第21講二次函數(shù)中的圖形的變換問題（含2023黃浦一模）（解析版）

第21講二次函數(shù)中的圖形的變換問題二次函數(shù)中圖形的變換問題在近幾年的中考中屬于熱點(diǎn)、難點(diǎn)問題，中考24題考察。

當(dāng)題目中出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)或平移時(shí)，根據(jù)題意，找出其中的不動(dòng)點(diǎn)及定線段，再依據(jù)題意，畫出圖形，分析是否需要分類討論，進(jìn)而，再依據(jù)題意尋找等量關(guān)系，列出關(guān)系式，得到最后答案。

當(dāng)遇到運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，要善于發(fā)現(xiàn)題目中的“變”與“不變”的量，簡(jiǎn)化圖形，化繁為簡(jiǎn)?！炯记牲c(diǎn)撥】一、二次函數(shù)中的平移問題主要是點(diǎn)的平移和圖形的平移：針對(duì)頂點(diǎn)式拋物線的平移規(guī)律是：“左加右減（括號(hào)內(nèi)），上加下減”，同時(shí)保持a不變。二、二次函數(shù)中的翻折問題當(dāng)拋物線關(guān)于x軸、y軸翻折時(shí)，開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、解析式又會(huì)如何變化呢？

讓我們先來觀察下翻折變換后函數(shù)圖像的變化：

通過觀察圖像，我們發(fā)現(xiàn)：當(dāng)圖像關(guān)于y軸翻折時(shí)，開口方向不變，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)不變；當(dāng)圖像關(guān)于x軸翻折時(shí)，開口方向改變，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。

因此歸納如下表格：三、二次函數(shù)中的旋轉(zhuǎn)問題當(dāng)拋物線繞原點(diǎn)和頂點(diǎn)180°旋轉(zhuǎn)時(shí)，開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、解析式又會(huì)如何變化呢？

讓我們先來觀察下旋轉(zhuǎn)變換后函數(shù)圖像的變化：通過觀察圖像，我們發(fā)現(xiàn)：當(dāng)圖像關(guān)于原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°時(shí)，開口方向改變，頂點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)；當(dāng)圖像關(guān)于頂點(diǎn)180°旋轉(zhuǎn)時(shí)，開口方向改變，頂點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)不變。因此歸納如下表格：【備注】：1.以下每題教法建議，請(qǐng)老師根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況參考；2.在講解時(shí)：不宜采用灌輸?shù)姆椒?，?yīng)采用啟發(fā)、誘導(dǎo)的策略，并在讀題時(shí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一些題目中的條件（相等的量、不變的量、隱藏的量等等），使學(xué)生在復(fù)雜的背景下自己發(fā)現(xiàn)、領(lǐng)悟題目的意思；3.可以根據(jù)各題的“教法指導(dǎo)”引導(dǎo)學(xué)生逐步解題，并采用講練結(jié)合；注意邊講解邊讓學(xué)生計(jì)算，加強(qiáng)師生之間的互動(dòng)性，讓學(xué)生參與到例題的分析中來；4.例題講解，可以根據(jù)“參考教法”中的問題引導(dǎo)學(xué)生分析題目，邊講邊讓學(xué)生書寫，每個(gè)問題后面有答案提示；5.引導(dǎo)的技巧：直接提醒，問題式引導(dǎo)，類比式引導(dǎo)等等；6.部分例題可以先讓學(xué)生自己試一試，之后再結(jié)合學(xué)生做的情況講評(píng)；7.每個(gè)題目的講解時(shí)間根據(jù)實(shí)際情況處理，建議每題5-7分鐘。【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】1．（2023黃浦區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣1，y1），B（0，y2），C（l，y3），D（2，y4）在拋物線y＝﹣x2+bx+c上．（1）當(dāng)y1＝0，y2＝y(tǒng)3時(shí)，①求該拋物線的表達(dá)式；②將該拋物線向下平移2個(gè)單位，再向左平移m個(gè)單位后，所得的新拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，0），求m的值；（2）若y2＝0，且y1、y3、y4中有且僅有一個(gè)值大于0，請(qǐng)結(jié)合拋物線的位置和圖象特征，先寫出一個(gè)滿足條件的b的值，再求b的取值范圍．【分析】（1）①根據(jù)y1＝0，y2＝y(tǒng)3，可得對(duì)稱軸為x＝，求出b的值，再根據(jù)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，求出c，從而得出拋物線解析式；②把①解析式化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)平移變換得出新拋物線解析式，然后把（0，0）代入解析式即可求出m的值；（2）根據(jù)題意分對(duì)稱軸在y軸左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論即可．【解答】解：（1）①∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，y1），B（0，y2），C（l，y3），D（2，y4），且y1＝0，y2＝y(tǒng)3，∴B，C為對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝＝，∴b＝1，∴y＝﹣x2+x+c，把A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+x+c得：﹣1﹣1+c＝0，解得c＝2，∴該拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+x+2；②∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴把該拋物線向下平移2個(gè)單位，再向左平移m個(gè)單位后，所得的新拋物線解析式為y＝﹣（x﹣+m）2+﹣2，∵新拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，0），∴﹣（1﹣+m）2+＝0，解得m＝0或m＝﹣1；（2）當(dāng)y2＝0時(shí)，拋物線過原點(diǎn)（0，0），且y1、y3、y4中有且僅有一個(gè)值大于0，當(dāng)拋物線對(duì)稱軸在y軸左側(cè)時(shí)，且經(jīng)過原點(diǎn)，即b＜0，此時(shí)y3＜0，y4＜0，如圖：∴y1＞0，即當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＞0，∴﹣1﹣b＞0，解得b＜﹣1；當(dāng)拋物線對(duì)稱軸在y軸右側(cè)時(shí)即b＞0，且經(jīng)過原點(diǎn)，此時(shí)，y1＜0，若想y1、y3、y4中有且僅有一個(gè)值大于0，必然是y3＞0，y4≤0，如圖：∴，解得1＜b≤2，綜上所述，b的取值范圍為b＜﹣1或1＜b≤2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、二次函數(shù)的增減性，熟練掌握二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022?金山區(qū)二模）已知：在直角坐標(biāo)系中直線y＝﹣x+4與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B，拋物線y＝﹣+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B．（1）求拋物線的解析式；（2）如果直線AB與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)C，求OC的長(zhǎng)；（3）P是線段OA上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線AB的平行線，與y軸相交于點(diǎn)Q，把△OPQ沿直線PQ翻折，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D，如果點(diǎn)D在拋物線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，再求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），先得出四邊形DPOQ為矩形，再得出四邊形DPOQ為正方形，最后得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，列出方程求解即可．【解答】解：（1）直線y＝﹣x+4與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B，∴A（4，0）、B（0，4），代入拋物線得：，∴b＝1，c＝4，∴拋物線的解析式為：．（2）由＝，可得拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣x+4＝3，∴C（1，3），∴．（3）如圖，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），∵AO＝BO＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∵PQ∥AB，∴∠OPQ＝∠OQP＝45°，∴∠DPO＝∠DQO＝90°，又∠POQ＝90°，∴四邊形DPOQ為矩形，∵OP＝OQ，∴四邊形DPOQ為正方形，∴DP＝DQ＝OP＝t，∴四邊形DPOQ為正方形，∴D（t，t），∴，解得：，（不合題意，舍去），∴點(diǎn)P是坐標(biāo)為：（，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，正確畫出圖象是解題的關(guān)鍵．3．（2022?青浦區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且在x軸下方，聯(lián)結(jié)PA．當(dāng)∠PAB＝∠ACO時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，將拋物線沿平行于y軸的方向平移，平移后點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，當(dāng)AQ平分∠PAC時(shí)，求拋物線平移的距離．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）設(shè)P（t，﹣t2+4t﹣3），如圖1，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，連接AC、AP，可證得△APD∽△CAO，建立方程求解即可得出答案；（3）如圖2，連接AQ、PQ，過點(diǎn)P作PE⊥PA交AQ于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥PQ于點(diǎn)F，可證得△APD≌△PEF（AAS），得出：PF＝AD＝，EF＝PD＝，即E（，﹣），再利用待定系數(shù)法求得直線AE的解析式為y＝﹣2x+2，再求得Q（，﹣），即可求得拋物線平移的距離．【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0），∴，解得：，∴該拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+4x﹣3，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；（2）設(shè)P（t，﹣t2+4t﹣3），如圖1，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，連接AC、AP，則∠ADP＝∠AOC＝90°，AD＝t﹣1，PD＝﹣（﹣t2+4t﹣3）＝t2﹣4t+3，又OA＝1，OC＝3，∵∠PAB＝∠ACO，∴△APD∽△CAO，∴＝，即＝，∴3t2﹣13t+10＝0，解得：t1＝1（舍去），t2＝，當(dāng)t＝時(shí)，﹣t2+4t﹣3＝﹣（）2+4×﹣3＝﹣∴P（，﹣）；（3）如圖2，連接AQ、PQ，過點(diǎn)P作PE⊥PA交AQ于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥PQ于點(diǎn)F，由（2）知：P（，﹣），∠PAC＝90°，∴PD＝，AD＝﹣1＝，∠ADP＝90°，∵將拋物線沿平行于y軸的方向平移，平移后點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，∴D、P、Q在同一條直線上，∴∠APD+∠EPF＝90°，∵∠PFE＝90°＝∠ADP，∴∠PEF+∠EPF＝90°，∴∠APD＝∠PEF，∵AQ平分∠PAC，∴∠PAE＝∠PAC＝×90°＝45°，又PE⊥PA，∴△APE是等腰直角三角形，∴AP＝PE，∴△APD≌△PEF（AAS），∴PF＝AD＝，EF＝PD＝，∴E（，﹣），設(shè)直線AE的解析式為y＝kx+d，則，解得：，∴直線AE的解析式為y＝﹣2x+2，當(dāng)x＝時(shí)，y＝﹣2x+2＝﹣2×+2＝﹣，∴Q（，﹣），∵﹣﹣（﹣）＝，∴拋物線y＝﹣x2+4x﹣3向下平移了個(gè)單位．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2022?奉賢區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B．拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）將拋物線沿y軸向上平移，平移后所得新拋物線頂點(diǎn)為D，如果∠BDC＝∠OAB，求平移的距離；（3）設(shè)拋物線上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，將拋物線向左平移三個(gè)單位，如果點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q落在△OAB內(nèi)，求m的取值范圍．【分析】（1）首先求得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式即可；（2）求出定點(diǎn)C的坐標(biāo)，過點(diǎn)B作BH⊥CD于H，由題意得，平移后所得新拋物線的頂點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱軸上，CD的長(zhǎng)即平移的距離，根據(jù)∠BDC＝∠OAB，利用正切函數(shù)求出DH，可得D（，5），可求出CD的長(zhǎng)，即可求解；（3）由拋物線的對(duì)稱軸可得點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（3，2），則將拋物線向左平移三個(gè)單位，點(diǎn)M′的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和點(diǎn)B重合，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（1，0），即可得出m的取值范圍．【解答】解：（1）∵直線y＝﹣x+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，∴A（4，0），B（0，2），拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，可得，解得，∴拋物線解析式為y＝﹣x2+x+2；（2）∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴C（，），對(duì)稱軸為x＝，過點(diǎn)B作BH⊥CD于H，由題意得，平移后所得新拋物線的頂點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱軸上，CD的長(zhǎng)即平移的距離，∵∠BDC＝∠OAB，∴tan∠BDC＝tan∠OAB，∴，∴DH＝2BH，∵BH⊥CD，對(duì)稱軸為x＝，∴BH＝，∴DH＝3，∵B（0，2），∴H（，2），∴D（，5），∵C（，），∴CD＝5﹣＝，∴平移的距離為；（3）如圖，∵B（0，2），對(duì)稱軸為x＝，∴點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（3，2），∴將拋物線向左平移三個(gè)單位，點(diǎn)M′的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和點(diǎn)B重合，∵將拋物線向左平移三個(gè)單位，點(diǎn)A（4，0）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（1，0），∴3＜m＜4時(shí)，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q落在△OAB內(nèi)，∴m的取值范圍為3＜m＜4．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，配方法求頂點(diǎn)式，拋物線的平移，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．5．（2022?靜安區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)是（2，4），點(diǎn)B在x軸上，OB＝AB（如圖所示），二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)O、A、B三點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．（1）求點(diǎn)B與點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與線段AB的交點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后，點(diǎn)A落在原二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上，點(diǎn)D落在線段AB上，求圖象平移后得到的二次函數(shù)解析式．【分析】（1）設(shè)B（m，0），由OB＝AB，可求B（5，0），設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝ax（x﹣5），將（2，4）代入可求函數(shù)的解析式，從而求D點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求出直線AB解析式為y＝﹣x+，令x＝得y＝﹣×+＝，求得E（，）；（3）由A點(diǎn)的變化可知A點(diǎn)向右平移個(gè)單位，則D（，）向右平移個(gè)單位后點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，再由平移后的D點(diǎn)在線段AB上，從而求出平移后D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，），可得平移后的函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣3）2+．【解答】解：（1）設(shè)B（m，0），∵A坐標(biāo)是（2，4），OB＝AB，∴m2＝（m﹣2）2+（0﹣4）2，解得m＝5，∴B（5，0），設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝ax（x﹣5），將（2，4）代入得：﹣6a＝4，解得a＝﹣，∴y＝﹣x（x﹣5）＝﹣（x﹣）2+，∴頂點(diǎn)D（，）；（2）由（1）知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x＝，設(shè)直線AB解析式為y＝kx+b，將A（2，4），B（5，0）代入得：，解得，∴直線AB解析式為y＝﹣x+，令x＝得y＝﹣×+＝，∴E（，）；（3）∵二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x＝，∴A點(diǎn)向右平移個(gè)單位，∴D（，）也向右平移個(gè)單位后點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，∵平移后的D點(diǎn)在線段AB上，∴平移后D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，），∴平移后的函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣3）2+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，函數(shù)圖象的平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022?寶山區(qū)二模）已知拋物線y＝ax2+bx﹣2（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）、B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）將拋物線向左平移m個(gè)單位（m＞2），平移后點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記作A1、B1、C1，過點(diǎn)C1作C1D⊥x軸，垂足為點(diǎn)D，點(diǎn)E在y軸負(fù)半軸上，使得以O(shè)、E、B1為頂點(diǎn)的三角形與△A1C1D相似，①求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（用含m的代數(shù)式表示）②如果平移后的拋物線上存在點(diǎn)F，使得四邊形A1FEB1為平行四邊形，求m的值．【分析】（1）將點(diǎn)A（1，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣2，即可求解；（2）①分別求出A1（1﹣m，0），B1、（2﹣m，0），C1（﹣m，﹣2），D（﹣m，0），設(shè)E（0，y），由題意可知要使三角形相似，只需∠OB1E＝∠DC1A1或∠OB1E＝∠C1A1D，當(dāng)∠OB1E＝∠DC1A1，tan∠OB1E＝tan∠DC1A1＝，＝則，求出E（0，1﹣m）；當(dāng)∠OB1E＝∠C1A1D，則＝2，求出E（0，4﹣2m）；②設(shè)F（x，y），當(dāng)E（0，1﹣m）時(shí)，由題意可知四邊形A1E為平行四邊形的對(duì)角線，可得，再由y＝﹣（x﹣+m）2+，求出m＝2（舍）或m＝；同理當(dāng)E（0，4﹣2m）時(shí)，求得m＝5．【解答】解：（1）將點(diǎn)A（1，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣2，∴，解得，∴y＝﹣x2+3x﹣2；（2）①y＝﹣x2+3x﹣2＝﹣（x﹣）2+，平移先后拋物線解析式為y＝﹣（x﹣+m）2+，令x＝0，則y＝﹣2，∴C（0，﹣2），平移后A1（1﹣m，0），B1、（2﹣m，0），C1（﹣m，﹣2），∵C1D⊥x軸，∴D（﹣m，0），∴OB1＝m﹣2，C1D＝2，A1D＝1，設(shè)E（0，y），∴OE＝﹣y，∵∠B1OE＝90°，∠C1DA1＝90°，∴∠OB1E＝∠DC1A1或∠OB1E＝∠C1A1D，當(dāng)∠OB1E＝∠DC1A1，∴tan∠OB1E＝＝，tan∠DC1A1＝＝，∴＝，∴y＝1﹣m，∴E（0，1﹣m）；當(dāng)∠OB1E＝∠C1A1D，∴＝2，∴y＝4﹣2m，∴E（0，4﹣2m）；綜上所述：E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1﹣m）或（0，4﹣2m）；②設(shè)F（x，y），當(dāng)E（0，1﹣m）時(shí)，∵四邊形A1FEB1為平行四邊形，∴四邊形A1E為平行四邊形的對(duì)角線，∴，∴x＝﹣1，∵平移先后拋物線解析式為y＝﹣（x﹣+m）2+，∴y＝（﹣+m）2+，∴1﹣m＝﹣（﹣+m）2+，解得m＝2（舍）或m＝，當(dāng)m＝時(shí)，y＝﹣，F(xiàn)（﹣1，﹣），∴m＝；當(dāng)E（0，4﹣2m）時(shí)，∵四邊形A1FEB1為平行四邊形，∴四邊形A1E為平行四邊形的對(duì)角線，∴，∴x＝﹣1，∵平移先后拋物線解析式為y＝﹣（x﹣+m）2+，∴y＝（﹣+m）2+，∴4﹣2m＝﹣（﹣+m）2+，∴m＝5或m＝2（舍）；綜上所述：m＝或m＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)，拋物線平移的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022普陀區(qū)一模24）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝﹣x+1交于點(diǎn)A（m，0），B（﹣3，n），與y軸交于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)AC．（1）求m、n的值和拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)D在拋物線y＝x2+bx+c的對(duì)稱軸上，當(dāng)∠ACD＝90°時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）將△AOC平移，平移后點(diǎn)A仍在拋物線上，記作點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)C恰好落在直線AB上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問題．（2）過點(diǎn)D作DH⊥y軸于點(diǎn)H，由直角三角形的性質(zhì)得出tan∠ACO＝tan∠CDH，則，可列出方程求出CH的長(zhǎng)，則可得出答案；（3）設(shè)P（t，），得出N（t﹣3，），由點(diǎn)N在直線AB上可得出t的值，則可得出答案．【解答】解：（1）將A（m，0）代入y＝﹣x+1，解得m＝3，∴A（3，0），將B（﹣3，n）代入y＝﹣x+1，解得n＝2，∴B（﹣3，﹣2），把A（3，0），B（﹣3，2）代入y＝x2+bx+c中，得，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2．（2）如圖1，過點(diǎn)D作DH⊥y軸于點(diǎn)H，∵拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2．∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝﹣＝，∴DH＝，∵∠ACD＝90°，∴∠ACO+∠DCH＝90°，又∵∠DCH+∠CDH＝90°，∴∠ACO＝∠CDH，∴tan∠ACO＝tan∠CDH，∴，由（1）可知OA＝3，OC＝2，∴，∴CH＝，∴D（，﹣）；（3）如圖2，若平移后的三角形為△PMN，則MN＝OC＝2，PM＝OA＝3，設(shè)P（t，t﹣2），∴N（t﹣3，t﹣2﹣2），∵點(diǎn)N在直線y＝﹣x+1上，∴（t﹣3）+1，∴t＝3或t＝﹣3，∴P（3，4﹣）或P（﹣3，4+）．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，平移的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程確定點(diǎn)的坐標(biāo)．8.yx2bxc（0和（4Px軸相Q.BCBQ=CP解：（1）根據(jù)題意………（2分）解得：，?！鄴佄锞€的表達(dá)式是…………………（2分）（2），∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，5）.對(duì)稱軸是直線x=2，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，0）.…………（1分）∴，，；……………………（1分）∴，∴∠COM=90°，…………………（2分）（3）根據(jù)題意，BC∥PQ.如果點(diǎn)C在點(diǎn)B的上方,PC∥BQ時(shí)，四邊形BCPQ是平行四邊形，∴BQ=CP，BC=PQ=5，即拋物線向上平移5個(gè)單位，平移后的拋物線解析式是.…………（2分）如果點(diǎn)C在點(diǎn)B的下方，四邊形BCQP是等腰梯形時(shí)BQ=CP，作BE⊥PQ，CF⊥PQ，垂足分別為E、F.根據(jù)題意可得，PE=QF=1，PQ=5，BC=EF=3，即拋物線向下平移3個(gè)單位，平移后的拋物線解析式是……………（2分）.綜上所述，平移后的拋物線解析式是或.9.（2020閔行一模24）.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與牰交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)．（1）用含的代數(shù)式表示頂點(diǎn)的坐標(biāo)：（2）當(dāng)頂點(diǎn)在內(nèi)部，且時(shí)，求拋物線的表達(dá)式：（3）如果將拋物線向右平移一個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位后，平移后的拋物線的頂點(diǎn)仍在內(nèi)，求的取值范圍．【小問1詳解】解：拋物線，∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為；【小問2詳解】解：對(duì)于，當(dāng)x=0時(shí)，y=5，當(dāng)y=0時(shí)，x=5，∴A（5，0），B（0，5），∵頂點(diǎn)C在內(nèi)部，且，∴，∴a=2，∴拋物線的表達(dá)式為；【小問3詳解】解：由題意，平移后的拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∵平移后的拋物線的頂點(diǎn)仍在內(nèi)，∴，解得：1＜a＜3，即的取值范圍為1＜a＜3．10.（2022奉賢一模24）（本題滿分12分,第(1)小題滿分4分,第(2)小題每小題滿分4分)如圖11,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(3,0),與y(1)求該拋物線的表達(dá)式的頂點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)將拋物線沿y軸上下平移,平移后所得新拋物線頂點(diǎn)為M,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E.①如果點(diǎn)M落在線段BC上,求∠DBE的度數(shù)②設(shè)直線ME與x軸正半軸交于點(diǎn)P,與線段BC交于點(diǎn)Q,當(dāng)PE=2PQ時(shí),圖圖11【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得，，解得，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴頂點(diǎn)D（1，4）；（2）①設(shè)直線x＝1交x軸于G，∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴GM＝GB＝2，∴DM＝DG﹣GM＝2，∴將拋物線y＝﹣x2+2x+3沿y軸向下平移2個(gè)單位時(shí)，點(diǎn)M落在BC上，此時(shí)E（0，1），∵D（1，4），E（0，1），B（3，0），∴DE2＝10，BE2＝10，BD2＝20，∴DE2+BE2＝BD2，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBE＝45°；②當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸時(shí)，則點(diǎn)M在x軸下方，如圖，作QH⊥x軸于H，由C（0，3），D（1，4）可知，直線CD與x軸夾角為45°，∴平移后∠QPB＝45°，∴PH＝BH，∵OE∥QH，PE＝2PQ，∴OP＝2PH，∴4BH＝3，∴BH＝∴OP＝2BH＝，∴GM＝GP＝，∴M（1，﹣），∴平移后拋物線為y＝﹣（x﹣1）2﹣．11．（2021?松江區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝3x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，拋物線y＝ax2+bx﹣5a經(jīng)過點(diǎn)A．將點(diǎn)B向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求拋物線的對(duì)稱軸；（3）若拋物線的頂點(diǎn)在△OBC的內(nèi)部，求a的取值范圍．【分析】（1）由y＝3x+3與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B，可求出A、B坐標(biāo)，B向右移動(dòng)5個(gè)單位即得C坐標(biāo)；（2）將A坐標(biāo)代入y＝ax2+bx﹣5a可得b＝﹣4a，根據(jù)對(duì)稱軸公式可得答案；（3）對(duì)稱軸x＝2與BC交于D，與OC交于E，拋物線的頂點(diǎn)在△OBC的內(nèi)部，則頂點(diǎn)在D和E之間，用a表示頂點(diǎn)縱坐標(biāo)列不等式可得答案．【解答】解：（1）在y＝3x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（0，3），∵點(diǎn)B向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)C．∴C（5，3）；（2）∵A（﹣1，0），拋物線y＝ax2+bx﹣5a經(jīng)過點(diǎn)A，∴0＝a﹣b﹣5a，即b＝﹣4a，∴拋物線y＝ax2+bx﹣5a對(duì)稱軸為x＝＝﹣＝2；（3）對(duì)稱軸x＝2與BC交于D，與OC交于E，如圖：設(shè)OC解析式為y＝kx，∵（5，3），∴3＝5k，∴k＝，∴OC解析式為y＝x，令x＝2得y＝，即E（2，），由（1）知b＝﹣4a，∴拋物線為y＝ax2﹣4ax﹣5a，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣9a），拋物線的頂點(diǎn)在△OBC的內(nèi)部，則頂點(diǎn)在D和E之間，而D（2，3），∴＜﹣9a＜3，∴﹣＜a＜﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)的平移、二次函數(shù)圖象等知識(shí)，表示頂點(diǎn)坐標(biāo)列不等式是解題的關(guān)鍵．12．（2016?楊浦區(qū)三模）已知點(diǎn)A（2，﹣2）和點(diǎn)B（﹣4，n）在拋物線y＝ax2（a≠0）上．（1）求a的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P在y軸上，且△ABP是以AB為直角邊的三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將拋物線y＝ax2（a≠0）向右并向下平移，記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，若四邊形ABB′A′為正方形，求此時(shí)拋物線的表達(dá)式．【分析】（1）把點(diǎn)A（2，﹣2）代入y＝ax2，得到a，再把點(diǎn)B代入拋物線解析式即可解決問題．（2）求出直線AB解析式，再分別求出過點(diǎn)A垂直于AB的直線的解析式，過點(diǎn)B垂直于直線AB的解析式即可解決問題．（3）先求出點(diǎn)A′坐標(biāo)，確定是如何平移的，再確定拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)即可解決問題．【解答】解：（1）把點(diǎn)A（2，﹣2）代入y＝ax2，得到a＝﹣，∴拋物線為y＝﹣x2，∴x＝﹣4時(shí)，y＝﹣8，∴點(diǎn)B坐標(biāo)（﹣4，﹣8），∴a＝﹣，點(diǎn)B坐標(biāo)（﹣4，﹣8）．（2）設(shè)直線AB為y＝kx+b，則有，解得，∴直線AB為y＝x﹣4，∴過點(diǎn)B垂直AB的直線為y＝﹣x﹣12，與y軸交于點(diǎn)P（0，﹣12），過點(diǎn)A垂直AB的直線為y＝﹣x，與y軸交于點(diǎn)P′（0，0），∴點(diǎn)P在y軸上，且△ABP是以AB為直角邊的三角形時(shí)．點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，0），或（0，﹣12）．解法二：利用直線與坐標(biāo)軸的夾角為特殊角45°構(gòu)建等腰直角三角形來求解坐標(biāo)即可．（3）如圖四邊形ABB′A′是正方形，過點(diǎn)A作y軸的垂線，過點(diǎn)B、點(diǎn)A′作x軸的垂線得到點(diǎn)E、F．∵直線AB解析式為y＝﹣x﹣12，∴△ABF，△AA′E都是等腰直角三角形，∵AB＝AA′＝＝6，∴AE＝A′E＝6，∴點(diǎn)A′坐標(biāo)為（8，﹣8），∴點(diǎn)A到點(diǎn)A′是向右平移6個(gè)單位，向下平移6個(gè)單位得到，∴拋物線y＝﹣x2的頂點(diǎn)（0，0），向右平移6個(gè)單位，向下平移6個(gè)單位得到（6，﹣6），∴此時(shí)拋物線為y＝﹣（x﹣6）2﹣6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征、一次函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，知道兩條直線垂直k的乘積為﹣1，屬于中考常考題型．13.【2021年靜安區(qū)二模24】（本題滿分12分，其中第（1）小題4分，第（2）小題5分，第（2）小題3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0）（如圖），經(jīng)過點(diǎn)A的拋物線與y軸相交于點(diǎn)B，頂點(diǎn)為點(diǎn)C．求此拋物線表達(dá)式與頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；求∠ABC的正弦值；將此拋物線向上平移，所得新拋物線頂點(diǎn)為D，且△DCA與△ABC相似，求平移后的新拋物線的表達(dá)式．（第（第24題圖）AOxy24．解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（5，0），∴． （1分）∴． （1分）∴拋物線表達(dá)式為，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）． （2分）（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸、AB分別相交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E（3，0）．∵點(diǎn)B（0，5），∴OA=OB=5,AB＝，∠OAB=45°，∴EF=AE=2，CF=6． （1分）∴． （2分）過點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H，∵BC=，∴． （1分）∴．∴． （1分）（3）∵，∴Rt△AEC∽R(shí)t△AHB，∴∠ACE=∠A∵△DCA與△ABC相似，∴或． （1分）∴或．∴CD=或CD=6． （1分）∵拋物線和y軸的交點(diǎn)向上平移的距離與頂點(diǎn)平移的距離相同，∴平移后的拋物線的表達(dá)式為或． （1分）14.【2021年長(zhǎng)寧二模24】如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2﹣163x+c經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），且與y軸交于點(diǎn)C（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如果將拋物線向左平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，聯(lián)結(jié)AC、BC，當(dāng)拋物線與△ABC的三邊有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求m的值；（3）如果點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在點(diǎn)B的右側(cè)，聯(lián)結(jié)PC，直線PA交y軸于點(diǎn)E，當(dāng)∠PCE＝∠PEC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）m＝4；（3）【解析】【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）當(dāng)拋物線與△ABC的三邊有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則拋物線過點(diǎn)C（0，4），即可求解；（3）求出直線PA的表達(dá)式，得到點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，?t＋4），由∠PCE＝∠PEC，則點(diǎn)P在CE的中垂線上，進(jìn)而求解．【詳解】解：（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得故拋物線的表達(dá)式為；（2）令x=0，y=4∴C（0，4）當(dāng)拋物線與△ABC的三邊有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則拋物線過點(diǎn)C（0，4）由拋物線的表達(dá)式知，其對(duì)稱軸為x＝2，則平移后拋物線再過點(diǎn)C時(shí)，m＝4；（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，)，設(shè)直線PA的表達(dá)式為y＝kx+b，代入A、P坐標(biāo)得，解得，∴直線PA的表達(dá)式為y＝（）x，令x=0，y=故點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，﹣t+4），而點(diǎn)C（0，4），∵∠PCE＝∠PEC，則點(diǎn)P在CE的中垂線上，由中點(diǎn)公式得：yP＝（yC+yE），即＝（t+4），解得t＝1（舍去）或，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、中垂線的性質(zhì)、圖形的平移等，有一定的綜合性，難度適中．15.【2021年奉賢二模】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣），點(diǎn)A在x軸正半軸上，且OA＝2OB，拋物線y＝ax2＋bx（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A、C．（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）將拋物線先向右平移m個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，此時(shí)點(diǎn)C恰好落在直線AB上的點(diǎn)C′處，求m的值；（3）設(shè)點(diǎn)B關(guān)于原拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B′，聯(lián)結(jié)AC，如果點(diǎn)F在直線AB′上，∠ACF＝∠BAO，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝x2﹣2x；（2）4；（3）F坐標(biāo)為（4，）或（4，﹣1.5）．【分析】（1）求出A坐標(biāo)，將A、C坐標(biāo)代入y＝ax2＋bx即可得答案；（2）求出AB解析式，用m表示C′坐標(biāo)代入即可得答案；（3）分F在A上方和下方兩種情況畫出圖形，構(gòu)造相似三角形利用對(duì)應(yīng)邊成比例可得答案．【詳解】解：（1）∵B（0，2），∴OB＝2，∵點(diǎn)A在x軸正半軸上，且OA＝2OB，∴A（4，0），∴將A（4，0），C（1，﹣）代入y＝ax2＋bx得：，解得，∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣2x；（2）設(shè)直線AB的解析式是y＝mx＋n，將A（4，0），B（0，2）代入得：，解得，∴直線AB的解析式是y＝﹣x＋2，∵拋物線y＝x2﹣2x向右平移m個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，則其上的點(diǎn)C也向右平移m個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，而C（1，﹣），∴C′（1＋m，﹣），∵C′（1＋m，﹣）在直線AB上，∴﹣＝﹣（1＋m）＋2，∴m＝4；（3）∵y＝x2﹣2x對(duì)稱軸為x＝2，B（0，2），點(diǎn)B關(guān)于原拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B′，∴B′（4，2），∵A（4，0），∴直線AB′為x＝4，點(diǎn)F在直線AB′上，∠ACF＝∠BAO，分兩種情況：①F在A上方，如圖：過A作AG⊥CF于G，過G作GH//x軸交直線x＝4于H，過C作CM⊥x軸交直線GH于M，∵B（0，2），A（4，0），∴tan∠BAO＝，∵∠ACF＝∠BAO，AG⊥CF，∴tan∠ACF＝，即，而∠MCG＝90°﹣∠MGC＝∠AGH，∠M＝∠AHG，∴△MCG∽△HGA，∴，∴MC＝GH，MG＝2AH，設(shè)G（m，n），則MC＝n＋1.5，MG＝m﹣1，GH＝4﹣m．AH＝n，∴n＋1.5＝2（4﹣m），且m﹣1＝2n，解得m＝2.8，n＝0.9，∴G（28，0.9），又C，∴直線GC解析式為：y＝x﹣，令x＝4得y＝∴F（4，），②F在A下方，延長(zhǎng)AC交y軸于D，過C作CF//x軸交直線x＝4于F，∵A（4，0），C（1，﹣1.5），∴直線AC解析式為y＝x﹣2，∴D（0，﹣2），∵B（0，2），∴B，D關(guān)于x軸對(duì)稱，∴∠BAO＝∠DAO，若∠ACF＝∠BAO，則∠ACF＝∠DAO，∴CF//x軸，∴F綜上所述，∠ACF＝∠DAO，F(xiàn)坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的平移、相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．16.【2021年浦東新區(qū)二模24】（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2+bx經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）．直線y＝x﹣2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求這條拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將拋物線y＝x2+bx向右平移，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B，求平移后拋物線的表達(dá)式；（3）將拋物線y＝x2+bx向下平移，使平移后的拋物線交y軸于點(diǎn)D，交線段BC于點(diǎn)P、Q，（點(diǎn)P在點(diǎn)Q右側(cè)），平移后拋物線的頂點(diǎn)為M，如果DP∥x軸，求∠MCP的正弦值．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式，化成頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得B（4，0），然后分兩種情況討論求得即可；（3）設(shè)向下平移后的拋物線表達(dá)式是：y＝x2﹣2x+n，得點(diǎn)D（0，n），即可求得P（2，n），代入y＝x﹣2求得n＝﹣1，即可求得平移后的解析式為y＝x2﹣2x﹣1．求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后解直角三角形即可求得結(jié)論．【解答】解：（1）由題意，拋物線y＝x2+bx經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），得0＝4+2b，解得b＝﹣2，∴拋物線的表達(dá)式是y＝x2﹣2x．∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴它的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，﹣1）．（2）∵直線與x軸交于點(diǎn)B，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，0）．①將拋物線y＝x2﹣2x向右平移2個(gè)單位，使得點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，此時(shí)平移后的拋物線表達(dá)式是y＝（x﹣3）2﹣1．②將拋物線y＝x2﹣2x向右平移4個(gè)單位，使得點(diǎn)O與點(diǎn)B重合，此時(shí)平移后的拋物線表達(dá)式是y＝（x﹣5）2﹣1．（3）如圖，設(shè)向下平移后的拋物線表達(dá)式是：y＝x2﹣2x+n，得點(diǎn)D（0，n）．∵DP∥x軸，∴點(diǎn)D、P關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線x＝1對(duì)稱，∴P（2，n）．∵點(diǎn)P在直線BC上，∴．∴平移后的拋物線表達(dá)式是：y＝x2﹣2x﹣1．∴新拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，﹣2）．∴MC∥OB，∴∠MCP＝∠OBC．在Rt△OBC中，，由題意得：OC＝2，，∴．即∠MCP的正弦值是．17．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）定義：如果二次函數(shù)，（，、、是常數(shù)）與，、、是常數(shù)）滿足，，，則這兩個(gè)函致互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．例如：求函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，由函數(shù)可知，，，．根據(jù)，，求出、、就能確定這個(gè)函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．請(qǐng)思考并解決下面問題：(1)寫出函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；(2)若函數(shù)與互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的值；(3)已知函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是、、，試求證：經(jīng)過點(diǎn)、、的二次函數(shù)與互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．【答案】(1)；(2)1；(3)見解析．【分析】（1）根據(jù)“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義求出另一個(gè)函數(shù)的、、的值，從而得出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)定義得出和的二元一次方程組，從而得出答案；（3）首先求出、、三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后得出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出函數(shù)解析式，然后根據(jù)新定義進(jìn)行判定．【詳解】（1）根據(jù)題意得，解得故解析式為：．（2）根據(jù)題意得∴∴．（3）根據(jù)題意得，，∴，，又且經(jīng)過點(diǎn)，，的二次函數(shù)為∵∴兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，新定義型；涉及了待定系數(shù)法，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)，正確理解題意，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．18．（2022春·吉林松原·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）給定一個(gè)函數(shù)，如果函數(shù)的圖象上存在一個(gè)點(diǎn)，它的橫、縱坐標(biāo)相等，那么這個(gè)點(diǎn)叫做給定函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．(1)求一次函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如圖1，二次函數(shù)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)分別為P、Q（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)），將點(diǎn)P繞點(diǎn)Q逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)R，求點(diǎn)R的坐標(biāo)；(3)如圖2，二次函數(shù)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．①求a，b的值；②若C為一次函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，以線段為邊向下作正方形，當(dāng)D，E兩點(diǎn)中只有一個(gè)點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上時(shí)，直接寫出m的值．【答案】(1)；(2)；(3)①；②或或【分析】（1）根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的定義，令，得到，解方程即可；（2）先根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的定義求出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出軸，，作，求出即可；（3）①利用待定系數(shù)法求解；②先根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的定義求出，再分C點(diǎn)在A點(diǎn)上方和C點(diǎn)在A點(diǎn)下方兩種情況，求出點(diǎn)E和點(diǎn)D