廣西南寧市橫縣2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

年南寧市橫縣高一年級(jí)下學(xué)期4月考試數(shù)學(xué)試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．滿分150分，考試用時(shí)120分鐘．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目填涂在答題卡和答題紙規(guī)定的地方．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．1．在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則角（）A． B． C． D．2．如圖所示，中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，是線段的靠近的三等分點(diǎn)，則（）A． B． C． D．3．已知兩個(gè)非零向量的夾角為，且，則（）A．3 B． C．2 D．4．已知為不同的平面，為不同的直線，則下列條件中一定能得到的是（）A． B．C． D．5．如圖，正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)在球面上．若，則球的體積是（）A． B． C． D．6．在正方體中，是的中點(diǎn)．若，則點(diǎn)到平面的距離為（）A． B． C． D．37．正三棱錐的底面是面積為的正三角形，高為，則其內(nèi)切球的表面積為（）A． B． C． D．8．如圖，在多面體中，平面平面，且，則（）A．平面 B．平面C． D．平面平面二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，錯(cuò)選不得分．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．9．有下列說(shuō)法，其中正確的說(shuō)法為（）A．若，則B．若，則是三角形的垂心C．兩個(gè)非零向量，若，則與共線且反向D．若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得10．在中，點(diǎn)滿足，過(guò)點(diǎn)的直線與所在的直線分別交于點(diǎn)，若，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．C．為定值 D．的最小值為11．已知正方體，則（）A．直線與所成的角為B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為D．直線與平面所成的角為12．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，則（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．設(shè)是不共線的向量，若，三點(diǎn)共線，則的值為________．14．是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，且，若，則實(shí)數(shù)________．15．已知是兩個(gè)不同的平面，是平面及之外的兩條不同的直線，給出四個(gè)論斷：①；②；③；④．以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：________．16．如圖，在長(zhǎng)方形中，為的中點(diǎn)，為線段（端點(diǎn)除外）上一動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)將沿折起，使平面平面．在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，垂足為．設(shè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）在中，角的對(duì)邊分別為．已知．（1）證明：．（2）若為的中點(diǎn)，從①，②，③這三個(gè)條件中選取兩個(gè)作為條件證明另外一個(gè)成立．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．18．（12分）已知向量的夾角為，且．（1）求；（2）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)．19．（12分）已知一圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為．（1）求圓錐的高；（2）若圓錐內(nèi)有一球與圓錐的底面及圓錐的所有母線都相切，求此球的表面積．20．（12分）如圖①，已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)分別是邊上的點(diǎn)，且．如圖②，將沿折起到的位置．圖①圖②（1）求證：平面平面．（2）給出三個(gè)條件：①；②二面角的大小為的大小為；③到平面的距離為．在其中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題的條件中，并作答：已知________，在線段上是否存在一點(diǎn)，使三棱錐的體積為？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．（12分）如圖所示，平面平面，平面平面平面為垂足．求證：（1）平面；（2）當(dāng)為的垂心時(shí)，是直角三角形．22．（12分）在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將由四個(gè)直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”．已知三棱錐中，平面．（1）從三棱錐中選擇合適的兩條棱填空．若________________，則該三棱錐為“鱉臑”．（2）已知三棱錐是一個(gè)“鱉臑”，且．（1）若上有一點(diǎn)，如圖①所示，試在平面內(nèi)作出一條過(guò)點(diǎn)的直線，使得與垂直，說(shuō)明作法，并給予證明；（2）若點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，如圖②所示，且平面，證明是平面與平面的二面角的平面角．參考答案1．答案：D解析：因?yàn)?，所以，所以，又，所以．故選：D．2．答案：B解析：由題意：．故選：B．3．答案：B解析：非零向量的夾角為，且，，可得，，，．故選：B．4．答案：C解析：在選項(xiàng)A中，，則和可能平行或相交，故A錯(cuò)誤；在選項(xiàng)B中，，則與相交或或，故B錯(cuò)誤；在選項(xiàng)C中，因?yàn)?，所以，又，所以，故C正確；在選項(xiàng)D中，由，不能推出，所以由不能推出，故D錯(cuò)誤．故選C．5．答案：C解析：設(shè)球的半徑為．因?yàn)檎睦忮F底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上，且點(diǎn)在球面上，所以底面，正方形的面積．因?yàn)?，所以，解得，所以球的體積．6．答案：B解析：在正方體中，是的中點(diǎn)，則，．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，解得．故選B．7．答案：D解析：如圖，設(shè)為底面正三角形的中心，平面，則正三棱錐的體積．連接并延長(zhǎng)交于，則為的中點(diǎn)，所以，則，所以，所以，所以正三棱錐的表面積．設(shè)內(nèi)切球半徑為，則，即，解得，所以內(nèi)切球的表面積為，故選D．8．答案：A解析：取的中點(diǎn)，連接，如圖所示．因?yàn)?，且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，且．因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，所以，又，所以，所以四邊形是平行四邊形，即．又平面平面，所以平面，選項(xiàng)A正確；根據(jù)已知條件無(wú)法判斷與平面平行，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；沒有條件可以判斷，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；沒有條件可以判斷平面與平面平行，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選A．9．答案：BC解析：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，與不一定共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，所以，同理，故是三角形的垂心，故B正確；對(duì)于C，由共線向量的性質(zhì)可知，若，則與共線且反向，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，顯然有，但此時(shí)不存在，故D錯(cuò)誤．故選：BC．10．答案：BCD解析：如下圖所示：，即，，三點(diǎn)共線，則．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為，故選：B．11．答案：ABD解析：如圖，連接，因?yàn)?，所以直線與所成的角即為直線與所成的角．因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，故直線與所成的角為，A正確；連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以．因?yàn)?，所以平面．又平面，所以，故B正確；連接，設(shè)，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以．因?yàn)?，所以平面，所以為直線與平面所成的角．設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則，所以直線與平面所成的角為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確．故選ABD．12．答案：AC解析：方法一：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋?，則，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋?，，?dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，，所以，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，，，當(dāng)且時(shí)，，故D錯(cuò)誤．故選AC．方法二：如圖，由圖可知，故A正確；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，且，故C正確；，因?yàn)榕c不一定相等，故D錯(cuò)誤．故選AC．13．答案：解析：因?yàn)槭遣还簿€的向量，所以可以作為平面內(nèi)一組基底，因?yàn)椋?，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以，解得．故答案為：．14．答案：解析：因?yàn)?，所以，使得成立，所以，即．因?yàn)椴还簿€，所以（否則，不妨設(shè)，則，與不共線矛盾），解得．故答案為．15．答案：①③④②（或②③④①）解析：是兩個(gè)不同的平面，是平面及之外的兩條不同的直線，若①，③，則．又④②．即①③④②．若②，③，則．又④①．即②③④①．16．答案：解析：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接平面平面，平面平面平面平面平面，，平面平面．與折前的圖形對(duì)比，可知折前的圖形中，三點(diǎn)共線，且在折前的圖形中，即，．17．答案：（1）證明見解析（2）證明見解析解析：（1）已知，由余弦定理可得，即，又由正弦定理，得，角為中內(nèi)角，所以．（2）中，為的中點(diǎn)，如圖所示，①②③已知，求證．證明：中，，解得．②①③②已知，求證．證明：，所以中，．②③①已知，求證：．證明：，在中，由余弦定理，，所以．18．答案：（1）（2）12解析：（1）由，則．（2）由題設(shè)，則．19．答案：（1）（2）解析：（1）由題意知，圓錐的高．（2）設(shè)圓錐內(nèi)切球的半徑為，則，解得，所以所求球的表面積．20．答案：（1）證明見解析（2）若用條件①，存在點(diǎn)滿足題目條件，此時(shí)若用條件②，存在點(diǎn)滿足題目條件，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，故若用條件③，不存在滿足題目條件的點(diǎn)解析：（1）證明：由已知得等邊三角形中，，由余弦定理得，．又平面．又平面平面平面．（2）若用條件①，由（1）得，又和是兩條相交直線，平面．又等邊三角形的高為，，故三棱錐的體積，存在點(diǎn)滿足題目條件，此時(shí)．若用條件（2）二面角的大小為，由（1）得是二面角的平面角，，．又等邊三角形的高為，故三棱錐的體積，存在點(diǎn)滿足題目條件，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，故．若用條件③到平面的距離為，由題可知，等邊三角形的高為，則，則三棱錐的體積不存在滿足題目條件的點(diǎn)．21．答案：（1）證明見解析（2）證明見解析解析：（1）如圖，在平面內(nèi)取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)于點(diǎn)．平面平面，且平面平面平面．又平面．同理可證．平面．（2）如圖，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．是的垂心，．又平面平面．又平面．平面．又平面平面．又平面．平面，即是直角三角形．22．答案：（1）（2）見解析解析：（1）解析：因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，，因此是兩個(gè)直角三角形．當(dāng)時(shí)，顯然是直角三角形，因?yàn)槠矫?，所以平面，而平面，所以，因此是直角三角?/p>