第02講一元二次方程的解法（5個(gè)知識(shí)點(diǎn)8類題型18道強(qiáng)化訓(xùn)練）-八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)學(xué)與練（浙教版）

第02講一元二次方程的解法（5個(gè)知識(shí)點(diǎn)+8類題型+18道強(qiáng)化訓(xùn)練）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.用開平方法解一元二次方程；2.用配方法解一元二次方程；3.用公式法解一元二次方程；4、用因式分解法解一元二次方程；5、根的判別式的應(yīng)用；1.掌握用開平方法解一元二次方程；2.掌握用配方法解一元二次方程；3掌握.用公式法解一元二次方程；4、掌握用因式分解法解一元二次方程；5、掌握根的判別式的應(yīng)用；知識(shí)點(diǎn)一：一元二次方程的解法1．明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解；根據(jù)方程系數(shù)的特點(diǎn)，熟練地選用配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3．體會(huì)不同解法的相互的聯(lián)系；4．值得注意的幾個(gè)問題：(1)開平方法：對(duì)于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，可用開平方法求解.形如的方程的解法：當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根。【即學(xué)即練1】1．（2023下·浙江溫州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則b的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用解一元二次方程——直接開平方法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：，，方程有實(shí)數(shù)根，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程——直接開平方法，熟練掌握解一元二次方程——直接開平方法是解題關(guān)鍵．（2）配方法：通過配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為的方程，再運(yùn)用開平方法求解。配方法的一般步驟：①移項(xiàng)：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；②“系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；③配方：將方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程變形為的形式；④求解：若時(shí)，方程的解為，若時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解?！炯磳W(xué)即練2】2．（2023上·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）用配方法解方程，變形后的結(jié)果正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】此題考查了一元二次方程配方法，把方程的常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊后，在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把左邊化為完全平方式的形式，再用直接開方法求解．【詳解】解：方程，移項(xiàng)得：，配方得：，即，故選：D．（3）公式法：一元二次方程的根當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根不相等；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根相等，寫為；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.公式法的一般步驟：①把一元二次方程化為一般式；②確定的值；③代入中計(jì)算其值，判斷方程是否有實(shí)數(shù)根；④若代入求根公式求值，否則，原方程無實(shí)數(shù)根。（因?yàn)檫@樣可以減少計(jì)算量。另外，求根公式對(duì)于任何一個(gè)一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一元二次方程。）【即學(xué)即練3】3．（2023下·浙江麗水·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的方程，當(dāng)時(shí)，方程的解為（

）A．， B．，C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式得出方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，然后根據(jù)求根公式即可得出答案．【詳解】解：∵，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∵，∴方程的解為，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的判別式．一元二次方程的根與有如下關(guān)系：（1）?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）?方程沒有實(shí)數(shù)根．（4）因式分解法：①因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個(gè)因式的積等于0，那么這兩個(gè)因式至少有一個(gè)為0，即：若，則；②因式分解法的一般步驟：若方程的右邊不是零，則先移項(xiàng)，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個(gè)因式都為零，得到兩個(gè)一元一次方程；解出這兩個(gè)一元一次方程的解可得到原方程的兩個(gè)解。（5）選用適當(dāng)方法解一元二次方程①對(duì)于無理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法，較之別的方法可能要簡便的多，只不過應(yīng)注意二次根式的化簡問題。②方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡便，若整理為一般式再解就較為麻煩。（6）解含有字母系數(shù)的方程（1）含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項(xiàng)系數(shù)，以確定方程的類型；（2）對(duì)于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可選用別的方法，此時(shí)一定不要忘記對(duì)字母的取值進(jìn)行討論。【即學(xué)即練4】4．（2023下·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）方程的解是（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】利用因式分解法求解即可．【詳解】解：∵，∴，則，∴或，解得，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)二：根的判別式的應(yīng)用了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會(huì)用判別式求一元二次方程中符合題意的參數(shù)取值范圍。（1）=（2）根的判別式定理及其逆定理：對(duì)于一元二次方程（）①當(dāng)方程有實(shí)數(shù)根；（當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；）②當(dāng)方程無實(shí)數(shù)根；從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。2．常見的問題類型（1）利用根的判別式定理，不解方程，判別一元二次方程根的情況（2）已知方程中根的情況，如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍（3）應(yīng)用判別式，證明一元二次方程根的情況①先計(jì)算出判別式（關(guān)鍵步驟）；②用配方法將判別式恒等變形；③判斷判別式的符號(hào)；④總結(jié)出結(jié)論.（4）分類討論思想的應(yīng)用：如果方程給出的時(shí)未指明是二次方程，后面也未指明兩個(gè)根，那一定要對(duì)方程進(jìn)行分類討論，如果二次系數(shù)為0，方程有可能是一元一次方程；如果二次項(xiàng)系數(shù)不為0，一元二次方程可能會(huì)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根或無實(shí)數(shù)根。（5）一元二次方程根的判別式常結(jié)合三角形、四邊形、不等式（組）等知識(shí)綜合命題，解答時(shí)要在全面分析的前提下，注意合理運(yùn)用代數(shù)式的變形技巧（6）一元二次方程根的判別式與整數(shù)解的綜合（7）判別一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題【即學(xué)即練5】5．（2023下·浙江溫州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，運(yùn)用根的判別式進(jìn)行解答即可．【詳解】解：由題意得：，解得：，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．題型01解一元二次方程——直接開方法1．（2024上·江蘇·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一元二次方程的根是（

）A． B．2 C．或 D．2或【答案】D【分析】本題考查了解一元二次方程，先移項(xiàng)，然后根據(jù)直接開平方解一元二次方程即可求解．【詳解】解：即解得：，故選：D．2．（2024上·云南昭通·九年級(jí)統(tǒng)考期末）方程的根是（

）A． B． C． D．無實(shí)數(shù)根【答案】D【分析】本題考查了解一元二次方程，先移項(xiàng)，然后直接開平方法即可，根據(jù)求一個(gè)數(shù)的平方根，這個(gè)數(shù)得是非負(fù)數(shù)，據(jù)此可得該方程無實(shí)數(shù)根，掌握概念是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，移項(xiàng)得：，∵，∴方程無實(shí)數(shù)根，故選：D．3．（2024上·北京海淀·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于的一元二次方程有整數(shù)根，則整數(shù)的值可以是（寫出一個(gè)即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查了直接開平方法解方程，答案不唯一，【詳解】一元二次方程有整數(shù)根，則整數(shù)，故答案為：1（答案不唯一）．4．（2024上·貴州貴陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一元二次方程的根是．【答案】【分析】本題主要考查利用直接開方法解一元二次方程，將方程移項(xiàng)利用直接開方法求解即可．【詳解】解：移項(xiàng)得，，開方得，．故答案為：．5．（2023上·廣西柳州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）解方程：．【答案】，【分析】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇簡便的方法．利用直接開平方法求解即可．【詳解】解：或∴，．題型02解一元二次方程——配方法1．（2023上·湖南衡陽·九年級(jí)?？计谥校┯门浞椒ń夥匠蹋铝信浞浇Y(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程．先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方進(jìn)行配方即可．【詳解】解：∵，∴，即：，∴，故選：C．2．（2023上·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）用配方法解方程，變形后的結(jié)果正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】此題考查了一元二次方程配方法，把方程的常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊后，在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把左邊化為完全平方式的形式，再用直接開方法求解．【詳解】解：方程，移項(xiàng)得：，配方得：，即，故選：D．3．（2024上·河北邯鄲·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于的一元二次方程配方后得到方程，則的值為．【答案】【分析】本題考查了配方法，代數(shù)式求值，先對(duì)方程配方得，再跟方程對(duì)照得到，，得到，，代入算式計(jì)算即可求解，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：方程移項(xiàng)得，，配方得，，即，∵一元二次方程配方后得到方程，∴，，∴，∴，故答案為：．4、（2022上·陜西咸陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）將方程用配方法化為，則．【答案】22【分析】本題考查了用配方法解一元二次方程和求代數(shù)式的值．把化成一般式，然后根據(jù)題意即可得到和的值，從而可以求得的值．【詳解】解：，，，，，，故答案為：22．5、（2024上·河南商丘·九年級(jí)統(tǒng)考期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋?1)；(2)．【答案】(1)，；(2)，．【分析】（）方程整理得，再利用直接開平方法解答即可求解；（）移項(xiàng)，利用配方法解答即可求解；本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：去括號(hào)得，，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得，，∴，∴，∴，；（2）解：移項(xiàng)得，，配方得，，即，∴∴，．題型03配方法的應(yīng)用1．（2024上·福建泉州·八年級(jí)?？计谀┎徽搙為何值，的值總是（

）A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．非負(fù)數(shù) D．非正數(shù)【答案】A【分析】本題考查配方法的應(yīng)用，把式子化成判斷值的情況是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，∴不論x為何值，的值總是正數(shù)，故選A．2．（2023上·遼寧鞍山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）用配方法解一元二次方程時(shí)，將它化為的形式，則的值為（

）A．1 B． C．4 D．【答案】A【分析】本題考查了用配方法解一元二次方程，先移項(xiàng)再配成完全平方式，結(jié)合，得的值，即可作答．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，則，故選：A3．（2024下·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）代數(shù)式的最小值是，當(dāng)取得最小值時(shí)，x的值是．【答案】71【解析】略4．（2023上·山東青島·九年級(jí)校考期中）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實(shí)配方法還有其它重要應(yīng)用．例如：求代數(shù)式的最小值？解答過程如下：解：．，當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值是0，，當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值是1，的最小值為1．根據(jù)上述方法，可求代數(shù)式當(dāng)時(shí)有最（填“大”或“小”）值，為．【答案】3小3【分析】利用配方法把原式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性解答即可．【詳解】解：，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的最小值是3．故答案為：3，小，3．5．（2024上·山西呂梁·九年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀與思考【閱讀材料】配方法是數(shù)學(xué)中非常重要的一種思想方法，它是指將一個(gè)式子或其某一部分通過恒等變形，化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決問題．【知識(shí)運(yùn)用】周末，明明同學(xué)在復(fù)習(xí)配方法后，他對(duì)代數(shù)式進(jìn)行了配方，發(fā)現(xiàn)，明明發(fā)現(xiàn)是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即，他繼續(xù)探索，利用不等式的基本性質(zhì)得到，即，所以，他得出結(jié)論是的最小值是2，即的最小值是2．明明同學(xué)又進(jìn)行了嘗試，發(fā)現(xiàn)求一個(gè)二次三項(xiàng)式的最值可以用配方法，他自己設(shè)計(jì)了兩個(gè)題，請(qǐng)你解答．（1）求代數(shù)式的最小值；（2）求代數(shù)式的最值．【答案】（1）1；（2）5．【分析】本題考查配方法的應(yīng)用以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，掌握方法是關(guān)鍵．（1）將變形為即可解決；（2）將變形為即可．【詳解】解：（1），的最小值是1；（2），的最大值是5.題型04根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況1．（2024上·湖南株洲·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一元二次方程根的情況是（

）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】B【分析】此題考查了根據(jù)一元二次方程的根的判別式判斷一元二次方程的根的情況，計(jì)算一元二次方程根的判別式，進(jìn)而即可求解，熟練掌握一元二次方程根的判別式，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由方程，得：，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：．2．（2023上·遼寧盤錦·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一元二次方程的根的情況是(

)A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根D．無法確定【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程(a≠0，a，b，c為常數(shù))的根的判別式；把，，代入，然后計(jì)算，最后根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷方程根的情況．【詳解】解：，，，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．3．（2024上·陜西寶雞·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一元二次方程根的判別式的值是．【答案】33【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根的判別式為．根據(jù)根的判別式的定義，計(jì)算的值即可．【詳解】解：由得，，，，．故答案為：334．（2023上·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）一元二次方程的根的判別式．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，根據(jù)，進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：一元二次方程的根的判別式，故答案為：．5．（2024上·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若，且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的積為12，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】此題考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程根的判別式及一元二次方程的解法是解本題的關(guān)鍵．（1）表示出根的判別式，判斷其值大于等于0即可得證；（2）利用因式分解法可得，再由“該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的積為12”可求得，計(jì)算即可求出m的值．【詳解】（1）證明：，，無論取何值時(shí)，，即，原方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：，即：，，該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的積為12，，，．題型05根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)1．（2024上·河南鶴壁·九年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了根的判別式，根據(jù)根的情況確定參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根的判別式，當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，；當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，；當(dāng)方程沒有實(shí)數(shù)根時(shí)，．【詳解】∵的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：，故選：．2．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】本題考查了根的判別式．根的判別式建立關(guān)于m的等式，即可求解．【詳解】解：原方程可化為，由題意知，解得．故選：B．3．（2024上·江蘇常州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式的意義；根據(jù)判別式的意義得到，然后解關(guān)于k的方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，解得．故答案為：．4．（2024·全國·九年級(jí)競(jìng)賽）若關(guān)于的一元二次方程至少有一個(gè)整數(shù)根，且為正整數(shù)，則滿足條件的共有個(gè)．【答案】3【分析】若一元二次方程至少有一個(gè)整數(shù)根，則根的判別式，建立關(guān)于a的不等式，求出根的判別式和a的取值范圍．還要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0．再根據(jù)根的判別式是完全平方數(shù)進(jìn)行求解即可．本題考查了一元二次方程根的判別式以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有整數(shù)根，∴且，解得且，∴方程的根為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，，且為正整數(shù)，∴，∵為完全平方數(shù)且為正整數(shù)，∴或或，解得或6或13，即滿足條件的共有3個(gè)，故答案為：3．5．（2024上·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根(1)求m的取值范圍：(2)當(dāng)m取最大整數(shù)時(shí)，求方程的兩個(gè)根【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)方程的根的判別式即可．（2）根據(jù)根的判別式，結(jié)合根的整數(shù)性質(zhì)，解答即可，熟練掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）∵方程，，∴，∴，解得．（2）∵且取最大整數(shù)，∴，∴，解得．題型06公式法解一元二次方程1．（2024·全國·九年級(jí)競(jìng)賽）若關(guān)于的方程恰有三個(gè)根，則的值為（

）A． B．或 C．或 D．或【答案】B【分析】先化簡絕對(duì)值方程為兩個(gè)一元二次方程①和②，再分三種情況討論：（1）方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)根，方程②有等根；（2）方程②有兩個(gè)不相等的實(shí)根，方程①有等根；（3）兩個(gè)方程均有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且兩個(gè)方程恰有一個(gè)相同的根．針對(duì)每種情況分別利用根的判別式列出方程或不等式求解并驗(yàn)證，即可得到答案．【詳解】，或，整理得①或②，設(shè)方程①的判別式為，方程②的判別式為，若原方程恰有三個(gè)根，則有三種可能：（1），，，此時(shí)，，或，解得，或，滿足題意的t的值是；（2），，，當(dāng)時(shí)，，或，解得，或，，，但，不滿足題意，舍去；（3），且兩方程恰有一個(gè)相同的根，，，設(shè)相同的根為，則，解得，，當(dāng)時(shí)，，解得或或，符合題意；當(dāng)時(shí)，，解得或或，但此時(shí)，三個(gè)解均不合題意，舍去；綜上所述，的值為或．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了解絕對(duì)值方程，用公式法解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，正確理解方程恰有三個(gè)根的含義是解答本題的關(guān)鍵．2．（2024上·河南開封·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于的一元二次方程的根為，則這個(gè)方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了公式法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵在于熟知關(guān)于一元二次方程若有解，則其解為．【詳解】解：由題意得：，，，∴該方程為，故選：．3．（2024上·上海普陀·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：．【答案】【分析】本題主要考查在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，解題的關(guān)鍵是利用求根公式因式分解．時(shí)，，根據(jù)求根公式的分解方法和特點(diǎn)即可求解．【詳解】解：時(shí)，，，故答案為：．4．（2023上·青海果洛·九年級(jí)統(tǒng)考期末）用公式法解關(guān)于x的一元二次方程，得，則該一元二次方程是．【答案】【分析】本題考查了公式法解一元二次方程，熟知求根公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)公式法的求根公式，可得出一元二次方程的各項(xiàng)系數(shù)的值，即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意及求根公式，得，，，該一元二次方程為，故答案為：．5．（2023·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）解方程：．【答案】，．【分析】本題考查了解一元二次方程，利用公式法求解即可，解題的關(guān)鍵在于靈活選取適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋驹斀狻拷猓?，，，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴，．題型07因式分解法解一元二次方程1．（2024上·山東聊城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）方程的解是（

）A． B．C． D．或【答案】C【分析】本題考查解一元二次方程，根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適的方法解方程是解題關(guān)鍵．先移項(xiàng)，再根據(jù)因式分解法求解即可．【詳解】解：，，，，解得：．故選C．2．（2024上·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若代數(shù)式的值與的值相等，則的值是（

）A． B． C．或1 D．或【答案】D【分析】本題主要考查了解一元二次方程．根據(jù)題意列方程得，解出這個(gè)一元二次方程即可．【詳解】解：由題意得，，整理得，，解得，故選：D．3．（2024·全國·九年級(jí)競(jìng)賽）設(shè)，是一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長，且，則這個(gè)直角三角形的斜邊長為．【答案】【分析】本題主要考查解一元二次方程的能力和勾股定理，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法是解題的關(guān)鍵．將看作整體解方程得或（舍），從而得出，即可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴，解得：或（舍），則，∴這個(gè)直角三角形的斜邊長為，故答案為：．4．（2024·全國·九年級(jí)競(jìng)賽）若關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根是0，則．【答案】【分析】把代入方程中，得出關(guān)于的一元二次方程，解方程求的值，注意原方程的二次項(xiàng)系數(shù)．本題考查的是一元二次方程解的定義和一元二次方程的解法．能使方程成立的未知數(shù)的值，就是方程的解，同時(shí)，考查了一元二次方程的定義．【詳解】解：把代入方程中，得，解得或，當(dāng)時(shí)，，舍去，故答案為：．5．（2024上·江蘇無錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了解一元二次方程，掌握因式分解法和公式法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）先移項(xiàng)、然后再運(yùn)用因式分解法求解即可；（2）直接運(yùn)用公式法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：，，，，．（2）解：，，所以，所以．題型08換元法解一元二次方程1．（2024下·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）若實(shí)數(shù)，滿足，則的值為（

）A．5 B．2.5 C．2.5或 D．5或【答案】A【解析】略2．（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級(jí)內(nèi)蒙古師大附中?？计谥校╆P(guān)于的方程的解是，（a，m，b均為常數(shù)，），則方程的解是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】本題考查了用換元法解一元二次方程．根據(jù)關(guān)于的方程的解是，（a，m，b均為常數(shù)，），可知或，進(jìn)一步求解即可．【詳解】解：關(guān)于的方程的解是，（a，m，b均為常數(shù)，），∴在方程中，或，解得，故選：C．3．（2023上·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）設(shè)a，b是一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長，且，則這個(gè)直角三角形的斜邊長為．【答案】2【分析】此題考查了換元法解一元二次方程，以及勾股定理，此題實(shí)際上求的值．設(shè)，將原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程，通過解方程求得t的值即可．【詳解】解：設(shè)，則由原方程，得，整理，得，解得或（舍去）．則，∵a，b是一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長，∴這個(gè)直角三角形的斜邊長為．故答案為：2．4．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若，則的值為．【答案】4【分析】本題考查了因式分解法求值，一元二次方程的解法，正確分解，把握非負(fù)數(shù)的屬性是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵，∴，∴，∴（舍去），故答案為：4．5．（2023上·河南南陽·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）請(qǐng)閱讀下列材料：問題：已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設(shè)所求方程的根為y，則所以．把代入已知方程，得化簡，得故所求方程為．這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．請(qǐng)用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：(1)已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別為已知方程根的相反數(shù)；(2)已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)根，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)，并寫出系數(shù)a、c的取值范圍．【答案】(1)(2)，，【分析】（1）利用換根法，將所求新方程的根換元為原方程根的相反數(shù)，代入原方程化簡即求出新方程；（2）利用換根法，將所求新方程的根換元為原方程根的倒數(shù)，代入原方程化簡即求出新方程；根據(jù)一元二次方程根的特點(diǎn)，可以求出系數(shù)a、c的取值范圍．【詳解】（1）解：設(shè)所求方程的根為y，則所以．把代入已知方程，得化簡，得故所求方程為．（2）設(shè)所求方程的非零實(shí)根為y，則所以．把代入已知方程，得化簡，得故所求方程為；因?yàn)樾路匠毯驮匠谭謩e有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，根據(jù)一元二次方程一般性質(zhì)和特點(diǎn)，則有，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的有關(guān)概念及一元二次方程的一般性質(zhì)和特點(diǎn)，理解掌握一元二次方程的特點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．A夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2024上·吉林·九年級(jí)?？计谀┮辉畏匠痰慕馐牵?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查解一元二次方程，利用因式分解法求解．【詳解】解：，或，解得，故選D．2．（2022·安徽·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值可以是（

）A． B． C．0 D．4【答案】A【分析】本題考查了由一元二次方程根的判別式求參數(shù)的值；，由一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可得即可求解；掌握根的判別式“時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；時(shí)，方程有無的實(shí)數(shù)根．”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得，，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，，即：，解得：；故選：A．3．（2024上·北京密云·九年級(jí)統(tǒng)考期末）用配方法解一元二次方程時(shí)，將原方程配方成的形式，則k的值為．【答案】【分析】本題考查配方法解一元二次方程．利用完全平方法則對(duì)等式左邊進(jìn)行配方即可得到本題答案．【詳解】解：，配方得：，整理得：，∵即為形式，∴，故答案為：．4．（2024上·陜西西安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的一元二次方程（m為常數(shù)）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用．一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）方程沒有實(shí)數(shù)根．根據(jù)根的判別式來求m的取值范圍；【詳解】解：．因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以，所以．故答案為：．5．（2024上·江蘇連云港·九年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）

（2）【答案】（1），；（2），【分析】本題考查解一元二次方程：（1）利用因式分解法求解；（2）利用因式分解法求解．【詳解】解：（1），，或，解得，；（2），，或，解得，．6．（2024上·云南昭通·九年級(jí)統(tǒng)考期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)；(2)．【答案】(1)，．(2)，．【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握配方法及因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）利用配方法即可求解；（2）利用因式分解法即可求解；【詳解】（1）解：移項(xiàng)，得：，配方，得：，開方，得：，解得：，．（2）解：移項(xiàng)，得：，因式分解，得：，即：或，解得：，．B能力提升1．（2024上·四川宜賓·九年級(jí)統(tǒng)考期末）用配方法解一元二次方程時(shí)，配方正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查配方法解一元二次方程，利用配方法對(duì)變形即可得到答案，熟記配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：用配方法解一元二次方程時(shí)，得到，則，即，故選：A．2．（2024上·四川瀘州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在分式方程中，設(shè)，可得到關(guān)于y的整式方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了解分式方程的步驟，將原分式方程可化為：，方程兩邊同時(shí)乘以即可求解．【詳解】解：∵，∴，原分式方程可化為：，方程兩邊同時(shí)乘以得：，即：故選：C3．（2024上·江蘇南京·九年級(jí)南京外國語學(xué)校仙林分校校考階段練習(xí)）如果關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了解一元二次方程—直接開平方法．熟練掌握負(fù)數(shù)沒有平方根是解題的關(guān)鍵．根據(jù)負(fù)數(shù)沒有平方根，求解作答即可．【詳解】解：由題意知，，∵關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)根，∴，即，故答案為：．4．（2024上·重慶潼南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）方程是關(guān)于的一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，那么，原方程可變?yōu)?，先求解，再求解．在這個(gè)過程中，我們利用換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，請(qǐng)你用這種思維方式和換元法解決下面的問題：若，則．【答案】2【分析】本題考查了換元法解一元二次方程．把一些形式復(fù)雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的．設(shè)，原方程可變形為，運(yùn)用因式分解法解得，，再根據(jù)，即可得出．【詳解】解：設(shè)，原方程可變形為，整理得，即，，，，，故答案為：2．5．（2024上·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了一元二次方程的解法，掌握配方法、直接開平方法以及因式分解法是解答本題的關(guān)鍵．（1）用公式法解方程即可；（2）先對(duì)因式分解，然后再移項(xiàng)，最后運(yùn)用因式分解法解答即可【詳解】（1）解：∵，∴，則，即，；（2）解：，，．6．（2024上·河南鶴壁·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的方程．(1)若此方程的一個(gè)根為，則的值為______；(2)求證：對(duì)于任何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查一元二次方程的根，一元二次方程的根的判別式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．（1）把代入原方程求得m的值，進(jìn)一步求得方程的另一個(gè)根即可；（2）只要證明即可；【詳解】（1）解：把代入得，，解得，，故答案為：．（2）證明：．因?yàn)閷?duì)于任何實(shí)數(shù)，總有，所以方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．C綜合素養(yǎng)1．（2024上·四川宜賓·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如果