數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理過程

關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理過程一、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論的心理學(xué)基礎(chǔ)幾個(gè)基本內(nèi)容基于行為主義的學(xué)習(xí)觀基于認(rèn)知主義的學(xué)習(xí)觀基于人本主義的學(xué)習(xí)觀基于建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀第2頁,共136頁，2024年2月25日，星期天1、基于行為主義的學(xué)習(xí)觀行為主義心理學(xué)起源于20世紀(jì)初，代表人物有：桑代克、華生、赫爾、斯金納、布魯姆第3頁,共136頁，2024年2月25日，星期天基本學(xué)習(xí)觀：

（1）行為主義把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)看成是“刺激—反應(yīng)”的聯(lián)結(jié)

（2）行為主義把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)看成是試誤的過程

（3）行為主義認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是在機(jī)械練習(xí)中形成習(xí)慣

（4）斯金納強(qiáng)調(diào)“強(qiáng)化”在學(xué)習(xí)中的作用

第4頁,共136頁，2024年2月25日，星期天對(duì)行為主義學(xué)習(xí)理論的反思：

對(duì)于一些簡單材料的學(xué)習(xí)，或?qū)τ趶?fù)雜學(xué)習(xí)的開始階段，可以用刺激反應(yīng)的聯(lián)結(jié)作出解釋，但是，當(dāng)學(xué)習(xí)材料復(fù)雜程度增加而不要高級(jí)智力參與時(shí)，聯(lián)結(jié)主義理解就很難自圓其說。

（1）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是“刺激—反應(yīng)”的簡單連接

例如：有理數(shù)的運(yùn)算，代數(shù)式的運(yùn)算，解一元一次方程組等。第5頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（2）數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)不能理解為建立在大量的機(jī)械練習(xí)上第6頁,共136頁，2024年2月25日，星期天2、基于認(rèn)知主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀與行為主義注重學(xué)習(xí)者的外顯行為相反，認(rèn)知主義注重學(xué)習(xí)著的心理變化。揭示了學(xué)習(xí)者認(rèn)知過程的內(nèi)部心理機(jī)制。代表人物：皮亞杰，維果茨基，布魯納，奧蘇泊爾。第7頁,共136頁，2024年2月25日，星期天基本觀點(diǎn)：（1）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是個(gè)體的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷得到發(fā)生、變化和發(fā)展的過程第8頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（2）加涅的信息加工論接受加工貯存提取第9頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（3）皮亞杰的兒童認(rèn)識(shí)發(fā)展皮亞杰是瑞士著名的心理學(xué)家，認(rèn)為兒童的認(rèn)知機(jī)構(gòu)上的差異與年齡有關(guān)，并將其劃分為：

感覺運(yùn)動(dòng)階段、前運(yùn)演階段、具體運(yùn)演階段、形式運(yùn)演階段。第10頁,共136頁，2024年2月25日，星期天感覺運(yùn)動(dòng)階段（0—2歲）：用身體的本能的反射來學(xué)習(xí)和認(rèn)識(shí)世界。第11頁,共136頁，2024年2月25日，星期天前運(yùn)演階段（2—7歲）：這一階段的兒童，思維處于邏輯結(jié)構(gòu)和空間結(jié)構(gòu)的萌芽狀態(tài)。對(duì)相關(guān)概念、符號(hào)等的理解，需要形象、具體的事物的幫助。（Ⅰ）前運(yùn)演階段的兒童對(duì)概念的理解停留在對(duì)“指代物”的依賴上，還不能獨(dú)立理解概念或命題的抽象表征。第12頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例如：對(duì)數(shù)字“3”的認(rèn)識(shí)，總是與某指代物相聯(lián)系，以“3個(gè)蘋果”、“3棵樹”等之類的實(shí)物作為中介，去理解認(rèn)識(shí)“3”是所有由3個(gè)元素構(gòu)建的集合的共同本質(zhì)。這個(gè)階段的兒童，對(duì)概念或命題的學(xué)習(xí)還停留在對(duì)“指代物”的依賴上，還不能獨(dú)立的理解其抽象的表征。例如：“3+2=？”必須要同諸如“樹上原有3只鳥，又飛來2只鳥“之類的事物聯(lián)系在一起。第13頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（Ⅱ）原始狀態(tài)的推理開始提出“為什么”的問題，但是沒有建立起邏輯上的因果關(guān)系。思維不可逆例如：能計(jì)算3+2=5.但是不能由此推導(dǎo)出5-2=3思維具有間接性和跳躍性不是一種直接的邏輯關(guān)系例如：A>B,B>c,則A>C。這一階段的兒童能立即這種“傳遞性”第14頁,共136頁，2024年2月25日，星期天具體運(yùn)演階段（Ⅰ）概念性思維的形成不再完全依賴實(shí)物的表象認(rèn)識(shí)概念，但是“具體事物”仍然是學(xué)習(xí)過程中的輔助，不能完全脫離。（Ⅱ）思維具有可逆性（Ⅲ）能進(jìn)行初步的演繹推理第15頁,共136頁，2024年2月25日，星期天形式運(yùn)演階段：此階段，思維逐步脫離具體對(duì)象朝著抽象水平進(jìn)行思維活動(dòng)，形式化推理逐步形成。例如：函數(shù)單調(diào)性的證明第16頁,共136頁，2024年2月25日，星期天對(duì)認(rèn)知主義學(xué)習(xí)觀的反思：人的思維還不能完全用計(jì)算機(jī)模擬認(rèn)知心理學(xué)不關(guān)注人的非認(rèn)知因素第17頁,共136頁，2024年2月25日，星期天3、基于人本主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀人本主義認(rèn)為，有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并非只涉及記憶和思維的純粹認(rèn)知上的學(xué)習(xí)。而是一種與人的生活及實(shí)踐活動(dòng)息息相關(guān)的人格化的、內(nèi)在的學(xué)習(xí)。人的認(rèn)知與情行為和個(gè)性等方面均融于其中，產(chǎn)生整合效應(yīng)，從而導(dǎo)致人的整體的改變。代表人物：馬斯洛、羅杰斯第18頁,共136頁，2024年2月25日，星期天基本觀點(diǎn)（1）行為主義把學(xué)習(xí)解釋為由外部刺激引起個(gè)體的行為改變忽視人的主觀能動(dòng)性；認(rèn)知主義把學(xué)習(xí)解釋為信息加工的過程，強(qiáng)調(diào)個(gè)體知識(shí)系統(tǒng)的建立、豐富和發(fā)展，忽視非認(rèn)知因素在學(xué)習(xí)中的作用。人本主義強(qiáng)調(diào)“情、意、志”在學(xué)習(xí)中的作用（2）重視個(gè)體的經(jīng)驗(yàn)。經(jīng)驗(yàn)是人類認(rèn)識(shí)與變化的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)活動(dòng)一旦與人的生活經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系，成效顯著。第19頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（3）羅杰斯的基本理念（Ⅰ）意義學(xué)習(xí)的四要素學(xué)習(xí)具有個(gè)人參與的性質(zhì)，即整個(gè)人（包括情感和認(rèn)知）都投入學(xué)習(xí)活動(dòng)中；學(xué)習(xí)是自發(fā)的；學(xué)習(xí)是滲透性的，會(huì)使學(xué)生的行為、態(tài)度乃至個(gè)性都產(chǎn)生變化；學(xué)習(xí)由學(xué)生自我評(píng)價(jià)。第20頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（Ⅱ）以自由為基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)原則人皆有天賦的學(xué)習(xí)潛力；教材有意義且符合學(xué)生目的才會(huì)產(chǎn)生學(xué)習(xí)；（教材有意義指學(xué)習(xí)者對(duì)教材的知覺和看法，能滿足學(xué)生的好奇心，能提高他們的自尊感，符合他們的生活經(jīng)驗(yàn)，這樣的教材才是有意義的。在較少威脅的教育情境下才能有效學(xué)習(xí)；自發(fā)地全身心投入的學(xué)習(xí)才會(huì)產(chǎn)生良好效果；自評(píng)學(xué)習(xí)結(jié)果可以養(yǎng)成學(xué)生獨(dú)立思維能力和創(chuàng)造里；重視知識(shí)之外的生活能力以適應(yīng)社會(huì)的發(fā)展。第21頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（4）我國于2001年，教育部頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》。課程總體目標(biāo)中的子目標(biāo)“情感與態(tài)度”方面的具體要求為：能積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲；在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的一直，建立自信心；初步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)活動(dòng)中充滿的探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性；形成事實(shí)求是的態(tài)度以及進(jìn)行質(zhì)疑和獨(dú)立思考的習(xí)慣。第22頁,共136頁，2024年2月25日，星期天對(duì)人本主義的反思：從嚴(yán)格意義上，人本主義心理學(xué)并沒有建立一套完整的學(xué)習(xí)理論。但是，從行為控制到認(rèn)知加工，再到人本主義走向人格建構(gòu)，無疑豐富了學(xué)習(xí)的理論內(nèi)涵，使人們對(duì)學(xué)習(xí)的本質(zhì)有了多層次的理解和多視角的認(rèn)識(shí)。但也存在一定的不足之處：（Ⅰ）教育目標(biāo)的含糊性情感態(tài)度方面的教學(xué)目標(biāo)的界定比較困難，人本主義心理學(xué)家在揭示一些心理現(xiàn)象時(shí)，常用一些易造成一定程度上的誤解和難以做出評(píng)價(jià)。比如“真誠感”。第23頁,共136頁，2024年2月25日，星期天

（Ⅱ）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能脫離數(shù)學(xué)學(xué)科自身的邏輯性人本主義并不主張教學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)性，認(rèn)為教學(xué)內(nèi)容的選取與編排應(yīng)合乎兒童的興趣和要求。比如，羅杰斯認(rèn)為：呈現(xiàn)教材并不重要，重要的是引導(dǎo)學(xué)生從教材中獲取個(gè)人意義。第24頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（Ⅲ）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開教師的主導(dǎo)

羅杰斯認(rèn)為：教師應(yīng)幫助引出并且弄清學(xué)生希望做的事情；幫助學(xué)生組織已認(rèn)可的經(jīng)驗(yàn)，提供廣泛的學(xué)習(xí)活動(dòng)與學(xué)習(xí)材料；教師作為一種靈活的資源為學(xué)生服務(wù)；建立融洽的課堂氣氛；作為學(xué)習(xí)參與著參加學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)；主動(dòng)與小組成員分享感情和思想；認(rèn)知并承認(rèn)自己的缺點(diǎn)。第25頁,共136頁，2024年2月25日，星期天從上述原則，可以看出人本主義對(duì)建立師生的平等關(guān)系，促進(jìn)師生和諧與融洽，建立良好的教學(xué)氛圍等，起到了積極的作用。但是這種平等的交流很難把控，會(huì)導(dǎo)致教師的導(dǎo)學(xué)作用散失，學(xué)生放任自流。第26頁,共136頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性決定數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能只是依賴與學(xué)生的“內(nèi)發(fā)”，教師的“外鑠”也是必要的。數(shù)學(xué)——由成人建構(gòu)的抽象理論要靠兒童自己去發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)、自發(fā)學(xué)習(xí)、自我建構(gòu)是不現(xiàn)實(shí)的。美國教育家——杜威的“做中學(xué)”第27頁,共136頁，2024年2月25日，星期天二、數(shù)學(xué)知識(shí)的分類和表征1、數(shù)學(xué)知識(shí)的分類數(shù)學(xué)知識(shí)分為：陳述性知識(shí)、程序性知識(shí)、過程性知識(shí)（1）陳述性知識(shí)是關(guān)于事實(shí)的知識(shí)，是人們所知道的有關(guān)事物狀況的知識(shí)。數(shù)學(xué)教材中的概念、命題均可視為陳述性知識(shí)。第28頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（2）程序性知識(shí)

是關(guān)于人們?cè)鯓幼鍪碌闹R(shí)，由完成一件事所規(guī)定的程序步驟以及策略組成的知識(shí)。第29頁,共136頁，2024年2月25日，星期天按照上述定義，程序性知識(shí)本質(zhì)上表現(xiàn)為一種技能，又渴分為兩個(gè)亞類：一類是通過練習(xí)，其運(yùn)用能達(dá)到相對(duì)自動(dòng)化，很少或者不需意識(shí)控制的知識(shí)，稱之為，智慧技能。另一類是受意識(shí)控制的，其運(yùn)用難以達(dá)到自動(dòng)化的程度，稱之為認(rèn)知策略。第30頁,共136頁，2024年2月25日，星期天受意識(shí)控制的程序性知識(shí)智慧技能自動(dòng)化的程序性知識(shí)簡單操作性技能復(fù)雜操作性技能認(rèn)知策略第31頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（3）過程性知識(shí)是伴隨數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的體驗(yàn)性知識(shí)第32頁,共136頁，2024年2月25日，星期天2、知識(shí)的表征

知識(shí)的表征指人在自己的工作記憶和長時(shí)記憶中對(duì)信息的貯存、表示和再現(xiàn)方式。第33頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（1）陳述性知識(shí)的表征陳述性知識(shí)的表征表象表征命題網(wǎng)絡(luò)表征層次網(wǎng)絡(luò)模型激活擴(kuò)散模型第34頁,共136頁，2024年2月25日，星期天層次網(wǎng)絡(luò)模型：指人們?cè)诒碚魇挛飼r(shí)，按概念的從屬關(guān)系相應(yīng)地實(shí)行分級(jí)貯存，在每一級(jí)概念的水平上，只貯存該級(jí)概念獨(dú)有的特征，而同一級(jí)的各概念所具有的共同特征則貯存在上一級(jí)概念水平上。第35頁,共136頁，2024年2月25日，星期天三角形有三條邊內(nèi)角和1800任意兩邊之和大于第三邊等腰三角形等邊三角形直角三角形勾股定理斜邊中線長等于斜邊的一半底角相等三線合一各個(gè)內(nèi)角相等外心與內(nèi)心重合第36頁,共136頁，2024年2月25日，星期天層次網(wǎng)絡(luò)模型體現(xiàn)了概念、命題之間的縱向聯(lián)系，忽視了各層次概念間和同一層次概念間的橫向聯(lián)系。第37頁,共136頁，2024年2月25日，星期天激活擴(kuò)散模型：與層次網(wǎng)絡(luò)模型不同，激活擴(kuò)散模型放棄了概念的層次結(jié)構(gòu)，而以語義聯(lián)系或語義相似性將概念組織起來，不僅說明概念間的縱向聯(lián)系，而且還刻畫了概念間的橫向聯(lián)系，因此，激活擴(kuò)散模型對(duì)陳述性知識(shí)的表征更加合理。第38頁,共136頁，2024年2月25日，星期天表象表征：指人們借助于對(duì)事物知覺的表象去記憶或貯存陳述性知識(shí)的方式。人在知覺事物時(shí)會(huì)在頭腦中形成該事物的形象，而在記憶該事物時(shí)，往往以表象的形式呈現(xiàn)出來。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，由于數(shù)與形有對(duì)應(yīng)關(guān)系，因而在表征數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí)往往借助于表象。第39頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例如：正弦函數(shù)個(gè)體頭腦中首先會(huì)呈現(xiàn)出它們的圖像，而不是它們的代數(shù)意義。表象表征是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對(duì)陳述性知識(shí)表征的一種重要形式。第40頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例如：直角三角形，等腰三角形等是以圖形表象的形式貯存在學(xué)習(xí)者的知識(shí)系統(tǒng)中第41頁,共136頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學(xué)概念的表象不僅是對(duì)事物在知覺基礎(chǔ)上所形成的感性形象，而更多的情形是一種“想象表象”或“實(shí)例表象”，即個(gè)人通過自己的想象去構(gòu)造一種可以表述對(duì)象的模型。例如：對(duì)于集合語言“A是B的真子集”，可以想象成“圓A位于圓B中。第42頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例如：三角公式：1sinxcosxtanxsecxcscxcotx第43頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例如：一元二次方程：第44頁,共136頁，2024年2月25日，星期天【注】陳述性知識(shí)的表象表征，有助于學(xué)生理解知識(shí)，有助于學(xué)習(xí)者減輕記憶負(fù)擔(dān)。但也會(huì)造成一種思維定勢或者以特殊代替一般的錯(cuò)誤認(rèn)知。第45頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（2）程序性知識(shí)的表征程序性知識(shí)是以“產(chǎn)生式”這種動(dòng)態(tài)形式來表征。產(chǎn)生式：是一條“如果.....那么.....”的規(guī)則，即一個(gè)產(chǎn)生式是對(duì)某一或某些特定的條件滿足時(shí)，才發(fā)生某種行為所編的程序。事實(shí)上，程序性知識(shí)的表征，是“如果....那么....”一系列重疊產(chǎn)生式組成一個(gè)產(chǎn)生式系統(tǒng)。第46頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例如：一元二次方程的判定如果：目標(biāo)是考查判定對(duì)象是否是一元二次方程那么：提取已建構(gòu)的標(biāo)準(zhǔn)式且找出判定對(duì)象與標(biāo)準(zhǔn)的異同，得出結(jié)論第47頁,共136頁，2024年2月25日，星期天【注】陳述性知識(shí)與程序性知識(shí)的異同由定義可以看出兩類知識(shí)沒有嚴(yán)格的分解，把一個(gè)概念或一個(gè)規(guī)則作為一種事實(shí)靜態(tài)看待，它是陳述性知識(shí)，如果應(yīng)用這個(gè)概念或法則解決問題，那么，它是一種程序性知識(shí)。陳述性知識(shí)是程序性知識(shí)的基礎(chǔ)，程序性知識(shí)由陳述性知識(shí)轉(zhuǎn)化而來。第48頁,共136頁，2024年2月25日，星期天差異：兩種知識(shí)的表征形式不同兩種知識(shí)獲得的速度不同陳述性知識(shí)獲得的速度比程序性知識(shí)快。例如，多位數(shù)加、減、乘、除這類運(yùn)算是不可能只嘗試解決一兩個(gè)問題便能獲得，要真正使某一復(fù)雜的認(rèn)知技能自動(dòng)化，可能需要付出上萬次的努力與練習(xí)。第49頁,共136頁，2024年2月25日，星期天對(duì)兩種知識(shí)作出改變的難以程度不同由于陳述性知識(shí)的基本單位所付出的的代價(jià)相對(duì)低，即可以較快地獲得，因而對(duì)這些基本單位做修正也是相對(duì)容易。當(dāng)然，其中一些定了型的圖式要改變是比較困難的。同陳述性知識(shí)相比程序性知識(shí)僅在早期的獲得容易改變，一旦它們?cè)谌说挠洃浿凶兒昧顺绦?，且達(dá)到自動(dòng)化的程度后，再要對(duì)其作出改變就相當(dāng)困難。第50頁,共136頁，2024年2月25日，星期天3、數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)定義：數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)：是數(shù)學(xué)課程與教材的知識(shí)體系，是由數(shù)學(xué)概念、公理、定理和方法形成的知識(shí)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)：是存在于學(xué)生頭腦里的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)有機(jī)結(jié)合而形成的心理結(jié)構(gòu)。第51頁,共136頁，2024年2月25日，星期天二者的異同：聯(lián)系：學(xué)生的認(rèn)知機(jī)構(gòu)是由數(shù)學(xué)科學(xué)中的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化而來，而數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)賴以形成的基礎(chǔ)和依據(jù)。第52頁,共136頁，2024年2月25日，星期天區(qū)別：（1）內(nèi)涵不同數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)是反映人類對(duì)數(shù)量關(guān)系和空間形式的認(rèn)識(shí)工具。數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是經(jīng)過學(xué)生主觀改造的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，具有數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的客觀性和個(gè)體建構(gòu)的主觀性。第53頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（3）結(jié)構(gòu)的構(gòu)造不同作為課程內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)是一個(gè)相對(duì)嚴(yán)密的邏輯體系，其內(nèi)容前后連貫有序，相對(duì)完善，具有數(shù)學(xué)科學(xué)的結(jié)構(gòu)特征。而學(xué)生頭腦里的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)往往出現(xiàn)殘缺不全、曲解等現(xiàn)象，可能淡化了邏輯順序和層次性，不同內(nèi)容之間呈現(xiàn)融合趨勢。第54頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（3）完備性不同數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)在內(nèi)容上都是相對(duì)系統(tǒng)的。完備的無缺口的，結(jié)構(gòu)本身涵蓋了它的全部內(nèi)容。而數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)習(xí)者在數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上的主觀建構(gòu)。可能會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤，主要因?yàn)閷W(xué)習(xí)者本身在接受、理解上的失誤和學(xué)習(xí)后的遺忘等原因，在內(nèi)容上常常是有缺口的、不完備的。第55頁,共136頁，2024年2月25日，星期天刻畫數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)優(yōu)良程度的參數(shù)：可利用性指原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)觀念是否可以用來與新觀念建立聯(lián)系。為新概念提供生長的固著點(diǎn)。固著點(diǎn)能有利于學(xué)生新概念的理解。固著點(diǎn)可以是一些顯性的概念、命題也可以是相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法或思維、方式。可以利用的知識(shí)，觀念缺乏，造成認(rèn)知的障礙。第56頁,共136頁，2024年2月25日，星期天可辨別性：指原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的觀念和新觀念之間是否可以清晰地辨別。穩(wěn)定性：指數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中起固著點(diǎn)作用的觀念是否穩(wěn)定、清晰。這將影響到能否為新的學(xué)習(xí)提供強(qiáng)有力的固著點(diǎn)，而且還影響到新舊知識(shí)之間的可辨別性。第57頁,共136頁，2024年2月25日，星期天良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特征：足夠多的觀念是問題解決的必要條件具備穩(wěn)定而又靈活的產(chǎn)生式層次分明的觀念網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)一定的問題解決策略的觀念第58頁,共136頁，2024年2月25日，星期天三、數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)方式1、認(rèn)知學(xué)習(xí)過程分析認(rèn)知順應(yīng)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)量的變化原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)同化質(zhì)的變化認(rèn)知同一認(rèn)知沖突擴(kuò)充延伸調(diào)整改組激活第59頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（Ⅰ）同化學(xué)習(xí)當(dāng)新的內(nèi)容輸入以后，主體并不是消極地接受它們，而是利用已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)新知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行編碼，使新內(nèi)容納入到原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。在同化過程中，主要是辨識(shí)新舊知識(shí)的聯(lián)系，并由原來的舊知識(shí)作為固著點(diǎn)，把新知識(shí)歸屬于原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到分化和擴(kuò)充。第60頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（Ⅱ）順應(yīng)學(xué)習(xí)如果新舊知識(shí)的學(xué)習(xí)想通過與相關(guān)舊知識(shí)建立聯(lián)系來獲得新知識(shí)的意義比較困難。此時(shí)，必須對(duì)原有數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行改組，使之與新知識(shí)內(nèi)容相適應(yīng)。第61頁,共136頁，2024年2月25日，星期天

定義：客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性在人腦中的反映。數(shù)學(xué)概念的構(gòu)成：

內(nèi)涵：概念反映的所有對(duì)象的共同本質(zhì)屬性的總和

外延：概念反映的所有對(duì)象的全體2、數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)第62頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（1）數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的基本形式（Ⅰ）數(shù)學(xué)的表征學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的表征學(xué)習(xí)是將數(shù)學(xué)的名詞、符號(hào)所代表的具體對(duì)象在認(rèn)知結(jié)構(gòu)里建立等值關(guān)系。這種具體對(duì)象稱為數(shù)學(xué)名詞符號(hào)的指代物。第63頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例如：學(xué)習(xí)“三角形”學(xué)生只要與自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的三角尺、房頂、紅領(lǐng)巾等指代物聯(lián)系起來，就是進(jìn)行“三角形”這一名詞概念的表征學(xué)習(xí)。在數(shù)學(xué)表征學(xué)習(xí)的這個(gè)層次上，學(xué)生對(duì)“三角形”這一名詞已獲得了意義。第64頁,共136頁，2024年2月25日，星期天

在表征學(xué)習(xí)中的“指代物”并非都是些具體事物。大部分?jǐn)?shù)學(xué)名詞符號(hào)的指代物本身就是抽象的。例如：函數(shù)的指代物：第65頁,共136頁，2024年2月25日，星期天【注】：①數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)僅僅停留在表征學(xué)習(xí)階段是不行的，因?yàn)橹复锂吘共皇菙?shù)學(xué)名詞符號(hào)的本質(zhì)屬性，只停留在指代物學(xué)習(xí)階段（水平），容易導(dǎo)致非本質(zhì)屬性泛化的錯(cuò)誤。例如：把函數(shù)總寫成統(tǒng)一表達(dá)式的形式，容易造成本質(zhì)理解的片面。學(xué)習(xí)函數(shù)：辨析函數(shù)：第66頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例如：三角形的高第67頁,共136頁，2024年2月25日，星期天

②數(shù)學(xué)的抽象性很強(qiáng)，早期進(jìn)行表征學(xué)習(xí)，可以增強(qiáng)數(shù)學(xué)名詞符號(hào)的直觀性。獲得有關(guān)的直觀背景和豐富經(jīng)驗(yàn)，成為對(duì)象意義學(xué)習(xí)的必要階段。第68頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（Ⅱ）數(shù)學(xué)的概念學(xué)習(xí)是要獲得數(shù)學(xué)名詞的概念意義，即掌握它們所以代表的一類事物的共同本質(zhì)屬性。例如：三角形這個(gè)名詞的概念意義，脫離各種具體的有三角形狀的實(shí)物，僅僅理解為：三條線段，首尾相連的封閉圖形，而與材料，顏色、大小等無關(guān)。第69頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（2）數(shù)學(xué)概念的獲得方式（Ⅰ）概念的形成一般是針對(duì)由弱抽象形成的概念。如果某些對(duì)象的關(guān)鍵屬性主要是由學(xué)生在對(duì)大量同類數(shù)學(xué)對(duì)象的不同例證進(jìn)行分析、類比、猜測、聯(lián)想、歸納等活動(dòng)的基礎(chǔ)上，獨(dú)立概括出來的，那么這個(gè)概念的獲得方式稱為概念形成。第70頁,共136頁，2024年2月25日，星期天問題情境：面積為2平方米的長方形一邊為3米，則另一邊為（）米面積為S平方米的長方形邊長為a米，則另一邊為（）米

一箱蘋果售價(jià)p元，總重量m千克，箱重n千克，則每千克蘋果的售價(jià)為（）元案例：分式第71頁,共136頁，2024年2月25日，星期天案例：函數(shù)汽車以60千米/小時(shí)，均勻行駛，行程為S千米，行駛時(shí)間為t，先填下表，再用含t的式子表達(dá)S.第72頁,共136頁，2024年2月25日，星期天每張電影票的售價(jià)為10元，如果早場售出150張，午場售出205張，晚場售出310張，三場的總收入是多少？設(shè)一場電影售出x張票，票房收入為y元，怎樣用含有x的式子表示y？畫面積為10平方厘米的圓，半徑應(yīng)該取多少？面積為20平方厘米，半徑應(yīng)該如何取？怎樣用含面積S的式子表示r？第73頁,共136頁，2024年2月25日，星期天“過程”對(duì)概念學(xué)習(xí)的意義：案例：平均數(shù)問題：三個(gè)小朋友分別進(jìn)行了3次一分鐘套圈比賽。明明的成績?yōu)椋?,4,4亮亮的成績?yōu)椋?,5,7強(qiáng)強(qiáng)的成績?yōu)椋?,7,3如何表示三個(gè)同學(xué)套圈的整體水平？第74頁,共136頁，2024年2月25日，星期天意義：學(xué)生除了學(xué)習(xí)到相關(guān)的數(shù)學(xué)概念，同時(shí)也學(xué)習(xí)了解決問題的方法。過程可以幫助學(xué)生更好的理解數(shù)學(xué)概念。第75頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（Ⅱ）概念同化一般是針對(duì)由強(qiáng)抽象形成的概念。如果學(xué)習(xí)過程是以定義形式直接向?qū)W生呈現(xiàn)概念的關(guān)鍵特征，學(xué)生主動(dòng)將新概念與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念相互聯(lián)系，相互作用并領(lǐng)會(huì)新概念的本質(zhì)屬性，從而獲得新概念。第76頁,共136頁，2024年2月25日，星期天3、數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)命題：主要指數(shù)學(xué)對(duì)象即數(shù)學(xué)概念的屬性（包括性質(zhì)、定理、判定等）；以及對(duì)象之間的關(guān)系（主要表現(xiàn)為運(yùn)算法則）第77頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（1）上位學(xué)習(xí)

上位學(xué)習(xí)是通過對(duì)已有觀念的歸納、綜合與概括，改進(jìn)原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)為新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)而完成的。第78頁,共136頁，2024年2月25日，星期天

在上位學(xué)習(xí)中，已有概念,被認(rèn)為是新概念A(yù)的具體事例，上位概念A(yù)是根據(jù)一組新的、能包攝這些下位概念的關(guān)鍵屬性來下定義的新概念A(yù)

原有概念第79頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例1、二次曲線

（新概念）

原有概念圓

拋物線

橢圓

雙曲線第80頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例2、有理數(shù)的混合運(yùn)算（新概念）

原有概念加法

乘法

減法除法乘方第81頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例3、分式（新知識(shí)）

原有概念第82頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例4、函數(shù)（新知識(shí)）

原有概念第83頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例1、例2，中的上位關(guān)系，主要是不同知識(shí)間的上位關(guān)系，但是，在某個(gè)具體概念的學(xué)習(xí)過程中，如果學(xué)生通過“概念形成”的方式獲得概念，這個(gè)過程中也體現(xiàn)了上位學(xué)習(xí)，如例3、例4.第84頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（2）下位學(xué)習(xí)

把新知識(shí)歸屬于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的適當(dāng)部位，并使之相互聯(lián)系的過程稱為類屬過程，通過類屬過程獲得有意義的學(xué)習(xí)就是下位學(xué)習(xí)。第85頁,共136頁，2024年2月25日，星期天原有概念A(yù)新概念：第86頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例5、三角形

原有概念：等腰三角形（新概念）直角三角形第87頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例5、三角形

原有概念：等腰三角形（新概念）直角三角形第88頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例6、原有概念：平行四邊形的性質(zhì)

矩形的性質(zhì)菱形的性質(zhì)(新概念）第89頁,共136頁，2024年2月25日，星期天原有概念：方程一元一次方程一元二次方程(新概念）例7、第90頁,共136頁，2024年2月25日，星期天[注]（1）上位學(xué)習(xí)比下位學(xué)習(xí)困難，困難的原因在于：上位學(xué)習(xí)要通過改造原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)才能完成，即新知識(shí)與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的作用是順應(yīng)，而下位學(xué)習(xí)中依靠的是同化。（2）在上位學(xué)習(xí)中，上位的形式更具一般化，統(tǒng)籌性更強(qiáng)，抽象程度越高，因此，學(xué)習(xí)困難比較大。第91頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（2）并列學(xué)習(xí)

當(dāng)新知識(shí)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有知識(shí)在意義學(xué)習(xí)中可能產(chǎn)生結(jié)合意義時(shí)，這種學(xué)習(xí)便稱為并列結(jié)合學(xué)習(xí)。新知識(shí)與原有相關(guān)知識(shí)并不存在相互包含的關(guān)系，但是，卻具有一定的聯(lián)系。第92頁,共136頁，2024年2月25日，星期天立方根定義平方根性質(zhì)運(yùn)用類比第93頁,共136頁，2024年2月25日，星期天圓與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系判別方法類比第94頁,共136頁，2024年2月25日，星期天4、數(shù)學(xué)有意義接受學(xué)習(xí)和有意義發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有意義接受學(xué)習(xí)：學(xué)習(xí)的全部內(nèi)容以定論的形式呈現(xiàn)給學(xué)習(xí)者，即把問題的條件、結(jié)論以及推導(dǎo)過程都敘述清楚，不需要學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，但是，要求他們積極主動(dòng)地與自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的相關(guān)知識(shí)建立非人為和實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，使新舊知識(shí)融為一體。第95頁,共136頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學(xué)有意義發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)：在學(xué)習(xí)過程中，不是把學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容提供給學(xué)生，只是提供問題或背景材料，由學(xué)生自己獨(dú)立發(fā)現(xiàn)主要內(nèi)容。包括：揭示問題的隱蔽關(guān)系，發(fā)現(xiàn)結(jié)論和推導(dǎo)方法，將所有提供的信息經(jīng)過加工和重新組合，然后與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的適當(dāng)知識(shí)聯(lián)系起來。第96頁,共136頁，2024年2月25日，星期天《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》都強(qiáng)調(diào)動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等學(xué)習(xí)方式，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神很有幫助．然而，這并不是說接受學(xué)習(xí)就不需要、不重要了．

第97頁,共136頁，2024年2月25日，星期天

在義務(wù)教育階段，由于某些數(shù)學(xué)知識(shí)的超經(jīng)驗(yàn)性、不可證明性、程序性、學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)性、傳承性、意志性、學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不完善性和身心發(fā)展的漸進(jìn)性，有些知識(shí)是不適宜探究的，學(xué)生對(duì)有些知識(shí)的理解是有層次的，完全理解是難以做到的，接受學(xué)習(xí)是大量存在的.第98頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例、乘法交換律自然數(shù)乘法交換律分?jǐn)?shù)乘法交換律小數(shù)乘法交換律有理數(shù)乘法交換律無理數(shù)乘法交換律第99頁,共136頁，2024年2月25日，星期天自然數(shù)乘法交換律數(shù)雞蛋第100頁,共136頁，2024年2月25日，星期天第101頁,共136頁，2024年2月25日，星期天自然數(shù)的乘法交換律，可以通過對(duì)一些實(shí)際問題的觀察，歸納出原則，可以進(jìn)行探究發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)。但是，分?jǐn)?shù)、小數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)的乘法交換律很難開展探究式的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，更合適有意義的接受學(xué)習(xí)。第102頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例如：分式的加減一：問題甲工程對(duì)完成一項(xiàng)工程需要N天，乙工程對(duì)要比甲對(duì)多用3天才能完成這項(xiàng)工程，兩隊(duì)共同工作一天完成這項(xiàng)工程的幾分之幾？第103頁,共136頁，2024年2月25日，星期天二、分式的加減法則：（1）同分母相加減，分母不變，分子相加（2）異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑诩訙p。第104頁,共136頁，2024年2月25日，星期天分析：（1）如何開展分式加減法則的探究學(xué)習(xí)？（2）與分?jǐn)?shù)的加減法法則聯(lián)系起來，直接講授分式加減法則。（3）更適合采用有意義的接受學(xué)習(xí)第105頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（4）“分式的加減”與“分?jǐn)?shù)的加減”屬于并列學(xué)習(xí)。在并列的對(duì)比學(xué)習(xí)中，學(xué)生在認(rèn)知結(jié)構(gòu)里可以建立起清晰的認(rèn)知，從而形成優(yōu)良的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。第106頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例：圓1、如何開展“圓”的探究發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)？2、圓的學(xué)習(xí)方式應(yīng)該屬于“概念形成”還是“概念同化”？3、圓的抽象方式屬于“弱抽象”還是“強(qiáng)抽象”第107頁,共136頁，2024年2月25日，星期天4、圓的抽象方式是“弱抽象”。弱抽象的概念不一定要用“概念形成”的方式獲得概念。圓的概念不可能通過總結(jié)具體對(duì)象的特征，由學(xué)生獨(dú)立歸納出來，必須是教師直接定義。學(xué)生在回到具體對(duì)象中進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓的抽象定義。第108頁,共136頁，2024年2月25日，星期天第五講數(shù)學(xué)教學(xué)理論數(shù)學(xué)教學(xué)過程數(shù)學(xué)教學(xué)原則數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)第109頁,共136頁，2024年2月25日，星期天一、數(shù)學(xué)教學(xué)過程

1、定義：數(shù)學(xué)教學(xué)過程是數(shù)學(xué)教師組織和引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)地學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)行積極的思維活動(dòng)，形成良好的認(rèn)識(shí)與發(fā)展相統(tǒng)一的育人過程。第110頁,共136頁，2024年2月25日，星期天2、教學(xué)過程的實(shí)質(zhì)（1）從結(jié)構(gòu)上看，它是一個(gè)以教師、學(xué)生、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法等為基本要素的多位結(jié)構(gòu)。（2）從性質(zhì)上講，它是一個(gè)有目的、有計(jì)劃的多邊活動(dòng)過程；（3）從功能上講，它又是一個(gè)教師引導(dǎo)下的學(xué)生主動(dòng)探究、發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)能力，促進(jìn)情感、態(tài)度、價(jià)值觀等各方面素質(zhì)全面發(fā)展的育人過程第111頁,共136頁，2024年2月25日，星期天3、數(shù)學(xué)教學(xué)過程的因素分析（1）教師教師是教學(xué)目標(biāo)的貫徹者、數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授者、學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的合作者，是整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)過程的組織者、引導(dǎo)著和調(diào)控者。第112頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（2）學(xué)生學(xué)生是構(gòu)成數(shù)學(xué)教學(xué)過程的又一核心因素。是學(xué)的活動(dòng)的主體，起主體功能體現(xiàn)為積極的智力參與、個(gè)人體驗(yàn)以及主動(dòng)的意義建構(gòu)。第113頁,共136頁，2024年2月25日，星期天學(xué)生在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中具有特殊性。具體表現(xiàn)：學(xué)生的認(rèn)識(shí)對(duì)象以間接經(jīng)驗(yàn)為主，要用最短的時(shí)間去掌握前人經(jīng)過漫長歲月發(fā)現(xiàn)發(fā)明的數(shù)學(xué)知識(shí)。學(xué)生的認(rèn)知條件是在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行，使學(xué)生能夠避免或減少許多認(rèn)知上的失誤學(xué)生的認(rèn)知不僅僅在于掌握數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和基本技能，而且要發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新能力第114頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（3）教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容是師生活動(dòng)的載體。是教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的客觀依據(jù)和信息源泉，是教學(xué)過程中教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生發(fā)生相互作用的中介。第115頁,共136頁，2024年2月25日，星期天（4）教學(xué)方法教學(xué)方法是教師根據(jù)實(shí)際情況選擇的，具體指引數(shù)學(xué)教學(xué)過程展開的行動(dòng)方式。教學(xué)方法由許多教學(xué)方式和手段構(gòu)成的。它的表達(dá)方式和手段是靈活多樣的，教師需要根據(jù)具體的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)環(huán)境和條件、學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平等情況靈活地選用，使教學(xué)方法與數(shù)學(xué)教學(xué)過程的其他要素協(xié)調(diào)起來，才能達(dá)到理想的教學(xué)效果。第116頁,共136頁，2024年2月25日，星期天講授法數(shù)學(xué)“情境——問題”教學(xué)法活動(dòng)教學(xué)閱讀法探究法第117頁,共136頁，2024年2月25日，星期天例如：三角形的初步認(rèn)識(shí)第118頁,共136頁，2024年2月25日，星期天二、數(shù)學(xué)教學(xué)原則1、定義數(shù)學(xué)教學(xué)原則是指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)的一般性原則，是進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)所應(yīng)遵循的準(zhǔn)則。數(shù)學(xué)教學(xué)是根據(jù)數(shù)學(xué)教育目標(biāo)、學(xué)科特點(diǎn)、學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理特征以及數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)等概括而成的第119頁,共136頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學(xué)教學(xué)原則包括：數(shù)學(xué)教學(xué)的一般原則和數(shù)學(xué)教學(xué)的特殊原則第120頁,共136頁，2024年2月25日，星期天2、數(shù)學(xué)教學(xué)的一般原則理論聯(lián)系實(shí)際的原則發(fā)展性原則啟發(fā)性原則直觀性原則第121頁,共136頁，2024年2月25日，星期天鞏固性原則系統(tǒng)性原則量力性原則（可接受原則）應(yīng)材施教原則第122頁,共136頁，2024年2月25日，星期天3、數(shù)學(xué)