第22講 解直角三角形整體復(fù)習(xí) (原卷版)

第22講《解直角三角形》單元總復(fù)習(xí)考點(diǎn)一特殊角的三角函數(shù)值A(chǔ)BABC基本定義：如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，則范圍：0＜sinα＜1，0＜cosα＜1，tanα＞1各三角函數(shù)間的轉(zhuǎn)化公式：、、、特殊角的三角函數(shù)值：α30°45°記憶方法：sinα是增函數(shù)，α從30°—60°，可以看成分子逐漸增大，分別是記憶方法：sinα是增函數(shù)，α從30°—60°，可以看成分子逐漸增大，分別是，分母都是2；cosα是減函數(shù)，α從30°—60°，可以看成分子逐漸減少，分別是，分母都是2；tanα是增函數(shù)，α從30°—60°，可以看成分子逐漸增大，分別是，分母都是3；sinαcosαtanα1【類題訓(xùn)練】1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正確的是（）A．sinB＝ B．cosB＝ C．tanB＝ D．tanB＝2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，．則cosA的值為（）A． B． C． D．3．在△ABC中，若，則∠C的度數(shù)是（）A．45° B．60° C．75° D．105°4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝，若將△ABC各邊都擴(kuò)大5倍，則tanA的值為（）A． B． C．5 D．5．三角函數(shù)sin70°，cos70°，tan70°的大小關(guān)系是（）A．sin70°＞cos70°＞tan70° B．tan70°＞cos70°＞sin70° C．tan70°＞sin70°＞cos70° D．cos70°＞tan70°＞sin70°6．銳角α、β滿足，，則tan（α+β）＝．7．在△ABC中，，則△ABC一定是．8．比較大?。簊in81°tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．9．當(dāng)∠A為銳角，且＜cosA＜時(shí)，∠A的取值范圍是．10．在Rt△ABC中，若AB＝2AC，則cosB＝．11．計(jì)算：4cos60°+8sin30°﹣5tan45°．考點(diǎn)二解直角三角形【知識(shí)點(diǎn)睛】解直角三角形是指求出一個(gè)直角三角形三條邊長(zhǎng)、三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)共六個(gè)元素的過程解直角三角形口訣——“直乘斜除，對(duì)正鄰余”釋義：一個(gè)直角三角形中，要求直角邊，一般用乘法，要求斜邊一般用除法；求已知角的對(duì)邊一般用正弦或正切，求已知角的斜邊一般用余弦；銳角是可以存在與所有三角中的，如果需要用的銳角不在直角三角形中，通常通過做垂線，構(gòu)造直角三角形，之后再利用解直角三角形的方法繼續(xù)求解?！绢愵}訓(xùn)練】1．如圖，將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，則sinC的值是（）A． B． C． D．2．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，DE⊥AC于點(diǎn)E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且，則AC的長(zhǎng)度是（）A． B．2 C．8 D．3．閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長(zhǎng)度與一個(gè)角余弦值關(guān)系的數(shù)學(xué)定理，運(yùn)用它可以解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問題．余弦定理是這樣描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍．用公式可描述為：a2＝b2+c2﹣2bccosA；b2＝a2+c2﹣2accosB；c2＝a2+b2﹣2abcosC．現(xiàn)已知在△ABC中，AB＝2，BC＝4，∠A＝60°，則AC的長(zhǎng)為（）A．2 B．+1 C．﹣1 D．34．如圖，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝2，則AB的長(zhǎng)是（）A．4 B．3+ C．5 D．2+25．如圖，點(diǎn)A、B、C在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，sin∠BAC＝（）A． B． C． D．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB邊上的高，如果AD＝m，∠A＝α，那么BC的長(zhǎng)為（）A．m?tanα?cosα B． C． D．7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，BC＝3，AC＝4，則cos∠DCB的值為（）A． B． C． D．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有三點(diǎn)A（0，1），B（4，1），C（5，6），則sin∠BAC＝（）A． B． C． D．9．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，經(jīng)過點(diǎn)B且半徑為5的⊙O與AB交于D，與CB的延長(zhǎng)線交于E，則線段DE的長(zhǎng)為（）A．6.4 B．7 C．7.2 D．810．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在BC上，AD＝BC，，則tanB的值是．11．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝，解這個(gè)直角三角形．12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CH分別是AB邊上的中線和高，BC＝6，cos∠ACD＝，求AB，CH的長(zhǎng)．考點(diǎn)三利用直角三角形解決實(shí)際問題【知識(shí)點(diǎn)睛】在實(shí)際問題中用三角函數(shù)求解未知量一般步驟：審題——審圖形、審已知、審未知找出有關(guān)的直角三角形，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題（當(dāng)所需用直角三角形不存在時(shí)，常做垂直構(gòu)造）；根據(jù)直角三角形邊角之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形【類題訓(xùn)練】1．如圖，在高出海平面100米的懸崖頂A處，觀測(cè)海平面上一艘小船B，并測(cè)得它的俯角為45°，則船與觀測(cè)者之間的水平距離BC＝（）A．米 B．50米 C．米 D．100米2．綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組用木板自制了一個(gè)測(cè)高儀測(cè)量樹高，測(cè)高儀ABCD為正方形，AB＝40cm，頂點(diǎn)A處掛了一個(gè)鉛錘M．如圖是測(cè)量樹高的示意圖，測(cè)高儀上的點(diǎn)D，A與樹頂E在一條直線上，鉛垂線AM交BC于點(diǎn)H．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A距地面2m，到樹EG的距離AF＝10m，BH＝30cm．則樹EG的高度為（）??A．7.5 B．8.3 C．9.5 D．7.93．廠房屋頂人字形（等腰三角形）鋼架的中柱AD（D為底邊中點(diǎn)）長(zhǎng)10米，∠B＝36°，則跨度BC的長(zhǎng)是（）A．米 B．米 C．20tan36°米 D．10tan36°米4．某停車場(chǎng)入口欄桿如圖，欄桿從水平位置AB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到CD的位置，已知AO＝a，若欄桿的旋轉(zhuǎn)角∠BOC＝36°，則欄桿端點(diǎn)A上升的垂直高度DE的長(zhǎng)為（）A．a(chǎn)sin36° B．a(chǎn)cos36° C． D．a(chǎn)tan36°5．如圖1為某款“不倒翁”，圖2為它的主視圖，PA、PB分別與所在圓相切于點(diǎn)A、B．連接PO并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，若該圓半徑是6cm，PA＝8cm，則sin∠AMB的值為（）A． B． C． D．6．如圖，一塊矩形木板ABCD斜靠在墻邊，OC⊥OB，點(diǎn)A，B，C，D，O在同一平面內(nèi)，已知AB＝2，AD＝8，∠BCO＝x，則點(diǎn)A到OC的距離等于（）A．2sinx+8sinx B．2cosx+8cosx C．2sinx+8cosx D．2cosx+8sinx7．如圖，CD是平面鏡，光線從A點(diǎn)出發(fā)經(jīng)CD上點(diǎn)O反射后照射到B點(diǎn)，若入射角為α，反射角為β（反射角等于入射角），AC⊥CD于點(diǎn)C，BD⊥CD于點(diǎn)D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，則sinα的值為（）A． B． C． D．8．如圖所示，熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球A處看一棟樓頂部B處的仰角為30°，看這棟樓底部C處的俯角為60°，熱氣球A處與樓的水平距離為150米，則這棟樓的高度為米．9．如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東37°方向，距離燈塔35海里的A處，它沿正北方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔的正東方向上的B處，這時(shí)，B處與燈塔P的距離PB的長(zhǎng)可以表示為（）A．35海里 B．35cos37°海里 C．35tan37°海里 D．35sin37°海里10．某型號(hào)飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算AB的長(zhǎng)為（）m．A．+1.6 B．﹣1.6 C．+0.9 D．﹣0.911．“十一”假期，小明和同學(xué)一起到游樂場(chǎng)游玩，游樂場(chǎng)的大型摩天輪的半徑為15m，旋轉(zhuǎn)1周需要24min（勻速）．小明乘坐最底部（離地面約1m）的車廂按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)開始1周的觀光，啟動(dòng)10min時(shí)，小明離地面的高度是m．12．如圖，準(zhǔn)備在寬24米的迎賓大道AB路邊安裝路燈，設(shè)計(jì)要求：路燈的燈臂CD長(zhǎng)4米，且與燈柱BC成120°角，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線DO與燈臂CD垂直，燈柱BC與大道路面AB垂直，此時(shí)O恰好為AB中點(diǎn)．（1）∠DOB的度數(shù)為°．（2）現(xiàn)在由于道路兩邊都要裝路燈，要求，且燈臂CD縮短為1米，其它的位置關(guān)系不變．則現(xiàn)在路燈的燈柱BC高度應(yīng)該比原設(shè)計(jì)高度縮短了米．13．如圖1，圖2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB（與地面平行）或繞定點(diǎn)P（固定在垃圾桶底部的某一位置）上下轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)過程中始終保持AP＝A′P，BP＝B′P）．通過向下踩踏點(diǎn)A到A′（與地面接觸點(diǎn)）使點(diǎn)B上升到點(diǎn)B′，與此同時(shí)傳動(dòng)桿BH運(yùn)動(dòng)到B'H'的位置，點(diǎn)H繞固定點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)（DH為旋轉(zhuǎn)半徑）至點(diǎn)H'，從而使桶蓋打開一個(gè)張角∠HDH′．如圖3，桶蓋打開后，傳動(dòng)桿H′B′所在的直線分別與水平直線AB、DH垂直，垂足為點(diǎn)M、C，設(shè)H′C＝B′M．測(cè)得AP＝6cm，PB＝12cm，DH′＝8cm，EH＝14cm，F(xiàn)G＝0.3cm．（1）要使桶蓋張開的角度∠HDH'不小于60°，那么踏板AB離地面的高度至少等于cm；（2）當(dāng)tan∠HDH'＝時(shí)投入一個(gè)小球，并能順利蓋上垃圾桶蓋，小球的最大半徑為cm．14．如圖1是小鳥牙簽盒實(shí)物圖，圖2是牙簽盒在取牙簽過程中一個(gè)狀態(tài)的部分側(cè)面示意圖，D、E為連接桿AB上兩個(gè)定點(diǎn)，通過按壓點(diǎn)B，連接桿AB繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，從而帶動(dòng)連接桿DF上升，帶動(dòng)連接桿FH與FG繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)，致使牙簽托盤HI向外推出，在取牙簽過程中固定桿EG位置不變且DF與EG始終平行，牙簽托盤HI始終保持水平，現(xiàn)測(cè)得FG＝FH＝1cm，EB＝cm，DF＝EG＝7cm，∠HFG＝46°與∠B＝90°，桿長(zhǎng)與桿長(zhǎng)之間角度大小不變，已知，牙簽盒在初始狀態(tài)，D、H、F三點(diǎn)共線，在剛好取到牙簽時(shí)，E、H、G三點(diǎn)共線，且點(diǎn)C落在線段HI上，（參考數(shù)據(jù)：tan23°＝）（1）從初始狀態(tài)到剛好取到牙簽時(shí)，牙簽托盤HI在水平方向被向外推出cm；（2）鳥嘴BC的長(zhǎng)為cm．15．消防車是救援火災(zāi)的重要裝備．圖1是一輛登高云梯消防車的實(shí)物圖，圖2是其工作示意圖，起重臂AB可伸縮，伸縮范圍為10m≤AB≤40m，且起重臂AB可繞點(diǎn)A在一定范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，張角為∠CAB，張角范圍為90°≤∠CAB≤150°，轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)A距離地面MN的高度AC為5m．（參考數(shù)據(jù)：（1）當(dāng)起重臂AB長(zhǎng)度為20m，張角為135°時(shí)，求云梯消防車最高點(diǎn)B距地面的高度；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）某棟樓高39m，若該樓中有居民家突發(fā)險(xiǎn)情，請(qǐng)問該消防車能否實(shí)施有效救援？請(qǐng)說明理由．16．蓮花湖濕地公園是當(dāng)?shù)厝嗣裣矏鄣男蓍e景區(qū)之一，里面的秋千深受孩子們喜愛．如圖所示，秋千鏈子的長(zhǎng)度為3m，當(dāng)擺角∠BOC恰為26°時(shí)，座板離地面的高度BM為0.9m，當(dāng)擺動(dòng)至最高位置時(shí)，擺角∠AOC為50°，求座板距地面的最大高度為多少m？（結(jié)果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：sin26°≈0.44，cos26°≈0.9，tan26°≈0.49，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）?17．如圖1，小紅家陽(yáng)臺(tái)上放置了一個(gè)曬衣架．如圖2是曬衣架的側(cè)面示意圖，立桿AB、CD相交于點(diǎn)O，B、D兩點(diǎn)立于地面，經(jīng)測(cè)量：AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，OE＝OF＝34cm．現(xiàn)將曬衣架完全穩(wěn)固張開，扣鏈EF成一條線段，且EF＝32cm．（1）求證：AC∥BD；（2）求扣鏈EF與立桿AD的夾角∠OEF的度數(shù)．（精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan61.9°≈1.873）18．如圖1，某款線上教學(xué)設(shè)備由底座，支撐臂AB，連