專題12 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）（考點(diǎn)清單）（解析版）

專題12導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）（考點(diǎn)清單）目錄TOC\o"1-3"\h\u一、思維導(dǎo)圖 2二、知識(shí)回歸 2三、典型例題講與練 3考點(diǎn)清單：01判斷（證明、討論）函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）的個(gè)數(shù) 3【考試題型1】判斷函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）的個(gè)數(shù) 3【考試題型2】證明函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）的唯一性 5【考試題型3】討論函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）的個(gè)數(shù) 6考點(diǎn)清單：02利用極值（最值）研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根） 9【考試題型1】利用極值（最值）研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根） 9考點(diǎn)清單：03數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根） 12【考試題型1】數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根） 12考點(diǎn)清單：04利用同構(gòu)函數(shù)法研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根） 16【考試題型1】利用同構(gòu)函數(shù)法研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根） 16一、思維導(dǎo)圖二、知識(shí)回歸知識(shí)點(diǎn)01：函數(shù)的零點(diǎn)（1）函數(shù)零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)，把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)．（2）三個(gè)等價(jià)關(guān)系方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)函數(shù)有零點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)02：函數(shù)零點(diǎn)的判定如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是的根．我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點(diǎn)存在性定理．注意：?jiǎn)握{(diào)性+存在零點(diǎn)=唯一零點(diǎn)三、典型例題講與練：01判斷（證明、討論）函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）的個(gè)數(shù)【考試題型1】判斷函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）的個(gè)數(shù)【解題方法】求導(dǎo)+畫圖【典例1】（2023上·北京石景山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】的定義域?yàn)?，由題意可得，因?yàn)閱握{(diào)遞增且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以存在唯一一點(diǎn)使得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以至多有兩個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)?，，所以?個(gè)零點(diǎn)，故選：C【典例2】（2022上·天津南開(kāi)·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是．【答案】2【詳解】，畫出與的圖象如下圖所示，當(dāng)時(shí)，，，所以在曲線圖象上點(diǎn)的切線方程為，即.由圖可知與有兩個(gè)公共點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn).故答案為：

【專訓(xùn)1-1】（2023下·北京·高二北京市第一六六中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】的定義域?yàn)镽，且，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，故函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.故選：C【專訓(xùn)1-2】（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以不是函數(shù)的零點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以為偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，，，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在時(shí)取得最大值，所以當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn)，又函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以在時(shí)，還有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：A【考試題型2】證明函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）的唯一性【解題方法】零點(diǎn)存在定理+單調(diào)性【典例1】（2022·四川·高三統(tǒng)考對(duì)口高考）已知a，b為實(shí)數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)．(1)求a，b的值；(2)證明：函數(shù)有唯一零點(diǎn)．【答案】(1)，；(2)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）因函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則，，因此，恒成立，所以.（2）由（1）知，，，在上單調(diào)遞增，則函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，又，所以函數(shù)有唯一零點(diǎn)．【典例2】（2022上·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）因?yàn)?，且，，所以切線方程為，即所求切線方程為．（2）．因?yàn)?，所以，，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以在上是減函數(shù)，且，所以在上僅有一個(gè)零點(diǎn)．【專訓(xùn)1-1】（2022下·河南南陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)求證：函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，并求出此零點(diǎn)；【答案】(1)證明見(jiàn)解析，零點(diǎn)為0【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，而，故在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．所以，，即．故在上是單調(diào)遞增的．又因?yàn)?，因此，函?shù)有唯一的零點(diǎn)，零點(diǎn)為0．【考試題型3】討論函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）的個(gè)數(shù)【解題方法】分類討論法+圖象【典例1】（2022上·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)設(shè)，求在區(qū)間上的最值；(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)最大值為，最小值為(2)在上有兩個(gè)零點(diǎn)【詳解】（1）因?yàn)?，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取最大值；當(dāng)時(shí)，取最小值.（2）先討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，由（1）可知，在上遞減，，所以在上遞減，因?yàn)?，所以在上有唯一零點(diǎn)，又因?yàn)?，所以是偶函?shù)，所以在上有兩個(gè)零點(diǎn).【典例2】（2022下·山東青島·高二山東省萊西市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】答案見(jiàn)解析【詳解】由得，設(shè)，

則，令，得，此時(shí)單調(diào)遞增，令，得，此時(shí)單調(diào)遞減，即當(dāng)時(shí)，g(x)取得極大值即，由，單調(diào)遞增，可得與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，由，單調(diào)遞減，可得與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，畫出的大致圖象如圖，可得m≤0或m=時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0<m<時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)m>時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)m≤0或m=時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0<m<時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)m>時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn).【專訓(xùn)1-1】（2022下·山東菏澤·高二統(tǒng)考期中）已知函數(shù).(1)求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；(2)判斷函數(shù)f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)2個(gè)零點(diǎn)，理由見(jiàn)解析.【詳解】（1）由，而，所以該函數(shù)在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為：；（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，由?）可知：，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)椋院瘮?shù)在時(shí)有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)椋院瘮?shù)在時(shí)有唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)f（x）有個(gè)零點(diǎn).【專訓(xùn)1-2】（2019上·吉林長(zhǎng)春·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù),．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí),判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)2【詳解】(1),故當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),令,得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)設(shè),則,令,解得,當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；故最大值為，所以有且只有一個(gè)零點(diǎn).：02利用極值（最值）研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）【考試題型1】利用極值（最值）研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）【解題方法】極值，最值【典例1】（2022上·貴州遵義·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)在處取得極值2．(1)求的值；(2)若方程有三個(gè)相異實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)【詳解】（1），依題意，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，，符合題意，，的值分別為，；（2）由（1）可得，，方程有三個(gè)相異實(shí)根，即的圖象與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，，令，解得或，令，解得，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．【典例2】（2023上·山西晉中·高三介休一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值.(1)若在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若時(shí)，方程有兩個(gè)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，則，因?yàn)闀r(shí)，取到極值，所以，解得.又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值，符合題意.要使在上為增函數(shù)，則或，所以或.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）令，由（1）得，且，故，，則，當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，故，而，，故.要使有兩個(gè)根，則.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【專訓(xùn)1-1】（2023上·天津?yàn)I海新·高三天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間、最值．(3)設(shè)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求的范圍.【答案】(1)；(2)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；最大值為，最小值為；(3).【詳解】（1）由題意知，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）由得，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞減.所以函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.所以，又，，所以.（3）在上有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)不等根，由（2）知.【專訓(xùn)1-2】（2023上·西藏林芝·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求的函數(shù)值；(2)若有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)7(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，,則.（2）,若，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；若，令，解得或，令，解得，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，只需，即，解得，綜上，.：03數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）【考試題型1】數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）【解題方法】數(shù)形結(jié)合【典例1】（2023下·四川樂(lè)山·高二期末）已知函數(shù)．(1)求的極值；(2)求方程有兩個(gè)不同的根，求的取值范圍．【答案】(1)極小值為，無(wú)極大值(2)【詳解】（1）∵，∴的定義域?yàn)椋?，令，解得．則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．∴當(dāng)時(shí)，有極小值，沒(méi)有極大值.（2）∵時(shí)，，時(shí)，，則的圖象如下：

由圖象可知，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的根.故的取值范圍為．【典例2】（2022上·安徽·高三碭山中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)若x=0為函數(shù)的極值點(diǎn)，且函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）依題意，故；而，故，又故所求切線方程為；（2）令，則；，.而，解得，經(jīng)檢驗(yàn)成立所以，故函數(shù)的定義域?yàn)镽；令，解得或；故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；而，，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出的大致圖象如圖所示，觀察可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為【專訓(xùn)1-1】（2022上·貴州六盤水·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求的極值；(2)若在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)極小值，無(wú)極大值；(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以時(shí)，函數(shù)取到極小值，無(wú)極大值；（2）令，可得，記，原問(wèn)題等價(jià)于的圖象與直線有唯一的交點(diǎn)，，在上單調(diào)遞增，且，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，當(dāng)，做出函數(shù)圖象：由圖可知，當(dāng)或時(shí)，的圖象與直線有唯一的交點(diǎn)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【專訓(xùn)1-2】（2022下·廣東佛山·高二校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值.(2)若關(guān)于的方程有唯一的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，，極小值為0，極大值為.(2)【詳解】（1），由得或，由得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，.極小值為，極大值為.（2）方程有唯一的實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)與直線有唯一的交點(diǎn)，畫出的大致圖像如圖所示，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.：04利用同構(gòu)函數(shù)法研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）【考試題型1】利用同構(gòu)函數(shù)法研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）【解題方法】同構(gòu)函數(shù)【典例1】（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）已知是函數(shù)在定義域上的導(dǎo)函數(shù)，且，，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的最小值為．【答案】1【詳解】在中，，∴，∴∴（c為常數(shù)），由，解得：，∴，若在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，整理可得：，設(shè)，，令，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，，所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)即存在，使，設(shè)，，令，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，，所以，故m最小值為1,故答案為：1【典例2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【詳解】，令，，顯然該函數(shù)單調(diào)遞增，即有兩個(gè)根，即有兩個(gè)根，如下圖，作出函數(shù)的圖像及其過(guò)原點(diǎn)的切線，可知當(dāng)時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)即有兩個(gè)根．故答案為：.【專訓(xùn)1-1】（2023上·福建龍巖·高三上杭一中?？茧A段練習(xí)）已知，若關(guān)于的方程存在正零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【詳解】依題意，，令，因此關(guān)于的方程存在正零點(diǎn)，即方程有解，設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，于是，而，則存在唯一零點(diǎn)，即在有解，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【專訓(xùn)1-2】（2023下·貴州六盤水·高二統(tǒng)考期末）若有且只有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)．【答案】【詳解】設(shè)，則，①當(dāng)時(shí)，顯然恒成立，無(wú)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，令，