2023年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽（預(yù)賽A卷）暨全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試及加試試題（含解析）

2023年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽（預(yù)賽A卷）暨全國高中

數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試及加試試題（A）卷

一、填空題（本大題共8小題，共64.0分）

1.設(shè)復(fù)數(shù)z=9+10爪為虛數(shù)單位），若正整數(shù)n滿足|z，S2023,則n的最大值為.

2.若正實(shí)數(shù)a,b滿足小0=2,小。1電卜=5,則（時(shí)）電的的值為.

3.將一枚均勻的骰子獨(dú)立投擲三次，所得的點(diǎn)數(shù)依次記為x,y,z,則事件"g<<夕”

發(fā)生的概率為.

4.若平面上非零向量及，/P滿足HJL用心聲=2|：|，p?左=3|由，貝山力的最小值為__.

5.方程sinx=cos2x的最小的20個(gè)正實(shí)數(shù)解之和為.

6.設(shè)a,b,c為正數(shù)，a<b.若a,b為一元二次方程a/-bx+c=0的兩個(gè)根，且a,b,c是

一個(gè)三角形的三邊長，貝ija+b-c的取值范圍是.

7.平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓。與支軸、y軸均相切，圓心在橢圓廠:a+方=l（a>b>0）

內(nèi)，且0與下有唯一的公共點(diǎn)（8,9）.則「的焦距為.

8.八張標(biāo)有4,B,C,D,E,F,G,H的正方形卡片構(gòu)成下圖.現(xiàn)逐一取走這些卡片，要求

每次取走一張卡片時(shí)，該卡片與剩下的卡片中至多一張有公共邊（例如可按。，4B,E,C,

F,G,H的次序取走卡片，但不可按。，B,A,E,C,F,G,H的次序取走卡片），則取走

這八張卡片的不同次序的數(shù)目為.

二、解答題（本大題共3小題，共56.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

9.（本小題16.0分）

平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線7:y2=4x,F為r的焦點(diǎn)，A,B為r上的兩個(gè)不重合的動(dòng)點(diǎn),

使得線段4B的一個(gè)三等分點(diǎn)P位于線段OF上（含端點(diǎn)），記Q為線段4B的另一個(gè)三等分點(diǎn).求點(diǎn)

Q的軌跡方程.

10.（本小題20.0分）

已知三棱柱。：ABC-4遇￡的9條棱長均相等.記底面4BC所在平面為a.若0的另外四個(gè)面（即

面占BiCi，4BBi4,4CCi4,BCC/D在a上投影的面積從小到大重排后依次為2/3,30-

4口,5「，求。的體積.

11.(本小題20.0分)

求出所有滿足下面要求的不小于1的實(shí)數(shù)t：對任意a,6e[-l,t],總存在c,de[-l,t],使得

(a+c)(b+d)=1.

答案和解析

I.【答案】2

【解析】解：\zn\=\z\n=(V924-102)n=(1面產(chǎn)因憶2|=181<2023,而當(dāng)n23時(shí)，邛|=

(<l81)n>13n>2023,故n的最大值為2.

2.【答案】20

b

【解析】解：因?yàn)椤癮=10恒algb=a\gb=2,所以(ab)lgab=(帥)3+勵(lì)=俗碗.小”.a^?

"ga=5x2x2=20.

3.【答案】攝

【解析】解：由于C)=O<爵=O<廢=的,因此當(dāng)x,y,zG{1,2,3,4,5,6}時(shí)，事件“稚<

C；<門”發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)"xe{1,6},y6{2,5},ze{3,4}”成立，相應(yīng)的概率為(|尸=

4.【答案】2/3

【解析】解:由不妨設(shè)4=(a,0),耳=(0,b),其中a,b>0,并設(shè)P=(x,y),

則由心p=2|五|得by=2a,由力匠=3|彳|得ax=3b.

所以I刃=Vx2+y2>y/2xy=I=2'/-3.

取a=b=，至，此時(shí)％=y=V"石，|再取到最小值21^.

5.【答案】1307r

【解析】解:將cos2%=1-2siMx代入方程,整理得(2sinx-l)(sinx+1)=0,解得％=2kn+3，

2/C7T+管，2/OT+當(dāng)(kWZ).

O4

上述解亦可寫成％=學(xué)+1(卜6Z),其中k=0,1,…，19對應(yīng)最小的20個(gè)正實(shí)數(shù)解，它們的和

DO

4,vi9/2/czr,加、2n19x20.n

+g)=y+g-20=d13O0A7T.

6.【答案】《，口一1)

【解析】解：由條件知山心一bx+c=a(%—a)(x—b)=ax2—(a2+ab)x+a2b,比較系數(shù)得b=

從而a+b-c=a+言=a+a2+a3.

由于0<a<b=￡，故g<a<1.此時(shí)顯然b>c>0.因此，a,b,c是一

個(gè)三角形的三邊長當(dāng)且僅當(dāng)a+c>b,即a+±>互，即a(a2+a—1)<0,

1—a1—a

結(jié)合;<a<1,解得：<a<中.

令/(x)=x+/+爐，則a+b-c=/(Q).顯然當(dāng)x>0時(shí)/(%)連續(xù)且嚴(yán)格

遞增，故a+6-c的取值范圍是｛/&,/(話匚)卜即(,—一1).

7.【答案】10

【解析】解：根據(jù)條件,可設(shè)圓心為P(r,r),則有(r一87+(丁-9產(chǎn)=解得丁=5或r=29.因

為P在下內(nèi)，故r=5.

橢圓在點(diǎn)4(8,9)處的切線為播+*1,其法向量可取為記=(今覿

oo97

由條件，I也是圓0的切線，故元與福平行，而方=(3,4)，所以次=/.

又冒+m=1，解得a?=160,〃—135.從而廠的焦距為2，a?—爐=io.

8.【答案】392

【解析】解：如左下圖重新標(biāo)記原圖中的八張卡片.現(xiàn)將每張卡片視為頂點(diǎn)，有公共邊的兩張卡片

所對應(yīng)的頂點(diǎn)之間連一條邊，得到一個(gè)八階圖，該圖可視為右下圖中的m+n+2階圖G(m,n)在

取卡片(頂點(diǎn))的規(guī)則可解釋為：

⑴若頂點(diǎn)P已取走，則以下每步取當(dāng)前標(biāo)號最小或最大的頂點(diǎn)，直至取完；

(〃)若頂點(diǎn)P未取走，則必為某個(gè)G(ni,n)(7n,n20)的情形，此時(shí)若m=0,則將P視為—1號頂點(diǎn)，

歸結(jié)為心的情形;若zn=0,n=0,則將P視為1號頂點(diǎn)，歸結(jié)為①的情形;若zn,n>1,則當(dāng)前可

取P或一m號頂點(diǎn)或?i號頂點(diǎn)，分別歸結(jié)為(?；騁(?n-l,n)或G(m,n-1)的情形.

設(shè)G(m,7i)的符合要求的頂點(diǎn)選取次序數(shù)為f(m,n),本題所求即為f(3,3).

由(i)、(it)知f(m,0)=2m+i(mN0),/(0,n)=2n+1(n>0),且

f(m,n)=2m+n+f(m-l,n)+f(m,n-l)(m,n>1).

由此可依次計(jì)算得/(l,1)=12,f(1,2)=/(2,1)=28,/(1,3)=f(3,1)=60,

/(2,2)=72,/(2,3)=/(3,2)=164,『(3,3)=392,即所求數(shù)目為392.

9.【答案】解：設(shè)4al，乃），8（%2,丫2）?不妨設(shè)存=而=證，則PI智建，生手.

易知F（1,O）.由于點(diǎn)P位于線段OF上，故智建6[0,1],駕魚=0.

可設(shè)為=3y2=-2t,則與=。，刀2=產(chǎn).此時(shí)有駕1巡=（w[0,1]，且由4，B不重合知t#0,

432

所以《2e（0,2].

設(shè)QOQ，%），則XQ=f2-=尹,%=丫1；>2=T,有誑=g%Q.

注意到XQ=1t2G（o,|],故點(diǎn)Q的軌跡方程為y2=1x（0<x<I）.

【解析】略

10.【答案】解：設(shè)點(diǎn)4,Bi，G在平面a上的投影分別為D,E,F,則面481G,4BB14,ACC^,

在a上的投影面積分別為S^DEF，^ABED?^ACFD9^BCFE*

由已知及三棱柱的性質(zhì)，ADEF為正三角形，且/BED,ACFD,BCFE均為平行四邊形.

由對稱性，僅需考慮點(diǎn)。位于484c內(nèi)的情形（如圖所示）.

顯然此時(shí)有S^BEO+SACFD=^BCFE?

由于{S^DEF，SHBED，S<CFD，S^CFE}={2，3,3>/3,4A/3,5，3},故S^BED，S.CFD必為2—3，3，？的

排列，SBCFE=5AT3,進(jìn)而SSEF=4C，得△DEF的邊長為4,即正三棱柱。的各棱長均為4.

不妨設(shè)SABE。=2y/~~3iSACFD=3A/-3?則=V_3?^^ACD=

取射線40與線段BC的交點(diǎn)X,則%=率迪=之故3X=4

LX、XACD45

因此

-----------------------------------------A___

AX=VAB2+BX2-2AB-BX-cos60°=^<T9,

而禁=%嚶處/=宗故人八印.

AXS^ABC82

于是0的高九=7AAl-AD2=等.

又SXABC=4<3>故。的體積V=SA.BC?h=6「耳

【解析】略

11.【答案】解：iB/t=[-l,t],S=(a+c)(b+d).

假如t>2,則當(dāng)a=b=t時(shí)，對任意c,de/t,均有S2(t-1)2>1,不滿足要求.

假如則當(dāng)a=-1，b=2—t時(shí)，對任意c,dG/c,均有—2Wa+c<t—1,1—t<

b+dW2.

若a+c,b+d同正或同負(fù)，則SW2(t—l)<l,其余情況下總有SWO<1,不滿足要求.

以下考慮|<t<2的情形,為便于討論，先指出如下引理.

引理：若u,uN；,且〃+貝如"21.

事實(shí)上，當(dāng)'_訓(xùn)三|時(shí)，=(等產(chǎn)-(3)22()2_弓)2=J.

當(dāng)|“一切>削寸，1W>2?(g+》=1.引理得證.

下證對任意a,belt,可取q,刈€/「使得

Si=(a+q)(b+由)>