安徽省合肥市六校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

合肥六校聯(lián)盟20232024學(xué)年第一學(xué)期期末聯(lián)考高一年級數(shù)學(xué)試卷（考試時間：120分鐘滿分：150分）一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用集合的交集運(yùn)算即可得解.【詳解】因為，，所以故選：A.2.下列各組函數(shù)表示相同函數(shù)的是（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域及對應(yīng)法則判斷是否為同一函數(shù)即可.【詳解】對于A，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，兩個函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù)，故A錯誤；對于B，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，兩個函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù)，故B錯誤；對于C，函數(shù)與的定義域和對應(yīng)法則都相同，所以表示相同的函數(shù),故C正確；對于D，函數(shù)定義域為，函數(shù)的定義域為，兩個函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù)，故D錯誤.故選：C.3.函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】確定函數(shù)單調(diào)遞增，計算，，得到答案.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，故函數(shù)零點所在的區(qū)間為.故選：B4.函數(shù)的圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性及誘導(dǎo)公式，結(jié)合特殊值即可求解.【詳解】由，解得,所以函數(shù)的定義域為,所以,所以為偶函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，排除選項B，而，排除選項C，，排除選項A，故選：D.5.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判定即可.【詳解】易知.故選：B6.已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用圖象得出，，進(jìn)而求得，再代入點坐標(biāo)，可得，進(jìn)而求出.【詳解】由函數(shù)的圖像可知，，則，．由，解得，則，故，.故選：B7.已知，且，則（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用輔助角公式化簡，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求出即可得解.【詳解】由，得，即，由，得，則，即，所以.故選：B8.已知函數(shù)是定義在上的函數(shù),.若對任意的,且有,則不等式的解集為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】因為等式可化為,即,令函數(shù),根據(jù)函數(shù)是上的增函數(shù),即可求得答案.【詳解】不等式可化為即令函數(shù),由可得,結(jié)合函數(shù)是上的增函數(shù)又不等式,即不等式的解集為:.故選:C【點睛】利用函數(shù)性質(zhì)解抽象函數(shù)不等式,解題關(guān)鍵是根據(jù)已知構(gòu)造函數(shù),利用對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解函數(shù)不等式,考查了轉(zhuǎn)化能力和分析能力,屬于中檔題.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.每小題有多項符合題目要求，全部答對得5分，部分答對得2分，有選錯得0分.9.下列說法正確的是（）A.是第二象限角B.點是函數(shù)的一個對稱中心C.若角終邊上一點的坐標(biāo)為（其中），則D.函數(shù)的圖象可由函數(shù)圖象向左平移個單位得到【答案】AC【解析】【分析】利用弧度制與角度制的轉(zhuǎn)化及象限角的定義可判斷A；直接代入檢驗即可判斷B；利用三角函數(shù)的定義可判斷C；利用三角函數(shù)的圖象的平移變換可判斷D.【詳解】對于A，的終邊與的終邊相同，所以為第二象限角，故A正確；對于B，由，故B錯誤；對于C，利用三角函數(shù)的定義知，故C正確；對于D，由，可由函數(shù)的圖象向左平移個單位得到，故D錯誤；故選：AC．10.下列說法正確的是（）A.命題“”的否定是“，使得”B.若集合中只有一個元素，則C.關(guān)于的不等式的解集，則不等式的解集為D.“”是“”的充分不必要條件【答案】CD【解析】【分析】因為命題否定一定要否定結(jié)論，故A錯誤；B中方程應(yīng)該對是否為0進(jìn)行討論，有兩個結(jié)果，故B錯誤；根據(jù)一元二次不等式的解法確定C的真假；根據(jù)充要條件的判定對D進(jìn)行判斷.【詳解】對A：命題“”的否定是“，使得”，故A錯誤；對B：當(dāng)時，集合中也只有一個元素，故B錯誤；對C：因為關(guān)于的不等式的解集為，故，不妨設(shè)，則由韋達(dá)定理可得，，所以不等式，故C正確；對D：由“，”可得“”，但“”，比如時，“，”就不成立，故D成立.故選：CD11.若實數(shù)m，，滿足，以下選項中正確的有（）A.mn的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.最小值為【答案】AD【解析】【分析】利用基本不等式解決條件的最值問題求解和為定值或乘積為定值.【詳解】解：對于A，由m，，得，又，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，所以mn最大值為，選項A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為，選項B錯誤；對于C，由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，又m，，所以，選項C錯誤；對于D，由m，，，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為，選項D正確．故選：AD．12.已知函數(shù)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則有3個零點 D.若，則有5個零點【答案】ACD【解析】【分析】對A：直接計算即可；對B：先求得或，再求值；對CD：先由求得，，再依次求的解.【詳解】對A：，，故A正確；圖1對B：若，則或，當(dāng)時，或，當(dāng)時，由圖1可知或，故B錯誤；對C：若，由圖1可知則或，當(dāng)時，由知只有一解，當(dāng)時，由圖可知有兩解，故有3個零點，故C正確；對D：若，，由圖2知或或，當(dāng)時，只有一根，當(dāng)時，只有兩根，當(dāng)時，只有兩根，所以共有5根，故D正確.圖2故選：ACD【點睛】方法點睛：求解個數(shù)方法：先得，再進(jìn)一步由分別求出的個數(shù)，所有x的個數(shù)總和為方程解個數(shù).三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)，則___________.【答案】##【解析】【分析】由內(nèi)向外先求，再計算即可【詳解】由題意得，，所以.故答案為：.14.已知，則________．【答案】##0.5【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式可得答案.【詳解】由誘導(dǎo)公式，.故答案為：.15.若函數(shù)值域為，則的取值范圍為____________．【答案】【解析】【分析】先設(shè)函數(shù)值域為，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義域和值域的關(guān)系，可得，再分和兩種情況討論求解．【詳解】設(shè)函數(shù)值域為，由函數(shù)值域為，則，當(dāng)時，的值域為，符合題意；當(dāng)時，由，解得，所以的取值范圍為．故答案為：．16.已知函數(shù)，若，且在區(qū)間上有最小值無最大值，則__________.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對稱性、最值求得正確答案.【詳解】因為，且在區(qū)間上有最小值無最大值，則，則，可得，解得，且，解得，可知：或1，或故答案為：或.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.求下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，準(zhǔn)確化簡、運(yùn)算，即可求解；（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則和對數(shù)的換底公式，準(zhǔn)確化簡、運(yùn)算，即可求解.【小問1詳解】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，可得：原式.【小問2詳解】由對數(shù)的運(yùn)算法則和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得：.18.設(shè)全集,集合，集合．（1）若時，求;（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先計算出的結(jié)果，然后根據(jù)的結(jié)果即可求解出；(2)根據(jù)得到與的關(guān)系，從而可求解出的取值范圍.【詳解】(1)因為或，當(dāng)時，，所以；(2)因為，所以，當(dāng)時，，所以，此時滿足條件，當(dāng)時，因為，所以或，解得或綜上或，即.【點睛】本題考查集合間的基本運(yùn)算以及根據(jù)集合間的運(yùn)算結(jié)果求解參數(shù)范圍，難度較易.(1)已知集合，若則，若則；(2)利用集合間的運(yùn)算結(jié)果求解參數(shù)時，注意集合為空集的特殊情況.19.已知冪函數(shù)的圖象過點.（1）求函數(shù)的解析式;（2）設(shè)函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值組成的集合.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）將點坐標(biāo)代入函數(shù)解得答案.（2）確定，函數(shù)圖象的對稱軸為，根據(jù)單調(diào)性得到或，解得答案.【小問1詳解】的圖象過點，所以，則，函數(shù)的解析式為.【小問2詳解】，所以函數(shù)圖象的對稱軸為，若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則或，即或，所以實數(shù)的取值組成的集合為或.20.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）若，求的值．【答案】（1），增區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）由誘導(dǎo)公式，二倍角的正弦和余弦公式和輔助角公式化簡，由最小正周期公式求出的最小正周期；令，即可求出單調(diào)增區(qū)間；（2）由題意可得，由，求出的范圍，再由三角函數(shù)的平方關(guān)系求出，則，由兩角和的正弦公式化簡即可得出答案.【小問1詳解】故周期為，令，，所以的增區(qū)間為.【小問2詳解】，故.21.已知函數(shù)的最大值為，與直線的相鄰兩個交點的距離為.將的圖象先向右平移個單位，保持縱坐標(biāo)不變，再將每個點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到函數(shù).（1）求的解析式.（2）若，且方程在上有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)的相關(guān)知識與圖象的變換求解即可；（2）方程有解求參數(shù)的取值范圍問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題求解即可.【小問1詳解】因為函數(shù)的最大值為，所以，又與直線的相鄰兩個交點的距離為，所以，所以，則.將的圖象先向右平移個單位，保持縱坐標(biāo)不變，得到，再將每個點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到函數(shù).【小問2詳解】，在上有實數(shù)解，即在上有實數(shù)解，即在上有實數(shù)解，令，所以，由，所以，所以，則，同時，所以，所以在上有實數(shù)解，等價于在上有解，即在上有解，①時，無解；②時，有解，即在有解，即在有解，令，，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的值域為，所以在有解等價于.綜上：.22.已知函數(shù)對任意的實數(shù)都有，且當(dāng)時，有恒成立.（1）求證：函數(shù)在上為增函數(shù).（2）若，對任意的，關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用賦值法，結(jié)合函數(shù)的單