《第十八章 平行四邊形》知識串講+熱考題型（解析版）

八年級下冊數(shù)學(xué)《第十八章平行四邊形》本章知識綜合運用四個圖形的性質(zhì)和判定四個圖形的性質(zhì)和判定●●一、平行四邊形定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.性質(zhì)：平行四邊形的對邊平行，對邊相等，對角相等，對角線互相平分．判定：邊：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.角：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.對角線：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.●●二、矩形定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.性質(zhì)：①矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì).②矩形的四個角都是直角；③矩形的對角線相等.判定：①有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②對角線相等的平行四邊形是矩形；③有三個角是直角的四邊形是矩形；④矩形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸.●●三、菱形定義：有一組鄰邊相等的平行的四邊形叫做菱形.性質(zhì)：①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì).②菱形的四條邊都相等.③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.④菱形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸.判定：①有一組鄰邊相等的平行的四邊形叫做菱形.②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.③四條邊相等四邊形是菱形.●●四、正方形定義：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形.性質(zhì)：具有矩形、菱形、平行四邊形的一切性質(zhì).①邊：四條邊相等，鄰邊垂直，對邊平行；②角：四個角都是直角；③對角線：對角線相等，互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；④正方形式軸對稱圖形，有四條對稱軸；判定：①有一組鄰邊相等的矩形是正方形.②有一個角是直角的菱形是正方形.③對角線相等的菱形是正方形.④對角線垂直的矩形是正方形.兩個性質(zhì)定理兩個性質(zhì)定理●●1、三角形的中位線定理◆定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.◆性質(zhì)定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半.●●2、直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.題型一平行四邊形的性質(zhì)與判定題型一平行四邊形的性質(zhì)與判定【例題1】（2022?云岡區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F，連接AF和CE．（1）證明：四邊形AECF是平行四邊形；（2）已知BD＝6，DF＝2，BC＝5，求CE的長．【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得出∠AEF＝∠CFE＝90°，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行可得AE∥CF，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明△ABE≌△CDF，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE＝CF，然后根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明；（2）在Rt△BCF中，由勾股定理求得CF的長度；繼而在Rt△CEF中，由勾股定理CE的長度即可．【解答】（1）證明：∵AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F，∴∠AEF＝∠CFE＝90°，∴AE∥CF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），在平行四邊形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE與△CDF中，∠ABE=∠CDF∠AEB=∠CFD=90°∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形（有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）；（2）解：∵DF＝2，∴BF＝BD﹣DF＝6﹣2＝4．在Rt△BCF中，由勾股定理得CF=B由（1）可知△ABE≌△CDF，∴BE＝DF＝2．∴EF＝BF﹣BE＝2．在Rt△CEF中，由勾股定理得CE=E【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用三角形全等證明得到AE＝CF是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉平行四邊形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分別置于一個四邊形的對邊或?qū)堑奈恢蒙?，通過證明四邊形是平行四邊形達到上述目的.【變式1-1】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，O是對角線AC與BD的交點，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，則BD的長是（）A．18 B．19 C．20 D．21【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，可得OA的長，然后由AB⊥AC，AB＝8，AC＝12，根據(jù)勾股定理可求得OB的長，繼而求得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝12，∴OA=12AC＝6，BD＝2∵AB⊥AC，AB＝8，∴OB=OA∴BD＝2OB＝20．故選：C．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】如圖，在?ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于點F，CE平分∠BCD，交AB于點E，AD＝6，AB＝7，則EF長為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得CD∥AB，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠ECB＝∠DCE，然后證明BC＝BE，AD＝AF，進而可得AE＝BF，進而求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝6，AB＝DC＝7，∴∠DCE＝∠BEC，∵CE平分∠BCD交AB于E，DF平分∠ADC，交AB于點F，∴∠ECB＝∠DCE，∠ADF＝∠CDB，∵CD∥AB，∴∠CDB＝∠EFD，∠DCE＝∠BEC，∴∠ADF＝∠EFD，∠BCE＝∠BEC，∴AF＝AD＝6，BE＝BC＝6，∴AE＝BF＝7﹣6＝1，∴EF＝AB﹣AE﹣BF＝7﹣1﹣1＝5．故選：B．【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些知識的應(yīng)用，屬于常見題，中考常考題型．【變式1-3】如圖，平行四邊形ABCD中，E為BC邊上一點，AB＝AE，AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，則∠AED的度數(shù)為（）A．55° B．65° C．75° D．85°【分析】先求出∠B＝∠AEB＝∠BAE＝60°＝∠ADC＝∠DAE，由“SAS”可證△ADC≌△DAE，可求解．【解答】解：∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB＝CD＝AE，∠B＝∠ADC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠B＝∠AEB＝∠BAE，∵∠B+∠AEB+∠BAE＝180°，∴∠B＝∠AEB＝∠BAE＝60°＝∠ADC＝∠DAE，∵∠EAC＝25°，∴∠BAC＝85°，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝85°，在△ADC和△DAE中，AD=DA∠ADC=∠DAE∴△ADC≌△DAE（SAS），∴∠AED＝∠ACD＝85°，故選：D．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2021春?嘉興期中）如圖，已知在?ABCD中，E，F(xiàn)是對角線BD上的兩點，則以下條件不能判斷四邊形AECF為平行四邊形的是（）A．BE＝DF B．AF⊥BD，CE⊥BD C．∠BAE＝∠DCF D．AF＝CE【分析】連接AC與BD相交于O，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，只要證明得到OE＝OF即可，然后根據(jù)各選項的條件分析判斷即可得解．【解答】解：如圖，連接AC與BD相交于O，在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四邊形AECF為平行四邊形，只需證明得到OE＝OF即可；A、若BE＝DF，則OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本選項錯誤；B、若AF⊥BD，CE⊥BD，則可以利用“角角邊”證明△ADF和△CBE全等，從而得到DF＝BE，然后同A，故本選項錯誤；C、∠BAE＝∠DCF能夠利用“角角邊”證明△ABE和△CDF全等，從而得到DF＝BE，然后同A，故本選項錯誤；D、AF＝CE無法證明得到OE＝OF，故本選項正確．故選：D．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【變式1-5】如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AE平分∠BAD，分別交BC，BD于點E、P．連接OE，∠ADC＝60°，AB=12BC＝1，則下列結(jié)論：①∠CAD＝30°；②BD＝2③S平行四邊形ABCD＝AB?AC；④AD＝4OE．其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】①先根據(jù)角平分線和平行得：∠BAE＝∠BEA，則AB＝BE＝1，由有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形得：△ABE是等邊三角形，由外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得：∠ACE＝30°，最后由平行線的性質(zhì)可作判斷；②先根據(jù)三角形中位線定理得：OE=12AB=12，OE∥AB，根據(jù)勾股定理計算OC=1③因為∠BAC＝90°，根據(jù)平行四邊形的面積公式可作判斷；④根據(jù)三角形中位線定理可作判斷．【解答】解：①∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE＝1，∴△ABE是等邊三角形，∴AE＝BE＝1，∵BC＝2，∴EC＝1，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE，∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，∴∠ACE＝30°，∵AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACE＝30°，故①正確；②∵BE＝EC，OA＝OC，∴OE=12AB=12，∴∠EOC＝∠BAC＝60°+30°＝90°，Rt△EOC中，OC=1∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BCD＝∠BAD＝120°，∴∠ACB＝30°，∴∠ACD＝90°，Rt△OCD中，OD=1∴BD＝2OD=7故②錯誤；③由②知：∠BAC＝90°，∴S平行四邊形ABCD＝AB?AC，故③正確；④由②知：OE是△ABC的中位線，∴OE=12∵AB=12∴OE=12BC=故④正確；故選：C．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)、三角形面積和平行四邊形面積的計算；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明△ABE是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵系．【變式1-6】（2022?嘉定區(qū)二模）如圖，在四邊形ABCD中，AC是對角線，AC＝AD，點E在邊BC上，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，聯(lián)結(jié)DE．（1）求證：BC＝DE；（2）當(dāng)AC＝BC時，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【分析】（1）證△ABC≌△AED（SAS），即可得到結(jié)論；（2）證BC＝AD＝DE，則∠EAD＝∠AED，再證∠AEB＝∠B，則∠EAD＝∠AEB，得AD∥BC，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD．在△ABC與△AED中，AB=AE∠BAC=∠EAD∴△ABC≌△AED（SAS）．∴BC＝DE；（2）由（1）可知，△ABC≌△AED，∴∠B＝∠AED，BC＝DE，AC＝AD，∵AC＝BC，∴BC＝AD＝DE，∴∠EAD＝∠AED，∴∠B＝∠EAD，∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B，∴∠EAD＝∠AEB，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．【點評】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定等知識，熟練掌握平行四邊形的判定，證明三角形全等是解題關(guān)鍵．【變式1-7】（2022秋?招遠市期末）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD上的一點，連接EB并延長，使BF＝BE，連接EC并延長，使CG＝CE，連接FG．H為FG的中點，連接DH．（1）求證：四邊形AFHD為平行四邊形；（2）若CB＝CE，∠BAE＝80°，∠DCE＝30°，求∠CBE的度數(shù)．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD＝BC，AD∥BC；證明BC是△EFG的中位線，得出BC∥FG，BC=12FG，證出AD∥FH，AD＝（2）由平行四邊形的性質(zhì)得出∠BCE＝50°，再由等腰三角形的性質(zhì)得出∠CBE＝∠CEB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC是△EFG的中位線，∴BC∥FG，BC=12∵H為FG的中點，∴FH=12∴BC∥FH，BC＝FH，∴AD∥FH，AD＝FH，∴四邊形AFHD是平行四邊形；（2）解：∵∠BAE＝80°，∴∠BCD＝80°，∵∠DCE＝30°，∴∠BCE＝80°﹣30°＝50°，∵CB＝CE，∴∠CBE＝∠CEB=12（180°﹣50°）＝【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．【變式1-8】（2022春?蓬江區(qū)校級月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是CD邊的中點，連接AE并延長交BC的延長線于點F，連接BE，BE⊥AF．（1）求證：△ADE≌△FCE；（2）求證：AE平分∠DAB；（3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四邊形ABCD的面積．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)AAS可判定△ADE≌△FCE；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE＝FE，根據(jù)BE⊥AF．利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得BA＝BF，進而可得結(jié)論；（3）結(jié)合（1）根據(jù)∠DAB＝60°，AB＝4，利用30度角的直角三角形可得AE和BE的長，根據(jù)△ADE≌△FCE，可得△ADE的面積＝△FCE的面積，所以?ABCD的面積＝△ABF的面積＝2△ABE的面積，即可得結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠EFC，∵點E是CD邊的中點，∴DE＝CE，在△ADE和△FCE中，∠DAE=∠EFC∠DEA=∠CEF∴△ADE≌△FCE（AAS）；（2）證明：∵△ADE≌△FCE，∴AE＝FE，∵BE⊥AF，∴BA＝BF，∴∠BAF＝∠BFA，∵∠DAE＝∠BFA，∴∠DAE＝∠BAF，∴AE平分∠DAB；（3）解：∵∠DAB＝60°，AB＝4，∴∠DAE＝∠BAF＝30°，∵BE⊥AF，∴BE=12AB＝∴AE=3BE＝23∵△ADE≌△FCE，∴△ADE的面積＝△FCE的面積，∴?ABCD的面積＝△ABF的面積＝2△ABE的面積＝2×12×AE?BE＝23×2【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．題型二三角形的中位線定理題型二三角形的中位線定理【例題2】（2022秋?二道區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝13，BD平分∠ABC交AC于點D，點F在BC上，且BF＝5，連接AF，E為AF的中點，連接DE，則DE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一得到AD＝DC，根據(jù)三角形中位線定理計算得到答案．【解答】解：∵BC＝13，BF＝5，∴FC＝BC﹣BF＝13﹣5＝8，∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴AD＝DC，∵AE＝EF，∴DE是△AFC的中位線，∴DE=12FC=12故選：B．【點評】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉運用中位線定理求線段長或推理證明題的方法：當(dāng)題中出現(xiàn)有三角形的中點時，聯(lián)想到三角形中位線定理，應(yīng)用定理證明兩直線的位置關(guān)系或線段之間的關(guān)系.有時需要添加輔助線構(gòu)造.【變式2-1】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．若DE是△ABC的中位線，延長DE交△ABC的外角∠ACM的平分線于點F，則線段DF的長為（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出DE，得到DF∥BM，再證明EC＝EF=12【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC=AB∵DE是△ABC的中位線，∴DF∥BM，DE=12BC＝∴∠EFC＝∠FCM，∵∠FCE＝∠FCM，∴∠EFC＝∠ECF，∴EC＝EF=12AC＝∴DF＝DE+EF＝3+5＝8．故選：B．【點評】本題考查三角形中位線定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用三角形中位線定理，掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考常考題型．【變式2-2】（2022秋?封丘縣校級期末）如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中點AE⊥BE，AB＝5，AC＝3，則DE的長為（）A．1 B．32 C．2 D．【分析】連接BE并延長交AC的延長線于點F，易證明△ABF是等腰三角形，則得AF的長，點E是BF的中點，求得CF的長，從而DE是中位線，即可求得DE的長．【解答】解：連接BE并延長交AC的延長線于點F，如圖，∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠AEF＝90°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE，∴∠ABE＝∠AFE，∴△ABF是等腰三角形，∴AF＝AB＝5，點E是BF的中點，∴CF＝AF﹣AC＝5﹣3＝2，DE是△BCF的中位線，∴DE=1故選：A．【變式2-3】如圖，D是△ABC內(nèi)一點，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點，則四邊形EFGH的周長為（）A．12 B．14 C．24 D．21【分析】利用勾股定理列式求出BC的長，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EH＝FG=12BC，EF＝GH=【解答】解：∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，∴BC=BD∵E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點，∴EH＝FG=12BC，EF＝GH=∴四邊形EFGH的周長＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，又∵AD＝7，∴四邊形EFGH的周長＝7+5＝12．故選：A．【點評】本題考查了三角形的中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，熟記三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式2-4】（2022春?寧都縣期末）如圖，AC、BD是四邊形ABCD的對角線，E、F分別為AD、BC的中點，G、H分別為BD、AC的中點．請你判斷EF與GH的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【分析】連接EG、GF、FH、EH，根據(jù)三角形中位線定理得到EG=12AB，EG∥AB，F(xiàn)H=12AB，F(xiàn)H∥AB，進而得到EG＝FH，EG∥【解答】解：EF與GH互相平分，理由如下：連接EG、GF、FH、EH，∵E、F分別為AD、BC的中點，G、H分別為BD、AC的中點，∴EG是△ADB的中位線，F(xiàn)H是△ACB的中位線，∴EG=12AB，EG∥AB，F(xiàn)H=12AB，∴EG＝FH，EG∥FH，∴四邊形EGFH為平行四邊形，∴EF與GH互相平分．【點評】本題考查的是三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式2-5】（2022秋?鄲城縣期中）如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點．（1）若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的長．（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求證：AB2+CD2＝4EF2．【分析】（1）取BD的中點P，連接EP、FP，由三角形中位線定理得PE∥AB，且PE＝5，PF∥CD，且PF＝12，再證∠EPF＝90°，然后由勾股定理即可得出結(jié)論；（2）由三角形中位線定理得PE∥AB，且PE=12AB，PF∥CD，且PF=12【解答】（1）解：如圖，取BD的中點P，連接EP、FP，∵E，F(xiàn)分別是AD、BC的中點，AB＝10，CD＝24，∴PE是△ABD的中位線，PF是△BCD的中位線，∴PE∥AB，且PE=12AB=5∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝180°﹣120°＝60°，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，在Rt△EPF中，由勾股定理得：EF=E即EF的長為13；（2）證明：由（1）可知，PE是△ABD的中位線，PF是△BCD的中位線，∴PE∥AB，且PE=12AB，PF∥CD∴∠EPD＝∠ABD，∠DPF＝180°﹣∠BDC．∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，∴∠BDC＝90°+∠ABD，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，∴PE∴AB2+CD2＝4EF2．【點評】本題考查了三角形中位線定理、勾股定理以及平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握三角形中位線定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．題型三矩形的性質(zhì)與判定題型三矩形的性質(zhì)與判定【例題3】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，對角線AC的垂直平分線分別交AD、AC于點E、O，連接CE，則CE的長為（）A．6 B．7 C．5 D．5.6【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)可得AE＝CE，設(shè)CE＝x，表示出ED的長度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式計算即可得解．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝8，∵EO是AC的垂直平分線，∴AE＝CE，設(shè)CE＝x，則ED＝AD﹣AE＝8﹣x，在Rt△CDE中，CE2＝CD2+ED2，即x2＝42+（8﹣x）2，解得：x＝5，即CE的長為5．故選：C．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)；熟練掌握勾股定理，把相應(yīng)的邊轉(zhuǎn)化為同一個直角三角形的邊是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉1、矩形中有直角，所以對于線段長度的問題常用到勾股定理；2、矩形的判定一定要先明確前提條件，若前提是平行四邊形，則找一個角是直角或?qū)蔷€相等；若前提是四邊形，則需證明有三個角是直角.3、矩形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用時要分清條件和結(jié)論，靈活選用方法是解題的關(guān)鍵.【變式3-1】（2021秋?泗縣期末）如圖，在矩形ABCD，對角線AC與BD相交于點O，EO⊥AC于點O，交BC于點E，若△ABE的周長為8，AB＝3，則AD的長為（）A．2 B．5.5 C．5 D．4【分析】由矩形的性質(zhì)可得AO＝CO，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE＝EC，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝CO，BC＝AD，∵EO⊥AC，∴AE＝EC，∵△ABE的周長為8，∴AB+AE+BE＝8，∴3+BC＝8，∴BC＝5，∴AD＝BC＝5．故選：C．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【變式3-2】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E，使DE＝AD，連接EB，EC，DB，添加一個條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是（）A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE【分析】先證明四邊形BCDE為平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定進行解答．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵AD＝DE，∴DE∥BC，且DE＝BC，∴四邊形BCED為平行四邊形，A、∵AB＝BE，DE＝AD，∴BD⊥AE，∴?DBCE為矩形，故本選項錯誤；B、∵對角線互相垂直的平行四邊形為菱形，不一定為矩形，故本選項正確；C、∵∠ADB＝90°，∴∠EDB＝90°，∴?DBCE為矩形，故本選項錯誤；D、∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，∴?DBCE為矩形，故本選項錯誤．故選：B．【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定，首先判定四邊形BCDE為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022?定安縣一模）如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，CD上的點，AE＝CF，連接EF，BF，EF與對角線AC交于點O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，F(xiàn)C＝2，則AB的長為（）A．83 B．8 C．43 D．6【分析】連接OB，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BO⊥EF，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OA＝OB，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠BAC＝∠ABO，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠ABO＝30°，即∠BAC＝30°，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC，再利用勾股定理列式計算即可求出AB．【解答】解：如圖，連接BO，∵四邊形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∠DCB＝90°∴∠FCO＝∠EAO，在△AOE和△COF中，∠AOE=∠FOC∠FCO=∠EAO∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF，OA＝OC，∵BF＝BE，∴BO⊥EF，∠BOF＝90°，∵∠FEB＝2∠CAB＝∠CAB+∠AOE，∴∠EAO＝∠EOA，∴EA＝EO＝OF＝FC＝2，在RT△BFO和RT△BFC中，BF=BFFO=FC∴RT△BFO≌RT△BFC，∴BO＝BC，在RT△ABC中，∵AO＝OC，∴BO＝AO＝OC＝BC，∴△BOC是等邊三角形，∴∠BCO＝60°，∠BAC＝30°，∴∠FEB＝2∠CAB＝60°，∵BE＝BF，∴△BEF是等邊三角形，∴EB＝EF＝4，∴AB＝AE+EB＝2+4＝6．故選：D．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，綜合題，但難度不大，（2）作輔助線并求出∠BAC＝30°是解題的關(guān)鍵．【變式3-4】（2022春?鹿城區(qū)校級期中）如圖，在矩形ABCD中，點E為AD的中點，延長BE，CD交于點F，連接AF，BD．（1）求證：四邊形ABDF為平行四邊形．（2）若BE為∠ABC的角平分線，AB＝5，求四邊形ABDF的周長．【分析】（1）由“AAS”可證△ABE≌△DFE，可得AB＝DF，由平行四邊形的判定可得結(jié)論；（2）由角平分線的性質(zhì)可得∠ABE＝∠CBE＝45°，可求AD＝10，由勾股定理可求BD的長，即可求解．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠ABE＝∠DFE，∵點E為AD的中點，∴AE＝DE，在△ABE和△DFE中，∠ABE=∠DFE∠AEB=∠DEF∴△ABE≌△DFE（AAS），∴AB＝DF，∴四邊形ABDF為平行四邊形；（2）解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝45°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°，∴AB＝AE＝5，∴AD＝10，∴BD=AD2+∴四邊形ABDF的周長＝2（AB+BD）＝10+105．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)等知識，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-5】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E分別是線段BC、AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF．（1）求證：△BDE≌△FAE；（2）求證：四邊形ADCF為矩形．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AFE＝∠DBE，根據(jù)線段中點的定義得到AE＝DE，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF＝BD，推出四邊形ADCF是平行四邊形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ADC＝90°，于是得到結(jié)論．【解答】證明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是線段AD的中點，∴AE＝DE，∵∠AEF＝∠DEB，∴△BDE≌△FAE（AAS）；（2）∵△BDE≌△FAE，∴AF＝BD，∵D是線段BC的中點，∴BD＝CD，∴AF＝CD，∵AF∥CD，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四邊形ADCF為矩形．【點評】本題考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．【變式3-6】如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別為OB，OD的中點，延長AE至G，使EG＝AE，連接CG．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）當(dāng)AB與AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形EGCF是矩形？請說明理由．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行線的性質(zhì)得出∠ABE＝∠CDF，證出BE＝DF，由SAS證明△ABE≌△CDF即可；（2）證出AB＝OA，由等腰三角形的性質(zhì)得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，證出EG＝CF，得出四邊形EGCF是平行四邊形，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵點E，F(xiàn)分別為OB，OD的中點，∴BE=12OB，DF=∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，AB=CD∠ABE=∠CDF∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：當(dāng)AC＝2AB時，四邊形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中點，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，由（1）得：△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵EG＝AE，∴EG＝CF，∴四邊形EGCF是平行四邊形，∵∠OEG＝90°，∴四邊形EGCF是矩形．【點評】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定、三角形中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．題型四直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)題型四直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)【例題4】（2022春?交城縣期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，點D在BC的延長線上，連接AD，點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，若EF＝3，則AD的長為（）A．3 B．33 C．6 D．32【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得出AED＝90°，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)解決問題即可．【解答】解：連接AE，∵AB＝AC，E為BC的中點，∴AE⊥BC，∴∠AED＝90°，∵F為AD的中點，∴EF=12∵EF＝3，∴AD＝6．故選：C．【點評】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證出∠AED＝90°是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉在直角三角形中，遇到斜邊的中點常作斜邊的中線，從而利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)解決問題.【變式4-1】（2022春?蓬萊市期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，E為BC上的一點，F(xiàn)為AD的中點，且∠BAE＝35°，∠CDE＝55°，∠ADE＝30°，AE＝3，則EF的長為（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】由平行線的性質(zhì)可求得∠EAD+∠ADE＝90°，即可得∠AED＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可證得EF＝AE，即可求解．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∵∠BAE＝35°，∠CDE＝55°，∴∠EAD+∠ADE＝90°，∴∠AED＝90°，∵F是AD的中點，∠ADE＝30°，∴EF=12AD，AE=∴EF＝AE＝3．故選：B．【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，證明EF＝AE是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022春?青縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，CD⊥AB于點D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜邊AB的中點，則DE的長是（）A．6 B．5 C．4 D．2【分析】由直角三角形的性質(zhì)可得AE＝CE＝BE＝4，通過角的數(shù)量關(guān)系可求∠DCE＝∠DEC，即可求解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝8，E是斜邊AB的中點，∴AE＝CE＝BE＝4，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠DEC＝2∠ECA，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°＝∠B+∠BCD，∴∠BCD＝∠A，∴∠BCD＝∠A＝∠ACE，∵∠ACD＝3∠BCD，∴∠ACD＝3∠ACE，∴∠DCE＝2∠ACE，∴∠DCE＝∠DEC，∴CD＝DE，又∵DE⊥CD，∴CE=2DE＝4∴DE＝22，故選：D．【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明∠DCE＝∠DEC是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022秋?西安月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，以AC為斜邊作Rt△ADC．使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB，E、F分別是BC、AC的中點，連接EF、DE、DF，則DE的長為．【分析】根據(jù)已知可得∠CAD＝30°，再在Rt△ACD中，利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得DF＝AF＝2，從而利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠CAD＝∠ADF＝30°，然后再利用三角形的外角性質(zhì)可得∠DFC＝60°，再利用三角形的中位線定理可得EF=12AB＝2，EF∥AB，從而利用平行線的性質(zhì)可得∠EFC＝∠BAC＝30°，進而可得∠EFD＝90°，最后在Rt△【解答】解：∵∠CAD＝∠CAB，∠CAB＝30°，∴∠CAD＝30°，∵∠ADC＝90°，點F是AC的中點，AC＝4，∴DF＝AF=12AC＝∴∠CAD＝∠ADF＝30°，∴∠DFC＝∠CAD+∠ADF＝60°，∵E、F分別是BC、AC的中點，∴EF=12AB＝2，EF∥∴∠EFC＝∠BAC＝30°，∴∠EFD＝∠EFC+∠CFD＝90°，在Rt△DFE中，DE=DF2故答案為：22．【點評】本題考查了三角形的中位線定理，直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形的中位線定理，以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-4】（2022秋?新民市期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分別是AC，BD的中點．（1）求證：MN⊥BD；（2）若∠DAC＝64°，∠BAC＝56°，求∠DMB的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BM=12AC，DM=（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BM＝AM，DM＝AM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計算，得到答案．【解答】（1）證明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中點，∴BM=12AC，DM=∴BM＝DM，又∵N是BD的中點，∴MN⊥BD；（2）∴∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中點，∴BM＝AM，DM＝AM，．∴∠ABM＝∠BAC＝56°，∠ADM＝∠DAC＝64°，∴∠DMB＝360°﹣56°×2﹣64°×2＝120°．【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式4-5】（2022秋?江都區(qū)校級月考）如圖，已知銳角△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點．（1）求證：MN⊥DE；（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，連結(jié)DM、ME，求∠DME的度數(shù)；（3）猜想∠DME與∠A之間的關(guān)系，并證明你的猜想．【分析】（1）連接DM，ME，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DM=12BC，ME=12BC，得到（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形性質(zhì)、平角的定義求解即可；（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】（1）證明：如圖，連接DM，ME，∵CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M是BC的中點，∴DM=12BC，ME=∴DM＝ME，又∵N為DE中點，∴MN⊥DE；（2）解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，∴180°﹣∠A＝120°，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝120°，∴∠DME＝180°﹣（∠BMD+∠CME）＝60°；（3）解：∠DME＝180°﹣2∠A，理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A，∴∠DME＝180°﹣2∠A．【點評】此題考查了直角三角形斜邊上的中線、等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟記直角三角形斜邊上的中線、等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型五菱形的性質(zhì)與判定題型五菱形的性質(zhì)與判定【例題5】（2022秋?青羊區(qū)校級月考）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，BD＝6，AC＝8，直線OE⊥AB交CD于點F，則EF的長為．【分析】由菱形的性質(zhì)得OB=12BD=3，OA=12【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，BD＝6，AC＝8，∴OB=1∴AB=OA∵EF⊥AB，∴S菱形即12∴EF＝4.8，故答案為：4.8．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉菱形的判定可以確定菱形的存在，再利用菱形的性質(zhì)，可以得出線段或角的對應(yīng)關(guān)系.【變式5-1】（2022春?夏邑縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D為斜邊AB上一點，以CD、CB為邊作平行四邊形CDEB，當(dāng)AD＝時，平行四邊形CDEB為菱形．【分析】根據(jù)勾股定理求得AB＝5，再由菱形的性質(zhì)得OD＝OB，CD＝CB，然后由勾股定理求出OB的長，即可得出答案．【解答】解：如圖，連接CE交AB于點O．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB=AC若平行四邊形CDEB為菱形，則CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB．∵S△ACB=12AB?OC=12∴OC=12在Rt△BOC中，根據(jù)勾股定理得，OB=B∴AD＝AB﹣2OB=7故答案為：75【點評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022?玉樹市校級一模）如圖，菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，P是AB邊一個動點，E、F分別是DP、BP的中點，則線段EF的長為．【分析】連接BD．首先證明△ADB是等邊三角形，可得BD＝4，再根據(jù)三角形的中位線定理即可解決問題．【解答】解：如圖連結(jié)BD，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝4，∵∠A＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD＝AD＝4，∵點E，F(xiàn)分別是DP，BP的中點，∴EF為△PBD的中位線，∴EF=12BD＝故答案為：2．【點評】本題考查菱形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，本題的突破點是證明△ADB是等邊三角形．【變式5-3】（2022秋?永春縣期中）如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，BD＝2AD，E，F(xiàn)，G分別是OC，OD，AB的中點．下列結(jié)論正確的是．（填序號）①EG＝EF；②△EFG≌△GBE；③EA平分∠GEF；④FB平分∠EFG；⑤四邊形BEFG是菱形．【分析】由中點的性質(zhì)可得出EF∥CD，且EF=12CD＝BG，結(jié)合平行即可證得②結(jié)論成立，由BD＝2BC得出BO＝BC，即而得出BE⊥AC，由中線的性質(zhì)可知GP∥BE，且GP=12BE，AO＝EO，通過證△APG≌△EPG得出AG＝EG＝EF得出①成立，再證△GPE≌△【解答】解：令GF和AC的交點為點P，如圖所示：∵E、F分別是OC、OD的中點，∴EF∥CD，且EF=12∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，且AB＝CD，∴∠FEG＝∠BGE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵點G為AB的中點，∴BG=12AB=12在△EFG和△GBE中，BG=FE∠FEG=∠BGE∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立，∴∠EGF＝∠GEB，∴GF∥BE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），∵BD＝2BC，點O為平行四邊形對角線交點，∴BO=12BD＝∵E為OC中點，∴BE⊥OC，∴GP⊥AC，∴∠APG＝∠EPG＝90°∵GP∥BE，G為AB中點，∴P為AE中點，即AP＝PE，且GP=12在△APG和△EGP中，AP=EP∠APG=∠EPG∴△APG≌△EPG（SAS），∴AG＝EG=12∴EG＝EF，即①成立，∵EF∥BG，GF∥BE，∴四邊形BGFE為平行四邊形，∴GF＝BE，∵GP=12BE=∴GP＝FP，∵GF⊥AC，∴∠GPE＝∠FPE＝90°在△GPE和△FPE中，GP=FP∠GPE=∠FPE∴△GPE≌△FPE（SAS），∴∠GEP＝∠FEP，∴EA平分∠GEF，即③成立．故答案為：①②③．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、中位線定理以及平行線的性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是利用中位線，尋找等量關(guān)系，借助于證明全等三角形找到邊角相等．【變式5-4】（2022春?五華區(qū)校級期中）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點D作對角線BD的垂線交BA的延長線于點E．（1）證明：四邊形ACDE是平行四邊形；（2）若AC＝24，BD＝10，求△ADE的周長．【分析】（1）先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AB∥CD，AC⊥BD，再證明DE∥AC，然后根據(jù)平行四邊形的定義證明即可；（2）先根據(jù)菱形的性質(zhì)以及勾股定理得出AD＝CD＝13，再由平行四邊形的性質(zhì)得出AE＝CD＝13，DE＝AC＝24，進而求出△ADE的周長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∵DE⊥BD，∴DE∥AC，∴四邊形ACDE是平行四邊形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，∴AO=12AC＝12，DO=12BD＝5，∴∠AOD＝90°，∴CD＝AD=AO由（1）得：四邊形ACDE是平行四邊形，∴AE＝CD＝13，DE＝AC＝24，∴△ADE的周長＝AD+AE+DE＝13+13+24＝50．【點評】此題考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-5】（2022?武威模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E是對角線AC上一點，∠ADC＝∠ABC．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）分別過點E，B作EF∥AB，BF∥AC，當(dāng)∠FCE和∠DCE滿足怎么樣的數(shù)量關(guān)系時，四邊形EFCD是菱形？請說明理由．【分析】（1）由平行線的在得∠ABC+∠BCD＝180°．再證∠ADC+∠BCD＝180°，則AD∥BC，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）先證四邊形ABFE是平行四邊形，得AB∥EF，AB＝EF，再證CD∥EF，CD＝EF，則四邊形EFCD是平行四邊形，然后證EF＝FC，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°．∵∠ADC＝∠ABC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴AD∥BC，又∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）解：∠FCE＝∠DCE時，四邊形EFCD是菱形，理由如下：∵EF∥AB，BF∥AE，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴AB∥EF，AB＝EF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴CD∥EF，CD＝EF，∴四邊形EFCD是平行四邊形，∵CD∥EF，∴∠FEC＝∠DCE，又∵∠FCE＝∠DCE，∴∠FEC＝∠FCE，∴EF＝FC，∴平行四邊形EFCD是菱形．【點評】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-6】（2022春?萊蕪區(qū)期中）如圖所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動，且點E、F不與點B、C、D重合．（1）證明：不論點E、F在邊BC、CD上如何滑動，總有BE＝CF；（2）當(dāng)點E、F在邊BC、CD上滑動時，四邊形AECF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出四邊形AECF的面積；如果變化，請說明理由．【分析】（1）先求證AB＝AC，進而求證△ABC、△ACD為等邊三角形，得∠4＝60°，AC＝AB進而求證△ABE≌△ACF，即可求得BE＝CF；（2）根據(jù)△ABE≌△ACF可得S△ABE＝S△ACF，故根據(jù)S四邊形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC即可解題．【解答】（1）證明：連接AC，如圖所示，∵菱形ABCD，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝∠DAC＝60°，∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，∴∠1＝∠3，∵∠BAD＝120°，BC∥AD，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∴△ABC、△ACD為等邊三角形，∴∠4＝60°，AC＝AB，在△ABE和△ACF中，∠1=∠3AB=AC∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF；（2）解：四邊形AECF的面積不變．理由：由（1）得△ABE≌△ACF，則S△ABE＝S△ACF，故S四邊形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC是定值，作AH⊥BC于H點，則BH＝2，∴S四邊形AECF＝S△ABC=12BC?AH=12BC?【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)及三角形面積的計算，求證△ABE≌△ACF是解題的關(guān)鍵，有一定難度．題型六正方形的性質(zhì)與判定題型六正方形的性質(zhì)與判定【例題6】（2022春?衡山縣期末）如圖，在矩形ABCD中，有以下結(jié)論：①△AOB是等腰三角形；②S△ABO＝S△ADO；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤當(dāng)∠ABD＝45°時，矩形ABCD會變成正方形．正確的結(jié)論是．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，可以判斷各個小題是否成立，從而可以解答本題．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，故③正確；∴AO＝BO，∴△AOB是等腰三角形，故①正確；設(shè)點A到BD的距離為h，則S△ABO=BO?h2=DO?h2=∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，但是AC不一定和BD垂直，故④錯誤；∵∠BAD＝90°，∴當(dāng)∠ABD＝45°時，∠ADB＝45°，∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形，故⑤正確；故答案為：①②③⑤．【點評】本題考查正方形的判定、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．解題技巧提煉正方形具有所有特殊平行四邊形的性質(zhì)，正方形的判定可以確定正方形的存在，再利用正方的性質(zhì)，可以得出線段或角的對應(yīng)關(guān)系從而解決問題.【變式6-1】（2022?南海區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD是邊長為5的正方形，∠CEB和∠CFD都是直角且點C，E，F(xiàn)三點共線，BE＝2，則陰影部分的面積是．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)得出CF＝BE，EC＝DF，進而利用三角形面積公式解答即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∵∠CEB＝∠CFD＝90°，∴∠BCE+∠DCF＝90°，∠BCE+∠EBC＝90°，∴∠EBC＝∠DCF，在△BEC與△CFD中，∠BEC=∠DFC=90°∠EBC=∠FCD∴△BEC≌△CFD（AAS），∴CF＝BE，EC＝DF，∵BC＝5，BE＝2，∴EC=B∴陰影部分的面積=1故答案為：212【點評】此題考查正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)得出CF＝BE，EC＝DF解答．【變式6-2】（2022秋?桐柏縣期末）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E，F(xiàn)分別在DC，BC上，BF＝CE＝4，連接AE、DF，AE與DF相交于點G，連接AF，取AF的中點H，連接HG，則HG的長為13．【分析】先證明△ADE≌△DCF，進而得∠AGF＝90°，用勾股定理求得AF，便可得GH．【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ADE＝∠C＝90°，AD＝DC＝BC，∵BF＝CE，∴CF＝DE，在△ADE和△DCF中，AD=CD∠ADE=∠C∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠DAE+∠DEA＝90°，∴∠CDF+∠DEA＝90°，∴∠AGF＝∠DGE＝90°，∵點H為AF的中點，∴GH=12∵AB＝6，BF＝4，∴AF=AB2∴GH=13故答案為：13．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余等知識，掌握三角形全等的判定方法與正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2022秋?零陵區(qū)期末）如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD、AD上的點，且CE＝DF，AE、BF相交于點O，下列結(jié)論：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四邊形DEOF，其中正確的有（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，然后求出AF＝DE，再利用“邊角邊”證明△ABF和△DAE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE＝BF，從而判定出①正確；再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ABF＝∠DAE，然后證明∠ABF+∠BAO＝90°，再得到∠AOB＝90°，從而得出AE⊥BF，判斷②正確；假設(shè)AO＝OE，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)可得AB＝BE，再根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊可得BE＞BC，即BE＞AB，從而判斷③錯誤；根據(jù)全等三角形的面積相等可得S△ABF＝S△ADE，然后都減去△AOF的面積，即可得解，從而判斷④正確．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，∵CE＝DF，∴AD﹣DF＝CD﹣CE，即AF＝DE，在△ABF和△DAE中，AB=AD∠BAF=∠D∴△ABF≌△DAE（SAS），∴AE＝BF，故①正確；∠ABF＝∠DAE，∵∠DAE+∠BAO＝90°，∴∠ABF+∠BAO＝90°，在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥BF，故②正確；假設(shè)AO＝OE，如圖，連接BE，∵AE⊥BF（已證），∴AB＝BE（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等），∵在Rt△BCE中，BE＞BC，∴AB＞BC，這與正方形的邊長AB＝BC相矛盾，所以，假設(shè)不成立，AO≠OE，故③錯誤；∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF＝S△DAE，∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，即S△AOB＝S四邊形DEOF，故④正確；綜上所述，正確的有①②④．故選：D．【點評】本題考查了正方形的四條邊都相等，每一個角都是直角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，綜合題但難度不大，求出△ABF和△DAE全等是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口．【變式6-4】（2022春?江寧區(qū)期末）如圖，△ABC的中線AF與中位線DE相交于點O．（1）求證：AF與DE互相平分；（2）當(dāng)△ABC滿足時，四邊形ADFE是正方形．【分析】（1）證明四邊形DFEA是平行四邊形，即可得出結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)得出AF⊥BC，再根據(jù)三角形中位線定理及正方形的判定可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵△ABC的中線AF與中位線DE相交于點O，∴EF是△ABC的中位線，AD＝BD，∴EF∥AB，EF=12AB＝∴四邊形DFEA是平行四邊形，∴AF與DE互相平分．（2）解：當(dāng)△ABC滿足AB＝AC，∠BAC＝90°時，四邊形ADFE是正方形，由（1）得：四邊形ADFE是平行四邊形，∵AB＝AC，AF是△ABC的中線，∴AF⊥BC，∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，∴AF⊥DE，∴平行四邊形ADFE是菱形．又∵∠BAC＝90°，∴四邊形ADFE是正方形．故答案為：AB＝AC，∠BAC＝90°．【點評】本題考查了正方形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-5】（2020春?朝天區(qū)期末）如圖，點E是正方形ABCD對角線AC上一點，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分別為F，G，若正方形ABCD的周長是40cm．（1）求證：四邊形BFEG是矩形；（2）求四邊形EFBG的周長；（3）當(dāng)AF的長為多少時，四邊形BFEG是正方形？【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得出AB⊥BC、∠B＝90°，根據(jù)EF⊥AB、EG⊥BC可得出∠BFE＝90°，∠BGE＝90°，再結(jié)合∠B＝90°，即可證出四邊形BFEG是矩形；（2）由正方形的周長可求出正方形的邊長，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出△AEF為等腰直角三角形，進而可得出AF＝EF，再根據(jù)矩形的周長公式即可求出結(jié)論；（3）由正方形的判定可知：若要四邊形BFEG是正方形，只需EF＝BF，結(jié)合AF＝EF、AB＝10cm，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB⊥BC，∠B＝90°．∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠BFE＝90°，∠BGE＝90°．又∵∠B＝90°，∴四邊形BFEG是矩形；（2）∵正方形ABCD的周長是40cm，∴AB＝40÷4＝10cm．∵四邊形ABCD為正方形，∴△AEF為等腰直角三角形，∴AF＝EF，∴四邊形EFBG的周長C＝2（EF+BF）＝2（AF+BF）＝20cm．（3）若要四邊形BFEG是正方形，只需EF＝BF，∵AF＝EF，AB＝10cm，∴當(dāng)AF＝5cm時，四邊形BFEG是正方形．【點評】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、等腰直角三角形的性質(zhì)以及矩形的周長，解題的關(guān)鍵是：（1）利用正方形的性質(zhì)及垂線的定義，找出∠B＝∠BFE＝∠BGE＝90°；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)找出AF＝EF；（3）熟練掌握正方形的判定定理．題型七特殊平行四邊形綜合運用題型七特殊平行四邊形綜合運用【例題7】（2022春?綦江區(qū)月考）下列說法中錯誤的是（）A．兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 B．兩條對角線相等的四邊形是矩形 C．兩條對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 D．兩條對角線相等的菱形是正方形【分析】分別利用平行四邊形、菱形以及正方形、矩形的判定方法分別分析求出即可．【解答】解：A、兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形是正確的，不符合題意；B、兩條對角線相等的平行四邊形是矩形，所以原語句是不正確的，符合題意；C、兩條對角線互相垂直的平行四邊形是菱形是正確的，不符合題意；D、兩條對角線相等的菱形是正方形是正確的，不符合題意．故選：B．【點評】此題主要考查了正方形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，正確把握矩形、菱形、正方形以及平行四邊形的區(qū)別是解題關(guān)鍵．解題技巧提煉綜合利用菱形、矩形、正方形的性質(zhì)與判定方法實現(xiàn)相應(yīng)線段、角之間的轉(zhuǎn)化時解題的關(guān)鍵，前提是要熟悉各圖形的性質(zhì)與判定的方法.【變式7-1】（2022秋?東明縣校級期末）如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四種說法：①四邊形AEDF是平行四邊形；②如果∠BAC＝90°，那么四邊形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四邊形AEDF是正方形．其中，正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】先由兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形，根據(jù)DE∥CA，DF∥BA，得出AEDF為平行四邊形，得出①正確；當(dāng)∠BAC＝90°，根據(jù)推出的平行四邊形AEDF，利用有一個角為直角的平行四邊形為矩形可得出②正確；若AD平分∠BAC，得到一對角相等，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等又得到一對角相等，等量代換可得∠EAD＝∠EDA，利用等角對等邊可得一組鄰邊相等，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形為菱形可得出③正確；由AB＝AC，AD⊥BC，根據(jù)等腰三角形的三線合一可得AD平分∠BAC，同理可得四邊形AEDF是菱形，④錯誤，進而得到正確說法的個數(shù)．【解答】解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四邊形AEDF是平行四邊形，選項①正確；若∠BAC＝90°，∴平行四邊形AEDF為矩形，選項②正確；若AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，又DE∥CA，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∴平行四邊形AEDF為菱形，選項③正確；若AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，同理可得平行四邊形AEDF為菱形，選項④錯誤，則其中正確的個數(shù)有3個．故選：C．【點評】此題考查了平行四邊形的定義，菱形、矩形的判定，涉及的知識有：平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．【變式7-2】F，BE⊥CD于點E．（1）求證：四邊形DFBE是矩形；（2）若DE＝2，BE＝4，求AD的長．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得AB∥CD，AB＝CD，再證四邊形BEDF是平行四邊形，然后由矩形的判定即可得出結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得AD＝AB，再由矩形的性質(zhì)得BF＝DE＝2，DF＝BE＝4，設(shè)AB＝AD＝x，則AF＝x﹣2，然后在Rt△DAF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵DF⊥AB，BE⊥CD，∴DF∥BE，∠DFB＝90°，∴四邊形DFBE是平行四邊形，又∵∠DFB＝90°，∴平行四邊形DFBE是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB，由（1）可知，四邊形DFBE是矩形，∴BF＝DE＝2，DF＝BE＝4，設(shè)AB＝AD＝x，則AF＝x﹣2，在Rt△DAF中，由勾股定理得：x2＝42+（x﹣2）2，解得：x＝5，即AD的長為5．【點評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022春?嶧城區(qū)期中）問題解決：如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，DE＝AF，DE⊥AF于點G．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）延長CB到點H，使得BH＝AE，判斷△AHF的形狀，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得∠DAB＝∠B＝90°，由等角的余角相等可得∠ADE＝∠BAF，利用AAS可得△ADE≌△BAF（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得AD＝AB，即可得四邊形ABCD是正方形；（2）利用AAS可得△ADE≌△BAF（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得AE＝BF，由已知BH＝AE可得BH＝BF，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得即可得AH＝AF，△AHF是等腰三角形．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠B＝90°，∵DE⊥AF，∴∠DAB＝∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，∵DE＝AF，∴△ADE≌△BAF（AAS），∴AD＝AB，∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形ABCD是正方形；（2）解：△AHF是等腰三角形，理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠ABH＝90°，∵DE⊥AF，∴∠DAB＝∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，∵DE＝AF，∴△ADE≌△BAF（AAS），∴AE＝BF，∵DE＝AF，∴BH＝AE，∴BH＝BF，∵∠ABH＝90°，∴AH＝AF，∴△AHF是等腰三角形．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式7-4】（2022秋?高明區(qū)月考）如圖，在?ABCD中，E、M分別為AD、AB的中點，DB⊥AD，延長ME交CD的延長線于點N，連接AN．（1）證明：四邊形AMDN是菱形；（2）若∠DAB＝45°，判斷四邊形AMDN的形狀，并說明理由．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得DC∥AB，可得∠DAM＝∠NDA，可證△NED≌△MEA，可得AM＝ND，可證四邊形AMDN是平行四邊形，由直角三角形的性質(zhì)可得AM＝MD，可得四邊形AMDN是菱形；（2）由菱形的性質(zhì)可得∠DAB＝∠ADM＝45°，可得AM⊥DM，則四邊形AMDN是正方形．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，∴∠DAM＝∠NDA，∵E為AD中點，∴DE＝AE，在△NED和△MEA中，∠NDE=∠EAMDE=AE∴△NED≌△MEA（ASA），∴AM＝ND，∵CD∥AB，∴四邊形AMDN是平行四邊形，∵BD⊥AD，M為AB的中點，∵AM＝DM＝MB，∴四邊形AMDN是菱形；（2）解：四邊形AMDN是正方形，理由如下：∵四邊形AMDN是菱形，∴AM＝DM，∴∠DAB＝∠ADM＝45°，∴∠AMD＝90°，∴菱形AMDN是正方形．【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，正方形的判定，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，熟練運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵．【變式7-5】（2022秋?青島期中）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥AC，DC⊥AC，∠B＝∠D，點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點．（1）求證：△ABC≌△CDA；（2）求證：四邊形AECF是菱形；（3）給三角形ABC添加一個條件，使得四邊形AECF是正方形，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)AAS可證明△ABC≌△CDA；（2）證出AB＝CD，AD＝BC，則可得出四邊形ABCD是平行四邊形，由直角三角形的性質(zhì)證出AE=12BC＝（3）根據(jù)正方形的判定可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AB⊥AC，DC⊥AC，∴∠BAC＝∠ACD＝90°，在△ABC和△CDA中，∠BAC=∠ACD∠B=∠D∴△ABC≌△CDA（AAS）；（2）證明：∵△ABC≌△CDA，∴AB＝CD，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∵點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，∴EC=12BC，AF=∴EC＝AF，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵∠BAC＝90°，點E是BC的中點，∴AE=12BC＝∴平行四邊形AECF是菱形；（3）解：添加一個條件是AB＝AC．∵AB＝AC，點E是BC的中點，∴AE⊥BC，即∠AEC＝90°，∵平行四邊形AECF是菱形，∴四邊形AECF是正方形．故答案為：AB＝AC．【點評】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，正方形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的判定解答．題型八平行四邊形中的分類討論問題題型八平行四邊形中的分類討論問題【例題8】（2022春?東湖區(qū)校級期中）菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，點E在線段BC上，CE＝23，若點P是菱形邊上異于點E的另一點，CE＝CP，則∠EPC的度數(shù)為．【分析】①當(dāng)P在CD邊上時，連接EP交AC于點H，依據(jù)菱形的性質(zhì)可得到∠ECH＝∠PCH＝60°，根據(jù)三線合一可得∠EHC＝∠PHC＝90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可；②當(dāng)P在AD邊上，CP⊥AD時，求得CP=23=CE，可得△③當(dāng)P在AB邊上，CP⊥AB時，求得∠BCP＝30°，利用等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：如圖所示：連接EP交AC于點H．∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°，∠ECH＝∠PCH＝60°．∵CE＝CP∴∠EHC＝∠PHC＝90°，EH＝PH．∴∠EPC＝90°﹣60°＝30°；如圖2所示：當(dāng)P在AD邊上，CP⊥AD時，則CP=23∵EC=23∴△ECP為等腰直角三角形，∴∠EPC＝45°．如圖3所示：當(dāng)P在AB邊上，CP⊥AB時，∴∠BCP＝90°﹣∠CBA＝30°，∵CE＝CP，∴∠EPC＝∠PEC=12（180°﹣30°）＝故答案為：30°或45°或75°．【點評】本解題技巧提煉分類討論思想要做到兩點：（1）要有分類的意識，善于從問題的情景中專注分類的對象；二是找出科學(xué)、合理的分類標(biāo)準(zhǔn).本章中出現(xiàn)的圖形運動、邊長、面積等題目常用到分類討論思想.【變式8-1】（2023?龍川縣校級開學(xué)）在正方形ABCD中，點E在對角線BD上，點P在正方形的邊上，若∠AEB＝105°，AE＝EP，則在△AEP中，∠AEP的度數(shù)為．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分兩種情況討論：①當(dāng)點P′在邊AD上時，②當(dāng)點P″在邊CD上時，根據(jù)正方形的性質(zhì)即可解決問題．【解答】解：如圖，連接CE，在正方形ABCD中，∠ABE＝45°，∵∠AEB＝105°，∴∠BAE＝180°﹣45°﹣105°＝30°，∴∠EAP′＝60°，①當(dāng)點P′在邊AD上時，∵AE＝EP′，∴△AEP′是等邊三角形，∴∠AEP′＝60°；②當(dāng)點P″在邊CD上時，∴AE＝EP′＝EP″，在△ADE和△CDE中，AD=CD∠ADE=∠CDE∴△ADE≌△CDE（SAS），∴AE＝CE，∠ECD＝∠EAD＝60°，∴AE＝EP′＝EP″＝CE，∴△CEP″是等邊三角形，∴∠CEP″＝60°，∵∠CED＝∠AED＝180°﹣105°＝75°，∴∠DEP″＝75°﹣60°＝15°，∴∠AEP″＝75°+15°＝90°，綜上所述：∠AEP的度數(shù)為60°或90°，故答案為：60°或90°．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2021春?嘉興月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，