上海市靜安區(qū)青云中學2022-2023年度九年級上學期數(shù)學學科期中試卷

2022學年度第一學期數(shù)學學科九年級階段練習試卷（2022.11）

（考試時間：100分鐘，滿分：150分）

考生注意：

1.本試卷含三個大題，共25題.答題時，考生務必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作

答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效.

2.除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應位置上寫出證明或

計算的主要步驟.

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

1.下列各關系式中，屬于二次函數(shù)是（x為自變量）（）

222

A.y=-xB.y=Jx-1C.y=-4D.y=ax

8x

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【詳解】解：A、是二次函數(shù)，正確；

8、被開方數(shù)含自變量，不是二次函數(shù)，錯誤；

C、分母中含自變量，不是二次函數(shù)，錯誤；

。、4=0時,/=0,不是二次函數(shù)，錯誤.

故選A.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的定義.一般地，把形如y=or2+云+c（其中“、Ac是常數(shù)，@0,h,c可以

為0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中。稱為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)項/為自變量，y為因變量，

等號右邊自變量的最高次數(shù)是2.

2.下列命題中，真命題的個數(shù)是（）

①有一個銳角相等的兩個直角三角形一定相似；②兩個全等三角形一定相似；

③有一個角對應相等的兩個等腰三角形一定相似；④等邊三角形都相似；

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法對選項逐個判斷即可.

【詳解】解：有一個銳角相等的兩個直角三角形一定相似，說法正確，為真命題；

兩個全等三角形一定相似，說法正確，為真命題；

有一個角對應相等的兩個等腰三角形不一定相似，說法錯誤，為假命題;

等邊三角形都相似，說法正確，為真命題；

真命題個數(shù)為3,

故選：C

【點睛】本題考查了命題與定理，正確的命題為真命題，錯誤的命題為假命題，涉及了相似三角形的判

定，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定方法.

3.如圖，下列條件不能判定一ABC與VADE相似的是（）

AEDE

ZB=ZADEC./C=ZAEDD.-----------

ACBC

【答案】D

【解析】

【分析】本題中已知NA是公共角，應用兩三角形相似的判定定理，即可作出判斷.

【詳解】解：由圖得：ZA=NA

,?當N8=或NC=NAED或A￡:AC=AD:A3時，ABC與VAOE相似;

也可AE:AZ>=4C:AB.

D選項中角A不是成比例的兩邊的夾角.

故選：D.

【點睛】此題考查了相似三角形的判定：①有兩個對應角相等的三角形相似；②有兩個對應邊的比相等，且

其夾角相等，則兩個三角形相似；③三組對應邊的比相等，則兩個三角形相似.

4.二次函數(shù)〉=々/+/^+。的圖像如圖所示，則下列關系式中錯誤的是（）

C.c>0D.b2-4ac>0

【答案】B

【解析】

【分析】由拋物線的開口方向可以判斷。與0的關系，再通過對稱軸的位置，即可判斷b與0的關系，由拋

物線與X、y軸的交點情況，可以判斷△與0的關系以及C與0的關系.

【詳解】A.由圖像可知，開口向上，>0,故本選項正確，不符合題意；

b

B.由圖像可知，函數(shù)對稱軸——>0,而a>0,.../?<（）,故本選項錯誤，符合題意；

2a

C.由圖像可知，二次函數(shù)交y軸于正半軸，...€?>（）,故本選項正確，不符合題意：

D.由圖像可知I,二次函數(shù)與x軸有兩個交點，.?.）2—4ac>0,故本選項正確，不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題關鍵.

5?點&,乂）,（￡，%）均在拋物線y=f-i上,下列說法正確的是（）

B.若玉=一々，則X=一、2

C.若0<占<々，則M>%D.若王</<0，則必>%

【答案】D

【解析】

【詳解】解：由圖象，根據(jù)二次函數(shù)的性質，有

A.若弘=必，則玉=±々，原說法錯誤；

B.若X]=一々，則y=%，原說法錯誤；

c.若0<%<*2,則y<%，原說法錯誤；

D.若玉<々<o，則M>必，原說法正確.

故選D.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質.

6.如圖，平行四邊形ABCO中，￡是上一點,BE:EC=2:1,AE交BD于F,則5^8心：5^"乂

等于（）

A.2：3B.4：9C.1：2D.1：4

【答案】B

【解析】

【分析】由題意可得△BEFsAJMF，且相似比為2:3,利用相似三角形的性質，即可求解.

【詳解】解：平行四邊形A8CO中，AD^BC,AD//BC

ABEF^ADAF，

BE:EC=2:\,

.BEBE2

'AD-3

Q

,.,“qABFE?.*qAFUK_-4?'

故選：B

【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質，平行四邊形的性質，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定

方法與性質.

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.已知一x=：?,則——x-y

y3y

【答案】~

【解析】

【分析】由x一=;2得％=彳2丫，代入要求的式子進行計算即可.

）33

x?

【詳解】解「?廠屋

21

-y-v—y1

X-)'=3-=3.=_1>

yyy3

故答案為：-5

【點睛】本題主要考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解答本題的關鍵.

8.計算：3(?+b-3c)~(a+3b-c)=.

【答案】2a—8c##—8c+2a

【解析】

【分析】先去括號，然后合并即可獲得答案.

【詳解】解：3(ii+b—3c)—(d+3b—d)

=3a+3b-9c-a-3b+c

=(3-l)?+(3-3)/>+(-9+l)c

=2a-8c.

故答案為：2a-8c.

【點睛】本題主要考查了平面向量的運算，掌握相關運算法則是解題關鍵.

9.甲、乙兩地在地圖上距離約為5厘米，地圖的比例尺為1：1000000,則甲、乙兩地的實際距離約為

________千米.

【答案】50

【解析】

【分析】根據(jù)比例尺=圖上距離+實際距離，即可得出結論.

【詳解】根據(jù)題意得甲、乙兩地的實際距離約為：

5x1000000=5000000(厘米)=50(千米)，

故答案為：50.

【點睛】本題主要考查了比例尺，正確運用公式是解題的關鍵.

10.已知點P是線段的黃金分割點(AP>BP),若AP=6,則

【答案】36-3##-3+36

【解析】

【分析】根據(jù)黃金分割的定義列出方程即可求出結論.

【詳解】解：根據(jù)黃金分割的定義，得AP2=A8-3P，

即62^(BP+6\BP,

整理得：8尸+68尸一36=0,

解得BP=—3+3石或-3-3行（不符合實際，舍去），

因此8P=3括一3，

故答案為：375-3.

【點睛】本題考查黃金分割點，掌握黃金分割的定義是解題的關鍵.

11.如果兩個相似三角形的周長比是1：4,那么它們的面積比是.

【答案】1:16

【解析】

【分析】根據(jù)相似三角形的相似比等于周長比，可得兩個相似三角形的相似比是1：4,再由相似三角形的

面積比等于相似比的平方，即可求解.

【詳解】解：；兩個相似三角形的周長比是1：4,

兩個相似三角形的相似比是1：4,

.,.它們的面積比是1:16.

故答案為：1:16

【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質，熟練掌握相似三角形的相似比等于周長比，相似三角形的面

積比等于相似比的平方是解題的關鍵.

12.如圖，如果4〃4〃4，AC=12,DE=3,EF=5,那么3C=.

*1

12

h

【答案】7.5

【解析】

【分析】設8C=x，則AB=I2-x,利用平行線分線段成比例的性質，即可求解.

【詳解】解：設=則A8=12-x,

???IJ/1,//%

...空=空，即—=3

BCEFx5

解得尤=7.5,即3C=7.5

故答案為：7.5

【點睛】此題考查了平行線分線段成比例的性質，解題的關鍵是掌握此性質.

13.在中，BC=6,G是JSC的重心，過G作邊BC的平行線交AC于點H,則6H的長為

?

【答案】2

【解析】

【詳解】連接AG,并延長AG交BC于D；根據(jù)重心的性質知：D是BC中點，且AG：AD=2：3；可根據(jù)

平行線分線段成比例定理得出的線段比例關系式及CD的長求出GH的值.

解：如圖，連接AG,并延長AG交BC于D；

/.AG：GD=2：3,且D是BC的中點；

：GH〃BC,

.GHAG_2

,?布一茄一家

VCD=|BC=3,

：.GH=2.

“點睛”此題考查了平行線分線段成比例定理以及重心的概念和性質：三角形的重心是三角形三條中線的

交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍.

14.一個正方形的面積為16a后,當把邊長增加xCM時?，正方形面積為＞cm2,則）關于x的函數(shù)為

【答案】y=(4+x)2(x>0)

【解析】

【分析】求出正方形的邊長，利用邊長的平方等于正方形的面積即可解題.

【詳解】解：?.?正方形的面積為16cm2,

，正方形的邊長為4cm,

當邊長增加xcm時，正方形的邊長為(4+x)cm,

A正方形面積為y=(4+x)2(x>0).

【點睛】本題考查了列二次函數(shù)關系式,屬于簡單題,求出正方形的邊長是解題關鍵.

15.的三邊之比為3:4:6,^ABC^AA'B'C,若中最長的邊為14厘米，則最短的邊

長為____________厘米，

【答案】7

【解析】

【分析】利用相似三角形的性質可得，A'3'C的三邊之比為3:4:6,再根據(jù)最長的邊為14厘米，即可求

解.

【詳解】解：..ABC的三邊之比為3:4:6,

AAB'C'的三邊之比為3:4:6,

二A'3'C中最長的邊為14厘米，

則最短的邊長為14+6x3=7(厘米)，

故答案為：7

【點睛】此題考查了相似三角形的性質，解題的關鍵是掌握相似三角形的性質.

16.將拋物線y=3/-2的圖象向上平移3個單位，再向左平移2個單位的拋物線為.

【答案】y=3(x+2)2+]

【解析】

【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可.

【詳解】解：將拋物線y=3f一2向上平移3個單位，再向左平移2個單位，那么得到的拋物線的解析式

為：y=3(x+2)2+l.

故答案為：y=3(x+2)2+l.

【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，解題的關鍵是熟知二次函數(shù)圖象平移的法則.

17.如圖，將邊長為6cm的正方形ABC。折疊，使點。落在AB邊的中點E處，折痕為FH，點C落在

點。處，EQ與BC交于點、G,則一E3G的周長是cm.

【解析】

【分析】首先根據(jù)翻折的性質可得。F=EE設EF=xcm,表示出AF,然后利用勾股定理列方程求出x,從

而得到”、EF的長，再證出aAE尸和△BGE相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出BG、EG,然

后根據(jù)三角形周長的定義列式計算即可得解.

【詳解】解：由翻折性質得，DF=EF,設EFrcm,貝ljAF=(6-x)cm,

,??點E是A8的中點，

AE=BE=gx6=，

在用△4￡'尸中，AE^+AF^E產,即32+(6-x)2=/,

解得x="，

4

.EE_15159,、

?■EF——，AF—6------——(cm)，

444V7

,/ZF￡G=Z￡>=90°,

ZAEF+ZBEG=90°,

"：ZAEF+ZAFE=90°,

:.NBEG=/AFE,

又：ZB=ZA=90°,

:.叢BGESXAEF,

.BEBGEG

3BGEG

即可=亍=亙，

4J

BG=4cm,EG=5cm,

：.叢EBG的周長=3+4+5=12(cm).

故答案為：12.

【點睛】本題考查了翻折變換的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，熟記性質并求出△AEF的各

邊的長，利用相似三角形的性質求出aEBG各邊的長是解題的關鍵.

18.如圖，在mAA3C中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,CD上AB，垂足為。，E為5c的中

點，AE與CD交于點、F,則。尸的長為.

【答案■

【解析】

【分析】過點F作FHLAC于H,則AFHAAEC,設FH為x,由己知條件可得

33

AH=-FH=-x,利用相似三角形的性質：對應邊的比值相等即可得到關于x的方程，解方程求出x的

22

值，利用SAAFC=|ACXFH=|CFXAD即可得到DF的長.

【詳解】如解圖，過點E作切_LAC于H,

,/ZACB=90°,

/.BC±AC.

FH//BC,

???BC=4,點E是BC的中點,

BE=CE-2，

,/FH//BC,

：..AFHs/\AEC

.AHAC3

''~FH~~EC~2

3

：.AH=—FH，

2

3_____

設FH為x,則A〃=]X,由勾股定理得AB=J42+32=5,

又~ACxBC——ABxCD,

,3把型占

AB5

則4。=勿。2一829

5

???ZFHC=ZCDA=90°且ZFCH=ZACD,

/.MFHs_CAD，

FHCH

AD-CD

.3

3—x

嗚=2

12

55

1o

解得％=生

17

17

=-ACxFH=-CFxAD

22

」3X0CFX2

21725

?30

CF=—

17

：.DF^CD-CF^—--=—

51785

54

故答案：—

85

【點睛】本題考查了相似的判定和性質、以及勾股定理的運用，解題的關鍵是作垂直，構造相似三角形.

三、解答題(本大題共7題，滿分78分)

19.已知拋物線,=改2+法+。經(jīng)過點(0,1),(1,3),(-1,1).

(1)求該二次函數(shù)的解析式;

(2)寫出該拋物線的對稱軸和頂點坐標.

【答案】(1)y=x2+x+l

_1_3

(2)x——

2254

【解析】

【分析】(1)把三個已知點的坐標代入得到關于。、b,。的方程組，然后解方程組即可;

（2）將y=f+x+l化為頂點式即可求解.

【小問1詳解】

解：將(0,1),(L3),(-1,1)代入y=o?+瓜中,

c=1

得，a+b+c=3,

a-b+c-\

a—\

解得"=1,

c-1

所以拋物線解析式為：y=x2+x+h

【小問2詳解】

,C1V3

解：y=x2+x+l=x+—+—>

對稱軸為：%=--

2

頂點坐標為1一萬,wj

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、頂點式，解題的關鍵是求出二次函數(shù)的解析式.

20.有一座拋物線形狀的拱橋，已知正常水位時，水面的寬度為20米，拱頂距水面5米，如圖是拱橋的截

面圖，其中橋拱截線是一段拋物線，平面直角坐標系xOy的原點。是橋拱截線與水位正常的水面截線相

交處的一點，x軸在水面截線上；是警戒線，拱頂?shù)紸8的距離為L8米.

（1）求橋拱截線所在拋物線的表達式；

（2）求達到警戒線AB位置時水面寬度.

1,

【答案】（1）y=----+x；

（2）達到警戒線AB位置時水面的寬度為12米.

【解析】

【分析】(1)由題意可得，拋物線與X軸的交點為(0,0)，(20,0),頂點坐標為(1(),5),設拋物線解析式為

y=a(x—IO)?+5，再將(0,0)代入求解即可：

(2)將y=3.2代入拋物線，求解一元二次方程，即可求解.

【小問1詳解】

解：由題意可得，拋物線與x軸的交點為(0,0),(20,0),頂點坐標為(10,5),

設拋物線解析式為y=a(x—IO]+5

將(0,0)代入可得100a+5=0,解得“=

121

即y=---+5=--一-x2+x

-20')20

【小問2詳解】

解：由題意可得，A、8兩點的縱坐標為5-1.8=3.2,

1.1,

將y=3.2代入y=------x+x,可得3.2=—1—x+x>

化簡可得X2-20X+64=0.

解得：玉=4,々=16

即A(4,3.2),5(16,3.2)

則43=16—4=12米，

答：達到警戒線A6位置時水面的寬度為12米.

【點睛】此題考查了二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是理解題意，正確求得二次函數(shù)解析式.

21.如圖，在ABC中，平分NABC交AC于點￡>,DE〃BC交AB千點、E,DE=4,

BC=6,AD=5,求CD和AE的長.

【解析】

Anr)p

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，可得——=—，求出AC,從而得到。。的長.根據(jù)等腰三角形的性

ACBC

DPspA

質得到OE=3E=4,再由平行線分線段成比例，可得蕓=等=二?，得到AE的長.

BCAE+46

【詳解】解：DE//BC，

ADDE

,?二,

ACBC

又DE=4,BC=6,AD=5,

,54

,.=一,

AC6

/.AC=—,

2

CD=AC-AD=-,

2

DE//BC，

AEDE

：.ZDBC=ZEDB

QB。平分/ABC,

：./EBD=/DBC,

;.ZEBD=AEDB,

:.DE=BE=4,

AE_4

AE+4~6'

：.AE=S.

【點睛】本題綜合考查了平行線的性質，平行線分線段成比例，等腰三角形的判定和性質，解題的關鍵是找

準對應關系，避免錯誤.

22.如圖，梯形ABC。中，AB//CD,且AB=2CD,E、尸分別是AB、BC的中點，E尸與6。相

交于點M.

(1)求證：八FDMSMRM:

（2）若DB=6,求BA/.

【答案】（1）見解析；（2）BM=2.

【解析】

【分析】（1）先證明CD=EB,再證明四邊形CBEQ是平行四邊形，然后得出CBDE即可證的

NEDMs.BM；

r）MDE

（2）根據(jù)（1）中得出的AEOMsAEBM得出——=——，得出?！?2班'再根據(jù)相似得出

BMBF

DM=2BM，再根據(jù)已知條件即可求解.

【詳解】證明：E是AB的中點，

AB=2EB>

AB=2CD,

：.CD=EB.5LAB//CD,

四邊形CBED是平行四邊形，

/.CBDE,

:.ZDEM=ABFM，ZEDM=/FBM，

\EDM^\FBM；

解：MDMs/\PBM，

.DMDE

廠是BC的中點，

:.DE=BC=2BF,

:.DM=2BM，

：.DB=DM+BM=3BM,

03=6,

:.BM=>DB=2.

3

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定及性質，平行四邊形的判定及性質，熟練掌握判定定理及性質

是關鍵.

23.如圖，M是平行四邊形的對角線上的一點，射線AM與8c交于點片與OC的延長線交于點

H.

（1）求證：

(2)若BC=BD.DM,求證：ZAMB=ZADC.

B

H

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）由于AD〃BC,AB〃CD,通過三角形相似，找到分別于?竺，竺竺都相等的比也

把比例

MFAMMB

式變形為等積式，問題得證.

（2）推出△ADA/S&3D4,再結合A3//C0,可證得答案.

【詳解】（1）證明：???四邊形A3CD是平行四邊形，

AAD//BC,AB//CD,

.AMDMDMMH

'~MF~MB'

.AMMH，

K■n即nAM'MF-MH-

"~MFAM

（2）:四邊形ABCD是平行四邊形,

AAD=BC,又,：BC?=BDDM，

,ADDM

???他=皿。MH即n而=布

又?:NADM=/BDA,

AADMs^BDA，

/.ZAMD=ZBAD^

■：ABIICD,

/.ZBAD+ZADC=180，

ZAMB+ZAMD=ISO，

...ZAMB^ZADC.

【點睛】本題考查的知識點是相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟練的掌握相似三角形的判定與性

質.

24.如圖，已知在直角坐標系中，拋物線y=G?一8or+3(a<0)與y軸交于點A,頂點為￡).其對稱軸

交x軸于點8,點P在拋物線上，且位于拋物線對稱軸的右側.

(1)當AB=8D=5時，求拋物線的表達式；

(2)在(1)的條件下，當。時，求點P的坐標；

(3)點G在對稱軸BD上，且求一48G的面積.

2

【答案】(1)y=~x2+x+3

8

(2)P(10,-)

2

(3)5謝=10或22

【解析】

【分析】(1)用拋物線的解析式化為頂點式確定頂點坐標，對稱軸，利用兩點間距離，即可；

(2)先確定出直線AB解析式，再由小〃43確定出直線。P解析式，利用方程組確定出交點坐標；

(3)利用平面坐標系中求三角形面積常用的方法解決，即選用坐標軸或平行于坐標軸的直線上的線段作

為底.

【小問1詳解】

解：,y=ax2-8ar+3=tz(x-4)24-3-166?,

.?.對稱軸為x=4,5(4,0),A(0,3),

AB=BD=5,

拋物線的頂點為。，其對稱軸交“軸于點

3—16。=BD=5,

1

CL=--,

8

y=—+x+3,

8

【小問2詳解】

解：B(4,0),A(0,3),

3

???直線A3解析式為y=--元+3,

4

DP//AB>

3

設直線0P解析式為y=--x+b,

4

。(4,5)在直線OP上，

.,./?=8,

3

六直線。尸解析式為y=--x+8,

4

y=——x+8

由|,

y=——x2+%+3

二.玉=10,x2=4(舍),

??.尸(10,3；

2

【小問3詳解】

①以8為圓心，84為半徑作圓，交￡>3延長線于G，

BG=AB,

ZBAGl=NBQA,

ZAGB=-ZABD,

2

AB=5.點G在對稱軸8。上x=4,

二.G](4,—5),

?-5AeC1=^BG,xAH=1x5x4=10;

②以A為圓心，AG1為半徑作圓，交3。延長線于G2,

過點A作AaJ_80于，，

HG2=HGt=BH+BG、=8,

BG、=11,

x

ABC、；

SAtiij5=~2BG/xAH=—2xllx4=22

即：5Ase=10或22?

【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了拋物線的一般形式化成頂點形式的方法，圖象交點坐標的確

定，兩直線平行的特點，坐標系中確定三角形面積的常用方法，解題的關鍵是確定出拋物線的解析式.

25.如圖，直角梯形ABC。中，ABDC,ZDAB=90°,AZ)=2Z)C=4,AB=6.動點M以每秒1

個單位長的速度，從點A沿線段向點8運動；同時點尸以相同的速度，從