2023屆高考數(shù)學(xué)大題二輪復(fù)習(xí)講義：邊角化求最值和范圍

第6講邊角互化求最值和范圍

基本不等式法

基本不等式及其變形：o+b…2而（和化積）.

變形結(jié)構(gòu)一:a2+b1..2ab（平方和化積）.

變形結(jié)構(gòu)二：°仄（學(xué)）（積化和）.

基本不等式法的核心在于找到和積關(guān)系式,利用基本不等式實(shí)現(xiàn)和積互化,進(jìn)而求解最值.

和積關(guān)系式通常在以下式子中.

,、人14-1>皿17什+巾.b~+—u~（b+c）~—2bc—Cl~

（1）余弦定理及其變形：cos/=----------=----------------.

2bc2bc

⑵中線定理：〃+/=24）2+28。2.

（D是"BC的邊8C的中點(diǎn)）

（3）中點(diǎn)向量模長(zhǎng)公式:下面公式中，。是AZBC的邊3C的中點(diǎn).

彷=；（而+就）2=|2+困『+2園園cos/3/C）

如果求解范圍還要注意利用三角形兩邊之和大于第三邊和兩邊之差小于第三邊來(lái)確定范圍.

要注意在使用基本不等式時(shí)一定要驗(yàn)證等式成立的條件，即“=b取最值.

其中已知對(duì)角和對(duì)邊（/和a已知）求面積和周長(zhǎng)范圍的題型是最基本的也是最常規(guī)的，希

望讀者在下面的例題中總結(jié)出一般方法.

典型例題

7T

［例1］在△力8。中，角4民。的對(duì)邊分別為已知。=2,4=不，求△ZBC的面積

S的最大值.

【解析】將余弦定理代入題中已知算式得

a1=b2+c2-2bccosA,b2+c2-be=4.

又丁b1+』.2bc,

:A..2bc-bc=bc,

當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào).

/.S=—6csia4=—bc?V3.

24

即S的最大值為JJ.

4

【例2】在一臺(tái)。中，內(nèi)角4民。對(duì)應(yīng)的邊分別為a,6,c.若。=3,cosZ=-丁求他+c）

的最大值.

2

■衣力1匚,4人辦士說(shuō)，曰Ab~+c?—cT（Z>+c）—2hc—94

【解析】由余弦定理得cosA=----------=--------------=—

2bc2bc5

/.be=g［（b+c）2-9］.

由基本不等式可得be”（三），

解得0<b+c“當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立,

.??b+c的最大值為麗.

【例3】△/SC的內(nèi)角4民。的對(duì)邊分別為a/,c.若AZBC的面積為4、0,co”=；，求

(a+6+c)的最小值.

【解析】由cos/=,，得siM=哀；

33

,/SA.=gbcsiM=472,

be=12.

2

由b2+c2-a2=-be得

3

,,,224

a~=b"+c2---he..,2bc---be=—be=16,

333

a..A,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2Ji時(shí),等號(hào)成立.

又6+C..2癡=4近，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí),等號(hào)成立.

a+b+c…4+4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)，等號(hào)成立.

即a+6+c的最小值為4+4行.

【例4】在△/18C中，內(nèi)角48,。所對(duì)的

7T

邊分別為a,b,c.已知a+c=1,6=：，求b的取值范圍。

【解析】由余弦定理可知，/+。2-24cos3,

代入可得b?=/+/-ac=(a+c)2-3ac...l-3x(^~^]=1-3x(；)=；,

當(dāng)且僅當(dāng)a=c=L時(shí)取等號(hào)，

22

<6<Q+C=1

.?.b的取值范圍是

函數(shù)法

典型例題

解三角形問(wèn)題常見(jiàn)的一種考題是“已知一條邊的長(zhǎng)度和它所對(duì)的角，求面積或周長(zhǎng)的取值范

圍”，解決這類(lèi)問(wèn)題的思路是全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式,如

y=/sin((yx+Q)+b,并求出自變量的取值范圍,進(jìn)而求最值和范圍,通常的步驟如下：

第一步:化角.設(shè)角度變量,利用正弦定理把所求變量轉(zhuǎn)化成角.

第二步:統(tǒng)一變量.利用內(nèi)角和,實(shí)現(xiàn)變量的統(tǒng)一,最終建立關(guān)于角的一元函數(shù)

y-/sin?x+e)+b.

第三步:求范圍.結(jié)合題設(shè)條件求出自變量角度范圍,進(jìn)而求解最終范圍,通常給出的三角形

為銳角三角形,這個(gè)條件是用來(lái)確定范圍的.

冗

［例1］在銳角△/5C中，5=—，求

3

siivl+sin5+sinC的取值范圍.

解???8=工,.?./+(?=絲

33

...sirL4+simB+sinC

siib4+—+sin

2

河。

222

=百口3/+也、

sin4+

2272

in^+―1+

6

：“BC為銳角三角形,

冗乃'712不

/.AGA.H------G

6TST

3+百71出3正

--------<-TJsinZ+—+

26

3+733疔

sirt4+sin5+sinC的取值范圍是

22

TT

【例2】在銳角△/8C中，角48.C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知/=—,求sinScosC的取

6

值范圍.

【解析】???/+8+。=乃,/=勺,

6

66

sinS-cosC=sin|-C|?cosC

I6J

sinC+—cosC-cosC

2

7

_V312

sinCcosC+—cosC

一22

=在.1cos2C+1

sm2C+---------------

422

73

sin2cH—cos2c4—

44、4

171

-sin2CH—H—.

26J4

:△ABC是銳角三角形,

C57c%

0<C<一

62，解得受。（會(huì)

0<C<-

2

綜上，sin8-cosC的取值范圍是

7T

【例3】設(shè)A/BC的內(nèi)角4民。的對(duì)邊分別為a,b,c.已知B=—為銳角三角形,

3

求￡的取值范圍.

a

V3,1一

【解析】由題設(shè)知，￡=些sin(120°-4)—COS^+2S1IL4

asin?lsirL4sirU

即￡=叵_1_+_1.

a2tanA2

；“BC為銳角三角形，

<A<—,BPtaa4>

623

八1/-1V311.

0<-----<J3,即An一<--------+—<2.

tarU22tanA2

：.-的取值范圍是R,21.

aUJ

【例4】在△ZBC中，角4￡C的對(duì)邊分別為a,b,c.若A/BC為銳角三角形,

TT

b*c,。=2,/=—，求AZBC的周長(zhǎng)的取值范圍.

3

【解析】

解:在“8C中，由正弦定理得，一=—,又?「a=2,

-兀sin5sinC

csin——

3

,4V3,D

/.b—-----sinB,

3

=4sin^5+—J

■：^ABC為銳角三角形,

0<5<-

2

27乃

0<--5<

32

?：b豐c,:.B大一.

3

...—<6<—,_L15W—,

623

—<B+—<-+—*—.

36362

sin（8+'）<1.

:.b+ce（2G,4）.

??△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍是僅+2后6）.

【例5】在銳角△/BC中，角48,C的對(duì)邊分別為a,d0.若6=芋,3=(,4。(，求

△N8C面積的取值范圍.

【解析】

解由正弦定理得一L=—2—=上=1,

siib4siaffsinC

z.a-sin?i,c=sinC.

rrrr

v在銳角△43C