北海市重點中學(xué)2024屆八年級下冊數(shù)學(xué)期末綜合測試模擬試題含解析

北海市重點中學(xué)2024屆八年級下冊數(shù)學(xué)期末綜合測試模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為（）A．，， B．，， C．，， D．，，2．如圖，在?ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠BCD的平分線交AD于點E，交BA的延長線于點F，則AE＋AF的值等于()A．2 B．3 C．4 D．63．若關(guān)x的分式方程有增根，則m的值為（）A．3 B．4 C．5 D．64．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的角平分線AF與AB的垂直平分線DF交于點F，連接CF，BF，則∠BCF的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．45°5．直線y=x－1的圖像經(jīng)過的象限是A．第二、三、四象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D(zhuǎn)．第一、二、三象限6．如圖，函數(shù)()和()的圖象相交于點A，則不等式＞的解集為（）A．＞ B．＜ C．＞ D．＜7．在△ABC中，a、b、c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，若（a﹣2）2＋｜b﹣2｜＋＝0，則這個三角形一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形8．如圖，在邊長為12的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交BC于點G，則BG的長為（）A．5 B．4 C．3 D．29．使等式成立的x的值是（）A．是正數(shù) B．是負數(shù) C．是0 D．不能確定10．已知反比例函數(shù)，下列結(jié)論中不正確的是（）A．圖象經(jīng)過點(-1,-1) B．圖象在第一、三象限C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，y隨著x的增大而增大11．下列各式屬于最簡二次根式的有（）A． B． C． D．12．已知，則的關(guān)系是（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．已知一個函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則這個函數(shù)的表達式是__________．14．在代數(shù)式，，，，中，是分式的有______個.15．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知直線上一點P（1，1），C為y軸上一點，連接PC，線段PC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)900至線段PD，過點D作直線AB⊥x軸．垂足為B，直線AB與直線交于點A，且BD=2AD，連接CD，直線CD與直線交于點Q，則點Q的坐標(biāo)為_______.16．若二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是_____．17．如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，CE//BD，DE//AC．若AD=23，AB=2，則四邊形OCED的面積為___18．如圖是甲、乙兩射擊運動員的10次射擊訓(xùn)練成績的折射線統(tǒng)計圖，則射擊成績較穩(wěn)定的是__________(填“甲”或“乙”)。三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都為1，每個小正方形的頂點叫格點，分別按下列要求畫以格點為頂點三角形和平行四邊形．（1）三角形三邊長為4，3，；（2）平行四邊形有一銳角為45°，且面積為1．20．（8分）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足為E．（1）求證：BC=BD；（2）若BC=15，AD=20，求AB和CD的長．21．（8分）已知平行四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O，線段EF過點O交AD于點E，交BC于點F．求證：OE=OF．22．（10分）如圖，矩形ABCD的邊BC在x軸上，點A(a，4)和D分別在反比函數(shù)y=-12x和y=mx(m>（1）當(dāng)AB=BC時，求m的值。（2）連結(jié)OA，OD．當(dāng)OD平方∠AOC時，求△AOD的周長．23．（10分）如圖，，分別表示小明步行與小剛騎車在同一路上行駛的路程S與時間t的關(guān)系．（1）小剛出發(fā)時與小明相距________米．走了一段路后，自行車發(fā)生故障進行修理，所用的時間是________分鐘．（2）求出小明行走的路程S與時間t的函數(shù)關(guān)系式．（寫出計算過程）（3）請通過計算說明：若小剛的自行車不發(fā)生故障，保持出發(fā)時的速度前進，何時與小明相遇？24．（10分）某校八年級全體同學(xué)參加了某項捐款活動，隨機抽查了部分同學(xué)捐款的情況統(tǒng)計如圖所示．（1）本次共抽查學(xué)生人，并將條形圖補充完整；（2）捐款金額的眾數(shù)是平均數(shù)是中位數(shù)為（3）在八年級600名學(xué)生中，捐款20元及以上（含20元）的學(xué)生估計有多少人？25．（12分）點D是等邊三角形ABC外一點，且DB＝DC，∠BDC＝120°，將一個三角尺60°角的頂點放在點D上，三角尺的兩邊DP，DQ分別與射線AB，CA相交于E，F(xiàn)兩點．(1)當(dāng)EF∥BC時，如圖①所示，求證：EF＝BE＋CF.(2)當(dāng)三角尺繞點D旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置時，線段EF，BE，CF之間的上述數(shù)量關(guān)系是否成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，寫出EF，BE，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)當(dāng)三角尺繞點D繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到如圖③所示的位置時，(1)中的結(jié)論是否發(fā)生變化？如果不變化，直接寫出結(jié)論；如果變化，請直接寫出EF，BE，CF之間的數(shù)量關(guān)系．26．某人購進一批瓊中綠橙到市場上零售，已知賣出的綠橙數(shù)量x(千克)與售價y(元)的關(guān)系如下表：數(shù)量x(千克)12345…售價y(元)2+0.14+0.26+0.38+0.410+0.5…(1)寫出售價y(元)與綠橙數(shù)量x(千克)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)這個人若賣出50千克的綠橙，售價為多少元？

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【解析】

首先把方程化為一般式，然后可得二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項．【詳解】2x2-6x=9可變形為2x2-6x-9=0，

二次項系數(shù)為2、一次項系數(shù)為-6、常數(shù)項為-9，

故選：D．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，關(guān)鍵是掌握任何一個關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項．2、C【解析】

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，∴∠F=∠DCF，∵∠C平分線為CF，∴∠FCB=∠DCF，∴∠F=∠FCB，∴BF=BC=8，同理：DE=CD=6，∴AF=BF?AB=2，AE=AD?DE=2∴AE+AF=4故選C3、D【解析】

分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程計算即可求出m的值．【詳解】去分母得：2x-x+3=m，由分式方程有增根，得到x-3=0，即x=3，把x=3代入整式方程得：m=6，故選D．【點睛】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．4、B【解析】

根據(jù)線段垂直平分線的意義得FA=FB，由∠BAC=50°，得出∠ABC=∠ACB=65°，由角平分線的性質(zhì)推知∠BAF=25°，∠FBE=40°，延長AF交BC于點E，AE⊥BC，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)得出：∠BFE=50°，∠CFE=50°，即可解出∠BCF的度數(shù)．【詳解】延長∠BAC的角平分線AF交BC于點E，

∵AF與AB的垂直平分線DF交于點F，

∴FA=FB，

∵AB=AC，∠BAC=50°，

∴∠ABC=∠ACB=65°

∴∠BAF=25°，∠FBE=40°，

∴AE⊥BC，

∴∠CFE=∠BFE=50°，

∴∠BCF=∠FBE=40°．

故選：B．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)的內(nèi)容是解答本題的關(guān)鍵．5、C【解析】直線y=x-1與y軸交于（0，-1）點，且k=1＞0，y隨x的增大而增大，∴直線y=x-1的圖象經(jīng)過第一、三、四象限．故選C．6、A【解析】試題解析：由圖象可以看出當(dāng)時，的圖象在圖象的上方，所以的解集為.故本題應(yīng)選A.7、C【解析】

根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列出方程，解出a、b、c的值后，再用勾股定理的逆定理進行判斷.【詳解】解：根據(jù)題意，得a－2=0，b－=0，c－2=0，解得a=2，b=，c=2，∴a=c，又∵，∴∠B=90°，∴△ABC是等腰直角三角形.故選C.【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)和勾股定理的逆定理，屬于基礎(chǔ)題型，解題的關(guān)鍵是熟悉非負數(shù)的性質(zhì)，正確運用勾股定理的逆定理.8、B【解析】分析：利用翻折變換對應(yīng)邊關(guān)系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，進而求出BG即可；詳解：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，∵將△ADE沿AE對折至△AFE，∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，又∵AG=AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，AG=AG，AB=AF，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴BG=GF，∵E是邊CD的中點，∴DE=CE=6，設(shè)BG=x，則CG=12－x，GE=x+6，∵GE2=CG2+CE2，∴（x+6）2=（12-x）2+62，解得：x=1，∴BG=1．故選B．點睛：此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的綜合應(yīng)用以及翻折變換的性質(zhì)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出對應(yīng)線段相等是解題關(guān)鍵．9、C【解析】

根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于等于0即可得出答案．【詳解】根據(jù)題意有解得，故選：C．【點睛】本題主要考查二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．10、D【解析】

根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，利用排除法求解．【詳解】解：A、x=-1，y==-1，∴圖象經(jīng)過點（-1，-1），正確；B、∵k=1＞0，∴圖象在第一、三象限，正確；C、∵k=1＞0，∴圖象在第一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＞1時，0＜y＜1，正確；D、應(yīng)為當(dāng)x＜0時，y隨著x的增大而減小，錯誤．故選：D．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)k＞0時，函數(shù)圖象在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，y的值隨x的值的增大而減?。?1、B【解析】

先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再根據(jù)最簡二次根式的定義判斷即可．【詳解】A選項：，故不是最簡二次根式，故A選項錯誤；B選項：是最簡二次根式，故B選項正確；C選項：，故不是最簡二次根式，故本選項錯誤；D選項：，故不是最簡二次根式，故D選項錯誤；

故選：B．【點睛】考查了對最簡二次根式的定義的理解，能理解最簡二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵．12、D【解析】

根據(jù)a和b的值去計算各式是否正確即可．【詳解】A.，錯誤；B.，錯誤；C.，錯誤；D.，正確；故答案為：D．【點睛】本題考查了實數(shù)的運算問題，掌握實數(shù)運算法則是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、【解析】

直接根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于y軸對稱的特點得出答案．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)x互為相反數(shù)，y不變，∴，故答案為：．【點睛】本題考查反比例函數(shù)與幾何變換，掌握關(guān)于y軸對稱時，y不變，x互為相反數(shù)是解題關(guān)鍵．14、2【解析】

根據(jù)題中“是分式的有”可知，本題考查分式的判斷，根據(jù)分式的基本概念，運用分式是形如分數(shù)的形式，但分母含有字母的方法，進行分析判斷.【詳解】解：由形如分數(shù)的形式，但分母含有字母是分式，判斷出，為分式，其它為整式.故是分式的有2個.【點睛】本題解題關(guān)鍵：理解分式的基本概念，特別注意是分式的分母含有字母.15、【解析】

如圖，過點P作EF∥x軸，交y軸與點E，交AB于點F，則易證△CEP≌△PFD（ASA），∴EP=DF，∵P（1，1），∴BF=DF=1，BD=2，∵BD=2AD，∴BA=3∵點A在直線上，∴點A的坐標(biāo)為（3，3），∴點D的坐標(biāo)為（3，2），∴點C的坐標(biāo)為（0，3），設(shè)直線CD的解析式為，則解得：∴直線CD的解析式為，聯(lián)立可得∴點Q的坐標(biāo)為.16、x＞2019【解析】

根據(jù)二次根式的定義進行解答.【詳解】在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，即x-20190，所以x的取值范圍是x2019.【點睛】本題考查了二次根式的定義，熟練掌握二次根式的定義是本題解題關(guān)鍵.17、2【解析】

連接OE，與DC交于點F，由四邊形ABCD為矩形得到對角線互相平分且相等，進而得到OD=OC，再由兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形得到OCED為平行四邊形，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形為菱形得到四邊形OCED為菱形，得到對角線互相平分且垂直，求出菱形OCED的面積即可．【詳解】解：連接OE，與DC交于點F，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，AB=CD，

∵OD∥CE，OC∥DE，

∴四邊形ODEC為平行四邊形，

∵OD=OC，

∴四邊形OCED為菱形，

∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，

∵DE∥OA，且DE=OA，

∴四邊形ADEO為平行四邊形，

∵AD=23，AB=2，

∴OE=23，CD=2，

則S菱形OCED=12OE?DC=12×23×2=23【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18、乙【解析】

從折線圖中得出甲乙的射擊成績，再利用方差的公式計算．【詳解】解：由圖中知，甲的成績?yōu)?，9，7，8，10，7，9，10，7，10，乙的成績?yōu)?，7，8，9，8，9，10，9，9，9，

=（8+9+7+8+10+7+9+10+7+10）÷10=8.5，=（7+7+8+9+8+9+10+9+9+9）÷10=8.5，

甲的方差S甲2=[3×（7-8.5）2+2×（8-8.5）2+2×（9-8.5）2+3×（10-8.5）2]÷10=1.35乙的方差S乙2=[2×（7-8.5）2+2×（8-8.5）2+（10-8.5）2+5×（9-8.5）2]÷10=0.85，∴S2乙＜S2甲．

故答案為：乙．【點睛】本題考查了方差的定義與意義，熟記方差的計算公式是解題的關(guān)鍵，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立．三、解答題（共78分）19、（1）見解析；（2）見解析.【解析】分析：(1)4在網(wǎng)格線上，3是直角邊為3的直角三角形的斜邊，是直角邊分別為1和3的直角三角形的斜邊；(2)先構(gòu)造一個直角邊為2的等腰直角三角形，以此為基礎(chǔ)再構(gòu)造平行四邊形.詳解：(1)圖(1)即為所求；(2)圖(2)即為所求.點睛：本題考查了勾股定理，在格點中，可結(jié)合網(wǎng)格中的直角構(gòu)造直角三角形，一般有理數(shù)可用網(wǎng)格線表示，無理數(shù)可表示為直角三角形的斜邊，勾股定理確定它的兩條直角邊.20、（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，AB⊥CD，∴，∴（2），【解析】試題分析：（1）由于AB為直徑且AB⊥CD，由此可知B點將平分，所以，由此推出（2）∵AB為⊙O的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵AB為⊙O的直徑，AB⊥CD，∴考點：直徑垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理的計算點評：本題難度不大，需要記住的是圓的直徑和直角三角形的關(guān)系21、證明見解析.【解析】

由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD∥BC，OA=OC，繼而可利用ASA判定△AOE≌△COF，繼而證得OE=OF．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，OA=OC，∴∠OAE=∠OCF，在△AOE和△COF中，∠OAE＝∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．22、（1）4（4）10+45【解析】

（1）把A點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)式y(tǒng)=-12x，求出a值，則A的橫坐標(biāo)可知，由條件知AB=BC，求出OC的長度，則求出D點的坐標(biāo)，把D點坐標(biāo)代入y=m（4）現(xiàn)知A點坐標(biāo)，則可求出OA的長度，根據(jù)角平分線的定義和兩直線平行內(nèi)錯角相等，等量代換得出∠ADO=∠AOD，所以AO=AD=3，則OC的長度可求，現(xiàn)知DC的長度，用勾股定理即可求出OD的長度，則△AOD的周長可求.【詳解】（1）當(dāng)y=4時，a=-124=-∴OB=1．∵矩形ABCD，且AB=BC，∴AB=BC=CD=4，∴OC=1，∴D(1，4)，∴m=4．（4）∵∠ABO=90°，A(-1，4)，∴OA=3．∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠DOC．∵AD∥BC，∴∠ADO=∠DOC，∴∠ADO=∠AOD，∴DA=OA=3，∴OC=4．∵∠OCD=90°，∴OD=O∴△AOD的周長是10+45．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與四邊形的綜合，靈活應(yīng)用矩形的性質(zhì)及等角對等邊這一性質(zhì)求線段長是解題的關(guān)鍵.23、（1）3000，12；（2）；（3）若小剛的自行車不發(fā)生故障，保持出發(fā)時的速度前進，20分鐘與小剛相遇．【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)圖象可以直接得出答案；（2）根據(jù)直線lA經(jīng)過點（0，3000），（30，6000）可以求得它的解析式；（3）根據(jù)函數(shù)圖象可以求得lB的解析式與直線lA聯(lián)立方程組即可求得相遇的時間．【詳解】解：（1）根據(jù)函數(shù)圖象可知，小剛出發(fā)時與小明相距3000米．走了一段路后，自行車發(fā)生故障進行修理，所用的時間是12分鐘．故答案為：3000；12；（2）根據(jù)函數(shù)圖象可知直線經(jīng)過點，．設(shè)直線的解析式為：，則解得，，即小明行走的路程S與時間t的函數(shù)關(guān)系式是：；（3）設(shè)直線的解析式為：，∵點（10，2500）在直線上，得，．解得，．故若小剛的自行車不發(fā)生故障，保持出發(fā)時的速度前進，20分鐘與小剛相遇．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想對圖象進行分析，找出所求問題需要的條件．24、（1）50人，補圖見解析；（2）10，13.1，12.5；（3）132人【解析】分析：（1）由條形統(tǒng)計圖中的信息可知，捐款15元的有14人，占被抽查人數(shù)的28%，由此可得被抽查學(xué)生的總?cè)藬?shù)為：14÷28%=50（人），由此可得捐款10元的人數(shù)為：50-9-14-7-4=16（人），這樣即可補全條形統(tǒng)計圖了；（2）根據(jù)補充完整的條形統(tǒng)計圖中的信息進行分析解答即可；（3）由條形統(tǒng)計圖中的信息計算出捐款在20元及以上的學(xué)生占捐款學(xué)生總數(shù)的比值，然后由600乘以所得比值即可得到所求結(jié)果.詳解：（1）由條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖中的信息可得：被抽查學(xué)生總數(shù)為：14÷28%=50（人），∴捐款10元的人數(shù)為：50-9-14-7-4=16（人），由此補全條形統(tǒng)計圖如下圖所示：（2）由條形統(tǒng)計圖中的信息可知：捐款金額的眾數(shù)是：10元；捐款金額的平均數(shù)為：（元）；捐款金額的中位數(shù)為：（元）；（3）根據(jù)題意可得：全校捐款20元及以上的人數(shù)有：（人）.點睛：知道“條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖中相關(guān)數(shù)據(jù)間的關(guān)系及眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義和確定方法”是解答本題的關(guān)鍵.25、（1）見解析；（2）結(jié)論仍然成立．理由見解析；（3）結(jié)論發(fā)生變化．EF＝CF－BE.【解析】

（1）根據(jù)△ABC是等邊三角形知道AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，而DB=DC，∠BDC=120°，這樣可以得到△DCF和△BED是直角三角形，由于EF∥BC，可以證明△AEF是等邊三角形，也可以證明△BDE≌△CDF，可以得到DE=DF，由此進一步得到

DE=DF∠BDE=∠CDF=30°，這樣可以得到BE=DE=DF=CF，而△DEF是等邊三角形，所以題目的結(jié)論就可以證明出來了；（2）結(jié)論仍然成立．如圖，在AB的延長線上取點F’，使BF’=CF，連接DF’，根據(jù)（1）的結(jié)論可以證明△DCF≌△DBF’，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以得到DF=DF’，∠BDF’=∠CDF，又∠BDC=120°，∠EDF=60°，可以得到：∠EDF’=∠CDF=60°，由此可以證明△EDF’≌△EDF，從而證明題目的結(jié)論；（3）結(jié)論發(fā)生變化．EF=BE-CF．如圖，在射線AB上取點F′，使BF′＝CF，連接DF′.由(1)得△DCF≌△DBF′(SAS)．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以得到DF＝DF′，∠BDF′＝∠CDF.又因為∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，可以得到∠FDB＋∠CDF＝60°，∠FDB＋∠BDF′＝∠FDF′＝120°，所以∠EDF′＝∠EDF=60°，由此可得△EDF′≌△EDF(SAS)，從而證明題目的結(jié)論EF＝EF′＝BF′-BE＝CF-BE?！驹斀狻?1)證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°.∵DB＝DC，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°.∴∠DBE＝∠DBC＋∠ABC＝90°，∠DCF＝∠DCB＋∠ACB＝90°.∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°.∴AE＝AF.∴BE＝AB－AE＝AC－AF＝CF.又∵DB＝DC，∠D