數(shù)學(xué)二階線性微分方程理論及解法

二階線性微分方程的理論及解法一、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二、二階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)三、二階線性微分方程的解法四、二階非齊次線性微分方程的解法第三節(jié)2024/4/121二階線性微分方程：時(shí),稱為二階非齊次線性微分方程.時(shí),稱為二階齊次線性微分方程；復(fù)習(xí):

一階非齊次線性微分方程：通解:非齊次方程特解齊次方程通解Y2024/4/122證畢.一、二階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)是二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解,也是該方程的解.證:代入方程左邊,得（解的疊加原理）定理1.2024/4/123注：未必是已知方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解并不是通解！但是則為解決通解的判別問(wèn)題,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)性的概念.2024/4/124定義:是定義在區(qū)間I

上的

n個(gè)函數(shù),使得則稱這

n個(gè)函數(shù)在I

上線性相關(guān),否則稱為線性無(wú)關(guān).例如，

在(,)上都有故它們?cè)谌魏螀^(qū)間I

上都線性相關(guān);又如，若在某區(qū)間

I

上則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn),必須全為0,可見在任何區(qū)間

I

上都線性無(wú)關(guān).若存在不全為0

的常數(shù)2024/4/125☆

兩個(gè)函數(shù)線性相關(guān)性的充要條件：線性相關(guān)線性無(wú)關(guān)常數(shù)注：0與任意函數(shù)必線性相關(guān)成比例！不成比例！即2024/4/126定理2.是二階線性齊次方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)特解,則為該方程的通解.例如,方程有特解且故方程的通解為推論*.是

n

階齊次線性微分方程的n

個(gè)線性無(wú)關(guān)解,則該方程的通解為2024/4/127二、二階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)是二階非齊次方程的一個(gè)特解,Y(x)是相應(yīng)齊次方程的通解,定理3.則是非齊次方程的通解

.證:

將代入方程①左端,得②①證畢！又Y中含有兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù)，即y是①的解.2024/4/128例如,

方程有特解而對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為因此該方程的通解為2024/4/129推廣*.是對(duì)應(yīng)齊次方程的n

個(gè)線性無(wú)關(guān)特解,給定n

階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次線性微分方程通解非齊次線性微分方程特解2024/4/1210定理4.分別是方程的特解,是方程的特解.（非齊次方程之解的疊加原理）2024/4/1211常數(shù),則該方程的通解是().設(shè)線性無(wú)關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解,是任意例1.提示:線性無(wú)關(guān).（反證法可證）（89考研）2024/4/1212例2.

已知微分方程個(gè)解求此方程滿足初始條件的特解.解:是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,且常數(shù)因而線性無(wú)關(guān),故原方程通解為代入初始條件故所求特解為有三2024/4/1213三、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)倍,代入①得稱②為微分方程①的特征方程,1.當(dāng)時(shí),②有兩個(gè)相異實(shí)根方程有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解:因此方程的通解為(r

為待定常數(shù)),①所以令①的解為②則微分其根稱為特征根.2024/4/12142.當(dāng)時(shí),

特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根則微分方程有一個(gè)特解設(shè)另一特解，u(x)待定.代入方程得:是特征方程的二重根取u=x,則得因此原方程的通解為常數(shù)變易法2024/4/12153.當(dāng)時(shí),

特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根此時(shí)微分方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解:

利用解的疊加原理，得原方程的線性無(wú)關(guān)特解:因此原方程的通解為在第十三章中介紹2024/4/1216小結(jié):特征方程:實(shí)根特征根通解此表必背！2024/4/1217★

若含k

重復(fù)根★

若含k

重實(shí)根r,則其通解中必含則其通解中必含特征方程:推廣*：n階常系數(shù)齊次線性微分方程2024/4/1218例3.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解為例4.

求解初值問(wèn)題解:

特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問(wèn)題的解為2024/4/1219四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理，其通解為非齊次線性微分方程的一個(gè)特解對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程通解已經(jīng)解決面臨解決2024/4/12求特解的方法①根據(jù)

f(x)的特殊形式,的待定形式,②代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù).—待定系數(shù)法1、2、2024/4/12211、設(shè)特解為其中為待定多項(xiàng)式,（其中為實(shí)數(shù)，為m

次多項(xiàng)式）則代入得化簡(jiǎn)得2024/4/1222(1)若

非特征方程的根，故特解形式為則Q(x)為

m次多項(xiàng)式，(2)若是特征方程的單根，為m

次多項(xiàng)式,故特解形式為(3)若

是特征方程的重根,為m

次多項(xiàng)式,故特解形式為即即2024/4/1223結(jié)論對(duì)方程①,*注：此結(jié)論可推廣到高階情形！當(dāng)是特征方程的k重根時(shí),可設(shè)特解2024/4/1224例5.的一個(gè)特解.解：本題而特征方程為不是特征方程的根.故設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為2024/4/1225例6.的通解.

解：特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為解得2024/4/1226例7*.求解解：特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得對(duì)應(yīng)齊次方程通解為故原方程通解為2024/4/12272、第二步求出如下兩個(gè)方程的特解分析思路*:第一步將f(x)轉(zhuǎn)化為第三步利用疊加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特點(diǎn)（歐拉公式）2024/4/1228結(jié)論:對(duì)于非齊次線性微分方程則可設(shè)特解:其中為特征方程的

k

重根(k=0,1),*注：此結(jié)論可推廣到高階情形！2024/4/1229例8.的一個(gè)特解.解：特征方程為故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù)，得故一個(gè)特解為因?yàn)?024/4/1230例9.的通解.

解:特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù)，得因此特解為代入得通解為為特征方程的單根,故設(shè)非齊次方程特解2024/4/1231例10*.解:(1)特征方程有二重根所以設(shè)非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設(shè)非齊次方程特解為構(gòu)造下列微分方程的特解形式：2024/4/1232內(nèi)容小結(jié)

為特征方程的k(＝0,1,2)重根