系統(tǒng)穩(wěn)定性判別方法

關(guān)于系統(tǒng)穩(wěn)定性判別方法系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念：如果一個(gè)系統(tǒng)受到擾動(dòng)，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動(dòng)取消后，經(jīng)過充分長(zhǎng)的時(shí)間，這個(gè)系統(tǒng)又能以一定的精度逐漸恢復(fù)到原來的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，稱這個(gè)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。第2頁,共39頁，2024年2月25日，星期天穩(wěn)定性判別方法：

1、勞斯穩(wěn)定性判據(jù)

2、赫爾維茲穩(wěn)定性判據(jù)

3、乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)

4、由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性5、根軌跡法

6、李雅普諾夫穩(wěn)定性方法第3頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

勞斯穩(wěn)定性判據(jù)代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)

赫爾維茲穩(wěn)定性判據(jù)勞斯穩(wěn)定性判據(jù)是一種代數(shù)判據(jù)方法。它是根據(jù)系統(tǒng)特征方程式來判斷特征根在S平面的位置，從而決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性.判斷依據(jù)：1、特征方程的各項(xiàng)系數(shù)都不等于0；

2、特征方程各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)相同；

3、勞斯表的第一列是否均大于零。

第4頁,共39頁，2024年2月25日，星期天sna0a2a4a6.....sn-1

a1a3a5a7.......sn-2

b1b2b4b6.......sn-3c0c2c4c6........

s2u1u2

s1v1

若某行第一個(gè)元素為0，則用一個(gè)趨于0的數(shù)ε代替s0w1

若第一列系數(shù)有負(fù)數(shù)，則第一列系數(shù)符號(hào)的改變次數(shù)等于在右半平面上根的個(gè)數(shù)。優(yōu)點(diǎn)：不必求解方程，方便系統(tǒng)的穩(wěn)定性的判斷。不但可以判別絕對(duì)穩(wěn)定性還可以判別相對(duì)穩(wěn)定性。應(yīng)用領(lǐng)域：分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響。

..........................................第5頁,共39頁，2024年2月25日，星期天赫爾維茲穩(wěn)定性判據(jù)先依據(jù)特征方程寫出Δ

a1a3a5.....0系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：

a0a2a4

.......0主行列式Δn及其對(duì)角線上各子行列

0a1a3.....0式Δ1，Δ2，Δ3，Δ4......Δn-1均具有正

Δ=0a0a2.....0值0000............

0........an-10

0........an-2an..................第6頁,共39頁，2024年2月25日，星期天優(yōu)點(diǎn)：規(guī)律簡(jiǎn)單明確，使用方便缺點(diǎn)：對(duì)高階系統(tǒng)，計(jì)算行列式較復(fù)雜此外，勞斯穩(wěn)定性判據(jù)和赫爾維茲穩(wěn)定性判據(jù)還有一個(gè)共同的缺點(diǎn)就是：無法解決帶延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)穩(wěn)定性判定。第7頁,共39頁，2024年2月25日，星期天乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)

乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)是根據(jù)閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率響應(yīng)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，本質(zhì)上是一種圖解分析方法。閉環(huán)傳遞函數(shù)：開環(huán)傳遞函數(shù)：

第8頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

特征方程：若則零點(diǎn)零點(diǎn)零點(diǎn)極點(diǎn)極點(diǎn)極點(diǎn)相同相同零點(diǎn)零點(diǎn)第9頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

作圖方法：

1、寫出幅頻特性|G（jω）|和相頻特性G（jω）表達(dá)式。

2、求出ω=0和ω→∞時(shí)的G（jω）。

3、求乃氏圖與實(shí)軸虛軸的交點(diǎn)。

4、必要時(shí)畫幾點(diǎn)中間的，并勾勒大致曲線第10頁,共39頁，2024年2月25日，星期天1、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的基本形式表明，如果系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)在s復(fù)數(shù)平面的虛軸jω上既無極點(diǎn)又無零點(diǎn)，那么有Z=P-NP是開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點(diǎn)數(shù)。N是當(dāng)角頻率由ω=0變化到ω=+∞時(shí)G（jω）的軌跡沿逆時(shí)針方向圍繞實(shí)軸上點(diǎn)(-1，j0)的次數(shù)。如果Z=0，則閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定；Z≠0，則閉環(huán)控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。第11頁,共39頁，2024年2月25日，星期天2、當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)在s復(fù)數(shù)平面的虛軸上存在極點(diǎn)或零點(diǎn)時(shí)當(dāng)遇到位于虛軸上G(s)的極點(diǎn)（圖中用×表示）時(shí)，要用半徑很小的半圓從右側(cè)繞過。Z=P-2N第12頁,共39頁，2024年2月25日，星期天帶有延遲環(huán)節(jié)時(shí)的系統(tǒng)穩(wěn)定。幅頻特性

相頻特性第13頁,共39頁，2024年2月25日，星期天優(yōu)點(diǎn)：1、開環(huán)頻率響應(yīng)容易通過計(jì)算或?qū)嶒?yàn)途徑定出，所以它在應(yīng)用上非常方便和直觀。

2、能解決代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)不能解決的比如含延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。

3、能定量指出系統(tǒng)的穩(wěn)定儲(chǔ)備，即系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性定量指標(biāo)，進(jìn)一步提高和改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能。第14頁,共39頁，2024年2月25日，星期天由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性與乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)類似，該方法是利用開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同樣也是能夠用實(shí)驗(yàn)來獲得，因此也得到廣泛的應(yīng)用。伯德圖是系統(tǒng)頻率響應(yīng)的一種圖示方法，由幅值圖和相角圖組成，兩者都按頻率的對(duì)數(shù)分度繪制判斷方法：在開環(huán)狀態(tài)下，特征方程有P個(gè)根在右半平面內(nèi)。此時(shí)，在L（ω）≥0的范圍內(nèi)，相頻特性曲線?（ω）在-π線上正、負(fù)穿越次數(shù)只差為P/2次，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。分別用N+和N-表示正穿越次數(shù)和負(fù)穿越次數(shù),則N=N+-N-。判據(jù)的結(jié)論是Z=P－2N，且Z=0時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，Z≠0時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。由于頻率響應(yīng)的幅值對(duì)數(shù)圖和相角圖易于繪制，因此對(duì)數(shù)頻率響應(yīng)穩(wěn)定判據(jù)應(yīng)用更廣。第15頁,共39頁，2024年2月25日，星期天優(yōu)點(diǎn)：1、可以將幅值相乘轉(zhuǎn)化為幅值相加，便于繪制由多個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性圖。

2、可采用漸近線近似作圖方法繪制對(duì)數(shù)幅頻圖，簡(jiǎn)單方便。

3、有效擴(kuò)展了頻率范圍，尤其是低頻段。（指數(shù)增長(zhǎng)）

第16頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由其閉環(huán)極點(diǎn)唯一確定，系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的基本特性與系統(tǒng)的閉環(huán)零、極點(diǎn)在Ｓ平面上分布的位置有關(guān)。決定系統(tǒng)基本特性的是系統(tǒng)特征方程的根，如果搞清楚這些根在Ｓ平面上的分布與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系，那就掌握了系統(tǒng)的基本特性。為此目的，Ｗ．Ｒ．伊文思在１９４８年提出了根軌跡法，令開環(huán)函數(shù)的一個(gè)參數(shù)——開環(huán)增益Ｋ（或另一個(gè)感興趣的參數(shù)）從０變化到∞，與此對(duì)應(yīng)，特征方程的根，便在Ｓ平面上描出一條軌跡，稱這條軌跡為根軌跡。根軌跡法是研究自動(dòng)控制系統(tǒng)的一種有效方法，它已發(fā)展成為經(jīng)典控制理論中最基本的方法之一。根軌跡法第17頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

根軌跡的基本概念一．舉例說明根軌跡的概念

特征方程

的根為

，

第18頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

令開環(huán)增益Ｋ從０變化到∞，用解析方法求不同Ｋ所對(duì)應(yīng)的特征根的值，將這些值標(biāo)在Ｓ平面上，并連成光滑的粗實(shí)線，這就是該系統(tǒng)的根軌跡。箭頭表示隨著Ｋ值的增加，根軌跡的變化趨勢(shì)。從系統(tǒng)的根軌跡圖，可以獲得下述信息:１.穩(wěn)定性：因?yàn)楦壽E全部位于左半Ｓ平面，故閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)所有的Ｋ值都是穩(wěn)定的。２.穩(wěn)態(tài)性能：因?yàn)殚_環(huán)傳函有一個(gè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的極點(diǎn)，所以是I型系統(tǒng)，階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為0。K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ當(dāng)K=0時(shí)，S1=0，S2=-1第19頁,共39頁，2024年2月25日，星期天繪制根軌跡的基本規(guī)則

繪制根軌跡的基本規(guī)則實(shí)際上是系統(tǒng)根軌跡的一些基本性質(zhì)，掌握了這些基本規(guī)則，將能幫助我們更準(zhǔn)確、更迅速的繪制根軌跡。一．根軌跡的對(duì)稱性實(shí)際系統(tǒng)的特征方程的系數(shù)是實(shí)數(shù)，其特征根為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，因此，根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸。二．根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)根軌跡的起點(diǎn)對(duì)應(yīng)于時(shí)特征根在Ｓ平面上的分布位置，而根軌跡的終點(diǎn)則對(duì)應(yīng)于時(shí)，特征根在Ｓ平面上的分布位置。第20頁,共39頁，2024年2月25日，星期天幅值條件改寫當(dāng)，必有Ｓ＝，即起點(diǎn)是開環(huán)極點(diǎn)。當(dāng)，必有Ｓ＝，即終點(diǎn)是開環(huán)零點(diǎn)。但在控制系統(tǒng)中，總有n>m，所以根軌跡從n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)處起始，到m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)處終止，剩下的n－m條根軌跡將趨于無窮遠(yuǎn)處。舉例如題，，起點(diǎn)：０，－１，無零點(diǎn)，n=２，m=0，n－m=2，有兩條根軌跡→∞K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ第21頁,共39頁，2024年2月25日，星期天三．根軌跡的分支數(shù)根軌跡由若干分支構(gòu)成，分支數(shù)與開環(huán)極點(diǎn)數(shù)相同。四．實(shí)軸上的根軌跡

在實(shí)軸上存在根軌跡的條件是，其右邊開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)數(shù)目之和為奇數(shù)。第22頁,共39頁，2024年2月25日，星期天五．根軌跡的漸近線１．根軌跡中（n－m）條趨向無窮遠(yuǎn)處的分支的漸近線的傾角為…，（n-m-1)當(dāng)時(shí)，求得的漸近線傾角最小，增大，傾角值將重復(fù)出現(xiàn)，而獨(dú)立的漸近線只有（n－m）條．第23頁,共39頁，2024年2月25日，星期天２.漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)漸近線的交點(diǎn)總在實(shí)軸上，即必為實(shí)數(shù)．在計(jì)算時(shí)，考慮到共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)、零點(diǎn)的虛部總是相互抵消，只須把開環(huán)零、極點(diǎn)的實(shí)部代入即可．第24頁,共39頁，2024年2月25日，星期天例：求根軌跡解：①在Ｓ平面中確定開環(huán)零、極點(diǎn)的位置。

×××-1-2σjω②確定實(shí)軸上的根軌跡。③n=3,m=0,應(yīng)有三個(gè)分支，并且都趨向無窮遠(yuǎn)處。④確定漸近線的位置．-0.423K1=6K1=6-60°60°第25頁,共39頁，2024年2月25日，星期天李雅普諾夫第一法李雅普諾夫穩(wěn)定性方法李雅普諾夫第二法李雅普諾夫第一法是通過求解系統(tǒng)微分方程，然后根據(jù)解的性質(zhì)來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其基本思路與經(jīng)典控制理論一致。對(duì)于線性定常系統(tǒng)來說

平衡狀態(tài)漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件就是矩陣A所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，這里所說的是系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性，而對(duì)于輸出穩(wěn)定性來說，其穩(wěn)定的充要條件是其傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部位于s的左半平面。第26頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

該方法能解決線性定常和非線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，但不能延伸至?xí)r變系統(tǒng)的分析。且只能解決非線性不是很嚴(yán)重的系統(tǒng)，將其線性化處理，取其近似的線性方程來判斷穩(wěn)定性。第27頁,共39頁，2024年2月25日，星期天例：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：試分析系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性與輸出穩(wěn)定性。故系統(tǒng)不是漸進(jìn)穩(wěn)定的。再由其傳遞函數(shù)可見傳函的極點(diǎn)在-1處位于左半平面，故系統(tǒng)輸出穩(wěn)定。第28頁,共39頁，2024年2月25日，星期天李雅普諾夫第二法李雅普諾夫第二法是從能量觀點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)被激勵(lì)后，其儲(chǔ)存的能量隨著時(shí)間的推移逐漸衰弱，到達(dá)平衡狀態(tài)時(shí)，能量將得到最小值，那么這個(gè)平衡狀態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。反之，如果系統(tǒng)不斷從外界吸收能量，儲(chǔ)能越來越大，那么這個(gè)平衡狀態(tài)就是不穩(wěn)定的，如果系統(tǒng)的儲(chǔ)能既不增長(zhǎng)也不消耗，那么這個(gè)平衡狀態(tài)就是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。對(duì)于給定的一個(gè)系統(tǒng)，如果能找到一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)V(x)，根據(jù)該函數(shù)導(dǎo)數(shù)來確定能量隨時(shí)間的變化。標(biāo)量函數(shù)的符號(hào)性質(zhì)：設(shè)V(x)是向量x的標(biāo)量函數(shù)，且在x=0處，恒有V(0)=0，那么在所有定義域中的任何非零向量x，若V(x)>0，則V(x)正定；若V(x)≥0，則V(x)半正定。若V(x)<0，則V(x)負(fù)定；若V(x)≤0，則V(x)半負(fù)定；若V(x)>0或V(x)<0，則V(x)不定

第29頁,共39頁，2024年2月25日，星期天對(duì)于二次型標(biāo)量函數(shù)；

二次型標(biāo)量函數(shù)可寫為其中，P為實(shí)對(duì)稱矩陣。此時(shí)，必然存在正交矩陣T，通過變換，使之化為：第30頁,共39頁，2024年2月25日，星期天此稱為二次型函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)型，?i為P的特征值，則V(x)正定的充要條件是P的特征值?i均大于0。若V(x)正定，則P為正定矩陣，記為P>0;若V(x)負(fù)定，則P負(fù)定矩陣，記為P<0;若V(x)半正定，則P半正定矩陣，記為P≥0;若V(x)半負(fù)定，則P半負(fù)定矩陣，記為P≤0;第31頁,共39頁，2024年2月25日，星期天希爾維斯特判據(jù)

設(shè)實(shí)對(duì)稱陣為其各階順序主子式，即矩陣P是否正定的充要條件是：第32頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

若，則P

正定；若，則P

負(fù)定；若，則P

半正定；

若，則P

半負(fù)定；第33頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

李雅普諾夫第二方法可用于任意階的系統(tǒng)，運(yùn)用這一方法可以不必求解系統(tǒng)狀態(tài)方程而直接判定穩(wěn)定性。但由于使用此方法時(shí)要尋找一個(gè)正定的函數(shù)V（x），并且此時(shí)V（x）的導(dǎo)數(shù)是負(fù)定的，那么才能說明系統(tǒng)穩(wěn)定。所以，使用該方法的局限性就是很難找完所有的V（x）。因此，只能用該方法證明系統(tǒng)穩(wěn)定，而不能證明系統(tǒng)不穩(wěn)定。第34頁,共39頁，2024年2月25日，星期天例設(shè)非線性系統(tǒng)為試分析穩(wěn)定性.由,得是其唯一的平衡點(diǎn).

構(gòu)造是正定的.對(duì)關(guān)于t求導(dǎo),得第35頁,共39頁，2024年2月25日，星期天代入狀態(tài)方程得→負(fù)定