專題11 線性回歸直線與非線性回歸直線方程（解析版）

專題11線性回歸直線與非線性回歸直線方程【考點預(yù)測】1、兩個變量線性相關(guān)(1)散點圖：將樣本中個數(shù)據(jù)點(i＝1,2，…，)描在平面直角坐標(biāo)系中得到的圖形．(2)正相關(guān)與負(fù)相關(guān)①正相關(guān)：散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域．②負(fù)相關(guān)：散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域．2、回歸直線的方程(1)回歸直線：如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．(2)回歸方程：回歸直線對應(yīng)的方程叫回歸直線的方程，簡稱回歸方程．(3)回歸方程的推導(dǎo)過程：①假設(shè)已經(jīng)得到兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù),,．②設(shè)所求回歸方程為，其中是待定參數(shù)．③由最小二乘法得其中，是回歸方程的斜率，是截距．3、當(dāng)經(jīng)驗回歸方程并非形如(）時，稱之為非線性經(jīng)驗回歸方程，當(dāng)兩個變量不呈線性相關(guān)關(guān)系時，依據(jù)樣本點的分布選擇合適的曲線方程來模擬，常見的非線性經(jīng)驗回歸方程的轉(zhuǎn)換方式總結(jié)如下：曲線方程變換公式變換后的線性關(guān)系式建立非線性經(jīng)驗回歸模型的基本步驟（1）確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是響應(yīng)變量；（2）由經(jīng)驗確定非線性經(jīng)驗回歸方程的模型；（3）通過變換（一般題目都有明顯的暗示如何換元，換元成什么變量），將非線性經(jīng)驗回歸模型轉(zhuǎn)化為線性經(jīng)驗回歸模型（特別注意：使用線性回歸方程的公式，注意代入變換后的變量）；（4）按照公式計算經(jīng)驗回歸方程中的參數(shù)，得到經(jīng)驗回歸方程；（5）消去新元，得到非線性經(jīng)驗回歸方程；（6）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常．【典型例題】例1．（2023·黑龍江雙鴨山·高二雙鴨山一中?？计谀┮阎獢?shù)據(jù)的三對觀測值為，用“最小二乘法”判斷下列直線的擬合程度，則效果最好的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)擬合直線為時，預(yù)報值與實際值的差的平方和，當(dāng)擬合直線為時，預(yù)報值與實際值的差的平方和，當(dāng)擬合直線為時，預(yù)報值與實際值的差的平方和，當(dāng)擬合直線為時，預(yù)報值與實際值的差的平方和，故最小，即效果最好的是.故選：A.例2．（2023·廣西欽州·高二欽州一中?？计谥校┫聦τ趦蓚€變量和進行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)：，，，，則下列說法正確的是（

）①由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線必經(jīng)過樣本點中心②用來刻畫回歸效果，的值越小，說明模型的擬合效果越好③殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好④用相關(guān)系數(shù)來衡量兩個變量之間線性關(guān)系的強弱時，越接近于，相關(guān)性越弱；A．①② B．①③④ C．①②③ D．①③【答案】D【解析】由題意得：樣本中心點在回歸直線上，故①正確；越大擬合效果越好，故②不正確；殘差平方和越小的模型，擬合效果越好，故③正確；用相關(guān)系數(shù)來衡量兩個變量之間線性關(guān)系的強弱時，越接近于，相關(guān)性越強，故④不正確．故選：D例3．（2023·福建三明·高二校聯(lián)考期中）下列命題中，錯誤的命題是（

）A．在一組樣本數(shù)據(jù)（不全相等）的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為B．設(shè)隨機變量，，則C．在的展開式中，的系數(shù)是35D．殘差圖中殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適【答案】A【解析】在一組樣本數(shù)據(jù)（不全相等）的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)為函數(shù)關(guān)系，相關(guān)性非常強，為，又因為，為正相關(guān)，所以，所以，故A錯誤；隨機變量，所以，因為所有，所以，故B正確；在的展開式中，的系數(shù)，故C正確；殘差圖中殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，故D正確.故選：A.例4．（2023·四川雅安·高二統(tǒng)考期末）某城市選用某種植物進行綠化，設(shè)其中一株幼苗從觀察之日起，第x天的高度為ycm，測得一些數(shù)據(jù)如下表所示：第x度y/cm0479111213作出這組數(shù)的散點圖如下(1)請根據(jù)散點圖判斷，與中哪一個更適宜作為幼苗高度y關(guān)于時間x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測第196天這株幼苗的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．附：，

參考數(shù)據(jù)：1402856283【解析】（1）根據(jù)散點圖，更適宜作為幼苗高度y關(guān)于時間x的回歸方程類型；（2）令，則構(gòu)造新的成對數(shù)據(jù)，如下表所示：x149162536491234567y0479111213容易計算，，．通過上表計算可得：因此∵回歸直線過點，∴，故y關(guān)于的回歸直線方程為從而可得：y關(guān)于x的回歸方程為令，則，所以預(yù)測第196天幼苗的高度大約為29cm．例5．（2023·湖北·高二統(tǒng)考期末）快遞業(yè)的迅速發(fā)展導(dǎo)致行業(yè)內(nèi)競爭日趨激烈．某快遞網(wǎng)點需了解一天中收發(fā)一件快遞的平均成本（單位：元）與當(dāng)天攬收的快遞件數(shù)即攬件量（單位：千件）之間的關(guān)系，對該網(wǎng)點近天的每日攬件量（單位：千件）與當(dāng)日收發(fā)一件快遞的平均成本（單位：元）（）的數(shù)據(jù)進行了初步處理，得到散點圖及一些統(tǒng)計量的值．表中，．(1)根據(jù)散點圖判斷與哪一個更適宜作為關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程類型？并根據(jù)判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)求出關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程；(2)已知該網(wǎng)點每天的攬件量（單位：千件）與單件快遞的平均價格（單位：元）之間的關(guān)系是，收發(fā)一件快遞的利潤等于單件的平均價格減去平均成本，根據(jù)（1）中建立的經(jīng)驗回歸方程解決以下問題：①預(yù)測該網(wǎng)點某天攬件量為千件時可獲得的總利潤；②單件快遞的平均價格為何值時，該網(wǎng)點一天內(nèi)收發(fā)快遞所獲利潤的預(yù)報值最大？附：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．【解析】（1）由散點圖可知：更適宜作為關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程類型；令，則，，關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為：.（2）設(shè)收發(fā)千件快遞獲利千元，則；①當(dāng)時，，即該網(wǎng)點某天攬收件快遞可獲得的總利潤約為元．②，令，解得：，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時；單件快遞的平均價格元時，該網(wǎng)點一天內(nèi)收發(fā)快遞所獲利潤的預(yù)報值最大.例6．（2023·河南三門峽·高三統(tǒng)考期末）2021年春節(jié)前，受疫情影響，各地鼓勵外來務(wù)工人員選擇就地過年.某市統(tǒng)計了該市4個地區(qū)的外來務(wù)工人數(shù)與就地過年人數(shù)（單位：萬），得到如下表格：A區(qū)B區(qū)C區(qū)D區(qū)外來務(wù)工人數(shù)x/萬3456就地過年人數(shù)y/萬2.5344.5(1)請用相關(guān)系數(shù)說明y與x之間的關(guān)系可用線性回歸模型擬合，并求y關(guān)于x的線性回歸方程.(2)假設(shè)該市政府對外來務(wù)工人員中選擇就地過年的每人發(fā)放1000元補貼.①若該市E區(qū)有2萬名外來務(wù)工人員，根據(jù)（1）的結(jié)論估計該市政府需要給E區(qū)就地過年的人員發(fā)放的補貼總金額；②若A區(qū)的外來務(wù)工人員中甲、乙選擇就地過年的概率分別為p，，其中，該市政府對甲、乙兩人的補貼總金額的期望不超過1400元，求p的取值范圍.參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.【解析】（1））由題，，，，，，所以相關(guān)系數(shù)，因為y與x之間的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與x之間的線性相關(guān)程度非常強，所以可用線性回歸模型擬合y與x之間的關(guān)系.，，故y關(guān)于x的線性回歸方程為.（2）①將代入，得，故估計該市政府需要給E區(qū)就地過年的人員發(fā)放的補貼總金額為（萬元）.②設(shè)甲、乙兩人中選擇就地過年的人數(shù)為X，則X的所有可能取值為0，1，2，，，.所以，所以，由，得，又，所以，故p的取值范圍為.例7．（2023·西藏拉薩·高一校聯(lián)考期末）根據(jù)統(tǒng)計，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y（百千克）與某種液體肥料每畝使用量x（千克）之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)的散點圖，如圖所示．(1)依據(jù)數(shù)據(jù)的散點圖可以看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請計算相關(guān)系數(shù)r并加以說明（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）；(2)求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測當(dāng)液體肥料每畝使用量為10千克時，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少？附：相關(guān)系數(shù)公式．參考數(shù)據(jù)：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為．【解析】（1）由已知數(shù)據(jù)可得，，所以，，，所以相關(guān)系數(shù)．因為，所以可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系．（2），，所以回歸方程為．當(dāng)時，．即當(dāng)液體肥料每畝使用量為10千克時，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為550千克例8．（2023·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）新冠肺炎疫情發(fā)生以來，中醫(yī)藥全面參與疫情防控救治，做出了重要貢獻．某中醫(yī)藥企業(yè)根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到研發(fā)投入x（億元）與產(chǎn)品收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：研發(fā)投入x（億元）12345產(chǎn)品收益y（億元）3791011(1)計算x，y的相關(guān)系數(shù)r，并判斷是否可以認(rèn)為研發(fā)投入與產(chǎn)品收益具有較高的線性相關(guān)程度？（若，則線性相關(guān)程度一般，若，則線性相關(guān)程度較高）(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測研發(fā)投入20（億元）時產(chǎn)品的收益．參考數(shù)據(jù)：，，．附：相關(guān)系數(shù)公式：，回歸直線方程的斜率，截距．【解析】（1）∵，，，∴，∴該中醫(yī)藥企業(yè)的研發(fā)投入x與產(chǎn)品收益y具有較高的線性相關(guān)程度．（2）∵，，∴．∴y關(guān)于x的線性回歸方程為，將代入線性回歸方程可得，，∴預(yù)測研發(fā)投入20（億元）時產(chǎn)品的收益為40.3（億元）．例9．（2023·黑龍江大慶·高二大慶市東風(fēng)中學(xué)校考期末）下表所示是我國2015年至2021年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）.年份2015201620172018201920202021處理量（億噸）1.81.972.12.262.42.552.69(1)由數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并預(yù)測2023年我國生活垃圾無害化處理量.附：，，，.相關(guān)系數(shù)；回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.【解析】（1）由表中數(shù)據(jù)和附注中數(shù)據(jù)可得：，，所以.因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.999，說明y與t的線性相關(guān)相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.（2）由（1）得，.所以y關(guān)于t的回歸方程為：.將2023代入回歸方程得：.所以預(yù)測2023年我國生活垃圾無害化處理量將約3億噸.例10．（2023·江西吉安·高二?？计谥校┠晨萍脊狙邪l(fā)了一項新產(chǎn)品，經(jīng)過市場調(diào)研，對公司1月份至6月份銷售量及銷售單價進行統(tǒng)計，銷售單價（千元）和銷售量（千件）之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：月份123456銷售單價銷售量（1）試根據(jù)1至5月份的數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸直線方程；（2）若由回歸直線方程得到的估計數(shù)據(jù)與剩下的檢驗數(shù)據(jù)的誤差不超過千件，則認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的，試問（1）中所得到的回歸直線方程是否理想？參考公式：回歸直線方程，其中.參考數(shù)據(jù)：，.【解析】（1）因為，，所以，得，于是關(guān)于的回歸直線方程為；（2）當(dāng)時，，則，故可以認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·福建福州·高二福州三中?？计谥校┫铝姓f法正確的是（

）A．在統(tǒng)計學(xué)中，回歸分析是檢驗兩個分類變量是否有關(guān)系的一種統(tǒng)計方法B．線性回歸方程對應(yīng)的直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點中的一個點C．在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高D．在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)為0.95的模型比相關(guān)指數(shù)為0.78的模型擬合的效果差【答案】C【解析】對于A，統(tǒng)計學(xué)中，獨立性檢驗是檢驗兩個分類變量是否有關(guān)系的一種統(tǒng)計方法，所以A錯；對于B，線性回歸方程對應(yīng)的直線可能不過任何一個樣本數(shù)據(jù)點，所以B錯誤；對于C，殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高，所以C正確；對于D，回歸分析中，相關(guān)指數(shù)為的模型比相關(guān)指數(shù)為的模型擬合的效果好，所以D錯誤.故選：C2．（2023·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期中）在對兩個變量x，y進行回歸分析時有下列步驟：①對所求出的回歸方程作出解釋；②收集數(shù)據(jù)(xi，yi)，i＝1,2，…，n；③求回歸方程；④根據(jù)所收集的數(shù)據(jù)繪制散點圖．則下列操作順序正確的是（

）A．①②④③ B．③②④① C．②③①④ D．②④③①【答案】D【解析】根據(jù)回歸分析的思想，可知對兩個變量x，y進行回歸分析時，應(yīng)先收集數(shù)據(jù)(xi，yi)，然后繪制散點圖，再求回歸方程，最后對所求的回歸方程作出解釋．故選：D3．（2023·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）某校課外學(xué)習(xí)小組研究某作物種子的發(fā)芽率和溫度（單位：）的關(guān)系，由實驗數(shù)據(jù)得到如圖所示的散點圖.由此散點圖判斷，最適宜作為發(fā)芽率和溫度的回歸方程類型的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由散點圖可見，數(shù)據(jù)分布成遞增趨勢，但是呈現(xiàn)上凸效果，即增加緩慢.A中，是直線型，均勻增長，不符合要求；B中，是二次函數(shù)型，圖象呈現(xiàn)下凸，增長也較快，不符合要求；C中，是指數(shù)型，爆炸式增長，增長快，不符合要求；D中，是對數(shù)型，增長緩慢，符合要求.故對數(shù)型最適宜該回歸模型.故選：D.4．（2023·福建福州·高二福建省福州第一中學(xué)?？计谀┰谝唤M樣本數(shù)據(jù)，，，的散點圖中，若所有樣本點（，2，，7）都在曲線附近波動，經(jīng)計算，，，則實數(shù)（

）A．0.5 B．0.5 C．1 D．1【答案】A【解析】因為，，所以，解得.故選：A.5．（2023·河南南陽·高二統(tǒng)考期末）用模型擬合一組數(shù)據(jù)時，令，將其變換后得到回歸直線方程，則（

）A．e B． C． D．2【答案】D【解析】對兩邊同時取對數(shù)，則，令,則，所以，所以.故選：D.6．（2023·廣東江門·高二統(tǒng)考期末）下列說法：①樣本相關(guān)系數(shù)的取值范圍是；②以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則，的值分別是和0.3；③根據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)所得的回歸直線方程為中，，，，則；④若變量和滿足關(guān)系且變量與正相關(guān)，則與也正相關(guān)．其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】對于①，樣本相關(guān)系數(shù)的取值范圍是，故①錯誤；對于②，由，兩邊取對數(shù)，可得，令，可得，，，，，故②正確；對于③，回歸直線方程中，，，，則，故③正確；對于④，若變量和滿足關(guān)系，與負(fù)相關(guān)，又變量與正相關(guān)，則與負(fù)相關(guān)，故④錯誤；故選：B二、多選題7．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？计谀┫铝嘘P(guān)于回歸分析的說法中，正確的是（

）A．在回歸分析中，散點圖內(nèi)的散點大致落在一條從左下角到右上角的直線附近，我們稱兩個變量呈正相關(guān)B．在回歸分析中，殘差點所在的帶狀區(qū)域?qū)挾仍綄挘f明模型的擬合精度越高C．在回歸分析中，樣本數(shù)據(jù)中一定有樣本點D．決定系數(shù)越大，模型的擬合效果越好【答案】AD【解析】由散點大致落在一條從左下角到右上角的直線附近可知直線斜率為正，故兩個變量呈正相關(guān)，A正確；殘差點所在的帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸?，擬合精度越高，故B錯誤；為樣本中心點，不一定在樣本數(shù)據(jù)中，故C錯誤；決定系數(shù)越大，擬合效果越好，故D正確.故選：AD8．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高二統(tǒng)考期末）下列說法中，正確的命題有（

）A．在做回歸分析時，殘差圖中殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄，表示擬合效果越好B．線性經(jīng)驗回歸直線至少經(jīng)過樣本點，，…，中的一個C．若表示變量與之間的線性相關(guān)系數(shù)，表示變量與之間的線性相關(guān)系數(shù)，且，，則與之間的相關(guān)性強于與之間的相關(guān)性D．用模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出非線性經(jīng)驗回歸方程，設(shè)，求得線性經(jīng)驗回歸方程為，則，【答案】AD【解析】對于A，由殘差圖的特征可知，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合的精度越高，所以A正確.對于B，線性回歸方程必過樣本點的中心，不一定過樣本中的一個點，所以B錯誤.對于C，相關(guān)系數(shù)越大，說明線性相關(guān)性越強，反之，則越弱，，所以與之間的相關(guān)性更強，所以C錯誤.對于D，對模型兩邊同時取對數(shù)，則，與線性方程比較，可知，，故D正確故選:AD.9．（2023·山東濟南·高二統(tǒng)考期末）某同學(xué)將收集到的六對數(shù)據(jù)制作成散點圖如下，得到其經(jīng)驗回歸方程為，計算其相關(guān)系數(shù)為，決定系數(shù)為．經(jīng)過分析確定點F為“離群點”，把它去掉后，再利用剩下的五對數(shù)據(jù)計算得到經(jīng)驗回歸方程為，相關(guān)系數(shù)為，決定系數(shù)為．下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】由圖可知兩變量呈現(xiàn)正相關(guān)，故，，去掉“離群點”后，相關(guān)性更強，所以，故，故A正確，B不正確．根據(jù)圖象當(dāng)去掉F點后，直線的基本在A,B,C,D,E附近的那條直線上，直線的傾斜程度會略向軸偏向，故斜率會變小，因此可判斷，故C正確,D錯誤.故選：AC．10．（2023·福建福州·高三?？计谥校┫铝忻}正確的是（

）A．在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)越小，說明回歸效果越好B．已知，若根據(jù)2×2列聯(lián)表得到的觀測值為4.1，則有95%的把握認(rèn)為兩個分類變量有關(guān)C．已知由一組樣本數(shù)據(jù)（，2，，n）得到的回歸直線方程為，且，則這組樣本數(shù)據(jù)中一定有D．若隨機變量，則不論取何值，為定值【答案】BD【解析】對于A選項：在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)越大，說明回歸效果越好，故A錯誤；對于B選項：，若根據(jù)2×2列聯(lián)表得到的觀測值為4.1，則有的把握認(rèn)為兩個分類變量有關(guān)，故B正確；對于C選項：根據(jù)回歸直線方程為，由，得到是一個估計值，因此這組樣本數(shù)據(jù)不一定有，故C錯誤；對于D選項：若隨機變量，為對稱軸，則不論取何值，為定值，故D正確.故選：BD11．（2023·山東青島·高二統(tǒng)考期中）將兩個變量的對樣本數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中表示為散點圖，根據(jù)滿足一元線性回歸模型及最小二乘法，求得其經(jīng)驗回歸方程為，設(shè)為回歸直線上的點，則下列說法正確的是（

）A．越小，說明模型的擬合效果越好B．利用最小二乘法求出的線性回歸直線一定經(jīng)過散點圖中的某些點C．相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于，說明成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強D．通過經(jīng)驗回歸方程進行預(yù)報時，解釋變量的取值不能距離樣本數(shù)據(jù)的范圍太遠(yuǎn)，求得的預(yù)報值不是響應(yīng)變量的精確值【答案】CD【解析】A.當(dāng)所有時，，當(dāng)所有時，，顯然后者擬合效果好，故錯誤；B.利用最小二乘法求出的線性回歸直線一定經(jīng)過樣本中心，不一定經(jīng)過散點圖中的某些點，故錯誤；C.相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于，說明成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強，故正確；D.樣本取值會影響回歸方程的運用范圍，求得的預(yù)報值不是響應(yīng)變量的精確值，故正確；故選：CD12．（2023·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）在實際應(yīng)用中，用回歸方程中的估計回歸模型中的，下列說法正確的有（

）A．隨機誤差的方差越小，用預(yù)報真實值的精度越低B．越接近于1，線性回歸模型的擬合效果越好C．殘差平方和越大，線性回歸模型的擬合效果越差D．對于個樣本點，，…，，線性回歸直線過樣本點的中心【答案】BCD【解析】隨機誤差的方差越小，用預(yù)報真實值的精度越高，所以A選項錯誤；越接近于1，線性回歸模型的擬合效果越好，所以B選項正確；殘差平方和越大，線性回歸模型的擬合效果越差，所以C選項正確；對于個樣本點，，…，，線性回歸直線過樣本點的中心，所以D選項正確.故選：BCD13．（2023·廣東佛山·高二統(tǒng)考期末）2021年5月18日，《佛山市第七次全國人口普查公報》發(fā)布．公報顯示，佛山市常住人口為9498863人．為了進一步分析數(shù)據(jù)特征，某數(shù)學(xué)興趣小組先將近五次人口普查數(shù)據(jù)作出散點圖（橫坐標(biāo)為人口普查的序號，第三次普查記為1，……，第七次普查記為5，縱坐標(biāo)為當(dāng)次人口普查佛山市人口數(shù)），再利用不同的函數(shù)模型作出回歸分析，如下圖，以下說法正確的是（

）A．佛山市人口數(shù)與普查序號呈正相關(guān)關(guān)系B．散點的分布呈現(xiàn)出很弱的線性相關(guān)特征C．回歸方程2的擬合效果更好D．應(yīng)用回歸方程1可以預(yù)測第八次人口普查時佛山市人口會超過1400萬【答案】AC【解析】對于A：散點圖中的點的分布從左下方至右上方，故呈正相關(guān)關(guān)系，故A正確；對于B：利用模型1，樣本點基本分布在直線的兩側(cè)，故具有較強的線性相關(guān)特征，故B錯誤；對于C：因為，所以回歸方程2的擬合效果更好，故C正確；對于D：利用模型1，當(dāng)時，，故D錯誤；故選：AC14．（2023·湖南衡陽·高三衡陽市一中?？计谥校┫铝姓f法正確的有（

）A．函數(shù)的最小值為2．B．函數(shù)的零點所在的區(qū)間大致是．C．若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，則事件A與事件B互為對立事件D．以擬合一組數(shù)據(jù)時，經(jīng)代換后的經(jīng)驗回歸方程為，則【答案】CD【解析】對于A,由于，由不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號取得到，但是無解，故等號取不到，故函數(shù)的最小值不是2，故A錯誤，對于B，當(dāng)時，，當(dāng)時，，又均為上的單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)在上沒有零點，故B錯誤，對于C，A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，則事件A與事件B互為對立事件，故C正確，對于D，，所以，故D正確，故選：CD.15．（2023·福建三明·高三校聯(lián)考期中）下列說法正確的有（

）A．若事件與事件互斥，則事件與事件對立B．若隨機變量，則方差C．若隨機變量，，則D．以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則的值分別是和【答案】BCD【解析】由對立事件和互斥事件定義可得，對立事件是互斥的，互斥事件不一定對立，所以A選項錯誤；由二項分布可得，又由公式可得，所以B選項正確；正態(tài)分布，對稱軸，，得，又因為與關(guān)于對稱，所以，所以C選項正確；將兩邊同時取得，，與對應(yīng)，則，即，，所以D選項正確.故選：BCD三、填空題16．（2023·黑龍江大慶·高二鐵人中學(xué)校考期中）下列命題中結(jié)論正確的是________________.（1）對兩個變量進行回歸分析，若所有樣本點都在直線上，則；（2）對兩個變量進行回歸分析，以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則，的值分別是和；（3）某人投籃一次命中的概率為，某次練習(xí)他進行了20次投籃，每次投籃命中與否沒有影響，設(shè)本次練習(xí)他投籃命中的次數(shù)為隨機變量X，則當(dāng)取得最大值時，.（4）已知，則【答案】（2）（4）【解析】對于（1），對兩個變量進行回歸分析，若所有樣本點都在直線上，則，故（1）不正確；對于（2），由及得，所以，，故（2）正確；對于（3），依題意可知，，，假設(shè)最大，則，得，得，得，得，得，因為，所以或，所以當(dāng)取得最大值時，或，故（3）不正確；對于（4），由，兩邊對求導(dǎo)得，令，得，故（4）正確.故答案為：（2）（4）.17．（2023·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期末）若某地的財政收入x與支出y滿足線性回歸方程（單位：億元），其中，，．若今年該地區(qū)財政收入為10億元，則年支出預(yù)計不會超過________億元．【答案】10【解析】由題意得財政收入x與支出y滿足線性回歸方程為，其中，當(dāng)時，，因為，所以，所以今年該地區(qū)財政收入為10億元，則年支出預(yù)計不會超過10億元，故答案為：10四、解答題18．（2023·河北邯鄲·高二校考期中）已知關(guān)于的一組有序數(shù)對分別為，，，，，，，對應(yīng)的散點圖如下．（1）根據(jù)散點圖，判斷（，）和（，）中哪個模型的擬合效果更好；（2）請用你在（1）中選出的模型對變量，的關(guān)系進行擬合，求出關(guān)于的回歸方程．參考數(shù)據(jù)：，，，．參考公式：在線性回歸方程中，，．【解析】（1）根據(jù)散點圖判斷，用（，）的擬合效果更好．（2）根據(jù)進行擬合，兩邊同時取對數(shù)得，故，則．因為，，，，所以．把代入，得，所以，，則，即關(guān)于的回歸方程為．19．（2023·新疆哈密·高二校考期末）哈三中高二數(shù)學(xué)備課組對學(xué)生的記憶力和判斷力進行統(tǒng)計分析，所得數(shù)據(jù)如下表所示：468102356（1）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；（2）根據(jù)（1）中求出的線性回歸方程，預(yù)測記憶力為9的學(xué)生的判斷力.（參考公式：，）【解析】（1）由表中數(shù)據(jù)可得，，，所以，所以，所以關(guān)于的線性回歸方程為，（2）當(dāng)時，，所以記憶力為9的學(xué)生的判斷力約為5.420．（2023·山西太原·高二統(tǒng)考期中）下表是某公司從2014年至2020年某種產(chǎn)品的宣傳費用的近似值（單位：千元）年份2014201520162017201820192020年份代號x1234567該種產(chǎn)品的宣傳費用y59.364.168.874.082.190.099.1以x為解釋變量，y為預(yù)報變量，若以為回歸方程，則相關(guān)指數(shù)；若以為回歸方程，則相關(guān)指數(shù)．（1）判斷與，哪一個更適合作為該種產(chǎn)品的宣傳費用的近似值y關(guān)于年份代號x的回歸方程，并說明理由；（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于年份代號x的回歸方程（系數(shù)精確到0.1）．參考數(shù)據(jù)：．參考公式：．【解析】（1）更適合作為該種產(chǎn)品的宣傳費用的近似值y關(guān)于年份代號x的回歸方程．因為越大，說明模型的擬合效果越好．（2）由表格中數(shù)據(jù)有，，則．21．（2023·遼寧沈陽·高二東北育才雙語學(xué)校?？计谥校閷嵤┼l(xiāng)村振興，科技興農(nóng)，某村建起了田園綜合體，并從省城請來專家進行技術(shù)指導(dǎo)．根據(jù)統(tǒng)計，該田園綜合體西紅柿畝產(chǎn)量的增加量（千克）與某種液體肥料每畝使用量（千克）之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如下.（千克）24568（千克）300400400400500（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請計算相關(guān)系數(shù)并加以說明（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）；（2）求關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測當(dāng)液體肥料每畝使用量為15千克時，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少千克?附：相關(guān)系數(shù)公式，參考數(shù)據(jù)：．回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．【解析】（1）由已知數(shù)據(jù)可得，，所以，，，所以相關(guān)系數(shù)．因為，所以可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．（2），，所以回歸方程為．當(dāng)時，，即當(dāng)液體肥料每畝使用量為15千克時，西紅柿由產(chǎn)量的增加量約為700千克．22．（2023·福建南平·高二統(tǒng)考期末）某服裝企業(yè)采用服裝個性化設(shè)計為客戶提供服務(wù)，即由客戶提供身材的基本數(shù)據(jù)用于個人服裝設(shè)計．該企業(yè)為了設(shè)計所用的數(shù)據(jù)更精準(zhǔn)，隨機地抽取了10位男子的身高和臂長的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)如下表所示：身高164165168172173176178181182191臂長160164161170175181170182180187（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求男子的身高預(yù)報臂長的線性回歸方程，并預(yù)報身高為170cm的男子的臂長（男子臂長計算結(jié)果精確到0.01）；（2）統(tǒng)計學(xué)認(rèn)為，兩個變量、的相關(guān)系數(shù)r的大小可表明兩變量間的相關(guān)性強弱．一般地，如果|r|[0.75，1]，那么相關(guān)性很強；如果|r|[0.30，0.75)，那么相關(guān)性一般；如果|r|[0，0.30)，那么沒有相關(guān)性．求出r的值，并判斷變量x?y的相關(guān)性強弱（結(jié)果精確到0.01）．附：線性回歸方程其中，，，，，，，【解析】（1），由，得所以所求線性回歸方程為當(dāng)時，所以身高為170cm的男性臂長約為（2），因為r[0.75，1]，所以變量間的相關(guān)性很強．23．（2023·河南駐馬店·高一統(tǒng)考期末）寧夏西海固地區(qū)，在1972年被聯(lián)合國糧食開發(fā)署確定為最不適宜人類生存的地區(qū)之一.為改善這一地區(qū)人民生活的貧困狀態(tài)，上世紀(jì)90年代，黨中央和自治區(qū)政府決定開始吊莊移民，將西海固地區(qū)的人口成批地遷移到更加適合生活的地區(qū).為了幫助移民人口盡快脫貧，黨中央作出推進東西部對口協(xié)作的戰(zhàn)略部署，其中確定福建對口幫扶寧夏，在福建人民的幫助下，原西海固人民實現(xiàn)了快速脫貧，下表是對2016年以來近5年某移民村莊100位移民的年人均收入的統(tǒng)計：年份20162017201820192020年份代碼12345人均年收入（千元）1.32.85.78.913.8現(xiàn)要建立關(guān)于的回歸方程，有兩個不同回歸模型可以選擇，模型一：；模型二：，即使畫出關(guān)于的散點圖，也無法確定哪個模型擬合效果更好，現(xiàn)用最小二乘法原理，已經(jīng)求得模型二的方程為.（1）請你用最小二乘法原理，結(jié)合下面的參考公式求出模型一的方程（計算結(jié)果保留到小數(shù)點后一位）；（2）請你用最小二乘法原理，比較哪個模型擬合效果更好，已經(jīng)計算出模型二的參考數(shù)據(jù)為.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為，.【解析】（1）根據(jù)題給數(shù)據(jù)計算得：，根據(jù)參考公式有：所以模型一的回歸方程為：（2）由模型一的回歸方程可得：.因為所以模型二的擬合效果更好.24．（2023·福建泉州·高二晉江市第一中學(xué)?？计谥校┠称嚬緮M對“東方紅”款高端汽車發(fā)動機進行科技改造，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到科技改造投入x（億元）與科技改造直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：x2346810132122232425y1222314250565868.56867.56668當(dāng)時，建立了y與x的兩個回歸模型：模型①：；模型②：；當(dāng)時，確定y與x滿足的經(jīng)驗回歸方程為：．（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)時模型①、②的相關(guān)指數(shù)，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測對“東方紅”款汽車發(fā)動機科技改造的投入為16億元時的直接收益．回歸模型模型①模型②回歸方程182.479.2（附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)）（2）為鼓勵科技創(chuàng)新，當(dāng)科技改造的投入不少于20億元時，國家給予公司補貼收益10億元，以回歸方程為預(yù)測依據(jù)，比較科技改造投入16億元與20億元時公司實際收益的大?。ǜ剑河米钚《朔ㄇ蠼?jīng)驗回歸方程的系數(shù)公式）【解析】由表格中的數(shù)據(jù)，有，即，可見模型①的相關(guān)指數(shù)小于模型②的相關(guān)指數(shù).說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好．所以當(dāng)億元時，科技改造直接收益的預(yù)測值為：（億元）．由已知可得：，，當(dāng)億元時，y與x滿足的經(jīng)驗回歸方程為：，當(dāng)億元時，科技改造直接收益的預(yù)測值，當(dāng)億元時，實際收益的預(yù)測值為億元億元，科技改造投入20億元時，公司的實際收益更大．25．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？计谀┠成虉鰧ι唐方斓匿N售情況進行整理，得到如下數(shù)據(jù)，經(jīng)統(tǒng)計分析，日銷售量(件)與時間(天)之間具有線性相關(guān)關(guān)系.時間()日銷售量()（1）請根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法原理求出關(guān)于的線性回歸方程.（2）已知商品近天內(nèi)的日銷售價格(元)與時間(天)的關(guān)系為.根據(jù)（1）中求出的線性回歸方程，預(yù)測為何值時，商品的日銷售額最大.(參考公式，)【解析】（1）根據(jù)題意，，，所以回歸系數(shù)為：，，故所求的線性回歸方程為；

（2）由題意日銷售額為；

當(dāng)，時，，即當(dāng)時，(元)；

當(dāng)，時，，即當(dāng)時，(元)，

綜上所述，當(dāng)時，(元)，所以估計天時，商品的日銷售額最大，為元.26．（2023·山西·高二統(tǒng)考期中）某生產(chǎn)制造企業(yè)統(tǒng)計了近10年的年利潤（千萬元）與每年投入的某種材料費用（十萬元）的相關(guān)數(shù)據(jù)，作出如下散點圖：選取函數(shù)作為每年該材料費用和年利潤的回歸模型.若令，則，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：31.5151549.5(1)求出與的回歸方程；(2)計劃明年年利潤額突破1億，則該種材料應(yīng)至少投入多少費用？（結(jié)果保留到萬元）參考數(shù)據(jù)：.【解析】（1）因為由表中數(shù)據(jù)得，所以，所以，所以年該材料費用和年利潤額的回歸方程為；（2）令，得，所以（十萬），故下一年應(yīng)至少投入498萬元該材料費用.27．（2023·浙江嘉興·高三嘉興一中校考期中）根據(jù)中國海洋生態(tài)環(huán)境狀況公報，從2017年到2021年全國直排海污染物中各年份的氨氮總量（單位：千噸）與年份的散點圖如下：記年份代碼為，，對數(shù)據(jù)處理后得：60.51.52107617(1)根據(jù)散點圖判斷，模型①與模型②哪一個適宜作為關(guān)于的回歸方程？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果，建立關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測2022年全國直排海污染物中的氨氮總量（計算結(jié)果精確到整數(shù)）.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.【解析】（1）根據(jù)散點圖的趨勢，可知模型②適宜作為關(guān)于的回歸方程．（2），.故關(guān)于的回歸方程為，即關(guān)于的回歸方程為，2022年對應(yīng)的年份代碼為，，故預(yù)計2022年全國直排海污染物中的氨氮總量為3噸．28．（2023·福建三明·高二統(tǒng)考期末）在國家大力發(fā)展新能源汽車產(chǎn)業(yè)的政策下，我國新能源汽車的產(chǎn)銷量高速增長.已知某地區(qū)2014年底到2021年底新能源汽車保有量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表如下：年份（年）20142015201620172018201920202021年份代碼x12345678保有量y/千輛1.952.924.386.589.8715.0022.5033.70參考數(shù)據(jù)：，，其中(1)根據(jù)統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)畫出散點圖（如圖），請判斷與哪一個更適合作為y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程（給出判斷即可，不必說明理由），并根據(jù)你的判斷結(jié)果建立y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程：(2)假設(shè)每年新能源汽車保有量按（1）中求得的函數(shù)模型增長，且傳統(tǒng)能源汽車保有量每年下降的百分比相同.若2021年底該地區(qū)傳統(tǒng)能源汽車保有量為500千輛，預(yù)計到2026年底傳統(tǒng)能源汽車保有量將下降10%.試估計到哪一年底新能源汽車保有量將超過傳統(tǒng)能源汽車保有量.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，v1），），…，，其經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，；【解析】（1）根據(jù)該地區(qū)新能源汽車保有量的增長趨勢知，應(yīng)選擇的函數(shù)模型是，令，則因為，所