河北省保定市2022-2023學年高三年級上冊期末調(diào)研考試數(shù)學試題

2022-2023學年度第一學期高三期末調(diào)研考試

數(shù)學試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上

無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的。

1.已知集合4=,"一1|，2},B={-1,0,1,2,3,4},則AB=

A.{-1,0,1}B.{2,3,4}C.{3,4}D.{-1,3,4)

2.若z=(2+i)(l—i),則z+W等于

A.2B.6C._2D.-6

4?

3.數(shù)列滿足q=4,an+{=—+——，則包=

ann+\

88

A.2B.-C.-2D.--

33

4.如圖，點尸為射線y=與以原點O為圓心的單位圓的交點，一動點在圓O上以點P為起始點，沿逆

時針方向運動，每2秒轉(zhuǎn)一圈.則該動點橫坐標/?)關(guān)于運動時間r的函數(shù)的解析式是

、

A-/(f)=sin(2f+?B./(f)=sin

3J

7

C/(/)=cos+―D./”)=cos2t---

I3JI3

5.函數(shù)〃尤)==一的圖象大致是

x+1

6.已知函數(shù)/（x）=sin2絲+—：sins-L?〉0）,若在（條手）上恰在兩個零點，則co的值可

以是

1

A.-B.IC.2D.3

2

22

7.己知橢圓C：左+方=1（。＞萬＞0）,耳，K分別為橢圓的左、右焦點，P為橢圓上一點，ZPF}F]=p

V6

過招做4F\PF2外角平分線的垂線交"P的延長線于N點.若sinNPNF]則橢圓的離心率

4

V3-1V3V5V5-1

A.-------B?C.D.

2----222

8.已知三棱錐＞A8C的所有棱長均為2,以8。為直徑的球面與△4BC的交線為L,則交線乙的長度為

2644#）兀2瓜兀4指兀

A.-------B.--------C.--------D.--------

9999

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.某中學為了能充分調(diào)動學生對學術(shù)科技的積極性，鼓勵更多的學生參與到學術(shù)科技之中，提升學生的創(chuàng)新

意識，該學校決定邀請知名教授于9月2日和9月9日到學校做兩場專題講座.學校有東、西兩個禮堂，第一

次講座地點的安排不影響下一次講座的安排，假設選擇東、西兩個禮堂作為講座地點是等可能的，則下列敘述

正確的是

A.兩次講座都在東禮堂的概率是,

4

B.兩次講座安排在東、西禮堂各一場的概率是

2

3

C.兩次講座中至少有一次安排在東禮堂的概率是一

4

D.若第一次講座安排在東禮堂，下一次講座安排在西禮堂的概率是,

3

10.如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中

A.AB與CD平行B.CD與GH是異面直線

C.EF與GH成60°角D.CD與EF平行

II.己知函數(shù)〃x)=《(aw0),則/(力

A.在(9,0)上單調(diào)遞增B.無極小值

22

C.無最小值D.有極小值，極小值為*

4

12.平面內(nèi)有一定點A和一個定圓。，尸是圓。上任意一點.線段AP的垂直平分線I和直線OP相交于點Q,

當點P在圓上運動時，點Q的軌跡可以是

A.直線B.圓C.橢圓D.雙曲線

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(l+2x)3(l—x『的展開式中x項的系數(shù)是.

14.己知向量a=(l,1),/?=(1,0),c=Aa+b,〈a,b〉=〈b,c〉，則2=.

15.定義在R上的兩個函數(shù)/(x)和g(x),己知/(x)+g(l-x)=3,g(x)+〃x—3)=3.若y=g(x)圖

象關(guān)于點(1,0)對稱,則〃0)=g(l)+g(2)+g(3)++g(1000)=.

16.已知雙曲線G：x2-y2=l,圓。2：(x—4丫+9=2,在G的第四象限部分取點P,過P做斜率為1

的直線/,若/與交于不同的兩點M，N,則歸加卜歸義|的最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)

數(shù)列｛??｝的前n項和為S“滿足2S,=3an-3.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)已知數(shù)列｛2｝滿足a=3〃，在數(shù)列｛"｝中別除掉屬于數(shù)列｛4｝的項，并且把剩余的項從小到大排列,

構(gòu)成新數(shù)列｛<??｝，求數(shù)列｛%｝的前100項和7；0G.

18.(12分)

已知aABC的內(nèi)角A、2、C的對應邊分別為。、b、c,b=2a,點D在邊A8匕且2CD-sinA="sinZACB.

（1）求CD與c的關(guān)系;

(2)若4D=QB,求cosNACB.

19.（12分）

已知矩形ABCD中，AB=2,AD^y/2,M為A3中點，沿AC將△ACZ）折起，得到三棱錐尸-A8c.

（1）求異面直線PM與AC所成的角；

（2）當二面角P-AB-B的大小為60°時，求48與平面P8C所成角.

20.（12分）

根據(jù)《全國普通高等學校體育課程教學指導綱要》第六條：普通高等學校要對三年級及以上學生開設體育選修

課.某學院大三、大四年級的學生可以選擇羽毛球、健美操、乒乓球、排球等體育選修課程，規(guī)定每位學生每

學年只能從中選修一項課程，大三選過的大四不能重復選，每項課程一學年完成共計80學時.現(xiàn)在在該學院

進行乒乓球課程完成學時的調(diào)查，已知該學院本學年選修乒乓球課程大三與大四學生的人數(shù)之比為3：2,現(xiàn)

用分層隨機抽樣的方法從這兩個年級選修乒乓球課的數(shù)據(jù)中隨機抽取100位同學的乒乓球課程完成學時，得到

如下頻率分布表：

成績（單位：學時）[30,40)[0,50)[50,60)[60,70)[70,80]

頻數(shù)（不分年級）3X213533

頻數(shù)（大三年級）2616y16

（1）求x,y的值；

（2）在這100份樣本數(shù)據(jù)中，從完成學時位于區(qū)間［30,60）的大四學生中隨機抽取2份，記抽取的這2份學

時位于區(qū)間［40,50）的份數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學期望；

（3）已知該學院大三、大四學生選修乒乓球的概率為25%,本學年這兩個年級體育選修課程學時位于［70,80］

的學生占兩個年級總體的16%.現(xiàn)從該學院這兩個年級中任選一位學生，若此學生本學年選修的體育課程學時

位于［70,80］,求他選修的是乒乓球的概率（以樣本數(shù)據(jù)中完成學時位于各區(qū)間的頻率作為學生完成學時位于

該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.

21.（12分）

已知橢圓二+2-=1與直線/：y=kx+m^kw0）有唯一的公共點

168

（1）當相=4時，求點M的坐標;

（2）過點M且與/垂直的直線分別交x軸、y軸于A（乂0）,3（0,y）兩點.當點M運動時,

（I）求點尸（％,y）的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線;

(0)如果推廣到一般橢圓，能得到什么相應的結(jié)論？(直接寫出結(jié)論即可)

22.(12分)

己知函數(shù)/(x)=(x-l)ev-ar.

(1)當x>-l時，/是y=/(x)的一個極值點且/(%)=一1,求與及a的值；

(2)已知g(x)=/inx,設=e*[/'(x)+a],若%>1,x,>0.且g&)=。(%2)，求藥-2/的

最小值.

2022-2023學年度第一學期高三期末調(diào)研考試數(shù)學試題答案

一、1—8.DBACA,CDA

二、9—12.ABC,CD,CD,BCD

三、13.4,14.15.3；0,(第一個空2分，第二個空3分)，16.5

2

四、17.解：

(1)在2斗=3加一3中令〃=1,得m=3,

'：2Sn=3an~3,.?.當”>1時，25?-i=3an-i-3,

兩式相減得2an=3a?—3an-｝,：.a,,=3a?-\,

數(shù)列｛%｝是以1為首項，以3為公比為的等比數(shù)列，

；.斯=3".

(2),：h,,=3n,

：.數(shù)列｛"”｝中的項都在數(shù)列彷“｝中.

數(shù)列｛斯｝前5項：3,9,27,81,243在數(shù)列｛瓦｝前105項中.這五項和為363

｛仇｝前105項的為數(shù)列｛褊前105項為3,6,9,27,…81,…，243,…，315,它們的和為105X3+105

X52X3=16695

所以數(shù)列｛金｝的前100項和為數(shù)列仍"｝前105項的和減去3、9、27、81、243的和，

得：105X3+105X52X3—363=16332.

18.解：

(1)"."2CD,sinA=h,sinAACB,由正弦定理

得2CD,a=b?c,

:.CD=c；

11

(2)?:AD=DB,：.CD=—CA+—CB,

22

兩邊平方得，4(CD)2=(CA『+(CB『+2cA.c3,

“2,22

,oo_.Cl~TUh—C

即4c2=/r+7+2ab----------------

lab

化簡得：5C2=2?2+2/?2.

*.*b=2a,?'?c2=2a2.

/+4/-2/3

cosZACB=

2a-2a4

19.解：

(1)設AC與0M相交于點O,

???矩形ABC。中AB=2,AD=?,例為AB中點,

：.AD:DC=MA:AD,

：.△ACCs△MA。，

：.ZDCA=ZADM,

VZACD+ZDAC=90a.

：.ZADM+ZDAC=90°,

AZDOA=90°,

：.DM±AC.

由折疊可知尸。-LAC,OMLAC,

'.'POQOM^O,

，AC_L平面POM,

,：PM在平面POM內(nèi)，：.AC±PM.

.?.PM與AC所成的角為90°

(2)由(1)知，POLAC,0M1AC,

J.P—AC—B所成角為NPOM=60°

PO=—,OM=—可知PM=1,

33

又,.,AM=1,PA=y/2,

：.PMLAB,

方法一：

??，M為AB中點，

PB=PA=&,

：.PA1PB,

又?.?BALPC,.,.以，平面PBC,

ZABP即為A8與平面PBC所成的角，

VZABP=45°,

與平面PBC所成的角為45°.

方法二：

PMLAB,由（1）知ACJ_PM.AC與AB交與A點

平面A8C,

取AC中點E,連接ME,則ME〃BC,

：.ME1.AB,

以M為坐標原點，分別以ME,MA,MP所在直線為軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系M-xyz,

：.A（1,0,0）,B（-1,0,0）,C（-l,V2,0）,P（0,0,1）,

&4=（0,2,0）,BC=（V2,0,0）,BP=（0,1,1）

平面PBC的法向量m=（0,1,T）,

設AB與平面PBC所成的角為a,

則sina=a=g

網(wǎng)2

???AB與平面MC所成的角為45°.

20.

解:（1）V3+x+21+35+33=100,

.,.x=100-（3+21+35+33）=8,

、3

?；2+6+16+y+16=l00x—=60,

；.y=60—（2+6+16+16）=20,

（2）由題意可知，X的取值可能為0,1,2,

?.?這100位學生學時在［30,60）的大四學生為8人，在［40,50）的大四學生為2人，

P（X=0）=軍”=竺,P（X=I）*=6x2x2xy,p（x=2）=軍也」

'7Cl8x728v7Cl8x77v7C；8x728

.?.隨機變量X的概率分布列如表為：

X012

1531

P

28728

???隨機變量X的數(shù)學期望為Ox"+1X3+2X'-=_L

287282

(III)設兩個年級共有m人,A=｛大三大四中任選一學生一學年體育課程完成學時位于區(qū)間[70,80]｝,B=｛大

三大四中任選一學生體育課程選的乒乓球｝,

、/?\n(AB｝

則由條件概率公式得P(B|A)=臣子

即該生選乒乓球的概率約為0.5156.

21.解:

(1)將丫=履+4代入工+二=1,得工+(辰+4)=i,

168168

整理得(29+1)f+16日+16=0……①.

因為M是橢圓與直線/的唯一公共點，

所以(16k)2-4X16義(2必+1)=0,得2儲=1,

攵或％=.將左='^代入方程①解得％=-2&,代入y=Ax+4得y=2；

222

J2

將Z=-學代入方程①得x=20,代入y=kx+4得y=2.

.?.點M為卜2四,2)或(2血,2).

(2)(i)將代入工+上=1,得《+("+間=1,

168168

整理得(2廬+1)x2+4fonx+2(m2—8)=0...②.

因為M是橢圓與直線/的唯一公共點，

所以(4km)2—4X2(2^+1)(nt2-8)=0,即，層=16。+8..③.

DkmDkm16”

方程②的解為x=--A，將③式代入x=-一手，得工=一3,

2公+12k2+1m

入16%八、、不iv2-\6k28

將X=----代入y=kx+m,得y=--------=—

mmm

所以點M的坐標為

8116女

因為左#0,所以過點M且與/垂直的直線為y--=尤+——

mkm

可得A(—-,o,B(O,888k8

,P產(chǎn)9即X=-----y-二—一

m\mmmm

由戶也，y得4=土，根=—§

mmyy

\2

,,,X=16好+8得(一?

22

將2=—,m=--f代入/=16-+8,所以16x+8y=64,

yyy)

22

整理得與+亍=(孫軌跡是焦點在軸，長軸長為行，

1#0).y4短軸長為4的橢圓(去掉四個頂點).

22

(ii).?.如果將此題推廣到一般橢圓「+當=1(a>b>0),直線y=fcv+,"(ZW0),其他條件不變，可得

ab

x2y22c22c2

點尸(％,y)的軌跡方程是一f+3r=1(孫#0),軌跡是焦點在y軸上，長軸長為「一，短軸長為三一的橢