專題05 一元一次方程（教師版）

知識點01：解一元一次方程【高頻考點精講】1．解一元一次方程的一般步驟（1）一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1。（2）所有步驟目的：使方程逐漸向x＝a形式轉(zhuǎn)化。2．解一元一次方程時，應(yīng)該先觀察方程的形式和特點，如果有分母一般先去分母；如果既有分母又有括號，且括號外的項乘以括號內(nèi)各項后能消去分母，就先去括號。3．求解“ax+bx＝c”類型方程時，將方程左邊按照合并同類項的方法并為一項，即（a+b）x＝c，使方程逐漸轉(zhuǎn)化為ax＝b的最簡形式，體現(xiàn)化歸思想。將ax＝b系數(shù)化為1時，首先弄清楚求x時，方程兩邊除以的是a還是b，尤其a為分?jǐn)?shù)時；其次要準(zhǔn)確判斷符號，a、b同號x為正，a、b異號x為負(fù)。知識點02：由實際問題抽象出一元一次方程【高頻考點精講】1．“總量＝各部分量的和”是列方程解應(yīng)用題中一個基本的關(guān)系式，在此類問題中，首先表示出各部分的量和總量，然后利用它們之間的等量關(guān)系列方程；2．“表示同一個量的不同式子相等”是列方程解應(yīng)用題中另一個基本關(guān)系式，也是列方程的一種基本方法。通過對同一個量從不同角度用不同的式子表示，進(jìn)而列出方程。知識點03：一元一次方程的應(yīng)用【高頻考點精講】1．銷售問題：利潤＝售價﹣進(jìn)價，利潤率＝×100%；2．工程問題：（1）工作量＝人均效率×人數(shù)×?xí)r間；（2）如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段工作量的和＝工作總量；3．行程問題：路程＝速度×?xí)r間；4．水流航行問題：（1）順?biāo)俣龋届o水速度+水流速度；（2）逆水速度＝靜水速度﹣水流速度。檢測時間：90分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.66一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?永州）關(guān)于x的一元一次方程2x+m＝5的解為x＝1，則m的值為（）A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7解：∵x＝1是關(guān)于x的一元一次方程2x+m＝5的解，∴2×1+m＝5，∴m＝3，故選：A．2．（2分）（2023?光澤縣模擬）我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“多人共車”問題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？其大意是：每車坐3人，兩車空出來；每車坐2人，多出9人無車坐．問人數(shù)和車數(shù)各多少？設(shè)車x輛，根據(jù)題意，可列出的方程是（）A．3x﹣2＝2x+9 B．3（x﹣2）＝2x+9 C． D．3（x﹣2）＝2（x+9）解：設(shè)車x輛，根據(jù)題意得：3（x﹣2）＝2x+9．故選：B．3．（2分）（2023?連云港）元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中，記載了這樣一道題：良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？其大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，快馬幾天可追上慢馬？若設(shè)快馬x天可追上慢馬，由題意得（）A．＝ B．＝﹣12 C．240（x﹣12）＝150x D．240x＝150（x+12）解：∵慢馬先行12天，快馬x天可追上慢馬，∴快馬追上慢馬時，慢馬行了（x+12）天．根據(jù)題意得：240x＝150（x+12）．故選：D．4．（2分）（2023?貴州）《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題，大意為：今有100頭鹿，每戶分一頭鹿后，還有剩余，將剩下的鹿按每3戶共分一頭，恰好分完，問：有多少戶人家？若設(shè)有x戶人家，則下列方程正確的是（）A． B．3x+1＝100 C． D．解：根據(jù)題意得：x+x＝100．故選：C．5．（2分）（2023?日照）《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中“盈不足術(shù)”記載：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數(shù)雞價各幾何？譯文：今有人合伙買雞，每人出9錢，會多出11錢；每人出6錢，又差16錢．問人數(shù)、買雞的錢數(shù)各是多少？設(shè)人數(shù)為x，可列方程為（）A．9x+11＝6x+16 B．9x﹣11＝6x﹣16 C．9x+11＝6x﹣16 D．9x﹣11＝6x+16解：根據(jù)題意得：9x﹣11＝6x+16．故選：D．6．（2分）（2023?臺灣）有一東西向的直線吊橋橫跨溪谷，小維、阿良分別從西橋頭、東橋頭同時開始往吊橋的另一頭筆直地走過去，如圖所示，已知小維從西橋頭走了84步，阿良從東橋頭走了60步時，兩人在吊橋上的某點交會，且交會之后阿良再走70步恰好走到西橋頭，若小維每步的距離相等，阿良每步的距離相等，則交會之后小維再走多少步會恰好走到東橋頭（）A．46 B．50 C．60 D．72解：設(shè)交會之后小維再走x步會恰好走到東橋頭，由題意得，，∴x＝72，故選：D．7．（2分）（2023?新昌縣模擬）《九章算術(shù)》中記載了這樣一個數(shù)學(xué)問題：今有甲發(fā)長安，五日至齊；乙發(fā)齊，七日至長安．今乙發(fā)已先二日，甲仍發(fā)長安．問幾何日相逢？譯文：甲從長安出發(fā)，5日到齊國；乙從齊國出發(fā)，7日到長安．現(xiàn)乙先出發(fā)2日，甲才從長安出發(fā)．問多久后甲乙相逢？設(shè)乙出發(fā)x日，甲乙相逢，則可列方程（）A． B． C． D．解：設(shè)乙出發(fā)x日，甲乙相逢，則甲出發(fā)（x﹣2）日，故可列方程為：+＝1．故選：D．8．（2分）（2023?南充）《孫子算經(jīng)》記載：“今有木，不知長短．引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？”（尺、寸是長度單位，1尺＝10寸）．意思是，現(xiàn)有一根長木，不知道其長短．用一根繩子去度量長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再度量長木，長木還剩余1尺．問長木長多少？設(shè)長木長為x尺，則可列方程為（）A．（x+4.5）＝x﹣1 B．（x+4.5）＝x+1 C．（x﹣4.5）＝x+1 D．（x﹣4.5）＝x﹣1解：設(shè)長木長為x尺，∵用一根繩子去量一根木條，繩子剩余4.5尺，∴繩子長為（x+4.5）尺，∵繩子對折再量木條，木條剩余1尺，得方程為：（x+4.5）＝x﹣1．故選：A．9．（2分）（2023?宿遷）古代名著《孫子算經(jīng)》中有一題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？設(shè)有車x輛，則根據(jù)題意，可列出方程是（）A．3（x+2）＝2x﹣9 B．3（x+2）＝2x+9 C．3（x﹣2）＝2x﹣9 D．3（x﹣2）＝2x+9解：設(shè)有x輛車，則可列方程：3（x﹣2）＝2x+9．故選：D．10．（2分）（2023?棗莊）《算學(xué)啟蒙》是我國較早的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載一道問題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？”題意是：快馬每天走240里，慢馬每天走150里，慢馬先走12天，試問快馬幾天可以追上慢馬？若設(shè)快馬x天可以追上慢馬，則下列方程正確的是（）A．240x+150x＝150×12 B．240x﹣150x＝240×12 C．240x+150x＝240×12 D．240x﹣150x＝150×12解：依題意得：240x﹣150x＝150×12．故選：D．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?鼓樓區(qū)校級模擬）定義運(yùn)算法則：a⊕b＝a2+ab，例如3⊕2＝32+3×2＝15．若2⊕x＝10，則x的值為3．解：∵2⊕x＝10，∴22+2x＝10，即4+2x＝10，解得x＝3．故答案為：3．12．（2分）（2023?德陽）在初中數(shù)學(xué)文化節(jié)游園活動中，被稱為“數(shù)學(xué)小王子”的王小明參加了“智取九宮格”游戲比賽，活動規(guī)則是：在九宮格中，除了已經(jīng)填寫的三個數(shù)之外的每一個方格中，填入一個數(shù)，使每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和分別相等，且均為m．王小明抽取到的題目如圖所示，他運(yùn)用初中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，很快就完成了這個游戲，則m＝39．解：設(shè)九宮格中最中間的數(shù)為x，∵第1列中間數(shù)與第2行的最左側(cè)的數(shù)重合，∴16+4＝7+x，∴x＝13，根據(jù)九宮格每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和等于最中間數(shù)的三倍，∴m＝3x＝39，故答案為：39．13．（2分）（2023?伊通縣四模）“用繩子測水井深度，如果將繩子折成三等份，井外余繩4尺：如果將繩子折成四等份，井外余繩1尺．問繩長、井深各是多少尺？”設(shè)井深為x尺，可列一元一次方程為3（x+4）＝4（x+1）．解：井深為x尺，由將繩三折測之，繩多4尺，可得繩長為3（x+4），由將繩四折測之，繩多1尺，可得繩長為4（x+1）．由繩長相等，可得3（x+4）＝4（x+1）．故答案為：3（x+4）＝4（x+1）．14．（2分）（2023?余江區(qū)二模）我國古代《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩：“我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”詩中后面兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么有7人無房可住；如果每一間客房住9人，那么就空出一間客房．設(shè)有x間客房，可列方程為：7x+7＝9（x﹣1）．解：根據(jù)題意得：7x+7＝9（x﹣1），故答案為：7x+7＝9（x﹣1）．15．（2分）（2023?慈溪市一模）方程術(shù)是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中最高的代數(shù)成就．《九章算術(shù)》中記載了這樣一個問題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”譯文：“相同時間內(nèi)，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步為長度單位）”，根據(jù)題意可求得走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．解：設(shè)走路快的人要走x步才能追上，則走路慢的人走×60（步），根據(jù)題意得：×60+100＝x，解得：x＝250，則走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．故答案為：250．16．（2分）（2023?柯橋區(qū)一模）甲、乙兩個足球隊連續(xù)進(jìn)打?qū)官?，?guī)定勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分，共賽10場，甲隊保持不敗，得22分，甲隊勝6場．解：設(shè)甲勝了x場，由題意：3x+（10﹣x）＝22，解得x＝6，甲隊勝了6場，故答案為：6．17．（2分）（2023?吉林）《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學(xué)問題，其譯文為：有人合伙買羊，每人出5錢，還缺45錢；每人出7錢，還缺3錢，問合伙人數(shù)是多少？為解決此問題，設(shè)合伙人數(shù)為x人，可列方程為5x+45＝7x+3．解：設(shè)合伙人數(shù)為x人，依題意，得：5x+45＝7x+3．故答案為：5x+45＝7x+3．18．（2分）（2023?未央?yún)^(qū)校級三模）請閱讀下面的詩句：“棲樹一群鴉，鴉樹不知數(shù)，四只棲一樹，五只沒處去，五只棲一樹，閑了一棵樹，請你仔細(xì)數(shù)，鴉樹各幾何？”詩中談到的鴉為45只，樹為10棵．解：設(shè)樹有x棵依題意列方程：4x+5＝5（x﹣1）解得：x＝10所以樹有10棵，鴉的個數(shù)為：10×4+5＝45故答案為：45，1019．（2分）（2023?大連）我國古代著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個問題：“今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數(shù)、雞價各幾何．”其大意是：今有人合伙買雞，每人出9錢，會多出11錢；每人出6錢，又差16錢．問人數(shù)、雞價各是多少．”設(shè)共有x人合伙買雞，根據(jù)題意，可列方程為9x﹣11＝6x+16．解：由題意得：9x﹣11＝6x+16，故答案為：9x﹣11＝6x+16．20．（2分）（2023?麗水）古代中國的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有一題：“今有生絲三十斤，干之，耗三斤十二兩．今有干絲一十二斤，問生絲幾何？”意思是：“今有生絲30斤，干燥后耗損3斤12兩（古代中國1斤等于16兩）．今有干絲12斤，問原有生絲多少？”則原有生絲為斤．解：設(shè)原有生絲為x斤，x：12＝30：（30﹣3），解得x＝．故原有生絲為斤．故答案為：．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?浙江模擬）以下是欣欣解方程：的解答過程：解：去分母，得2（x+2）﹣3（2x﹣1）＝1；……①去括號：2x+2﹣6x+3＝1；…………………②移項，合并同類項得：﹣4x＝﹣4；………………③解得：x＝1．…………④（1）欣欣的解答過程在第幾步開始出錯？（請寫序號即可）（2）請你完成正確的解答過程．解：（1）步驟①；（2）去分母，得2（x+2）﹣3（2x﹣1）＝6；去括號：2x+4﹣6x+3＝6；移項，合并同類項得：﹣4x＝﹣1；解得：．22．（6分）（2023?衢州）小紅在解方程時，第一步出現(xiàn)了錯誤：解：2×7x＝（4x﹣1）+1，…（1）請在相應(yīng)的方框內(nèi)用橫線劃出小紅的錯誤處．（2）寫出你的解答過程．解：（1）如圖：（2）去分母：2×7x＝（4x﹣1）+6，去括號：14x＝4x﹣1+6，移項：14x﹣4x＝﹣1+6，合并同類項：10x＝5，系數(shù)化1：x＝．23．（8分）（2023?灞橋區(qū)校級模擬）列方程解應(yīng)用題．某家具廠有60名工人，加工某種有一個桌面和四條桌腿的桌子，工人每天每人可以加工3個桌面或6個桌腿．分配多少工人加工桌面，多少工人加工桌腿，才能使每天生產(chǎn)的桌面和桌腿配套？解：設(shè)有x名工人加工桌面，則加工桌腿的有（60﹣x）名，根據(jù)題意得，4×3x＝6×（60﹣x），解得：x＝20，60﹣20＝40，答：有20名工人加工桌面，40名工人加工桌腿．24．（8分）（2023?河北）某磁性飛鏢游戲的靶盤如圖．珍珍玩了兩局，每局投10次飛鏢，若投到邊界則不計入次數(shù)，需重新投．計分規(guī)則如下：投中位置A區(qū)B區(qū)脫靶一次計分（分）31﹣2在第一局中，珍珍投中A區(qū)4次，B區(qū)2次．脫靶4次．（1）求珍珍第一局的得分；（2）第二局，珍珍投中A區(qū)k次，B區(qū)3次，其余全部脫靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．解：（1）由題意可得：4×3+2×1+4×（﹣2）＝6（分），答：珍珍第一局的得分為6分；（2）由題意可得：3k+3×1+（10﹣k﹣3）×（﹣2）＝6+13，解得：k＝6．∴k的值為6．25．（8分）（2023?臨沂）大學(xué)生小敏參加暑期實習(xí)活動，與公司約定一個月（30天）的報酬是M型平板電腦一臺和1500元現(xiàn)金．當(dāng)她工作滿20天后因故結(jié)束實習(xí)，結(jié)算工資時公司給了她一臺該型平板電腦和300元現(xiàn)金．（1）這臺M型平板電腦價值多少元？（2）小敏若工作m天，將上述工資支付標(biāo)準(zhǔn)折算為現(xiàn)金，她應(yīng)獲得多少報酬（用含m的代數(shù)式表示）？解：（1）設(shè)這臺M型平板電腦價值x元，根據(jù)題意得：（x+1500）＝x+300，解得：x＝2100，∴這臺M型平板電腦價值2100元；（2）由（1）知，一臺M型平板電腦價值2100元，∴工作一個月，她應(yīng)獲得的報酬為2100+1500＝3600（元），∴若工作m天，她應(yīng)獲得的報酬為＝120m（元）．26．（8分）（2023?北京）對聯(lián)是中華傳統(tǒng)文化的瑰寶，對聯(lián)裝裱后，如圖所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、右空白處統(tǒng)稱為邊．一般情況下，天頭長與地頭長的比是6：4，左、右邊的寬相等，均為天頭長與地頭長的和的．某人要裝裱一副對聯(lián)，對聯(lián)的長為100cm，寬為27cm．若要求裝裱后的長是裝裱后的寬的4倍，求邊的寬和天頭長．解：設(shè)天頭長為6xcm，地頭長為4xcm，則左、右邊的寬為xcm，根據(jù)題意得，100+（6x+4x）＝4×[27+（6x﹣4x）]，解得x＝4，答：邊的寬為4cm，天頭長為24cm．27．（8分）（2023?重慶）某糧食生產(chǎn)基地為了落實在適宜地區(qū)開展雙季稻中間季節(jié)再種一季油菜的號召，積極擴(kuò)大糧食生產(chǎn)規(guī)模，計劃用基地的甲、乙兩區(qū)農(nóng)田進(jìn)行油菜試種，甲區(qū)的農(nóng)田比乙區(qū)的農(nóng)田多10000畝，甲區(qū)農(nóng)田的80%和乙區(qū)全部農(nóng)田均適宜試種，且兩區(qū)適宜試種農(nóng)田的面積剛好相同．（1）求甲、乙兩區(qū)各有農(nóng)田多少畝？（2）在甲、乙兩區(qū)適宜試種的農(nóng)田全部種上油菜后，為加強(qiáng)油菜的蟲害治理，基地派出一批性能相同的無人機(jī)，對試種農(nóng)田噴灑除蟲藥，由于兩區(qū)地勢差別，派往乙區(qū)的無人機(jī)架次是甲區(qū)的1.2倍（每架次無人機(jī)噴灑時間相同），噴灑任務(wù)完成后，發(fā)現(xiàn)派往甲區(qū)的每架次無人機(jī)比乙區(qū)的平均多噴灑畝，求派往甲區(qū)每架次無人機(jī)平均噴灑多少畝？解：（1）設(shè)乙區(qū)有農(nóng)田x畝，則甲區(qū)有農(nóng)田（x+