2023-2024學年湖北省顎東南省級示范高中高三第一次模擬考試數(shù)學試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2023-2024學年湖北省顎東南省級示范高中高三第一次模擬考試數(shù)學試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.二項式展開式中,項的系數(shù)為()A. B. C. D.2.函數(shù)(,,)的部分圖象如圖所示,則的值分別為()A.2,0 B.2, C.2, D.2,3.如圖,在三棱柱中,底面為正三角形,側(cè)棱垂直底面,.若分別是棱上的點,且,,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.4.已知函數(shù),若所有點,所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為,則()A. B. C.1 D.5.已知,若對任意,關(guān)于x的不等式(e為自然對數(shù)的底數(shù))至少有2個正整數(shù)解,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知集合,,則中元素的個數(shù)為()A.3 B.2 C.1 D.07.新聞出版業(yè)不斷推進供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革,深入推動優(yōu)化升級和融合發(fā)展,持續(xù)提高優(yōu)質(zhì)出口產(chǎn)品供給,實現(xiàn)了行業(yè)的良性發(fā)展.下面是2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收增長情況,則下列說法錯誤的是()A.2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收均逐年增加B.2016年我國數(shù)字出版業(yè)營收超過2012年我國數(shù)字出版業(yè)營收的2倍C.2016年我國新聞出版業(yè)營收超過2012年我國新聞出版業(yè)營收的1.5倍D.2016年我國數(shù)字出版營收占新聞出版營收的比例未超過三分之一8.點為棱長是2的正方體的內(nèi)切球球面上的動點,點為的中點,若滿足,則動點的軌跡的長度為()A. B. C. D.9.已知正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都相等,是的中點,則所成的角的余弦值為()A. B. C. D.10.中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題;“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次后腳痛遞減半,六朝才得到其關(guān),要見每朝行里數(shù),請公仔細算相還.”其意思為:“有一個人走了378里路,第一天健步走行,從第二天起腳痛每天走的路程是前一天的一半,走了6天后到達目的地,求該人每天走的路程.”由這個描述請算出這人第四天走的路程為()A.6里 B.12里 C.24里 D.48里11.將一張邊長為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個全等的等腰三角形,將余下部分沿虛線折疊并拼成一個有底的正四棱錐模型,如圖(2)放置,如果正四棱錐的主視圖是正三角形,如圖(3)所示,則正四棱錐的體積是()A. B. C. D.12.已知集合,,則A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)的定義域是___________.14.設為偶函數(shù),且當時,;當時,.關(guān)于函數(shù)的零點,有下列三個命題:①當時,存在實數(shù)m,使函數(shù)恰有5個不同的零點;②若,函數(shù)的零點不超過4個,則;③對,,函數(shù)恰有4個不同的零點,且這4個零點可以組成等差數(shù)列.其中,正確命題的序號是_______.15.平面直角坐標系中,O為坐標原點,己知A(3,1),B(-1,3),若點C滿足,其中α,β∈R,且α+β=1,則點C的軌跡方程為16.已知雙曲線的一條漸近線方程為,則________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程;(2)設點,直線與曲線交于兩點,求的值.18.(12分)已知在等比數(shù)列中,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,求數(shù)列前項的和.19.(12分)橢圓的右焦點,過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的弦長為.(1)求橢圓的方程;(2)過點且斜率不為0的直線與橢圓交于,兩點.為坐標原點,為橢圓的右頂點,求四邊形面積的最大值.20.(12分)已知橢圓的左、右焦點分別為,離心率為,為橢圓上一動點(異于左右頂點),面積的最大值為.(1)求橢圓的方程;(2)若直線與橢圓相交于點兩點,問軸上是否存在點,使得是以為直角頂點的等腰直角三角形?若存在,求點的坐標;若不存在,請說明理由.21.(12分)已知.(Ⅰ)若,求不等式的解集;(Ⅱ),,,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),在以O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2是圓心為(2,),半徑為1的圓.(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程;(2)設M為曲線C1上的點,N為曲線C2上的點,求|MN|的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

寫出二項式的通項公式,再分析的系數(shù)求解即可.【詳解】二項式展開式的通項為,令,得,故項的系數(shù)為.故選:D【點睛】本題主要考查了二項式定理的運算,屬于基礎題.2、D【解析】

由題意結(jié)合函數(shù)的圖象,求出周期,根據(jù)周期公式求出,求出,根據(jù)函數(shù)的圖象過點,求出,即可求得答案【詳解】由函數(shù)圖象可知:,函數(shù)的圖象過點,,則故選【點睛】本題主要考查的是的圖像的運用,在解答此類題目時一定要挖掘圖像中的條件,計算三角函數(shù)的周期、最值,代入已知點坐標求出結(jié)果3、B【解析】

建立空間直角坐標系,利用向量法計算出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】依題意三棱柱底面是正三角形且側(cè)棱垂直于底面.設的中點為,建立空間直角坐標系如下圖所示.所以,所以.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選:B【點睛】本小題主要考查異面直線所成的角的求法,屬于中檔題.4、D【解析】

依題意,可得,在上單調(diào)遞增,于是可得在上的值域為,繼而可得,解之即可.【詳解】解:,因為,,所以,在上單調(diào)遞增,則在上的值域為,因為所有點所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為,所以,解得,故選:D.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,理解題意,得到是關(guān)鍵,考查運算能力,屬于中檔題.5、B【解析】

構(gòu)造函數(shù)(),求導可得在上單調(diào)遞增,則,問題轉(zhuǎn)化為,即至少有2個正整數(shù)解,構(gòu)造函數(shù),,通過導數(shù)研究單調(diào)性,由可知,要使得至少有2個正整數(shù)解,只需即可,代入可求得結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)(),則(),所以在上單調(diào)遞增,所以,故問題轉(zhuǎn)化為至少存在兩個正整數(shù)x,使得成立,設,,則,當時,單調(diào)遞增;當時,單調(diào)遞增.,整理得.故選:B.【點睛】本題考查導數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應用,考查不等式成立問題中求解參數(shù)問題,考查學生分析問題的能力和邏輯推理能力,難度較難.6、C【解析】

集合表示半圓上的點,集合表示直線上的點,聯(lián)立方程組求得方程組解的個數(shù),即為交集中元素的個數(shù).【詳解】由題可知:集合表示半圓上的點,集合表示直線上的點,聯(lián)立與,可得,整理得,即,當時,,不滿足題意;故方程組有唯一的解.故.故選:C.【點睛】本題考查集合交集的求解,涉及圓和直線的位置關(guān)系的判斷,屬基礎題.7、C【解析】

通過圖表所給數(shù)據(jù),逐個選項驗證.【詳解】根據(jù)圖示數(shù)據(jù)可知選項A正確;對于選項B:,正確;對于選項C:,故C不正確;對于選項D:,正確.選C.【點睛】本題主要考查柱狀圖是識別和數(shù)據(jù)分析,題目較為簡單.8、C【解析】

設的中點為,利用正方形和正方體的性質(zhì),結(jié)合線面垂直的判定定理可以證明出平面,這樣可以確定動點的軌跡,最后求出動點的軌跡的長度.【詳解】設的中點為,連接,因此有,而,而平面,,因此有平面,所以動點的軌跡平面與正方體的內(nèi)切球的交線.正方體的棱長為2,所以內(nèi)切球的半徑為,建立如下圖所示的以為坐標原點的空間直角坐標系:因此有,設平面的法向量為,所以有,因此到平面的距離為:,所以截面圓的半徑為:,因此動點的軌跡的長度為.故選:C【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理的應用,考查了立體幾何中軌跡問題,考查了球截面的性質(zhì),考查了空間想象能力和數(shù)學運算能力.9、C【解析】試題分析:設的交點為,連接,則為所成的角或其補角;設正四棱錐的棱長為,則,所以,故C為正確答案.考點:異面直線所成的角.10、C【解析】

設第一天走里,則是以為首項,以為公比的等比數(shù)列,由題意得,求出(里,由此能求出該人第四天走的路程.【詳解】設第一天走里,則是以為首項,以為公比的等比數(shù)列,由題意得:,解得(里,(里.故選:C.【點睛】本題考查等比數(shù)列的某一項的求法,考查等比數(shù)列等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是基礎題.11、B【解析】設折成的四棱錐的底面邊長為,高為,則,故由題設可得,所以四棱錐的體積,應選答案B.12、D【解析】

因為,,所以,,故選D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由于偶次根式中被開方數(shù)非負,對數(shù)的真數(shù)要大于零,然后解不等式組可得答案.【詳解】解:由題意得,,解得,所以,故答案為:【點睛】此題考查函數(shù)定義域的求法,屬于基礎題.14、①②③【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱,利用已知中的條件作出偶函數(shù)的圖象,利用圖象對各個選項進行判斷即可.【詳解】解:當時又因為為偶函數(shù)可畫出的圖象,如下所示:可知當時有5個不同的零點;故①正確;若,函數(shù)的零點不超過4個,即,與的交點不超過4個,時恒成立又當時,在上恒成立在上恒成立由于偶函數(shù)的圖象,如下所示:直線與圖象的公共點不超過個,則,故②正確;對,偶函數(shù)的圖象,如下所示:,使得直線與恰有4個不同的交點點,且相鄰點之間的距離相等,故③正確.故答案為:①②③【點睛】本題考查函數(shù)方程思想,數(shù)形結(jié)合思想,屬于難題.15、【解析】

根據(jù)向量共線定理得A,B,C三點共線,再根據(jù)點斜式得結(jié)果【詳解】因為,且α+β=1,所以A,B,C三點共線,因此點C的軌跡為直線AB:【點睛】本題考查向量共線定理以及直線點斜式方程,考查基本分析求解能力,屬中檔題.16、【解析】

根據(jù)雙曲線的標準方程寫出雙曲線的漸近線方程,結(jié)合題意可求得正實數(shù)的值.【詳解】雙曲線的漸近線方程為,由于該雙曲線的一條漸近線方程為,,解得.故答案為:.【點睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求參數(shù),考查計算能力,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】

(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應用,把參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉(zhuǎn)換.(2)利用(1)的結(jié)論,進一步利用一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系式的應用求出結(jié)果.【詳解】解:(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為.曲線的極坐標方程為.轉(zhuǎn)換為,轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為.(2)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),轉(zhuǎn)換為標準式為(為參數(shù)),代入圓的直角坐標方程整理得,所以,..【點睛】本題屬于基礎本題考查的知識要點:主要考查極坐標,參數(shù)方程與普通方程互化,及求三角形面積.需要熟記極坐標系與參數(shù)方程的公式,及與解析幾何相關(guān)的直線與曲線位置關(guān)系的一些解題思路.18、(1)(2)【解析】

(1)由基本量法,求出公比后可得通項公式;(2)求出,用裂項相消法求和.【詳解】解:(1)設等比數(shù)列的公比為又因為,所以解得(舍)或所以,即(2)據(jù)(1)求解知,,所以所以【點睛】本題考查求等比數(shù)列的通項公式,考查裂項相消法求和.解題方法是基本量法.基本量法是解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本方法,務必掌握.19、(1)(2)最大值.【解析】

(1)根據(jù)通徑和即可求(2)設直線方程為,聯(lián)立橢圓,利用,用含的式子表示出,用換元,可得,最后用均值不等式求解.【詳解】解:(1)依題意有,,,所以橢圓的方程為.(2)設直線的方程為,聯(lián)立,得.所以,.所以.令,則,所以,因,則,所以,當且僅當,即時取得等號,即四邊形面積的最大值.【點睛】考查橢圓方程的求法和橢圓中四邊形面積最大值的求法,是難題.20、(1);(2)見解析【解析】

(1)由面積最大值可得,又,以及,解得,即可得到橢圓的方程,(2)假設軸上存在點,是以為直角頂點的等腰直角三角形,設,,線段的中點為,根據(jù)韋達定理求出點的坐標,再根據(jù),,即可求出的值,可得點的坐標.【詳解】(1)面積的最大值為,則:又,,解得:,橢圓的方程為:(2)假設軸上存在點,是以為直角頂點的等腰直角三角形設,,線段的中點為由,消去可得:,解得:∴,,依題意有,由可得:,可得:由可得:,代入上式化簡可得:則:,解得:當時,點滿足題意;當時,點滿足題意故軸上存在點,使得是以為直角頂點的等腰直角三角形【點睛】本題考查了橢圓的方程,直線和橢圓的位置關(guān)系,斜率公式,考查了運算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.21、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)利用零點分段討論法把函數(shù)改寫成分段函數(shù)的形式,分三種情況分別解不等式,然后取并集即可;(Ⅱ)利用絕對值三角不等式求出的最小值,利用均值不等式求出的最小值,結(jié)合題意,只需即可,解不等式即可求解.【詳解】(Ⅰ)當時,,,或,或,或所以不等式的解集為;(Ⅱ)因為,又(當時等號成立),依題意,,,有,則,解之得,故實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查由存在性問題求參數(shù)的范圍、零點分段討論法解絕對值不等式、利用絕對值三角不等式和均值不等式求最值;考查運算求解能力、分類討論思想、邏輯推理能力;屬于中檔題.22、(1)C1:y2=1,C2:x2+(y﹣2)2=1;(2)[0,1]【解析】

(Ⅰ)消去參數(shù)φ可得C1的直角坐標方程,易得曲線C2的圓心的

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