安徽省肥東縣城關(guān)中學(xué)2023-2024學(xué)年度高二年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中考試題【解析版】

安徽省肥東縣城關(guān)中學(xué)2023?2024學(xué)年度高二上學(xué)期數(shù)學(xué)

期中考試題【解析版】

一、單選題（本大題共8小題，共40分）

1.已知圓的方程/+y2+2依+9=0圓心坐標(biāo)為（5,0）,則它的半徑為

A.3B.75C.5D.4

2.直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（1,-1）和以M（-3,l）,N（3,2）為端點(diǎn)的線段相交，直線/斜率的取值范

圍是（）

A.「8,迅B.15，+叼C.

D.18,尚唱,+8）

3.已知4=（2,-1,3）,6=（-1,4,-2）,c=（l,3,A）,若“，b,c三向量共面，則實(shí)數(shù)幾

等于（）

A.1B.2C.3D.4

4.已知過(guò)點(diǎn)P（2,l）有且僅有一條直線與圓+V+2ox+ay+2a2+。-1=0相切，則。=

（）

A.-1B.-2C.1或2D.-1或-2

5.圓C：/+丫2-2欠-20y-機(jī)=0上存在點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍

為（）

A.[-3,5]B.[1,3]C.[-3,3]D.[1,5]

6.在圓x2+y2-2x-6y=0內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E（0,l）的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD,則四

邊形ABCD的面積為（）

A.5&B.105/2C.15&D.20無(wú)

7.己知點(diǎn)P（f,r）,點(diǎn)M是圓a：f+（y-l）2=；上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是圓。2：（x—2丫+丁=；

上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（）

A.1B.#,-2C.V5+2D.2

8,若空間向量印4滿足同=N+司=3,則。在62方向上投影的最大值是（）

o/a3

A.3B.0C.一任D,一一

22

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.下列說(shuō)法正確的是（）

A.已知直線（a+2）x+2取―1=0與直線3奴-y+2=0垂直，則實(shí)數(shù)a的值是-g

B.直線，加-y+i-〃，=o必過(guò)定點(diǎn)（1,1）

C.直線y=3x-2在y軸上的截距為—2

D.經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,3）且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y-4=0

10.圓。1：x2+y2-2x=0和圓Q:x2+y2+4x-6y=0的交點(diǎn)為A,B,則（）

A.公共弦AB所在直線的方程為x-y=0

B.線段A8中垂線的方程為x+）」l=0

C.公共弦A3的長(zhǎng)為正

2

D.兩圓圓心距|qOj|=3及

11.如圖，正方體ABCD-AAGA的棱長(zhǎng)為2,E是力"的中點(diǎn)，則（）

A.

B.點(diǎn)E到直線BC的距離為34

c.直線5E與平面MGC所成的角的正弦值為（

D.點(diǎn)G到平面4CE的距離為：

12.下列說(shuō)法正確的有（）

A.直線2x+（3+m）y+l=0過(guò)定點(diǎn)（一夕0）

B.過(guò)點(diǎn)（2,0）作圓Y+（y一爐-4的切線/,則/的方程為2x-y-4=0

C.圓f+（y_l）2=4上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線x+y-2=0的距離為2

D.若圓a：x2+y2-2y-3=0與圓O2：x2-6x+y2-i0y+,"=（）有唯一公切線，則，〃=25

三、填空題（本大題共4小題，共20分）

13.直線/過(guò)點(diǎn)（1,2）,且縱截距為橫截距的兩倍，則直線/的方程是.

14.已知點(diǎn)A(-3,T),8(6,3)到直線/:ar+y+l=O的距離相等，則實(shí)數(shù)。的值為

15.若直線/先沿x軸的負(fù)方向平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿y軸的正方向平移1個(gè)單位長(zhǎng)

度后，又回到原來(lái)位置，則直線/的斜率為.

16.點(diǎn)尸(-2,-1)到直線/：(l+32)x+(l+2)y-2-42=0(4為任意實(shí)數(shù))的距離的最

大值為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程

或演算步驟)

17.在平面直角坐標(biāo)系中，圓C經(jīng)過(guò)。(0,0)4(1』),8(4,2)三點(diǎn).

⑴求圓C的方程；

⑵若經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線/與圓C相交于M,N兩點(diǎn),且NMCN=120?,求直線/的方

程.

18.已知圓O：x2+y2=4.

(1)過(guò)圓外一點(diǎn)P(2,l)引圓的切線，求切線方程和切線長(zhǎng)；

(2)設(shè)點(diǎn)P是直線4：x-y+4=O上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作圓的切線，切點(diǎn)是M,求OPA7的

面積最小值以及此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

19.ABC中A(3,-l),AB邊上的中線CM所在直線方程為6x+IOy-59=。，的平

分線方程87為x-4y+10=0.

(1)求頂點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(2)求直線BC的方程.

20.如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=2,BC=4,△PAC為正三角形，。為A8的

中點(diǎn)，ACA.PD,NPCB=90°.

(1)求證：8C_Z平面PAC：(2)求PO與平面PBC所成角的正弦值.

21.已知圓C:￥+y2+4x-12y+24=0,直線/：y=Ax+5.

(1)若直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)為46,求/的方程；

(2)若直線/與圓交于A、8兩點(diǎn)，求的中點(diǎn)〃的軌跡方程.

22.如圖，叨_1_平面/158,4)_1.。。，ABCD,PQCD,

AD=8=￡>P=2PQ=2A8=2,點(diǎn)M為BQ的中點(diǎn).

(1)求二面角Q-MC-P的正弦值；

(2)若N為線段C0上的點(diǎn)，且直線￡W與平面PM。所成的角為g,求N到平面MC尸的

距離.

1.D

【詳解】分析：先根據(jù)圓心坐標(biāo)求出a的值，再求圓的半徑.

詳解：由題得-學(xué)=5,，。=-5.所以圓的半徑為也*2=§=4.

222

故答案為D

點(diǎn)睛：(1)本題主要考查圓的一般方程，意在考查學(xué)生對(duì)該基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力.(2)當(dāng)

￡>2+￡^-4尸>()時(shí)，x2+y2+￡)x+Ey+F=0表示圓心為,半徑為“+E。-4F的

222

圓.

2.D

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的斜率公式，求出再結(jié)合圖象即可求解.

【詳解】3,1),N(3,2),.?.腦=1^=_1,%=^^=。，

—J—1Z5—1Z

圖象如圖所示：

由圖可知，直線/的斜率%滿足k4噎或％2j

故直線/的斜率的取值范圍為18,U|,+8).

故選：D.

3.A

【分析】根據(jù)題意，存在實(shí)數(shù)乂'值得c=xa+m，列出方程組，即可求解.

【詳解】由向量〃=(2,-1,3),人=(-1,4,-2),c=(l,3㈤，

因?yàn)閍，b-c三向量共面，則存在實(shí)數(shù)為丫值得c=xa+>),

即(l,3,X)=x(2,—l,3)+y(—l,4,—2),

2x-y-\

可得,f+4y=3,解得x=l,y=l,貝=

3x-2y=A

故選：A.

4.A

【解析】由/+丁2+2辦+砂+242+〃_]=0為圓的方程可得(2〃)2+〃2一4(2〃2+〃_1)>0,又

過(guò)點(diǎn)尸(2,1)有且僅有一條直線與圓C：f+/+2。氏+?，+2/+。一1=0相切，則點(diǎn)P(2,l)在圓

上，聯(lián)立即可得解.

222

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)尸(2』)有且僅有一條直線與圓C：x+y+2ax+ay+2a+a-l=O^Q^]f

則點(diǎn)P(2,l)在圓上，

則2?+F+4Q+Q+2Q2+〃一1=0,解得。=-2或。=一1,

又%2+y"+2(ix+ay+2,cru—\=0為圓的方程,

則(2a)2+“2-4(2a2+a-l)>0,gp-2<a<j,

即。=—1,

故選：A

5.A

【分析】求出圓心及半徑r，由題意可得|一1同0?！恫?1|,解之即可得解.

【詳解】解：由圓C：x2+y2-2x-2y/3y-m=0,得(x-iy+(y-G)=4+m,

則圓心C(l,百)，半徑”"+m,則|℃|=2,

因?yàn)閳AC上存在點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1,

所以圓C與單位圓Y+y2=l有公共點(diǎn)，

」所一歸。"際+1]解得_3小5,

4+/??>0

所以實(shí)數(shù)，”的取值范圍為[-3,5].

故選：A.

6.B

【詳解盼析：由過(guò)圓/+y2-21-6丁=0內(nèi)一點(diǎn)七(0,1)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為4。和BD,

可知最長(zhǎng)弦為直徑，最短弦為過(guò)點(diǎn)后(0,1)且與直徑AC垂直.把圓工2+丁_21-6>=0變形

標(biāo)準(zhǔn)方程(X-1)2+(y-3)2=10.進(jìn)而可求圓心為尸(1,3)，半徑r=而.所以|AC|=2r=2而，

由點(diǎn)￡（0,1）,求得歸同=#+（3-1）2=75.進(jìn)而求得忸。|=2/2-1在『=2V10-5=2石.進(jìn)

而可求四邊形488的面積為S=gx|AC|x忸。=gx2ji6x26=10夜.

詳解：圓丁+9-2犬-6卜=0變形為（x-l）2+（y—3f=10.

所以圓心為尸（1,3）,半徑r=JI5.

因?yàn)辄c(diǎn)E（0,l）,所以歸同="+（3-1）2=6

因?yàn)檫^(guò)圓f+/_2x-6y=0內(nèi)點(diǎn)￡（0,1）的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD,

所以|AC|=2r=2>/i5,=2#2-|PE、=2-10-5=2后.且AC18O

所以四邊形A3CD的面積為5=gx|AC|x忸Q|=gx2ji6x2退=10夜.

故選B.

點(diǎn)睛：⑴過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)A的最長(zhǎng)弦為過(guò)點(diǎn)A的直徑，最短弦為過(guò)點(diǎn)A且與過(guò)點(diǎn)A的直徑垂直

的弦；

⑵過(guò)圓P內(nèi)一點(diǎn)A的最短弦長(zhǎng)為2jr2_|/>A|2.

7.D

【分析】要使忙MT「M最大，需|PN|最大,且PM最小，由圖可得，|尸叫最大值為歸O?|+；,

仍照的最小值為|POj-g,所以可得|PN|-|PM|最大值是|W2|-|P6>,|+L由于點(diǎn)尸（M在

直線y=x上，找出。|關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)O：,結(jié)合圖形可求得結(jié)果

【詳解】如圖，

圓/+（丫-1）2=；的圓心?（0,1）,

圓。-2）2+9=；的圓心a（2,0）,

這兩個(gè)圓的半徑都是”

要使|RV|-|PM|最大,需|EN|最大,且忸閭最小，

由圖可得，|尸兇最大值為|POj+g,歸閘的最小值為

故網(wǎng)_|PM|最大值是（尸04+］一（歸0卜￡|=|尸02卜儼01|+1，

點(diǎn)p（r,f）在直線y=X上，。（0,1）關(guān)于y=X的對(duì)稱點(diǎn)為q'（i,o）,

直線o/Y與y=x的交點(diǎn)為原點(diǎn)o,

則|尸。卜閘|=歸。2|-卜。：卜"閡=1,

故|PO2Hp卬+1的最大值為1+1=2.

故選：D.

8.C

4+27

【分析】設(shè)向量q,e,的夾角為凡根據(jù)題意，求得cos6=」二?廠?,得到所以弓在e,方向

12回

同2+27=-（?+24）,結(jié)合基本不等式，即可求解.

上的投影為同cos。=-

44同

【詳解】因?yàn)橥?悔+司=3,設(shè)向量e；,e；的夾角為

所以同+4同+4同間cosd=9,可得同+12同cos9+27=0,

e,+27

解得cos"」、?,

12/

k2|27

所以4在4方向上的投影為k|cos0=-=-（丫+彳彳）4-28+21

44匐彳雨

=-2n=-苧，當(dāng)且僅當(dāng)1=鬲時(shí)，即同=36時(shí)，等號(hào)成立,

所以q在e?方向上的投影的最大值為-也.

故選：C.

9.BC

【分析】根據(jù)直線垂直關(guān)系列方程求〃，判斷選項(xiàng)A；將直線方程化為點(diǎn)斜式即可判斷選項(xiàng)

B；根據(jù)截距的定義判斷選項(xiàng)C,根據(jù)條件求出滿足要求的直線方程，判斷選項(xiàng)D.

【詳解】解：對(duì)A：因?yàn)橹本€(a+2)x+2被—1=0與直線3or-y+2=0垂直，

則3a(a+2)—2a=3/+4a=0,解得°=0或。=—A不正確；

對(duì)B：直線/nr-y+l-m=0可變?yōu)閥-l=因此直線必過(guò)定點(diǎn)(1,1),即B正確；

對(duì)C：由直線方程y=3x-2取尸0,得y=-2,

所以直線y=3x-2在y軸上的截距為_(kāi)2,所以C正確.

對(duì)D：經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,3)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y-4=0或y=3x,所以D

不正確；

故選：BC.

10.ABD

【分析】把兩圓方程相減得到公共弦A8所在直線的方程，即可得到選項(xiàng)A；再把兩圓分別

化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心和半徑，兩圓心所在的直線即為線段中垂線，即可得到選項(xiàng)B；

利用一個(gè)圓的圓心到直線x-N=0的距離進(jìn)而求出弦的長(zhǎng)，驗(yàn)證選項(xiàng)C；兩圓心的距離即可

得到選項(xiàng)D.

【詳解】/+)2-2'=0①，Y+y2+4x_6y=0②，用①減去②即得到公共弦A8所在直線

的方程為x-y=o,故A正確；

把圓q：f+y2-2x=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x-l)2+y2=i,圓心。1為(1,0),半徑為4=1,把

圓U：x?+/+4x-6y=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y-3)z=13,圓心。2為(-2,3),弓=713,

線段A8中垂線即為圓心。?與圓心。2兩點(diǎn)構(gòu)成的直線為x+y-l=0,故B正確；

=等，故公共弦AB的長(zhǎng)為

圓心。1到公共弦所在直線x-y=O的距離為4=

=&,故C錯(cuò)誤;

圓心Oi到圓心O2的距離依。2|=?+2)2+32=30，故D正確.

故選：ABD.

11.AC

【分析】以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法逐一判斷分析各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】如圖以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

則8（2,0,0）,C（220）,E（0,21）,4（2。2）,R（0,2,2）,〈（2,2,2）,

5,C=（O,2-2）,B￡>,=（-2,2,2）,

則5c=0+4—4=0,所以qCJ.8。，故A正確;

/.B.EB,C4+2y/2

B,E=（-2,2，T，則3佃n旦r4。=^^=k=彳，

所以sinNCB|E=正，

12

所以點(diǎn)E到直線BC的距離為BqsinNC4E=乎，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)镃A1平面片GC,所以AG=（2,0,0）即為平面BCC的一條法向量,

D￡.BiE

則直線與平面gC。所成的角的正弦值為kos&C*?卜4I，故C

D^E273

正確;

CC,=(0,0,2)

設(shè)平面gCE的法向量為“=（x,y,z）,

n-B,C=2y-2z=0/、

則有，,可取”=(1,2,2),

n-BtE=-2x+2y-z=0

|CC,-n\4

則點(diǎn)C,到平面B,CE的距離為=~,故D錯(cuò)誤.

H

【分析】A.將直線變形（2x+3y+l）+〃o，=0,觀察可得定點(diǎn);

B.分斜率存在和不存在求出切線方程；

C.通過(guò)圓心到直線的距離來(lái)判斷；

D.由已知的兩圓內(nèi)切，根據(jù)圓心距離等于半徑差列式計(jì)算.

【詳解】對(duì)于A：直線2x+(3+m)y+l=0變形為(2x+3y+l)+四=0,

令y=0,則x=-g,直線過(guò)定點(diǎn)(一g，0),A正確；

對(duì)于B：(1)當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線y=%(x-2)

???直線與圓相切

.??圓心到直線的距離d=r

二%=2

直線方程為2x-y-4=0；

(2)當(dāng)斜率不存在時(shí)，x=2,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：圓的半徑r=2,圓心到直線的距離〃=正<r,所以存在兩點(diǎn)到直線距離為2,C

2

正確；

對(duì)于D：圓q:W+(y-iy=4與圓a：(x-3y+(y-5)2=-m+34

兩圓有唯一公切線，所以兩圓相內(nèi)切，

|O02|=4-U或者|。|。2|=4-4

>/32+42=2-J34-,"或者打+4?=y/34-m-2

解得機(jī)=-15.D錯(cuò)誤.

故選：AC.

13.2x-y=0或2x+y-4=0

【分析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①直線過(guò)原點(diǎn)，又由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2),由點(diǎn)斜式方

程即可得出答案.②直線不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)其方程為2+4=1,又由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2),代入求

出。，即可求出直線/的方程.

【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論：

①直線過(guò)原點(diǎn)，又由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)。,2),此時(shí)直線的方程為y=2x,即2x-y=0；

②直線不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)其方程為二+三=1,

a2a

又由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2),則有上+白=1,解可得。=2,

a2a

止匕時(shí)直線的方程為2x+y-4=0,

故直線/的方程為2x-y=0或2x+y_4=0.

故答案為：2x-y=0或2x+y-4=0.

..1海7

14.--sk--

【分析】利用點(diǎn)到直線的距離求解.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)4-3,T),8(6,3)到直線/:or+y+l=0的距離相等,

解得a=_§或々=--，

_17

故答案為：一§或一5

15.--

3

【分析】利用函數(shù)的平移“左加右減，上加下減''求出變化后直線的斜率.

【詳解】設(shè)直線/的方程、=履+匕，沿x軸的負(fù)方向平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得y=A(x+3)+b,再

沿y軸的正方向平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，可得>=履+3女+8+1,則履+32+/?+1=履+力，即&

=」

故答案為一!

?I

16.岳.

【分析】將直線方程變形為(x+y-2)+(3x+y-4)2=0,得直線系恒過(guò)點(diǎn)A(l,l),由此得到

P到直線/的最遠(yuǎn)距離為|PA|,再利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算可得.

【詳解】???直線/：(l+3/l)x+(l+4)y-2—44=0,

可將直線方程變形為(x+y-2)+(3x+y-4”=0,

fx+y-2=0[x=\

t/八，解得

[3x+y-4=0[y=l

由此可得直線系恒過(guò)點(diǎn)A(l,l),

P到直線/的最遠(yuǎn)距離為|PA|,此時(shí)直線垂直于以，

22

???41ax=1^1=7(-2-l)+(-l-l)=V13.

故答案為：V13.

17.(1)/+y2-8x+6y=0；

3

(2)x=2和8x+6y—39=。.

【分析】(1)設(shè)圓的一般方程，由點(diǎn)在圓上列方程組求參數(shù)，即可得圓的方程；

(2)由圓的方程寫(xiě)出圓心、半徑，由題設(shè)易得圓心到直線/距離為g,討論直線/與x軸的

位置關(guān)系，應(yīng)用點(diǎn)斜式、點(diǎn)線距離公式求參數(shù)，進(jìn)而確定直線方程.

【詳解】(1)設(shè)圓C方程為f+9+6+硝+/=0,經(jīng)過(guò)。(0,0)4(11)4(4,2)三點(diǎn)，

F=0D=-8

所以D+E+F=-2解得，E=6

4D+2E+F=-20F=0

所以圓C方程為爐+/一8%+6y=0.

(2)圓。方程化為(x-4)2+(y+3)2=25,所以圓C的圓心為(4,一3),半徑為5.

因?yàn)椤籑CN=120?,設(shè)MN中點(diǎn)為E,則CE工MN且/ECN=60?,從而CE=|.

即C(4,-3)到直線/的距離為：，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)

當(dāng)直線/與x軸垂直時(shí)，直線/為3，點(diǎn)C(4,-3)到直線/的距離為；5，滿足題意;

當(dāng)直線/與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線/為即丘-y-1+：=0.

|44+3-迎+2|4

所以22匚5,解得％=一止匕時(shí)直線/為8x+6y—39=0.

行一23

因此，滿足題意的直線/的方程為產(chǎn)3;和8x+6y-39=0.

2

18.⑴切線方程為3x+4y-10=0或x=2,切線長(zhǎng)為1

⑵..OPM的面積最小值為2,此時(shí)P(-2,2)

【分析】(1)由題意，利用分類討論的解題思想，結(jié)合切線的性質(zhì)以及點(diǎn)到直線的距離公式,

根據(jù)勾股定理，可得答案；

（2）由題意，利用數(shù)形結(jié)合的解題思想，求得點(diǎn)P,可得答案.

【詳解】（1）由題意，可作圖如下：

當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線的方程為=2）,即丘-y-2左+1=0,

..|-2k+l|3

圓心（0,0）到切線的距離是2,.??呆m=2,解得“=一彳,

33

,切線方程為——x-y+—+1=0,即3x+4y-I0=0.

42

當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，又x=2與圓也相切，

故所求切線方程為3x+4），-10=0和x=2.

由圓的性質(zhì)可知，切線長(zhǎng)為曰=Jo產(chǎn)—產(chǎn)=J22+『-22=1.

（2）由題意，可作圖如下：

當(dāng)OP，《時(shí)，OPM的面積最小值.

又因?yàn)?：x-y+4=o,所以直線。尸的方程為

y=-xx=—2

由7+4=0,解得）二2，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（一2,2）.

此時(shí)O/W的面積最小值為‘X2x2=2.

2

19.(1)(10,5)

⑵2x+9y-65=0.

【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)8（$,%）,將A3中點(diǎn)坐標(biāo)代入直線CM方程，將8點(diǎn)代入直線8T

方程，聯(lián)立即可得到結(jié)果;

（2）根據(jù)題意，列出方程，求得點(diǎn)A關(guān)于直線BT的對(duì)稱點(diǎn)。的坐標(biāo)，再由⑥C=%M，即

可得到結(jié)果.

【詳解】（1）設(shè)8伍,%）,則AB的中點(diǎn)M（"，為在直線CM上.

.■.6x^^+10x^^-59=0,.?.3%+5%+4-59=0,

即3%+5?)-55=0①,

又點(diǎn)B在直線BT上,則%-4%+10=0②，

由①②可得%=10,%=5,即8點(diǎn)的坐標(biāo)為（10,5）.

（2）設(shè)點(diǎn)A（3,-l）關(guān)于直線BT的對(duì)稱點(diǎn)D的坐標(biāo)為（。力）,

則點(diǎn)。在直線8c上.

—

a-34

由題知，.?.￡>(1,7).

〃+

-4x—+10=0

2

,,7-52

=-=--

2

直線BC的方程為y-5=-^（x-10）,即2x+9y-65=0.

20.（1）證明見(jiàn)解析；（2）與平面P8C所成角的正弦值為亙.

14

【分析】（1）、取AC的中點(diǎn)。，連接O2OP,證明OPJLAC結(jié)合ACLPZ）,先證明AC_L平

面PO。，得到ACLOD,再證明AC18C,然后證明BC/平面PAC；

（2）、以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面PBC的法向量及尸。，利用向量法求

線面角.

【詳解】（1）證明：作AC的中點(diǎn)0,連接。D,OP,因?yàn)椤鱎4C是正三角形，所以O(shè)P_LAC,

又47，/>￡>,尸?？?尸=尸,/>￡>,02匚平面「0。，所以AC_L平面POD,又OOu平面PO￡>,

所以AC，。。，

因?yàn)镺O〃BC,所以AC1BC,又PC_L8cpeiAC=C,PC,ACu平面PAC,所以8C1

平面PAC；

（2）以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA.OD、OP所在直線分別為為x,y,z軸非負(fù)半軸，建立空間直角坐

標(biāo)系如圖示，

則C（T0,0）,n（0,2,0）,8（T,4,0）,P（0,0,6）,所以

CP=（1,0,百）,CB=（0,4,0）,PO=僅,2,一6），

mCP=x+sf3z=0

設(shè)平面PBC的法向量為“=（x,y,z）,則，取x=VL則相=（6,o,-i）,

m-CB-4y=0

\m-PD\V3后

設(shè)P。與平面PBC所成角為。，則sin6=,i=/?I,9與平面P8C所

|/?|.|PD|X/4+3-^+114

成角的正弦值為叵.

14

21.（1）3x-4y+20=0；（2）x2+y2+2x-1ly+30=0.

【分析】（1）先求出圓心和半徑，由弦長(zhǎng)、圓心距和半徑的關(guān)系求出圓心距的值，再利用點(diǎn)

到直線的距離公式列方程可求出A的值，從而可求出直線/的方程；

（2）設(shè)M（x,y）,直線/過(guò)定點(diǎn)尸（0,5）,由題意可知，CM.PM=0,從而可得

（x+2,y—6）.（x,y—5）=0,即/+卜2+2》-11），+30=0,再檢驗(yàn)即可得48的中點(diǎn)〃的軌跡

方程

【詳解】解：（1）。：/+產(chǎn)+以-12），+24=0可化為（x+2p+（y—6）2=16,

則圓心C（-2,6）,半徑廠=4,

被圓C截得的弦長(zhǎng)為46，則圓心C到直線/的距離為1=2,

.?.點(diǎn)C(-2,6)到直線I:y=區(qū)+5的)巨離卜2：：6+5|=),

U~+l

3

解得％=此時(shí)直線/的方程為3x—4y+20=0；

4