高考數(shù)學一輪復習題 第4節(jié) 基本不等式

高考數(shù)學一輪復習題

第4節(jié)基本不等式

激活思維

4

1.(必修5P102習題7改編)函數(shù)y=x+;(xWO)的值域是

(-8,-4]U[4,+°0)

,4n4[f4T

【解析】當x>0時，y=x+~^2\x--=4；當x<0時，y=x+~=~(-x)+

w-2相)卜4-4.

2.（必修5P99例1⑵改編）設x>0,y>0,且x+y=18,則犯的最大值為（C）

A.80B.77

C.81D.82

【解析】因為x>0,y>0,所以與2而，即刊《憐｝=81,當且僅當x=y=

9時,（班1ax=81.

2Q

3.（必修5P106復習題16改編）已知x>0,y>0且滿足;+;=1,則x+y的最小值

xy

是18.

【解析】因為x>0,y>0,所以壯尸（\+處￡+；）=2+8+乎+半刃0+2舊=

18,當且僅當，=個時等號成立.又：+：=1,所以當x=6,y=12時，x+y有最小

值18.

4.（必修5P102習題9改編）某種產(chǎn)品按下列三種方案兩次提價.方案甲：第一次

提價p%,第二次提價4%；方案乙：第一次提價q%,第二次提價p%；方案丙：第

一次提價中％,第二次提價審％.其中p>q>0,上述三種方案中提價最多的是

方案丙.

【解析】設原來價格為A,方案甲：經(jīng)兩次提價后價格為A［l+忐［1+羔=

11UU八IvU；

/1+小+—四」.方案乙.

10010000/〃采

經(jīng)兩次提價后價格為/1+忐1+擊］方案丙：經(jīng)兩次提價后價格為

I1UU八1UU/

A1+需‘二4+/(?+；'坪,舄』因為4"＞血’所以方案丙提價最多.

5.(必修5P100A組習題2改編)若把總長為20m的籬笆圍成一個矩形場地,則矩

形場地的最大面積是25

【解析】設矩形的一邊長為xm,則另一邊長為:X(20-2i)=(10—x)m,所以y

=X10-x)W%+“；%)2=25,當且僅當x=10-x,即x=5時，％州=25.

知識梳理

1.基本不等式：1拓wg電

(1)基本不等式成立的條件：〃＞0,.

⑵等號成立的條件：當且僅當金_時取等號.

2.幾個重要的不等式

⑴/+??2ab,a,bGR；

⑵，+拄2,浦＞0；

當且僅當a=b時，等號成立.

(3)而W~~2,a,b^R；

k乙

代

(4)2I2J\a,R

3.算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)

設a>0,b>0,則a,b的算術平均數(shù)為q2幾何平均數(shù)為我.基本不等式可敘

述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

4.利用基本不等式求最值問題

已如>0,y>0,則：

(1)如果積q是定值p,那么當且僅當_曰時,x+y有最小值是2心.(簡記：

積定和最小)

2

(2)如果和x+y是定值p,那么當且僅當且時，個有最大值是?(簡記：和

定積最大)

目篇H利用基本不等式求最值

11(1)已知00<1,求艱一3?的最大值及取得最大值時x的值.

【解答】因為0?<1,所以“(3—3x)=3x(Lx盡3壯尸J；,當且僅當x

=1一人即x=；時等號成立.所以當x=；時，x(3-3x)取最大值是;.

(2)設x,y為正實數(shù)，且x+2y=l,求的最小值.

xy

【解答】因為X,y為正實數(shù)，且x+2y=l,所以1+；=(1+2?6+；)=3+?+

：23+2、匡=3+2地，當且僅當、=啦y=也-1時取等號，所以的最小值

y\xyxy

為3+2隹

【精要點評】用基本不等式求最值時，關鍵在于將代數(shù)式變形為兩項的和或積,

使這兩項的和或積或平方和為定值，然后用基本不等式求出最值.

I9

?⑴（2018?蕪湖質檢）已知加>0,n>0,2m+n=\,則篇+〃的最小值為（C）

A4&

9

C-D

2

s淅5

]212^2

【解析】因為川>0,心0,2優(yōu)+八=1,則“+,=（2優(yōu)+〃）[而+]z+-72_

+2\號,當且僅當局，戶需時取等號，故選C.

n19

（2）（208太原期末）若。4（）,4，則》=和+麻的取值范圍為（D）

A.[6,+8）B.[10,+°°）

C.[12,+8）D,[16,+8）

【解析】因為隹。9所以sin%,cos20e（O,l）,所以產(chǎn)焉+焉=

焉+導用。。加葉喘+鬻訓+2橘翳⑹當且僅

,7z?

當喘=鬻即3時等號成立，所以廣焉+焉的取值范圍為U6,+町

日新臼基本不等式的綜合應用

國歷（1）已知函數(shù)y=x-4+，jtr〉-l）,當x=a時，y取得最小值b,則a

+。等于（C）

A.-3B.2

C.3D.8

999

【解析】廣]一4+工=工+1+二一5,因為所以1+1〉0,-T7>

'x+1x+lx+1

0,所以由基本不等式，得y=x+l+*]-522AJ（X+1）*-5=1,當且僅當“

9

+1=F7，即x=2時取等號，所以〃=2,b=l,a+b=3.

x+l

（2）（2018?濟寧期末）在正項等比數(shù)列｛%｝中,。2018=。2017+2。2016,若%時=16。［,

貝碎4+；1的最小值等于（B）

A.1B-2

C.(D4

【解析】設正項等比數(shù)列｛端的公比為q（q>0）,

由“2018=42017+2。2016，得『=g+2,解得夕=2或0=-1（舍去）.又因為的外

=164即/,2m"L2=16肩所以加+〃=6.

5+2-當且僅當加=4,

mn

〃=2時等號成立，故選B.

【精要點評】應用基本不等式求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點，利用基本不等

式確定相關成立條件，從而得參數(shù)的值或范圍.

玲2,

建⑴（2018?唐山一模）已知變量x,y滿足約束條件3x-y2l,若2=袱+

y^x+\,

by（a>0,於0）的最小值為2,則而的最大值為（D）

1

A1-

2

B.

1D1

C-

4-6

【解析】作出不等式組滿足的可行域如圖陰影部分所示，瞄//尸3尸1

函數(shù)z=ax+勿（加>0">0）,故當為取最小值時,z取到最小值.即/

當x=2,y=3時，z=or+?取得最小值2,即加+36=2,所以

(2a+3b)2,,11

等

時號

n/=-力=-

2aSbW―7—=1,當且僅當2a=3b=l,T3

x=2x

成立,所以（6曲）儂=1,即（而）3=&o

(1)

（2）（2018?惠州三模）已知函數(shù)y=log〃（x+3）T（a>0,且aWl）的圖象恒過定點A,

1?

若點A在直線磔+1=0上，其中八n均大于0,則盛+j的最小值為（C）

A.2B.4

C.8D.16

【解析】因為當尸一2時，y=log/-l=-l,

所以函數(shù)y=logXv+3）7（a>0,且aWl）的圖象恒過定點（一2,T）,即4（一2,

-1).

因為點A在直線儂+/iy+1=0上，所以一2川一〃+1=0,即2加+〃=1.因為w>0,

“，，122加+”，4加+2〃n,4w、翟=8,當且僅當加

〃>0,所以3+7==+丁=2+盛+了+2冽+2；

時取等號.故選C.

本講小

1.鋪設應用基本不等式的條件：

（1）合理拆分項或配湊因式是常用的技巧，而拆與湊的目標在于使等號成立，且

每項為正值，必要時出現(xiàn)積為定值或和為定值.

（2）當多次使用基本不等式時，一定要注意每次是否能保證等號成立，并且要注

意取等號的條件的一致性，否則就會出錯，因此在利用基本不等式處理問題時，列出

等號成立的條件不僅是解題的必要步驟，而且也是檢驗轉換是否有誤的一種方法.

2,求函數(shù)y=；+砥a〉0,b〉0）的值域，主要依據(jù)基本不等式（兩個正數(shù)的算術

平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)）及函數(shù)的單調性：函數(shù)y=;+^>0,b〉0）在

A

-8,和J,+8上為增函數(shù)’在°和°，、目上為減函數(shù)，

一輪復習之不等式系列(四)

題目摘自金考卷——2021新高考一輪復習45

天

1o

已知%>0,y>0,且一+—=1,則xy+%+y的最小值

%y

為.

做完下拉看答案哦！

以下是答案和解析?

答案：7+4V3

考點：

本題主要考察基本不等式.

——參考解析——

7+473【解析】本題考查基本不等式的性質.由題意，因為

17~

--+—=1,所以y+2%=到，所以xy+x+y-3%-t-2y=

xy

(3%+2y)(-^+y)=7+孑+攀分7+2j§§=7+

473,當且僅當紅=包時取等號，即xy+x+y的最小值

xy

為7+46.

今天這道題目涉及了一個小技巧：乘1法(乘

一法)

乘1法是在用基本不等式解決題目偶爾會用到

的一個技巧，覺得大家有必要了解一下。

乘1法常用于已知一個代數(shù)式的值，求一個代

數(shù)式的最值問題。（一般還會告訴你每項都是正的）