陜西省漢中市普通高中聯(lián)盟學(xué)校2023-2024學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)期中聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題含答案

漢中市2023年普通高中聯(lián)盟學(xué)校高三聯(lián)考

理科數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1、試卷分為第I卷（選擇題）和第H卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分

鐘，共4頁(yè).

2、答第I卷時(shí)考生務(wù)必在每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案

3、第n卷答在答題卡的相應(yīng)位置上，否則視為無(wú)效答題前考生務(wù)必將自己的班級(jí)、姓名、學(xué)

號(hào)、考號(hào)座位號(hào)填寫清楚.

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合1吠兀11J,貝（）

A[0,3]B.（1,3]C.（0,3]D.｛1,2,3｝

2.已知非零向量Z,反屋則“鼠工是“Z=Z產(chǎn)的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

3.已知sinQ?|',則cos（兀-2a）=（）

771212

A.——B.—C.——D.——

25252525

4.在遞增的等差數(shù)列｛%｝中，首項(xiàng)為3,若見(jiàn),%,%+6依次成等比數(shù)列，則｛%｝的公差為（）

.3

A.—3B.一C.3D.—

22

5.下列函數(shù)中，最小值為2的是（）

2XTX2+3

A.y=x+—B.j7=e+ec.y-i-D.

.X4x^2

1L兀）

y=smx+------0<x<—

sinxI2）

的圖像大致為（）

7.《算數(shù)書》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典

籍，其中記載有求“蓋”的術(shù)：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.該術(shù)相當(dāng)于給出了有圓錐的底

面周長(zhǎng)上與高〃，計(jì)算其體積廠的近似公式「土一I?//.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率兀近似取

36

3,

為3.那么近似公式廠”一￡2人相當(dāng)于將圓錐體積公式中的兀近似取為（）

113

1135728355

A.----B.—C.—D.-----

36189113

8.若/是拋物線V=2力（夕>0）位于第一象限的點(diǎn)，廠是拋物線的焦點(diǎn)，=則直線MF的斜

率為（）

5545

A.—B.—C.-D.一

4332

9.“仁義禮智信”為儒家“五?！庇煽鬃犹岢觥叭?、義、禮”，孟子延伸為“仁、義、禮、智”，董仲舒擴(kuò)充為

“仁、義、禮、智、信”.將“仁義禮智信”排成一排，其中“仁、義、禮”保持順序不變的概率為（）

1111

A.—B.—C.—D.一

2010156

21

10.設(shè)Q=—。=一，貝1」()

3b一C兀

A.b<c<aB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

11.已知?！?,函數(shù)/(%)=sincoxcos(ox+cos2在單調(diào)遞減，則0的取值范圍為（

-15-、"I3一c11r15-

A.——B.一,一

?2'8一\_24j14」[48」

12.已知函數(shù)/（x）（xeR）滿足〃2x+l）為奇函數(shù)，若函數(shù)y=sin/與y=/（x）的圖象的交點(diǎn)為

,每‘％）‘…,（七"，〃）,則+%）等于（）

A.0B.mC.2mD.4m

第n卷（非選擇題，共90分）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.復(fù)數(shù)-T的虛部為

1+1

14.三棱錐S—N8C中，￡4,平面A48C,A48C為直角三角形，AB1BC,AB=BC=l,

SA=2,則三棱錐S-ABC的外接球的體積為.

15.若邑為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，且S,=2a,+l("eN*),則下列結(jié)論正確的是.(填序號(hào))

①例=—16；②$5=-63；③數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列；④數(shù)列｛S“+l｝是等比數(shù)列.

16.已知。>0,若對(duì)任意的不等式儂—蛆R20恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

U)2a

三、解答題：本題共6小題，共70分.

(一)必考題：共5小題，每小題12分，共60分

17.A4SC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,sin2C-sin2A+sin2B=sinBsinC.

(1)求A；

(2)若c<6,b+c^s[la>求sinC.

18.如圖所示多面體48CDEE中，平面/DEL平面48C0,平面48C0,V4DE是正三角形,

四邊形4SCD是菱形，AB=2,CF=5ZBAD=~.

3

(1)求證：CF〃平面NDE；

(2)求點(diǎn)E到平面4D9的距離.

19.為了檢查工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，隨機(jī)抽取了部分產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示.

(1)求。的值以及這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率：(注：產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)達(dá)到130及以上為優(yōu)質(zhì)品);

(2)若按照分層的方法從質(zhì)量指標(biāo)值在[110,130)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取7件，再?gòu)倪@7件中隨機(jī)抽取2件,

求至少有一件的指標(biāo)值在［120,130)的概率；

(3)以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽出4件，記這4件中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)為

X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

20.己知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為±+}=1(。〉6〉0),橢圓過(guò)點(diǎn)(0,2)且離心率6=也.

ab2

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線/：＞=左(》-1)(左》0)與C相交于A,B兩點(diǎn)，過(guò)C上的點(diǎn)尸作x軸的平行線交線段4g于點(diǎn)

Q,直線OP的斜率為左'(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，若14PH5。|=忸判斷左是否為定值？并說(shuō)明

理由.

X

21已知函數(shù)/(x)=—,g(x)=lnx-x.

*X

(1)求函數(shù)g(x)的極值；

(2)若力(x)=/(x)—g(x),求函數(shù)〃(x)的最小值；

(3)若A(x)=a有兩個(gè)零點(diǎn)不，X2,證明：x1x2＜1.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一題

計(jì)分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.已知曲線G的直角坐標(biāo)方程為必一/=4,以直角坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐

標(biāo)系，曲線。2的極坐標(biāo)方程為夕=4cos"

(1)求G的極坐標(biāo)方程和02的直角坐標(biāo)方程；

(2)若曲線，=2(夕〉0)與曲線G、曲線g分別交于兩點(diǎn)A、B,點(diǎn)尸(4,0),求△尸4S的面積.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知。、6均為正數(shù)，設(shè)/(x)=6—卜+4-H一4；

(1)當(dāng)。=1,6=2時(shí)，求不等式/(力＞0的解集；

(2)若/(x)的最大值為3,求工+工的最小值.

ab

漢中市2023年普通高中聯(lián)盟學(xué)校高三聯(lián)考

理科數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1、試卷分為第I卷（選擇題）和第H卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分

鐘，共4頁(yè).

2、答第I卷時(shí)考生務(wù)必在每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案

3、第n卷答在答題卡的相應(yīng)位置上，否則視為無(wú)效答題前考生務(wù)必將自己的班級(jí)、姓名、學(xué)

號(hào)、考號(hào)座位號(hào)填寫清楚.

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合"={"2=1辦},8={X|X<3},則/5=（）

A.[0,3]B,（1,3]C.（0,3]D,{1,2,3}

【答案】C

【解析】

【分析】求對(duì)數(shù)函數(shù)定義域，并結(jié)合集合的交運(yùn)算即可.

【詳解】因?yàn)閆={x|x>0},所以2口5={刈0<》<3}.

故選C.

2.2知非零向量反屋則“鼠"=書.工”是“Z=的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D,既不充分又不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】考慮兩者之間的推出關(guān)系后可得兩者之間的條件關(guān)系.

【詳解】如圖所示，況=①礪=瓦*=*加=@—當(dāng)/BLOC時(shí)，萬(wàn)一3與"垂直，

第所以c成立，此時(shí)

???7；/；「不是1=B的充分條件，

當(dāng)方=3時(shí)，5一3=0，；?。―，，c=O，c=。，???〃；―/；「成立，

，"；/；.;是g=B的必要條件,

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及倍角公式求解.

[67

【詳解】cos（兀―2a）=-cos2a=2sin2a-l=2x---1=一,

v'2525

故選：B

4.在遞增的等差數(shù)列｛a“｝中，首項(xiàng)為3,若%,%，%+6依次成等比數(shù)列，則｛4｝的公差為（

33

A.-3B.-C.3D.——

22

【答案】C

【解析】

【分析】運(yùn)用等比中項(xiàng)性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d（2〉0）,

由題意知，。；=。1（%+6）,%=3,

所以（《+2d了=%（q+6d+6）,即（3+2d>=3x（9+6d）,

3

解得1=3或4=——，

2

因?yàn)閐>0，

所以4=3.

故選：c.

5.下列函數(shù)中，最小值為2的是()

2%/+3

A.y=x-1—B.y=c+eC.y=>-D.

%A/X?+2

1fn娟

y=sinx+---0<x<—

sinx<2)

【答案】B

【解析】

【分析】運(yùn)用基本不等式及對(duì)勾函數(shù)依次求各項(xiàng)的最小值即可.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)x<0時(shí)，x+-<-2.￡3=-2V2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2即x=—行時(shí)取等號(hào)，當(dāng)

X\Xx

x>0時(shí)，x+->2.x--=2V2,當(dāng)且僅當(dāng)》=2即了=拒時(shí)取等號(hào)，故A項(xiàng)不成立；

X\Xx

對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?>0，-工〉0,所以刀+-,22,6、7=2,當(dāng)且僅當(dāng)e*=即x=0時(shí)取等號(hào),

故B項(xiàng)成立；

對(duì)于C項(xiàng)，令/=，肌+2(，之&),貝丘2=r-2,

所以y=：+3

t>V2>

由對(duì)勾函數(shù)可知，>=7+1在［&,+oo)上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)/=夜時(shí)，>=/+；取得最小值為J51372

+/F故C項(xiàng)不成立;

對(duì)于D項(xiàng)，令，=sinx(0</<1),則天=，+；,

由對(duì)勾函數(shù)可知，y=/+；在(0,1)上單調(diào)遞減，

11兀

所以〉=f+-的值域?yàn)?2,+8),此時(shí)函數(shù)了=5也》+——在(0,一)上無(wú)最小值，故D項(xiàng)不成立.

tsmx2

故選：B.

6.函數(shù)/(x)=|x|+浮的圖像大致為()

X

【分析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除部分選項(xiàng)，再由特殊值判斷.

【詳解】因?yàn)?(—X)=卜+c：s(：)=國(guó)+=/(x)為偶函數(shù),排除CD；

(r)x

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=x+^|^,且Xf+co時(shí)，+00,所以A正確，B錯(cuò)誤;

JC

故選：A

7.《算數(shù)書》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典

籍，其中記載有求“蓋”的術(shù)：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.該術(shù)相當(dāng)于給出了有圓錐的底

1

面周長(zhǎng)上與高〃，計(jì)算其體積V的近似公式V?—I}9h.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率兀近似取

36

3,

為3.那么近似公式「a—片〃相當(dāng)于將圓錐體積公式中的兀近似取為()

113

1135728355

A.---B.—C.—D.---

36189113

【答案】A

【解析】

【分析】由圓錐的體積公式計(jì)算即可.

1L3,13,113

【詳解】由題意知，r=-7l(—9)2/z?—Z2/z,即——?—所CCI以兀y二^.

32兀11312兀11336

故選：A.

8.若M是拋物線產(chǎn)=28(？>0)位于第一象限的點(diǎn)，咒是拋物線的焦點(diǎn)，|"刊=:夕，則直線板的斜

率為()

5545

A.-B.—C.-D.一

4332

【答案】c

【解析】

【分析】由拋物線的定義可求得巧,=2P，結(jié)合拋物線方程即可求得力,=22，運(yùn)用兩點(diǎn)斜率公式計(jì)算即

可.

【詳解】由題知，尸(3,0)，拋物線的準(zhǔn)線方程為X=-弓，設(shè)

由拋物線的定義知，“*+勺畔f+勺所以”2口，

所以=2PXM=4夕2,

又因?yàn)镸位于第一象限，所以y“=2p,

所以/(2p,2p),

_2^-0_4

所以此二一F=3.

2/7--

2

故選：C.

9.“仁義禮智信”為儒家“五?！庇煽鬃犹岢觥叭省⒘x、禮”，孟子延伸為“仁、義、禮、智”，董仲舒擴(kuò)充為

“仁、義、禮、智、信”.將“仁義禮智信”排成一排，其中“仁、義、禮”保持順序不變的概率為()

1111

A.—B.—C.—D.一

2010156

【答案】D

【解析】

【分析】選將“仁、義、禮”放好保持順序不變，將“智”、“信”依次插空放入共有20種方法，所有排法共

有A；種方法，根據(jù)古典概型求解概率.

【詳解】選將“仁、義、禮”放好保持順序不變，將“智”插空放入有4種方法，將“信”插空放入有5種

方法，共有20種方法，

將“仁義禮智信”排成一排共有A；種方法，

201

因此將“仁義禮智信”排成一排，其中“仁、義、禮”保持順序不變的概率為京=:

故選：D

121

10.設(shè)。=—,I_-3,C=—，貝U()

3°-e71

A.b<c<aB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

【答案】B

【解析】

【分析】運(yùn)用不等式的性質(zhì)和累函數(shù)單調(diào)性比較大小即可.

【詳解】因?yàn)?<兀，所以工〉工，即a〉c,

371

412211

又因?yàn)閑=—,(”)3<33,所以o</<3,所以下>§，即心"，

綜述：b>a>c.

故選：B.

II.已知。>0,函數(shù)/(x)=sinoxcosox+cos2ox在■，兀J單調(diào)遞減，則。的取值范圍為()

_L1J_3j_5

A.B.D.

2?8254458

【答案】D

【解析】

【分析】運(yùn)用降次公式及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)/(x)=*sin(20x+：)+g，結(jié)合］之兀一］、換元法及

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解即可.

【詳解】因?yàn)?(%)=sinoxcoscox+cos2a>x=~sin2a)x+1+=2^sin(2(z>x+￡)+g在

TT

(萬(wàn),兀)上單調(diào)遞減，

所以32兀一巴，即工2巴，

22G2

又①>0,所以0<刃(2,

八兀

令t—23ct)xH—,

4

7L7T7C

因?yàn)橐?lt;%<兀，0<0〈2,所以即+—<，<2g兀+—,

244

所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=*sin/+g在(。兀+；,2。兀+；)(0<?<2)上單調(diào)遞減,

TTJI

所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為；7=sin,在(GK+—,2G兀+—)(0<69<2)上單調(diào)遞減，

44

7T7T9兀兀7T1.,Ai、E、*、q.?_,、，,兀-.3兀_.

又一<。兀+—W—，—<2。兀+—W---,y=sin/單調(diào)遞減區(qū)間為(—卜2kji,----l_2E),keZ,

44444422

所以(0兀+：,20兀+；)三甘，當(dāng)〕

0<?<2

,7171

所以〈?7t+->-解得：Wa)<—.

4248

C，兀兀

2ccm+—/<3—

[42

故選：D.

12.已知函數(shù)/(x)(xeR)滿足/(2x+l)為奇函數(shù)，若函數(shù)y=sin7tx與y=/(x)的圖象的交點(diǎn)為

(xQi)，(x2,y2),(xm,ym),則二(石+%)等于()

A.0B.mC.2mD.4m

【答案】B

【解析】

【分析】由題意知，y=sin/與y=/(x)兩個(gè)圖象都關(guān)于(1,0)對(duì)稱，進(jìn)而可得兩個(gè)圖象的交點(diǎn)也關(guān)于

(1,0)對(duì)稱，進(jìn)而可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?(2x+l)為奇函數(shù)，所以〃-2x+l)=_/(2x+l),

所以〃x)關(guān)于(1,0)對(duì)稱，

因?yàn)門vc=kit,keZnx=k,keZ,

所以y=sin7tx的對(duì)稱中心為(左,0),keZ,

所以y=sin?tx也關(guān)于(1,0)對(duì)稱，

所以y=sin也與〉=/(x)兩個(gè)圖象的交點(diǎn)也關(guān)于(1,0)對(duì)稱，

所以對(duì)于每組對(duì)稱點(diǎn)(4匕)和均滿足x；+西=2，y'+v;=0>

所以XL(x")=ML玉+二送=2xT+°=根?

故選：B.

第n卷（非選擇題，共90分）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.復(fù)數(shù)的虛部為_(kāi)____.

1+1

【答案】—05

2

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則運(yùn)算出結(jié)果即可.

、11-il-i1i,1

【詳解】77i=（i+i）（i-i）_5，故所求虛部為_(kāi)萬(wàn).

故答案為：—.

2

14.三棱錐S—Z8C中，S4_L平面AZBC,為直角三角形，AB1BC,AB=BC=1,

SA=2,則三棱錐S-ABC的外接球的體積為.

【答案】瓜n

【解析】

【分析】根據(jù)題意，將三棱錐補(bǔ)全為一個(gè)長(zhǎng)方體，即可得到長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為三棱錐外接球的直徑,

再由球的體積公式，即可得到結(jié)果.

【詳解】

由題意可將三棱錐S-46C補(bǔ)全為一個(gè)長(zhǎng)方體，如圖所示,

則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線SC=ylSA-+AB2+BC2=V6,

即三棱錐外接球的直徑為27?=SC=J^，所以火=必，

2

所以三棱錐外接球的體積為廠=±兀&=3兀x亞=7671.

3312J

故答案為：兀

15.若凡為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，且S〃=2%+l（〃eN*）,則下列結(jié)論正確的是.（填序號(hào)）

①例=T6；②￡=—63；③數(shù)列｛a,J是等比數(shù)列；④數(shù)列｛S“+l｝是等比數(shù)列.

【答案】①③

【解析】

【分析】分別研究〃=1與"之2時(shí)數(shù)列｛4｝的解析式，進(jìn)而可判斷③且可得％,=-2"-',Sn=-2"+1,分

別代入〃=5可判斷①②，運(yùn)用等比數(shù)列定義法可判斷④.

【詳解】因?yàn)椋?2%+1,

所以當(dāng)〃=1時(shí)，％=耳=241+1,解得％=-1,

當(dāng)心2時(shí),an=Sn-Sn_.=2an+1一(2%+1)=2an-2%，即%=2%，

所以｛4｝為等比數(shù)列，首項(xiàng)為%=-1,公比為2,故③正確

所以％=—2"T,

綜述：a“=—2〃T.

所以邑=2%+1=—2"+1,

所以星+1=-2"+2,

54

當(dāng)〃=5時(shí)，a5=-2^=-2=-16,故①正確;

5

當(dāng)〃=5時(shí)，55=-2+1=-31,故②錯(cuò)誤;

因?yàn)闇?-2n+1+22

=2—-不是一個(gè)與〃無(wú)關(guān)的數(shù)，故④錯(cuò)誤.

-2"+2-2"+2

所以正確的有①③.

故答案為：①③.

16.已知a>0,若對(duì)任意的xe］；,+8不等式J_e"-皿幻20恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

2a

【答案”*

【解析】

【分析】對(duì)已知不等式進(jìn)行變形可得通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)g(x)=xd,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)與

單調(diào)性可得怨立恒成立，再構(gòu)造以。=螞(/>1),求導(dǎo)分析單調(diào)性與最值即可.

22xt

【詳解】因?yàn)閍>0,不等式:產(chǎn)-生囚20對(duì)任意的xe(!，+co卜亙成立，即:里兇恒成立,

2a(2J2a

即>21n(2x),進(jìn)而轉(zhuǎn)化為axcm>2xln(2x)=eln(2x)?ln(2x)恒成立.

令g(x)=xe",則g'(x)=(x+l)e",當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)>0,所以g(x)在(0,+如上單調(diào)遞增,

則不等式(e"-更區(qū)20恒成立等價(jià)于g(?x)>g(ln(2x))恒成立.

2a

1

xe—,+oo所以ax>0,ln(2x)>0,

因?yàn)閍>0，12

所以辦2ln2x對(duì)任意的xe]g,+oo)恒成立，所以羨之ln(2x)

恒成立.

2x

設(shè)可得〃⑺=一上，

tt

當(dāng)l</<e時(shí)，h'(t)>0,入⑺單調(diào)遞增；當(dāng)，〉e時(shí)，h(t)<0,入?)單調(diào)遞減.

所以當(dāng)一時(shí)，函數(shù)咐取得最大值‘最大值為"⑹=('止匕時(shí)2>e‘所以自卜解得心|,即實(shí)

數(shù)。的取值范圍是1,+^.

故答案為：J*.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁?/p>

不等式恒成立問(wèn)題.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的

單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理.

三、解答題：本題共6小題，共70分.

(一)必考題：共5小題，每小題12分，共60分

17.的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為b,c,sin2C-sin2A+sin2B=sinBsinC-

(1)求A；

(2)若c<b,b+c=42a>求sinC.

【答案】(1)/=[

(2)、一行

4

【解析】

【分析】(1)由正弦定理角化邊，結(jié)合余弦定理即可求得結(jié)果.

(2)由正弦定理邊化角可得sin5+sinC=J^sinN，結(jié)合sinB=sin(N+C)及輔助角公式即可求得結(jié)

果.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)閟ir?C-sir?/+sin28=sin8sinC)

2222z2

由正弦定理得：e-a+b=bc，^bc=b+c-a,

又由余弦定理cos"=立/=￡=：'

又因?yàn)镹e(0,7r),所以N=?

【小問(wèn)2詳解】

由6+c=力。及正弦定理得：sin5+sinC=V2sinA(*)，

又因?yàn)樵凇?8C中，4+5+。=兀，所以sinB=sin(/+C),

所以“*”式為sin(4+C)+sinC=V2sinA，即sinAcosC+cos/sinC+sinC=41sin/，

TT

又由(1)A=~,

所以有X3cosC+LsinC+sinC=V2x^-，整理得sin(C+工)=

22262

.__.、t八-27r7T~7T5兀

因?yàn)?<C<—,―<CH—<—,

3666

所以c+rpc+rF解得C咤或C書,

71

又因?yàn)閏<3,所以C=一,

12

.71..7171..7171n.71V2V3V21V6-V2

=sin——=sin(----)=sin—cos---cos—sin—=---x--------x—=--------

1246464622224

18.如圖所示多面體48CDEE中，平面/DEL平面48C。，平面48C。，V4DE是正三角形,

四邊形48c。是菱形，48=2,CF=5ZBAD=-.

3

E.

(1)求證：CF〃平面4DE；

(2)求點(diǎn)E到平面Z。9的距離.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵—

2

【解析】

【分析】(1)由面面垂直性質(zhì)定理可證得￡0,平面45C。，進(jìn)而證得E0〃CF,結(jié)合線面平行的判定定

理即可證得CFH平面ADE.

(2)法—"：運(yùn)用等體積法/tqf=匕fQE=匕；/TDC求解即可.

法二：建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間點(diǎn)到面的距離公式計(jì)算即可.

【小問(wèn)1詳解】

取40中點(diǎn)0,連接￡。，如圖所示，

因?yàn)閂NQE是正三角形，所以￡0,幺。，

又因?yàn)槠矫?DE_L平面/BCD,EOu平面4DE,平面4DECl平面48co=40,

所以￡0,平面48C。，

又因?yàn)镃EL平面48CD,所以￡?！āＪ?，

又因?yàn)镋。u平面ADE,CFo平面ADE,所以CF//平面ADE.

【小問(wèn)2詳解】

法一：設(shè)點(diǎn)￡到平面9的距離為為4.

由(1)CE〃平面4DE,

所以點(diǎn)F與氤C到平面ADE的距離相等，

所以三棱錐尸-4DE和三棱錐C-4DE的體積相等，

所以^E-ADF~-F-ADE—C-ADE~-E—ADC，

連接4C相交于點(diǎn)。，如圖所示,

所以.DC=^AD-DC-sml200=y/3,

由（1）￡。,平面4DC,由題V4DE是等邊三角形，邊長(zhǎng)為2,易知￡0=道，

所以/TDF=VE_ADC=；X.QCx￡O=；xGxG=l.

由題，在RtZiNC中，DC=2,CF=B所以DF=S，

易知幺。=26，所以在RtAZCR中，AF=屈，

在△%￡（/中：AD=2,DF=5，AF=回，

由余弦定理可得cos/409=—且，所以sinN4D尸=32，

77

所以g*2XA/7X=瓜，

又因?yàn)槠咭?〃=（5根所"=1，所以"=乎?

即點(diǎn)E到平面ADF的距離為—.

2

法二：

取40中點(diǎn)0,連接。￡、0B,

因?yàn)樗倪呅?8CZ）為菱形，48=2,ABAD=60°,所以△45。為等邊三角形,

所以08，/。，

由（1）知，￡0,平面48CD,所以EOLCU,EOLOB,

所以以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以04為x軸，03為了軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則4(1,0,0),5(0,0,73),C(-2,V3,0),尸(-2,百，百)

所以況=(1,0,0),OF=(-2,43,43),OE=(0,0,43),

設(shè)平面的法向量為方=（x,y,z）,

n-OA=0x=0

則一，得《廠廠，取y=L則為=(0,1,—1),

n-OF=0^-2x+V3v+V3z=0

則E到平面ADF的距離d=\°E'n\=g=限,

\n\V22

所以￡到平面ADF的距離為—

2

19.為了檢查工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，隨機(jī)抽取了部分產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示.

（1）求。的值以及這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率：（注：產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)達(dá)到130及以上為優(yōu)質(zhì)品）;

（2）若按照分層的方法從質(zhì)量指標(biāo)值在［110,130）的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取7件，再?gòu)倪@7件中隨機(jī)抽取2件,

求至少有一件的指標(biāo)值在［120,130）的概率；

（3）以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽出4件，記這4件中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)為

X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1）a=0.02,優(yōu)質(zhì)率為25%

⑵-

7

（3）分布列見(jiàn)解析，E（X）=1

【解析】

【分析】（1）由頻率分布直方圖中，所有頻率之和為1及優(yōu)質(zhì)率的定義即可求得結(jié)果.

（2）由分層抽樣可得質(zhì)量指標(biāo)在口10,120）有4件，質(zhì)量指標(biāo)在［120,130）有3件，結(jié)合古典概型求其概率

即可.

（3）由題意知，4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)服從二項(xiàng)分布，即X?進(jìn)而運(yùn)用公式求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)椋?.005+0.04+0.03+a+0.005）x10=1,所以a=0.02,

產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)超過(guò)130的頻率為（0.02+0.005）x10=0.25,

所以這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率為25%.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)橘|(zhì)量指標(biāo)在［110,120）和［120,130）的頻率分別為0.4和0.3.

04

所以質(zhì)量指標(biāo)在［11。,13。）產(chǎn)品中抽取7件，則質(zhì)量指標(biāo)在口電⑵）有7、將而=4件'質(zhì)量指標(biāo)在

[120,130)有7x0-3=3件.

0.4+0.3

C：C；+C；_15_5

所以從這7件中任取2件，至少有一件質(zhì)量指標(biāo)在［120,130）的概率為0=

C|7

【小問(wèn)3詳解】

因?yàn)槌榈疆a(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的頻率為0.25,以頻率作為概率，所以每件產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率為

4

所以4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)X?

k4-k.

3

則P（X=左）=c：\,左=0,1,2,3,4,

0

33i3，_10827

所以尸(X=0)=C：II?-256-64

2

3I33123

尸(X=2)=Cj?4—256—64

Ii嚏喂，4

p(X=4)=C：」

Ii256

所以X的分布列為

X01234

81272731

P

2566412864256

E(X)=4X；=1.

20.已知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為「+口=1（4〉6〉0）,橢圓過(guò)點(diǎn)（0,2）且離心率6=也.

ab2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線=（左20）與C相交于A,B兩點(diǎn)，過(guò)C上的點(diǎn)尸作X軸的平行線交線段4g于點(diǎn)

Q,直線0P的斜率為左'（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），若14Pl?忸。|=忸斗|20|,判斷殷《'是否為定值？并說(shuō)明

理由.

【答案】（1）—+^=1

84

（2）是定值，理由見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）由橢圓離心率公式及所過(guò)點(diǎn)適合橢圓方程即可求得結(jié)果.

（2）由14Pl?忸。|=忸4|/。|可知尸0平分/4?8,進(jìn)而可得如+磯=0,再結(jié)合2貨=8可得

（2%左—1）左—%）］=0,再結(jié)合P（Xo，%）不在直線/:了=伙＞一1）上，進(jìn)而可得2%左—％=0,整

理可得左.玄=—.

2

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)（0,2）,所以6=2..

又因?yàn)閑?=1—,，所以/=8.

a22

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+二=1.

84

【小問(wèn)2詳解】

由14Pl?忸0|=忸尸卜|/。|可知尸。平分/4?8,則直線/尸，AP的斜率右?，場(chǎng)互為相反數(shù)，即

3P+/=°，

X

設(shè)，（%,必），BO2,%），尸（%，%），

（x2y21

由《84得，（242+1）/—4左2%+242一8=0,

y=k（x-l）

由韋達(dá)定理可得：QxQ4k22k"-S

笈-，X1X2=2FTT

kk

而AP+BP="=0，則（必一JO）（X2-XO）+（J2-%）（X]-%）=0,

即依01—1）一%］（%一%）+［左（％T）一%］（4一%）=

2kxi“一（Vo+在o+左）（再+/）+2x0（j0+左）=0,

2k2-84k2

于是2左?萬(wàn)記口一（為+丘o+左）,聲石+2%（%+左）=。

2

整理得2左（2左2_8）—4k\y0+kx0+k）+2x0（y0+k）（2k+1）=0,

化簡(jiǎn)得：2%（Xo-1）左2+（/-8）左+%%=0,

22

又因?yàn)槭?,%）在橢圓上，所以至+及=1,即町+2第=8,

84

所以—2y；—xj+x0=x0-8,

即2yo（%—1）K+（-2y；-x；+/）無(wú)+x0y0—0,

整理得（2y°k—Xo）［（x（）T）左—%］=0，

又因?yàn)槭椋瑏V0不在直線/:^二燈》一口上，則有比。左（七一1），所以2yoA-Xo=0,

即左.%=左.《=!，

/2

所以人〃為定值，且晨〃=L

2

21.已知函數(shù)=g(x)=lnx-x.

X

(1)求函數(shù)g(x)的極值；

(2)若%(x)=/(x)-g(x),求函數(shù)〃(X)的最小值；

(3)若A(x)=。有兩個(gè)零點(diǎn)X,,X2,證明：<1.

【答案】(1)極大值為T,無(wú)極小值

(2)e+1

(3)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)后解不等式g'O)>0、g'(x)<0即可求得極值.

(2)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究〃(x)的單調(diào)性，進(jìn)而可求得其最小值.

(3)由已知可得卜知+%-出玉構(gòu)造函數(shù)y=e*+x,根據(jù)其單調(diào)性可得

Xi-Inxj=x2-Inx2,構(gòu)造函數(shù)M(x)=x-lnx并研究其單調(diào)性,構(gòu)造函數(shù)T(x)=M(x)-M并研

究其單調(diào)性，當(dāng)x>l時(shí)，依次結(jié)合函數(shù)歹=T(x)、y=〃(x)的單調(diào)性即可證得結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

11—V

由題意知函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?0,+8),g'(x)=--1=——

XX

g'(x)>0=>0<x<l,g'(x)<0=>x>1,

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以g(X)在X=1處取得極大值，極大值為-1