3.7 正多邊形（4大題型）（分層練習(xí)）（解析版）

第3章圓的基本性質(zhì)3.7正多邊形（4大題型）分層練習(xí)考查題型一求正多邊形的中心角1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）正八邊形的中心角等于（

）度A．36 B．45 C．60 D．72【答案】B【分析】直接用360度除以邊數(shù)即可得到答案．【詳解】解：，∴正八邊形的中心角等于45度，故選B．【點睛】本題主要考查了正多邊形與圓，熟知正n邊形的中心角度數(shù)為是解題的關(guān)鍵．2．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，正六邊形與正方形有重合的中心O，若是正n邊形的一個中心角，則n的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【分析】連接，先求出的度數(shù)，然后利用正多邊形外角和等于，即可求出答案．【詳解】解：連接，如圖：根據(jù)題意，正六邊形和正方形的中心都是點O，∴，，∴；∵是某正n邊形的一個中心角，∴；故選：C．【點睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的外角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握正多邊形的性質(zhì)，正確求出的度數(shù)．3．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）一個正多邊形的中心角為，則從該正多邊形的一個頂點出發(fā)共有條對角線．【答案】7【分析】利用正多邊形的中心角的定義，即可求出這個多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)邊形從一個頂點出發(fā)可引出條對角線可求答案．【詳解】解：，．故這個正多邊形從一個頂點出發(fā)可以作的對角線條數(shù)是7．故答案為：7．【點睛】本題主要考查了正多邊形的中心角的定義、多邊形的對角線，熟練掌握邊形從一個頂點出發(fā)可引出條對角線是本題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇南京·九年級專題練習(xí)）如圖，是的內(nèi)接正三角形，是的內(nèi)接正四邊形的一邊，連接，則是的內(nèi)接正邊形的一邊．【答案】十二/12【分析】連接、、，求出，，從而求出，根據(jù)，得出答案即可．【詳解】解：連接、、，如圖所示：∵是的內(nèi)接正三角形，∴，∵是的內(nèi)接正四邊形的一邊，∴，∴，∵，∴是的內(nèi)接正十二邊形的一邊．故答案為：十二．【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正多邊形和圓的特點，求出．5．（2020·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，點是正方形，的中心．（1）用直尺和圓規(guī)在正方形內(nèi)部作一點（異于點），使得（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）連接求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）作BC的垂直平分線即可求解；（2）根據(jù)題意證明即可求解．【詳解】如圖所示，點即為所求．連接由得：是正方形中心，在和中，．【點睛】此題主要考查正方形的性質(zhì)與證明，解題的關(guān)鍵是熟知正方形的性質(zhì)、垂直平分線的作圖及全等三角形的判定與性質(zhì)．考查題型二已知正多邊形的中心角求邊數(shù)1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如果一個正多邊形的中心角是，那么這個正多邊形的邊數(shù)是（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】根據(jù)正多邊形的邊數(shù)周角中心角，計算即可得解．【詳解】解：這個多邊形的邊數(shù)是，故選：C．【點睛】本題考查的是正多邊形的中心角的有關(guān)計算；熟記正多邊形的中心角與邊數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，邊AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，點C在上，且BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，若AC是⊙O內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【分析】根據(jù)中心角的度數(shù)=360°÷邊數(shù)，列式計算分別求出∠AOB，∠BOC的度數(shù)，可得∠AOC=15°，然后根據(jù)邊數(shù)n=360°÷中心角即可求得答案．【詳解】解：連接OC，∵AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，∴∠AOB＝360°÷6＝60°，∵BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，∴∠BOC＝360°÷8＝45°，∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°∴n＝360°÷15°＝24．故選：C．【點睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、正八邊形、正二十四邊形的性質(zhì)；根據(jù)題意求出中心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）一個正多邊形的中心角是，則過它的一個頂點有條對角線．【答案】5【分析】根據(jù)正多邊形的中心角是，可求得是正幾邊形，然后利用過邊形的一個頂點有對角線計算即可．【詳解】解：設(shè)正多邊形的邊數(shù)為且正多邊形的中心角是，，，過邊形的一個頂點有條對角線，即條，故答案為：．【點睛】本題考查的是多邊形的對角線、正多邊形的中心角．解題的關(guān)鍵是要掌握過多邊形的一個頂點有條對角線、正多邊形的中心角都相等．4．（2023春·江蘇蘇州·九年級校考階段練習(xí)）已知一個正多邊形的中心角為，邊長為5，那么這個正多邊形的周長等于．【答案】40【分析】利用正多邊形的中心角求出正多邊形的邊數(shù)，最后根據(jù)正多邊形的性質(zhì)求出其周長．【詳解】解：一個正多邊形的中心角為，這個正多邊形的邊數(shù)為：，這個正多邊形的周長為：．故答案為：40．【點睛】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于知道中心角與邊長的關(guān)系．5．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）【閱讀理解】如圖1，為等邊的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與三角形的邊分別交于點．設(shè)等邊的面積為S，通過證明可得，則．【類比探究】如圖2，為正方形的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點．若正方形的面積為S，請用含S的式子表示四邊形的面積（寫出具體探究過程）．【拓展應(yīng)用】如圖3，為正六邊形的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正六邊形的邊分別交于點．若四邊形面積為，請直接寫出正六邊形的面積．【答案】【類比探究】四邊形的面積=．【拓展應(yīng)用】6【分析】類比探究：通過證明可得，則．拓展應(yīng)用：通過證明可得，則．【詳解】解：類比探究：如圖2，∵為正方形的中心角，∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，∵繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON，∴．拓展應(yīng)用：如圖3，∵為正六邊形EF的中心角，∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°，∵繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON，∴．∵四邊形面積為，∴正六邊形的面積為6．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)，正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的中心角，三角形的全等，圖形的割補，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考查題型三正多邊形與圓1．（2023秋·河南許昌·九年級許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，螺母的一個面的外沿可以看作是正六邊形，這個正六邊形的半徑是，則這個正六邊形的周長是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，正六邊形的半徑是，由正六邊形的性質(zhì)構(gòu)造證出是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出，即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接，交點為，

由正多邊形的性質(zhì)得，點為正六邊形的中心點是正六邊形的中心，正六邊形的半徑是，，，是等邊三角形，，正六邊形的周長為：，故選：C．【點睛】此題主要考查了正多邊形和圓、等邊三角形的判定與性質(zhì)；根據(jù)題意構(gòu)造出是等邊三角形是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正八邊形內(nèi)接于，為弧上的一點（點不與點，重合），則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】連接、、，根據(jù)正多邊形和圓的知識求出正八邊形的中心角的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理求出的度數(shù)．【詳解】解：連接、、，如圖，

∵八邊形是正八邊形，∴，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查的是正多邊形和圓、圓周角定理的應(yīng)用；熟練掌握中心角公式，由圓周角定理求出結(jié)果是解決問題的關(guān)鍵．3．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考二模）如圖，一個正方形剪去四個角后形成一個邊長為的正八邊形，則這個正方形的邊長為．

【答案】【分析】如圖，剪去部分為4個全等的等腰直角三角形，設(shè)直角邊長為x，根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程，求得，進(jìn)而得出正方形邊長．【詳解】解：如圖，剪去部分為4個全等的等腰直角三角形，設(shè)直角邊長為x，則，解得∴正方形的邊長為：；故答案為：．【點睛】本題考查等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理，正多邊形性質(zhì)，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正三角形與正五邊形內(nèi)接于，則的度數(shù)為．【答案】24【分析】設(shè)外接圓圓心為O，連接，根據(jù)正五邊形、正三角形和外接圓的性質(zhì)可知：平分，平分，可得，根據(jù)正五邊形和正三角形的性質(zhì)求出，，問題得解．【詳解】解：設(shè)外接圓圓心為O，連接，根據(jù)正五邊形、正三角形和外接圓的性質(zhì)可知：平分，平分，∴，，∴，∵是等邊三角形，∴，∵五邊形是正五邊形，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查正多邊形與外接圓等知識，得出是解題關(guān)鍵．5．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，點、、、都在上，，．(1)求的度數(shù)；(2)求的度數(shù)；【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得出，再利用圓周角定理得出的度數(shù):（2）連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)便可求得結(jié)果．【詳解】（1）∵點、、、都在上，∴，∵，∴，∴的度數(shù)為（2）連接，∵，∴，∴，∵，∴【點睛】此題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理和圓周角定理等知識，熟練掌握和運用這些定理是解決問題的關(guān)鍵．考查題型四尺規(guī)作圖—正多邊形1．（2023春·九年級課時練習(xí)）如圖，為直徑，作的內(nèi)接正六邊形，甲、乙兩人的作法分別如下：甲：1．作的中垂線，交圓于兩點；2．作的中垂線，交圓于兩點；3．順次連接六個點，六邊形即為所求；乙：1．以為圓心，長為半徑作弧，交圓于兩點；2．以為圓心，長為半徑作弧，交圓于兩點；3．順次連接六個點，六邊形即為所求；對于甲、乙兩人的作法，可判斷（

）A．甲對，乙不對 B．甲不對，乙對C．兩人都不對 D．兩人都對【答案】D【分析】甲的做法可根據(jù)對角線垂直平分可得到菱形，從而可得到多個等邊三角形和各邊和各角相等，乙的做法根據(jù)等邊三角的內(nèi)角是60°，求出其他等邊三角形，從而得出各邊和各角相等【詳解】甲：∵BF是中垂線

∴四邊形OCDE是菱形

∴△OCD,△OED都是等邊三角形，同理可得△OAB,△OAF也是等邊三角形

∴∠BOC=∠EOF=60°∴△OBC,△OEF也是等邊三角形∴內(nèi)接六邊形各邊相等，各角相等都是120°∴圓內(nèi)接六邊形ABCDEF是正六邊形乙：∵AB=AO=BO=AF=OF∴△OAB,△OAF都是等邊三角形，同理可得△OCD,△OED也是等邊三角形

∴∠BOC=∠EOF=60°∴△OBC,△OEF也是等邊三角形∴內(nèi)接六邊形各邊相等，各角相等都是120°∴圓內(nèi)接六邊形ABCDEF是正六邊形故選D【點睛】本題關(guān)鍵是想辦法求出多個等邊三角形，從而得到六條邊，六個角也相等2．（2023春·九年級課時練習(xí)）如圖，已知，求作：內(nèi)接正六邊形，以下是甲、乙兩同學(xué)的作業(yè)：甲：①先作直徑；②作的垂直平分線交于點、；③作的垂直平分線交于點、；④依次連接，六邊形即為所求（如圖①）．乙：①上任取點，以點為圓心，為半徑畫弧，交于點；②以點為圓心，為半徑畫弧交于點；③同上述作圖方法逆時針作出點、、；④依次連接，多邊形即為正六邊形（如圖②）．對于兩人的作業(yè)，下列說法正確的是（

）A．兩人都不對 B．甲對，乙不對 C．兩人都對 D．甲不對，乙對【答案】C【分析】由甲同學(xué)的作業(yè)可知，，同理可知，由乙同學(xué)的作業(yè)可知．依次畫弧可得．進(jìn)而即可判斷【詳解】由甲同學(xué)的作業(yè)可知，，同理可知，六邊形是正六邊形，即甲同學(xué)的作業(yè)正確．由乙同學(xué)的作業(yè)可知．依次畫弧可得．六邊形為正六邊形，即乙同學(xué)的作業(yè)正確．故選C【點睛】本題考查了正多邊形的尺規(guī)作圖，掌握正多邊形與圓的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在⊙O中，MF為直徑，OA⊥MF，圓內(nèi)接正五邊形ABCDE的部分尺規(guī)作圖步驟如下：①作出半徑OF的中點H．②以點H為圓心，HA為半徑作圓弧，交直徑MF于點G．③AG長即為正五邊形的邊長、依次作出各等分點B，C，D，E．已知⊙O的半徑R＝2，則AB2＝．（結(jié)果保留根號）【答案】【分析】連接AG，由作圖可知，OA＝2，H為OF中點，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可．【詳解】解：連接AG，由作圖可知，OA＝2，OH＝1，H為OF中點，∴OH=，在Rt△OAH中，由勾股定理∴AH＝，∵AH＝HG＝，∴OG＝GH﹣OH＝﹣1，在Rt△AOG中，由勾股定理得，∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2．故答案為：10﹣2．【點睛】本題考查尺規(guī)作圓內(nèi)接正五邊形的方法與步驟，線段垂直平分線，勾股定理，作圓弧，掌握圓內(nèi)接正五邊形的方法與步驟，線段垂直平分線，勾股定理，作圓弧的方法是解題關(guān)鍵．4．（2022·天津南開·二模）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，O為格點，⊙經(jīng)過格點A．（1）⊙的周長等于；（2）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出⊙的內(nèi)接等邊，并簡要說明點B，C的位置是如何找到的（不要求證明）．【答案】見解析【分析】（1）利用勾股定理可得答案；（2）延長交網(wǎng)格線于點D，取格點E，F(xiàn)，連接交網(wǎng)格線于點G，作直線交于點B，C，連接，，則即為所求．【詳解】（1）∵⊙的半徑為：，∴⊙的周長，故答案為：（2）如圖：∵，又∵，∴，∴．∵，

∴，∴．∵，∴．∵，∴．

∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴是矩形．∴，∴，∵，∴，

∴，∴．∵，∴，∵過圓心,，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形．故答案為：如圖，延長交網(wǎng)格線于點D，取格點E，F(xiàn)，連接交網(wǎng)格線于點G，作直線交于點B，C，連接，，則即為所求．【點睛】此題考查作圖中的復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題,屬于中考?？碱}型．5．（2022秋·河北秦皇島·八年級統(tǒng)考期末）作圖題：(1)尺規(guī)作圖：如圖，已知線段．求作線段的垂直平分線l，交于點C；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）(2)已知六邊形是以O(shè)為中心的中心對稱圖形（如圖），畫出六邊形的全部圖形，并寫出作法．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）分別以、為圓心，以任意長為半徑，兩圓相交于兩點，連接此兩點即可．（2）連接并延長到F，使得，連接BO并延長到E，使得，連接，，即可得出圖形．【詳解】（1）（2）解：連接并延長到F，使得，連接BO并延長到E，使得，連接，，，如圖，六邊形即為所求．【點睛】本題考查了垂直平分線的作法，也考查了中心對稱圖形的性質(zhì)，熟練掌握一般作圖的步驟是解題的關(guān)鍵．1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）在2022年北京冬奧會開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國人的浪漫．如圖，將“雪花”圖案（邊長為4的正六邊形）放在平面直角坐標(biāo)系中，若與軸垂直，頂點A的坐標(biāo)為，則頂點的坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接、于點，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)進(jìn)行計算即可．【詳解】解：如圖，連接、于點，

∵正六邊形邊長為4，，∴，在中，，，，，點的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為．故選：B．【點睛】本題考查正多邊形與圓，勾股定理，掌握正六邊形的性質(zhì)以及勾股定理是正確計算的前提，理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點P在上，點Q是的中點，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)和點Q是的中點，得到，，得到，根據(jù)圓周角定理即可得到的度數(shù)．【詳解】解：如圖，連接，

∵正六邊形內(nèi)接于，Q是的中點，∴，，∴，∴，故選：B．【點睛】此題考查了正多邊形和圓、圓周角定理等知識，熟練掌握正多邊形和圓的知識是解題的關(guān)鍵．3．（2023·遼寧阜新·校聯(lián)考一模）如圖，點O為正六邊形對角線上一點，假設(shè)可以隨機在正六邊形中取點，那么這個點取在陰影部分的概率是（

）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，連接、、，則交點為，設(shè)正六邊形的邊長為，每個小三角形底邊上的高為，則的長為，正六邊形的面積為，，然后根據(jù)這個點取在陰影部分的概率是，計算求解即可．【詳解】解：∵正六邊形，如圖，連接、、，則交點為，

設(shè)正六邊形的邊長為，每個小三角形底邊上的高為，則的長為，∴正六邊形的面積為，，∴這個點取在陰影部分的概率是，故選：B．【點睛】本題考查了幾何概率．解題的關(guān)鍵在于正確表示陰影部分、正六邊形的面積．4．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點O為正六邊形的中心，P，Q分別從點同時出發(fā)，沿正六邊形按圖示方向運動，點P的速度為每秒1個單位長度，點Q的速度為每秒2個單位長度，則第次相遇地點的坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，O為正六邊形的中心，可得，連接OB，作于點G，可得，，可得，，根據(jù)題意可得，P，Q第一次相遇地點的坐標(biāo)在點，以此類推：第二次相遇地點在點，第三次相遇地點在點，…如此循環(huán)下去，即可求出第次相遇地點的坐標(biāo)．【詳解】解：，O為正六邊形的中心，，連接OB，作于點G，

則，，，，正六邊形的邊長為1，正六邊形的周長等于6，又點P的速度為每秒1個單位長度，點Q的速度為每秒2個單位長度，第1次相遇需要的時間為：（秒），此時點P的路程為，點Q的路程為，此時P，Q相遇地點的坐標(biāo)在點，以此類推：第二次相遇地點在點，第三次相遇地點在點，…如此下去，，第2023次相遇地點在點，的坐標(biāo)為．故選：A．【點睛】本題考查正多邊形和圓、平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)的規(guī)律探究及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)找到坐標(biāo)的運動規(guī)律是解題的關(guān)鍵．5．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率的近似值為3.1416．如圖，的半徑為1，運用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計的面積，可得的估計值為，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計，可得的估計值為（）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)30度的作對的直角邊是斜邊的一半可得，根據(jù)三角形的面積公式即可求得正十二邊形的面積，即可求解．【詳解】解：圓的內(nèi)接正十二邊形的面積可以看成12個全等的等腰三角形組成，故等腰三角形的頂角為，設(shè)圓的半徑為1，如圖為其中一個等腰三角形，過點作交于點于點，∵，∴，則，故正十二邊形的面積為，圓的面積為，用圓內(nèi)接正十二邊形面積近似估計的面積可得，故選：C．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，30度的作對的直角邊是斜邊的一半，三角形的面積公式，圓的面積公式等，正確求出正十二邊形的面積是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在正五邊形中，是的中點，點在線段上運動，連接，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，的度數(shù)為．

【答案】【分析】根據(jù)對稱的定義得出當(dāng)點在同一條直線上時，的周長最小，由正五邊形的性質(zhì)可得，由三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)可得，再由等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的定義進(jìn)行計算即可得到答案．【詳解】解：如圖，當(dāng)點在同一條直線上時，的周長最小，

，五邊形是正五邊形，，，，是的中點，是正五邊形的一條對稱軸，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義、對稱的性質(zhì)，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義、對稱的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．7．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，正六邊形的半徑為，點在邊上運動，連接，則的長度可以是（只寫出一個滿足條件的值即可）．

【答案】答案不唯一，只要符合即可．【分析】設(shè)正六邊形的中心為，連接，，，，，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得和為等邊三角形，然后可由勾股定理求出，進(jìn)而得，再求出，根據(jù)在邊上運動得，最后在這個的范圍內(nèi)取一個值即可．【詳解】解：設(shè)正六邊形的中心為，連接，，，，

根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得：經(jīng)過點，，，為等邊三角形，，同理：為等邊三角形，，又，，，，在中，，，由勾股定理得：，，又，，在邊上運動，，即：，．故答案為：答案不唯一，只要符合即可．【點睛】此題主要考查了正多邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握正多邊形的性質(zhì)，中心角、半徑等概念．8．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）大自然中有許多小動物都是“小數(shù)學(xué)家”，如圖①，蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實用而且節(jié)省材料，多名學(xué)者通過觀測研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面均為正六邊形．如圖②是一部分巢房的截面圖，建立平面直角坐標(biāo)系，已知點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為．

【答案】【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得出點與點關(guān)于原點成中心對稱，由成中心對稱的兩個點坐標(biāo)的變化規(guī)律即可得出答案．【詳解】解：如圖，由題意可知，點與點關(guān)于原點成中心對稱，

∵點的坐標(biāo)為，∴點的坐標(biāo)為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了正六邊形的性質(zhì)、成中心對稱的兩個點坐標(biāo)的變化規(guī)律，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)、成中心對稱的兩個點坐標(biāo)的變化規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，正五邊形內(nèi)接于，是的直徑，P是上的一點（不與點B，F(xiàn)重合），則的度數(shù)為°．【答案】54或126【分析】由正五邊形的性質(zhì)，圓周角定理，得到，由等腰三角形的性質(zhì)推出直徑，從而求出的度數(shù)，分兩種情況，即可解決問題．【詳解】解：連接，∵正五邊形的五個頂點把圓五等分，∴，∴，∴，∵，∴直徑，∴，∵，∴，當(dāng)P在上時，連接，∵，∴，∴，當(dāng)P在上時，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得．∴的度數(shù)是或．故答案為：54或126．【點睛】本題考查正五邊形和圓，關(guān)鍵是掌握正五邊形的性質(zhì)．10．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等邊三角形的外接圓，其半徑為4．過點B作于點E，點P為線段上一動點（點P不與B，E重合），則的最小值為．

【答案】6【分析】過點P作，連接并延長交于點F，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)得到，，然后利用含角直角三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而求出，然后利用代入求解即可．【詳解】如圖所示，過點P作，連接并延長交于點F，連接

∵是等邊三角形，∴∵是等邊三角形的外接圓，其半徑為4∴，，∴∴∵∴∴∵，∴∴∴的最小值為的長度∵是等邊三角形，，∴∴的最小值為6．故答案為：6．【點睛】此題考查了圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含角直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．11．（2023秋·湖北咸寧·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正五邊形的兩條對角線相交于點F．(1)求的度數(shù)；(2)求證：四邊形為菱形．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）利用正五邊形的性質(zhì)求出及度數(shù)，得出，最后求出的度數(shù)；（2）根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可證．【詳解】（1）解：∵正五邊形ABCDE∴，，∴同理：，∴．（2）證明：∵，∴，∴，同理∴∴四邊形CDEF為菱形．【點睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)及菱形的判定，利用正五邊形的性質(zhì)得出內(nèi)角度數(shù)是解題關(guān)鍵．12．（2023秋·河北邯鄲·九年級統(tǒng)考期末）如圖，的半徑為4，將該圓等分成8份，連接，并延長交于點．(1)連接，直接寫出和的位置關(guān)系___________；(2)求證：；(3)求的長；【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）連接，根據(jù)將該圓等分成8份，可得是的直徑，再根據(jù)圓周角定理可證得；（2）連接，，根據(jù)圓周角定理可證得，再由被8等分可得，，即可證得，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可證得結(jié)論；（3）連接，，，由被8等分可求得，可得，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：如圖：連接，將該圓等分成8份，是的直徑，，，故答案為：；（2）解：如圖：連接，，，被8等分，，，在與中，∴，，，即；（3）解：如圖：連接，，，被8等分，∴，，，∴在中，．【點睛】本題考查了圓周角定理，等分圓的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)及判定定理，勾股定理，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．13．（2022秋·湖北武漢·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）請僅用無刻度直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡（用虛線表示畫圖過程，實線表示畫圖結(jié)果）．(1)如圖，正六邊形中，G為上一點，連接．①連接，在圖1中過點G畫一條直線平分的面積；②將繞點O旋轉(zhuǎn)得到，在圖2中畫出旋轉(zhuǎn)中心點O和；(2)如圖3，弦是的內(nèi)接正五邊形的三條邊，在圖中畫出另兩邊以及圓心O．【答案】(1)①見解析，②見解析(2)見解析【分析】（1）①先根據(jù)正六邊形的特點連接，則得到的中點，再作過的中點和點G的直線即為所求，等底等高面積即相等；②連接對角線，對角線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到中心對稱圖形；（2）延長、交于一點，連接與交于一點，過兩個交點作直線，直線與劣弧的交點即為點E，即可畫出另兩邊，，與交于一點，連接交點與點D，與之前所畫的線交于一點O，點O即為圓心．【詳解】（1）解：①如圖即為所求．②如圖即為所求．（2）解：如圖即為所求．【點睛】本題考查了作圖-軸對稱變換，以及中心對稱圖形的做法，也考查了正六邊形的性質(zhì)、正五邊形的性質(zhì)．14．（2023·河北邯鄲·?？级＃┠μ燧啠ㄈ鐖D1）是游樂場中受歡迎的游樂設(shè)施之一，它可以看作一個大圓和六個全等的小圓組成（如圖2），大圓繞著圓心O勻速旋轉(zhuǎn)，小圓通過頂部掛點（如點P，N）均勻分布在大圓圓周上，由于重力作用，掛點和小圓圓心連線（如）始終垂直于水平線l．

(1)________°(2)若，的半徑為10，小圓的半徑都為1：①在旋轉(zhuǎn)一周的過程