距離正＜5,

所以直線x+y-3=0與圓/+/=25相交.

故答案為：相交

14.4&

【解析】設(shè)點C坐標為橢圓的參數(shù)形式，利用點到直線的距離公式和三角函數(shù)的有界性，即可求解.

II

【詳解】設(shè)C（4cos0,3sin0）,則點C到A8的距離

d|4cos/?-3sin<9+3|

15cos（。+8）+3|4=4近

0

3

其中tan0=—.

4

故答案為：4&.

【點睛】本題考查橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用、點到直線的距離、三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.-##0.5

2

【分析1由題意得到過4B,F三點的圓的半徑也為。，求出線段AF的垂直平分線的方程及線段AB的

垂直平分線，求出交點及圓心坐標，從而利用半徑列出方程，求出￡=!，得到離心率.

a2

【詳解】由題意得：過A,B,F三點的圓的半徑也為“，

其中A（0,。）,尸（G。），線段介■的中點坐標為（]《），

I）Q

故直線AF的斜率為-士，故線段"的垂直平分線的斜率為:，

cb

故線段"■的垂直平分線的方程為y-g=,

又線段AB的垂直平分線為y=0,

聯(lián)立=與y=o得：x=-~—,

2b\2）22c

故圓心坐標為信-3,o],故半徑為c-￡+歐=￡+2，

[22cJ22c22c

^a=-+—,其中戶=二_2,

22c

解得：￡=；

a2

故答案為：g

,3萬3

16.一##一二

88

【分析】根據(jù)已知條件知，曲線C1與曲線C?是兩個半圓，分別求出起點、終點處時A、B的坐標，可得

線段A3掃過的面積，進而通過三角形面積公式及扇形面積公式計算可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)A、片分別為A、8點的起點，&、生分別為A、8點運動的終點，則圖中陰影部分即為線

段AB掃過的面積.如圖所示，

12

則A(-1,0),B2(A/2,0),設(shè)31a，兇),A2(x2,y2),

曲線C|方程：y-\l\-x2=>x2+y2=l(yNO)，

曲線G方程：y=J2-f=x2+=2(y之0)，

y,2+(x,-(-l))2=l卜「

二,即：印(-1,1),

y=J2-M=I

亞

七-2

0

%一

-2

記Sc,為圓f+y2=l的面積，SQ為圓V+y2=2的面積，為。耳與4。、A4圍成的面積，S&y為

A2?與生尸、圍成的面積，5為上半圓環(huán)的面積，S為線段AB掃過的面積.

則￡=；（5「5。）=；（2兀-兀）=；兀，

因為4月=1,。4=1,OB\=6.,所以AB:+OA=OBJ,所以0A，4用，所以/4。4=45°,

所以邑,次=5八-SAO.?=-Sr-lxlxl=--l,

叫OD氏△QA48c2242

又因為4B?=1,。4=1,OB2=y/2,所以所以N4。芻=45°,

所以S〃心.=S人砒&_S_=lxlxl—!-Sc

7八4/A[OF28G28

所以S=51_SAO8,_SA必F=

ZL）oJo

Gg上3兀

故44答案為：—.

o

1Q

17.（l）（x-l）2+y2=1（2）A（l,0）,對稱的點的坐標為（-不?

【分析】（1）設(shè)圓的標準方程為（X-1『+丁2=/，再根據(jù)直線與圓相切列式可得廠=1,進而可得方程;

[x—V—1=0,

（2）解方程組cc）即可得A（LO）,設(shè)點41,0）關(guān)于直線3x-4y+2=o的對稱的點的坐標為

[2x+y-2=0,

（加,〃），根據(jù)41,0）與對稱點的連線中點在直線3x-4y+2=0上，且與3x-4），+2=0垂直列式求解即可.

【詳解】（1）設(shè)圓的標準方程為（X-爐+〉2=產(chǎn),

13

|lx3-0+2|,

由題意可知y丙二聲

所求圓的標準方程為(XT)?+V=1.

x-y-l=0,X—

(2)解方程組2x+y-2=0,他

y=0,

所以直線x-y-l=O與2x+y-2=o的交點為A(1,O).

設(shè)點A(l,())關(guān)于直線3x-4y+2=0的對稱的點的坐標為(肛”)，則

c"?+l,〃c八

3x------4x—+2=0

22

解得Q

jJo

n=—

m—\45

1Q

所以點A(l,0)關(guān)于直線3x-4y+2=0的對稱的點的坐標為(一二?).

18.(1)受(2)證明見解析，叵

45

【分析】(1)建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可；

(2)根據(jù)中位線定理證明線線平行，進而得線面平行，利用空間向量點到面距離公式進行求解即可.

【詳解】(1)由題意，尸O,OCOB兩兩互相垂直，以O(shè)為坐標原點，射線08、OC、OP分別為x軸、

y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系，如圖，

菱形ABCO中，Zft4B=60°,所以BD=2OB=2,

在RtAAOB中。4=yjAB2-OB2=43，

因為PO上底面ABC。，所以P2與底面A8CD所成的角為NPBO=60。，所以/>O=O8-tan60o=/,

則點A、B、D、P的坐標分別是A(0,-6,0),8(l,0,0),Q(-l,0,0),P(0,0,6),

1nuuinquiu廠廠

E是PB的中點，則E'Q學(xué))，于是DE=(—,0,j),AP=(0,區(qū)后).

2222

3

umuULII_Ox/2din

設(shè)DE,AP的夾角為e,則有cos，=-----=丁....異面直線DE與孫所成角的余弦值為衛(wèi).

尸后44

V44

(2)連接0七，七。分別是。氏8。的中點，.?.￡0〃尸0,EOa平面附。，PDu平面出。，.?.石?！ㄆ?/p>

面PAD.

14

因為AP=(0,亞揚，AD=(-1,73,0)，設(shè)平面附。的法向量:=(x,y,z)，

則廠二，令段百，則y=i,z=-1,所以工(6”1),又。E=(±O,"),

n-AP=\j3y4-V3z=0522

「|KL3I廠L

則點E到平面PAD的距離d=|DE-〃|=32_=V3=V15

?N?A/3+1+1y/55

19.⑴工+工=1(2)存在，該直線方程為x+2y-4=0

3627

【分析】(1)根據(jù)圓與圓外切、內(nèi)切列式得|PM|+|PN|=12,結(jié)合橢圓的定義可求出結(jié)果；

(2)根據(jù)點差法求出斜率，再根據(jù)點斜式可求出結(jié)果.

【詳解】(1)設(shè)動圓戶的半徑為「，

]PM|=2+r

依題意得嘰⑺.所以|PM|+|PN|=12為定值，且12>|MN|=6,

\PN\=10-r

所以動點尸的軌跡C是以M,N為焦點，長軸長為12的橢圓，

22

2a=12,2c=6,。=6,c=3,所以y二片一天=36—9=27,所以橢圓。的方程為土+匕=1.

3627

(2)假設(shè)存在過點的直線交曲線C于43兩點，使得。為AB中點，

X

+

227,兩式相減得土

設(shè)A(x2i),B(x2,y2),則＜%

+一

27

y_%_27%+%_32x1_11

得辦一次236y1+y242x32、即心尸一萬，

2

31

由點斜式得直線AB方程為丁一5=-5(1-1),即x+2y—4=0.

所以存在過點的直線交曲線C于A8兩點，使得Q為AB中點，且該直線方程為x+2y-4=0.

20.(1)游客在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)(2)8.75米

15

【分析】(1)建立坐標系，利用直線和圓的位置關(guān)系可以判斷；

(2)根據(jù)直線和圓相切求出切線，利用切線和觀景直道所在直線的交點可得范圍.

【詳解】(1)設(shè)。為原點，正東方向為x軸，建立平面直角坐標系，0(0,0),

因為。4=10夜，ZAOx=45°,則A00,10),依題意得，游客所在位置為鞏Y,0),

則直線AB的方程為5x-7y+20=0,

所以圓心。到直線A8的距離d=-J2。=要＞-12==2,

所以直線AB與圓。相離，所以游客在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi).

(2)由圖知，過A的直線與圓。相切或相離時，攝像頭監(jiān)控不會被建筑物擋住，

所以設(shè)直線/過點A且和圓相切，

①若直線/垂直于x軸，則直線/不會和圓相切；

②若直線/不垂直于x軸，設(shè)/:y—10=Mx—10),整理得/:h-y+10-10左=0,

110-10^143

所以圓心。到直線I的距離為1r^1=2,解得k=9或k=】，

42+134

34

所以/:y_10=W(x-10)或y_10=§(x_10),

即3x-4y+10=0或4x-3y-10=(),

觀景直道所在直線方程為丫=-5,

設(shè)兩條直線與y=-5的交點為O,E,

3x-4y+10=0

由解得x=—10,

)=一5

4x-3y-10=0

由解得'=

)=一5

535

所以O(shè)E=亍(-10)=亍8.75,

答：觀景直道不在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長度為8.75米.

21.(1)證明見解析(2)3晝

【分析】⑴利用線面垂直的判定證明A8/平面麗，再利用線面垂直的性質(zhì)即可;

16

(2)建立合適的空間直角坐標系，求出相關(guān)法向量，則可計算出二面角余弦值.

【詳解】(1)因為M,N分別為AC,A3的中點，所以NM//BC,

因為431BC,所以48,例N,

因為PMcMN=M,PM,MNu平面PMN,

所以ABI平面PMV,又因為PNu平面PMV,所以A5_LPN；

(2)因為A8=BC=2,BP=