數(shù)字信號處理復(fù)習(xí)總結(jié)

緒論：本章介紹數(shù)字信號處理課程的基本概念。0.1信號、系統(tǒng)與信號處理1.信號及其分類信號是信息的載體，以某種函數(shù)的形式傳遞信息。這個(gè)函數(shù)可以是時(shí)間域、頻率域或其它域，但最基礎(chǔ)的域是時(shí)域。分類：周期信號/非周期信號確定信號/隨機(jī)信號能量信號/功率信號連續(xù)時(shí)間信號/離散時(shí)間信號/數(shù)字信號按自變量與函數(shù)值的取值形式不同分類：2.系統(tǒng)系統(tǒng)定義為處理（或變換）信號的物理設(shè)備，或者說，凡是能將信號加以變換以達(dá)到人們要求的各種設(shè)備都稱為系統(tǒng)。3.信號處理信號處理即是用系統(tǒng)對信號進(jìn)行某種加工。包括：濾波、分析、變換、綜合、壓縮、估計(jì)、識別等等。所謂“數(shù)字信號處理”，就是用數(shù)值計(jì)算的方法，完成對信號的處理。0.2數(shù)字信號處理系統(tǒng)的基本組成數(shù)字信號處理就是用數(shù)值計(jì)算的方法對信號進(jìn)行變換和處理。不僅應(yīng)用于數(shù)字化信號的處理，而且也可應(yīng)用于模擬信號的處理。以下討論模擬信號數(shù)字化處理系統(tǒng)框圖。（1）前置濾波器將輸入信號xa(t)中高于某一頻率（稱折疊頻率，等于抽樣頻率的一半）的分量加以濾除。（2）A/D變換器在A/D變換器中每隔T秒（抽樣周期）取出一次xa(t)的幅度，抽樣后的信號稱為離散信號。在A/D變換器中的保持電路中進(jìn)一步變換為若干位碼。（3）數(shù)字信號處理器（DSP）（4）D/A變換器按照預(yù)定要求，在處理器中將信號序列x(n)進(jìn)行加工處理得到輸出信號y(n)。由一個(gè)二進(jìn)制碼流產(chǎn)生一個(gè)階梯波形，是形成模擬信號的第一步。（5）模擬濾波器把階梯波形平滑成預(yù)期的模擬信號；以濾除掉不需要的高頻分量，生成所需的模擬信號ya(t)。0.3數(shù)字信號處理的特點(diǎn)（1）靈活性。（2）高精度和高穩(wěn)定性。（3）便于大規(guī)模集成。（4）對數(shù)字信號可以存儲、運(yùn)算、系統(tǒng)可以獲得高性能指標(biāo)。0.4數(shù)字信號處理基本學(xué)科分支數(shù)字信號處理（DSP）一般有兩層含義，一層是廣義的理解，為數(shù)字信號處理技術(shù)——DigitalSignalProcessing，另一層是狹義的理解，為數(shù)字信號處理器——DigitalSignalProcessor。0.5課程內(nèi)容該課程在本科階段主要介紹以傅里葉變換為基礎(chǔ)的“經(jīng)典”處理方法，包括：（1）離散傅里葉變換及其快速算法。（2）濾波理論（線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)，用于分離相加性組合的信號，要求信號頻譜占據(jù)不同的頻段）。在研究生階段相應(yīng)課程為“現(xiàn)代信號處理”（AdvancedSignalProcessing）。信號對象主要是隨機(jī)信號，主要內(nèi)容是自適應(yīng)濾波（用于分離相加性組合的信號，但頻譜占據(jù)同一頻段）和現(xiàn)代譜估計(jì)。第一章：本章概念較多，需要理解和識記的內(nèi)容較多，學(xué)習(xí)時(shí)要注意。1.1離散時(shí)間信號1.離散時(shí)間信號的定義離散時(shí)間信號是指一個(gè)實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)的數(shù)字序列，它是整數(shù)自變量n的函數(shù)，表示為x(n)。一般由模擬信號等間隔采樣得到：。時(shí)域離散信號有三種表示方法：1）用集合符號表示2）用公式表示3）用圖形表示2.幾種基本離散時(shí)間信號（1）單位采樣序列（2）單位階躍序列（3）矩形序列（4）實(shí)指數(shù)序列（5）正弦序列ω是正弦序列數(shù)字域的頻率，單位是弧度。對連續(xù)信號中的正弦信號進(jìn)行采樣，可得正弦序列。設(shè)連續(xù)信號為，它的采樣值為，因此（重點(diǎn)）這個(gè)式子具有一般性，它反映了由連續(xù)信號采樣得到的離散序列，其數(shù)字頻率與模擬頻率的一般關(guān)系。另外需要說明的是，ω的單位為弧度，Ω的單位為弧度/秒。本書中，我們一律以ω表示數(shù)字域頻率，而以Ω及f表示模擬域頻率。例：已知采樣頻率FT=1000Hz,則序列x（n）=cos(0.4πn)對應(yīng)的模擬頻率為(400π)弧度/s。說明：本題旨在理解數(shù)字頻率與模擬頻率之間的關(guān)系：。（6）復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列是以余弦序列為實(shí)部、正弦序列為虛部所構(gòu)成的一個(gè)復(fù)數(shù)序列。（7）周期序列(重點(diǎn))所有存在一個(gè)最小的正整數(shù),滿足：,則稱序列是周期序列，周期為。(注意：按此定義，模擬信號是周期信號，采用后的離散信號未必是周期的)例：正弦序列的周期性：

當(dāng)，為整數(shù)時(shí)，，即為周期性序列。周期，式中，、限取整數(shù)，且的取值要保證是最小的正整數(shù)?？煞謳追N情況討論如下：（1）當(dāng)為整數(shù)時(shí)，只要，就為最小正整數(shù)，即周期為。（2）當(dāng)不是整數(shù)，而是一個(gè)有理數(shù)時(shí)，設(shè)，式中，、是互為素?cái)?shù)的整數(shù)（互為素?cái)?shù)就是兩個(gè)數(shù)沒有公約數(shù)），取，則，即周期為。（3）當(dāng)是無理數(shù)時(shí)，則任何皆不能使為正整數(shù)，這時(shí)，正弦序列不是周期性的。例：X(n)=cos(0.4πn)的基本周期為(5)。[說明]基本周期的定義即計(jì)算公式：，其中N和k均為整數(shù)，N為基本周期（使得N為最小整數(shù)時(shí)k取值）。本題ω=0.4π，代入上式得到：。3.信號運(yùn)算（1）加法：兩個(gè)信號之和由同序號的序列值逐點(diǎn)對應(yīng)相加得到。（2）乘法：兩個(gè)信號之積由同序號的序列值逐點(diǎn)對應(yīng)相乘得到。（3）移位：當(dāng)，序列右移（稱為延時(shí)）；當(dāng)，序列左移（稱為超前）。（4）翻轉(zhuǎn)：4.信號分解（重點(diǎn)）任一信號x(n)可表示成單位脈沖序列的移位加權(quán)和：簡記為1.2時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散系統(tǒng)定義1線性系統(tǒng)（重點(diǎn)）判定公式：

若=,=則2時(shí)不變系統(tǒng)（重點(diǎn)）判定公式：y(n)=T[x(n)]y(n-)=T[x(n-)]例：判斷下列系統(tǒng)是否為線性、時(shí)不變系統(tǒng)。（1）；（2）；解：（1）令：輸入為，輸出為故該系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。（2）令：輸入為，輸出為，因?yàn)楣氏到y(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。又因?yàn)橐虼讼到y(tǒng)是非線性系統(tǒng)。3線性時(shí)不變系統(tǒng)（LTI系統(tǒng)）輸入與輸出之間關(guān)系（重點(diǎn)）：y（n）==x（n）*h（n）重點(diǎn)：線性離不變系統(tǒng)的輸出等于輸入序列和該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的卷積【說明】離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(n)為系統(tǒng)對單位沖激序列δ(n)的零狀態(tài)響應(yīng)。單位沖激響應(yīng)的概念非常重要。在時(shí)域，LTI系統(tǒng)可以由其單位沖激響應(yīng)h(n)唯一確定，因此，我們常常用單位沖激響應(yīng)描述LTI系統(tǒng)。在這種情況下，LTI系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系可以由卷積運(yùn)算描述：y（n）==x（n）*h（n）物理意義：卷積和運(yùn)算具有顯式意義，即可以用來確定系統(tǒng)的輸出。如果系統(tǒng)確定，則其單位沖激響應(yīng)是唯一的。由此，可求系統(tǒng)對任意輸入的響應(yīng)。注意：計(jì)算卷積和的關(guān)鍵是求和區(qū)間的確定。因此，常常需要繪制序列x(m)和h(n-m)的圖形。利用序列x(m)和h(n-m)的圖形可助我們方便地確定求和區(qū)間。卷積的求解方法：線性卷積是一種非常重要的一種運(yùn)算，對它的求解，一般我們采用作圖法。線性卷積滿足交換律，設(shè)兩序列長度分別是N和M，線性卷積后序列的長度為N＋M－1。卷積的計(jì)算過程包括翻轉(zhuǎn)、移位、相乘、相加四個(gè)過程。1）將和用和表示，畫出和這兩個(gè)序列；2）選擇一個(gè)序列，并將其按時(shí)間翻轉(zhuǎn)形成序列；3）將移位n，得到；4）將和相同m的序列值對應(yīng)相乘后，再相加。例：已知x(n)=(n),h(n)=(n),求y(n)=x(n)*h(n)。解：（翻轉(zhuǎn)，移位，相乘，相加）y(n)==例：設(shè)，,和如圖1所示。求和的卷積。圖1解方法一：用圖解法求卷積和。(1)將和用和表示(圖2中(a)、(b)圖)。圖2圖解法求卷積過程(2)將進(jìn)行反折，形成(圖2中(c)圖)；將移位，得到(圖2中(d)、(e)、(f)圖)。(3)將和相同的序列值相乘，再相加，得到(圖2中(g)圖)。再討論解析法求線性卷積。用式求解上式首先要根據(jù)和的非零值區(qū)間確定求和的上下限，的非零值區(qū)間為，的非零值區(qū)間為，或，由兩個(gè)非零值區(qū)間可得的取值區(qū)間為，它們的乘積的非零值區(qū)間應(yīng)滿足：和因此當(dāng)、時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。與圖解法結(jié)果一致。y(n)用公式表示為方法二：當(dāng)序列和的長度分別為有限長和時(shí)，可采用“不進(jìn)位乘法”求兩序列線卷積。如圖1所示：，例：兩線性時(shí)不變系統(tǒng)級聯(lián)，其單位取樣響應(yīng)分別為和，輸入為，求系統(tǒng)的輸出。已知：，，。解：設(shè)第一個(gè)系統(tǒng)的輸出為，則因而輸出為4.系統(tǒng)因果性和穩(wěn)定性的判定（重點(diǎn)）1)穩(wěn)定系統(tǒng)：有界的輸入產(chǎn)生的輸出也有界的系統(tǒng)，即：若，則（記住!!）線性移不變系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：（記住!!）或：其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包含單位圓|z|=12)因果系統(tǒng)：時(shí)刻的輸出只由時(shí)刻之前的輸入決定（記住!!）線性移不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件：（記住!!）或：其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域在某圓外部：即：|z|>Rx3）穩(wěn)定因果系統(tǒng)：同時(shí)滿足上述兩個(gè)條件的系統(tǒng)。線性移不變系統(tǒng)是因果穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：，或：H(z)的極點(diǎn)在單位園內(nèi)H(z)的收斂域滿足：例：判斷線性時(shí)不變系統(tǒng)的因果性、穩(wěn)定性，并給出依據(jù)。(1)；（2）；解：（1）只要，該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)，因?yàn)檩敵鲋慌cn時(shí)刻的和n時(shí)刻以前的輸入有關(guān)。如果，則，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。（2）如果，，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)是非因果的，因?yàn)檩敵鲞€和x(n)的將來值有關(guān)。注意：如果給出的是h(n)，用上面要求記住的充要條件判斷！1.3線性常系數(shù)差分方程1差分方程定義卷積和是一種LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，一般情況下，我們可以用差分方程描述LTI系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系。差分方程給出了系統(tǒng)響應(yīng)y[n]的內(nèi)部關(guān)系。為得到y(tǒng)[n]的顯式解，必須求解方程。2差分方程求解（重點(diǎn)）：eq\o\ac(○,1)經(jīng)典法eq\o\ac(○,2)遞推法eq\o\ac(○,3)變換域法例：設(shè)系統(tǒng)的差分方程為，輸入序列為，求輸出序列。解：一階差分方程需一個(gè)初始條件。設(shè)初始條件為：則設(shè)初始條件改為：則該例表明，對于同一個(gè)差分方程和同一個(gè)輸入信號，因?yàn)槌跏紬l件不同，得到的輸出信號是不相同的。模擬信號數(shù)字處理方法1模擬信號數(shù)字處理框圖（重點(diǎn)）：模擬信號輸入預(yù)濾波：目的是限制帶寬（一般使用低通濾波器）eq\o\ac(○,1)采樣：將信號在時(shí)間上離散化A/DC：模/數(shù)轉(zhuǎn)換 eq\o\ac(○,2)量化：將信號在幅度上離散化（量化中幅度值=采樣幅度值）eq\o\ac(○,3)編碼：將幅度值表示成二進(jìn)制位（條件）數(shù)字信號處理：對信號進(jìn)行運(yùn)算處理D/AC：數(shù)/模轉(zhuǎn)換（一般用采樣保持電路實(shí)現(xiàn)：臺階狀連續(xù)時(shí)間信號在采樣時(shí)刻幅度發(fā)生跳變）平滑濾波：濾除信號中高頻成分（低通濾波器），使信號變得平滑：輸入信號經(jīng)過處理后的輸出信號2．連續(xù)信號的采樣對連續(xù)信號進(jìn)行理想采樣，設(shè)采樣脈沖，則采樣輸出（重點(diǎn)表達(dá)式）在討論理想采樣后，信號頻譜發(fā)生的變化時(shí)，可遵循下面的思路：1）由；2）由；3）根據(jù)頻域卷積定理，由計(jì)算出。計(jì)算過程：1）2）周期信號可以用傅里葉級數(shù)展開，因此其中系數(shù)所以其傅里葉變換3）(重點(diǎn)表達(dá)式)因此，采樣后信號頻譜產(chǎn)生周期延拓，周期為Ωs，同時(shí)幅度為原來的1/T倍。這是一個(gè)非常重要的性質(zhì)，應(yīng)熟練掌握。（重點(diǎn)）3時(shí)域抽樣定理（重點(diǎn)）一個(gè)限帶模擬信號，若其頻譜的最高頻率為，對它進(jìn)行等間隔抽樣而得，抽樣周期為T，或抽樣頻率為；只有在抽樣頻率時(shí)，才可由準(zhǔn)確恢復(fù)。例：有一連續(xù)信號式中，（1）求出的周期。（2）用采樣間隔對進(jìn)行采樣，試寫出采樣信號的表達(dá)式。（3）求出對應(yīng)的時(shí)域離散信號(序列)，并求出的周期。解：（1）周期為（2）（3）x(n)的數(shù)字頻率ω=0.8π，故，因而周期N=5，所以x(n)=cos(0.8πn+π/2)簡答題：1．是不是任意連續(xù)信號離散后，都可從離散化后的信號恢復(fù)出原來的信號？為什么？2．一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號經(jīng)過理想采樣以后，其頻譜會產(chǎn)生怎樣的變化？在什么條件下，頻譜不會產(chǎn)生失真？3．離散信號頻譜函數(shù)的一般特點(diǎn)是什么？第二章：本章涉及信號及系統(tǒng)的頻域分析方法，概念較多，但很基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)時(shí)要注意。2.1序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì)1.定義DTFT是一個(gè)用來確定離散時(shí)間序列頻譜的重要數(shù)學(xué)工具。物理意義：傅里葉變換是將對信號的時(shí)域分析轉(zhuǎn)換為對其在頻域的分析，便于研究問題。若序列滿足絕對可和條件則其傅里葉變換（DiscreteTimeFourierTransform-DTFT）定義為記住!反變換定義為：記住!傅里葉變換對2.性質(zhì)1）周期性（重點(diǎn)）：DTFT是關(guān)于ω的周期為2π的周期函數(shù)。

2)線性（重點(diǎn)）：設(shè)，，那么3）時(shí)移特性4）頻移特性5）時(shí)域卷積定理（重點(diǎn)）6）頻域卷積定理7）帕斯瓦爾定理時(shí)域總能量等于頻域一周期內(nèi)總能量。7)幅度頻譜為ω的偶函數(shù)，相位頻譜為ω的奇函數(shù)。8)X(ejω)的實(shí)部為ω的偶函數(shù)，X(ejω)的虛部為ω的奇函數(shù)。例：設(shè)系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)，輸入序列為，完成下面各題：（1）求出系統(tǒng)輸出序列；（2）分別求出、和的傅里葉變換。解：（1）（2）2.2時(shí)域離散信號的傅里葉變換與模擬信號傅里葉變換之間的關(guān)系：式中2.3序列的Z變換1Z變換定義Z變換為離散時(shí)間信號與LTI系統(tǒng)分析的重要數(shù)學(xué)工具。給定一離散時(shí)間序列x(n)，其z變換定義為：記住!其中，,。z變換存在情況下的Z變量取值范圍稱為收斂域(ROC)。注意：Z變換+不同收斂域?qū)?yīng)不同收斂域的不同序列序列（Z變換+收斂域）(重點(diǎn))例：求以下序列的Z變換及收斂域：（1）；（2）；（3）解：（1）（2）（3）[說明]上題也可以改為求序列的傅立葉變換。可以利用。2Z變換和DTFT之間的關(guān)系(重點(diǎn))DTFT為單位圓上的z變換。數(shù)學(xué)表達(dá)為：記住并理解!3.序列特性與X(z)的收斂域ROC的關(guān)系。(重點(diǎn))收斂區(qū)域要依據(jù)序列的性質(zhì)而定。同時(shí)，也只有Z變換的收斂區(qū)域確定之后，才能由Z變換唯一地確定序列。一般來來說，序列的Z變換的收斂域在Z平面上的一環(huán)狀區(qū)域：有限長序列：，右序列：，|Z|>Rx-左序列：，（|z|<Rx+，N2>0時(shí)：0≤|Z|<Rx+；N2≤0時(shí)：0<|Z|<Rx+）雙邊序列：，總結(jié)：a.ROC不包含任何極點(diǎn)。b.有理z變換的收斂域ROC由其極點(diǎn)界定。c.對于有限長序列x[n],其z變換的收斂域ROC為整個(gè)z-平面，可能在z=0或z=∞除外。圖2.2:反因果序列的z變換的收斂域ROC圖2.1:因果序列的z圖2.2:反因果序列的z變換的收斂域ROC圖2.1:因果序列的z變換的收斂域ROCe.對于反因果序列x[n],其z變換的收斂域ROC由其離原點(diǎn)最近的極點(diǎn)確定，其形式為。4.Z反變換(重點(diǎn))常用序列的Z變換(重點(diǎn)--記住!!)：逆變換x，C：收斂域內(nèi)繞原點(diǎn)逆時(shí)針的一條閉合曲線留數(shù)定理：留數(shù)輔助定理：利用部分分式展開：，然后利用定義域及常用序列的Z變換求解。(重點(diǎn))基本要求：用部分分式展開法求z反變換。例：假設(shè)，收斂域ROC為,則的z反變換為()。說明：本題要求掌握序列的時(shí)域特性域z變換收斂域之間的對應(yīng)關(guān)系。具體說，有限長序列的z變換的ROC是怎樣的，右邊序列的z變換的ROC是怎樣的，因果序列的z變換的ROC是怎樣的，左邊序列的z變換的ROC是怎樣的，反因果序列的z變換的ROC是怎樣的。典型序列的z變換表達(dá)式是否記住了？這兩個(gè)典型z變換對，對求z變換或逆z變換非常重要。例：已知，試求與對應(yīng)的所有可能的序列。解：同一個(gè)Z變換函數(shù)，收斂域不同，對應(yīng)的序列也不同。本題沒有給定收斂域，所以必須先確定收斂域。有兩個(gè)極點(diǎn)：，，因?yàn)槭諗坑蚩偸且詷O點(diǎn)為邊界，所以收斂域有以下三種情況：，，，三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列，分別討論如下：（1）對應(yīng)左邊序列∴（2）對應(yīng)雙邊序列∴（3）對應(yīng)右邊序列∴例：設(shè)，用部分分式展開法求逆Z變換。解：先去掉z的負(fù)冪次，以便于求解，將的分子分母同乘以，得：將等式兩端同時(shí)除以z，得：因而得：由收斂域知，為右邊序列，得：主要應(yīng)用于單階極點(diǎn)的序列。5Z變換的性質(zhì)eq\o\ac(○,1)線性性質(zhì)eq\o\ac(○,2)序列的移位性質(zhì)eq\o\ac(○,3)序列乘以指數(shù)序列的性質(zhì)eq\o\ac(○,4)序列乘以n的ZTeq\o\ac(○,5)復(fù)共軛序列的ZTeq\o\ac(○,6)初值定理eq\o\ac(○,7)終值定理eq\o\ac(○,8)時(shí)域卷積定理設(shè)則eq\o\ac(○,9)復(fù)卷積定理eq\o\ac(○,10)帕斯維爾定理，那么2.4離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應(yīng)1系統(tǒng)函數(shù)定義（重點(diǎn)）一個(gè)線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)在時(shí)域中可以用它的單位取樣響應(yīng)來表征，即：對等式兩邊取Z變換并根據(jù)時(shí)域卷積定理，有：則：一般稱為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)（系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的Z變換與輸入的Z變換之比），它表征了系統(tǒng)的復(fù)頻域特性。2系統(tǒng)函數(shù)與差分方程的關(guān)系(給定差分方程，能計(jì)算其傳輸函數(shù)，或給定傳輸函數(shù)，能計(jì)算得到差分方程。)3頻率響應(yīng)（重點(diǎn)）頻率響應(yīng)是一個(gè)重要的概念，根據(jù)頻率響應(yīng)，可理解濾波。頻率響應(yīng)定義為系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的DTFT：（重點(diǎn)）其中，|H(ejω)|稱為幅頻響應(yīng)，稱為相頻響應(yīng)。系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是以2π為周期的ω的連續(xù)函數(shù)，這一點(diǎn)和連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是不同的，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)加以注意。若h(n)為實(shí)數(shù)，則系統(tǒng)的幅度響應(yīng)在區(qū)間內(nèi)是偶對稱的，而相位響應(yīng)是奇對稱的。注意：僅當(dāng)穩(wěn)定系統(tǒng)才有頻率響應(yīng)。頻率響應(yīng)H(ejω)可根據(jù)DTFT與z變換之間的關(guān)系簡單得到：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的求解(重點(diǎn))結(jié)論：對于LTI系統(tǒng)，如果輸入為正弦序列x(n)=cos(ω0t+φ0),則輸出響應(yīng)y(n)必為相同形式的正弦序列，但需在ω=ω0的幅頻響應(yīng)|H(ejω)|進(jìn)行加權(quán)，并通過相頻響應(yīng)在ω=ω0的值進(jìn)行移位，即：y[n]=|H(ejω0)|cos(ω0t+φ0+)例：假設(shè)實(shí)序列x[n]的DTFT記為,則其幅值是關(guān)于ω的（偶函數(shù)）。說明：還記得反復(fù)強(qiáng)調(diào)的一句話，實(shí)序列的DTFT的幅度、實(shí)部是關(guān)于頻率ω偶函數(shù)，而相位和虛部則是關(guān)于頻率ω奇函數(shù)。例：對于一LTI離散時(shí)間系統(tǒng)其頻率響應(yīng),如果系統(tǒng)輸x(n)=,響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng)y(n)=()。說明：將系統(tǒng)的頻率響應(yīng)寫成幅度相位表達(dá)式：，則輸出信號為：。這里由于給出了的具體表達(dá)式，所以需要分別計(jì)算出和之值。4用系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性（重點(diǎn)）系統(tǒng)函數(shù)：（傳輸函數(shù)H(z)為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h（n）的Z變換。）簡答題：怎樣在z域表示離散時(shí)間LTI系統(tǒng)?答案：傳輸函數(shù)H(z)表示離散時(shí)間LTI系統(tǒng)。1)穩(wěn)定系統(tǒng)：有界的輸入產(chǎn)生的輸出也有界的系統(tǒng)，即：若，則線性移不變系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：或：其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包含單位圓|z|=1（牢記此結(jié)論!）2)因果系統(tǒng)：時(shí)刻的輸出只由時(shí)刻之前的輸入決定線性移不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件：或：其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域在某圓外部：即：|z|>Rx（牢記此結(jié)論!）3）穩(wěn)定因果系統(tǒng)：同時(shí)滿足上述兩個(gè)條件的系統(tǒng)。線性移不變系統(tǒng)是因果穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：，或：H(z)的極點(diǎn)在單位園內(nèi)（牢記此結(jié)論!）H(z)的收斂域滿足：例：.一因果LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的傳輸函數(shù),則系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為(0.5nu（n）)。說明：根據(jù)傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，其實(shí)就是將傳遞函數(shù)進(jìn)行逆z變換，但要注意系統(tǒng)的因果性如何。例：因果IIR離散時(shí)間LTI系統(tǒng)，其傳輸函數(shù)，則系統(tǒng)(穩(wěn)定)。例：一FIR離散時(shí)間LTI系統(tǒng)總是(穩(wěn)定)。說明：系統(tǒng)的穩(wěn)定性如何判斷？按照教材中的說法，就是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的收斂域如果包括“單位圓”，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果你熟悉了序列的z變換的ROC的性質(zhì)，則此題不難回答。對于因果系統(tǒng)來說，其單位沖激響應(yīng)為因果序列，故其z變換的ROC一定是某圓外部的整個(gè)區(qū)域。而這個(gè)圓就位于離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的極點(diǎn)上，所以，對于因果系統(tǒng)，如果系統(tǒng)傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)都位于單位圓以內(nèi)的話，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對于FIR系統(tǒng)，其單位沖激響應(yīng)是一個(gè)有限長序列，其z變換的ROC為除了無窮遠(yuǎn)和原點(diǎn)之外的整個(gè)z平面，自然包括單位圓，所以FIR系統(tǒng)始終是穩(wěn)定的。5系統(tǒng)的頻率特性可由系統(tǒng)函數(shù)零點(diǎn)及極點(diǎn)確定（式中，zk是極點(diǎn)，zi是零點(diǎn)；在極點(diǎn)處，序列x(n)的Z變換是不收斂的，因此收斂區(qū)域內(nèi)不應(yīng)包括極點(diǎn)。）第三章：DFT是為適應(yīng)計(jì)算機(jī)分析傅里葉變換規(guī)定的一種專門運(yùn)算，本章是數(shù)字信號處理課程的重點(diǎn)章節(jié)。3.1離散傅里葉級數(shù)1.周期序列的離散傅里葉級數(shù)（DFS）連續(xù)時(shí)間周期信號可以用傅里葉級數(shù)表示，離散周期序列也可以表示成傅里葉級數(shù)形式。周期為N的復(fù)指數(shù)序列的基頻序列為k次諧波序列為由于，即，因而，離散傅里葉級數(shù)的所有諧波成分中只有N個(gè)是獨(dú)立的。因此在展開成離散傅里葉級數(shù)時(shí)，我們只能取N個(gè)獨(dú)立的諧波分量，通常取k=0到(N-1)，即（*）式中，1/N是習(xí)慣上采用的常數(shù)，是k次諧波的系數(shù)。利用將（*）式兩端同乘以，并對一個(gè)周期求和即由于所以也是一個(gè)以N為周期的周期序列。因此，時(shí)域離散周期序列的離散傅里葉級數(shù)在頻域上仍然是一個(gè)周期序列。令，則其中，符號DFS[.]表示離散傅里葉級數(shù)正變換，IDFS[.]表示離散傅里葉級數(shù)反變換。2.周期序列的傅里葉變換思路：由利用和DTFT的頻移特性，可得傅里葉變換時(shí)域、頻域?qū)?yīng)關(guān)系：根據(jù)序列的傅里葉變換和離散傅里葉級數(shù)頻域特性，再結(jié)合連續(xù)時(shí)間信號的傅里葉變換頻域特性，我們可以得出傅里葉變換時(shí)、頻域的一般對應(yīng)關(guān)系：連續(xù)→非周期，離散→周期。這種對應(yīng)關(guān)系很重要，要求熟記。3.2有限長序列的離散傅立葉變換(DFT)1定義，0≤≤記住!，0≤n≤記住!其中，應(yīng)當(dāng)注意，雖然和都是長度為得有限長序列，但他們分別是由周期序列和截取其主周期得到的，本質(zhì)上是做DFS或IDFS，所以不能忘記它們的隱含周期性。尤其是涉及其位移特性時(shí)更要注意。DFT的隱含周期性：例：設(shè)，求的4點(diǎn)DFT。解：的4點(diǎn)離散傅里葉變換為：

2離散傅立葉變換與DTFT、Z變換的關(guān)系(重點(diǎn))DFT的物理意義：X（k）為x(n)的傅里葉變換在區(qū)間上的等間隔采樣。為在Z平面單位圓上的點(diǎn)等間隔采樣。簡答題：1．一個(gè)序列的DFT與序列的傅里葉變換之間的關(guān)系是什么？2．序列的DTFT和序列的z變換間的關(guān)系是什么？序列的DFT和序列的Z變換間的關(guān)系是什么？3時(shí)域分析(重點(diǎn)!)記住結(jié)論：時(shí)域抽樣對應(yīng)頻域的周期拓展，頻率抽樣對應(yīng)時(shí)域的以周期N的周期拓展。這可以表述為如下公式：(重點(diǎn)!)3.3離散傅里葉變換的基本性質(zhì)1線性性質(zhì)若則2循環(huán)移位性質(zhì)設(shè)是長度為的有限長序列，則的點(diǎn)循環(huán)移位定義為（）：循環(huán)移位的實(shí)現(xiàn)步驟：3循環(huán)卷積定理（重點(diǎn)）1）設(shè)序列h(n)和x(n)的長度分別為N和M。h(n)與x(n)的L點(diǎn)循環(huán)卷積定義為式中，L稱為循環(huán)卷積區(qū)間長度，L≥max［N，M］。2)循環(huán)卷積矩陣特點(diǎn)：（1）第1行是序列{x(0),x(1),…,x(L－1)}的循環(huán)倒相序列。注意，如果x(n)的長度M<L，則需要在x(n)末尾補(bǔ)L－M個(gè)零后，再形成第一行的循環(huán)倒相序列。（2）第1行以后的各行均是前一行向右循環(huán)移1位形成的。（3）矩陣的各主對角線上的序列值均相等。循環(huán)卷積和線性卷積的區(qū)別線性卷積：翻折—>乘加—>移位：y（n）=x（n）*h（n）=∑h（k）x（n-k）循環(huán)卷積：補(bǔ)零—>周期延拓—>翻折—>循環(huán)移位—>對應(yīng)值相加例：計(jì)算下面給出的兩個(gè)長度為4的序列h(n)與x(n)的4點(diǎn)和8點(diǎn)循環(huán)卷積。解：按照循環(huán)卷積矩陣寫出h(n)與x(n)的4點(diǎn)循環(huán)卷積矩陣形式為h(n)與x(n)的8點(diǎn)循環(huán)卷積矩陣形式為【補(bǔ)充】①計(jì)算h(n)與x(n)的線性卷積？②哪一種情況下計(jì)算的循環(huán)卷積結(jié)果就等于線性卷積？【說明】當(dāng)循環(huán)卷積區(qū)間長度L大于等于y(n)=h(n)*x(n)的長度時(shí)，循環(huán)卷積結(jié)果就等于線性卷積。3）時(shí)域循環(huán)卷積定理設(shè)h(n)和x(n)的長度分別為N和M，其L點(diǎn)循環(huán)卷積為eq\o\ac(○,L)且則由DFT的循環(huán)卷積定理有4復(fù)共軛序列的DFT（重點(diǎn)）性質(zhì)：設(shè)是x(n)的復(fù)共軛序列，長度為N，，則例：給定一16-點(diǎn)實(shí)序列x（n）,其16-點(diǎn)DFT記為X(k),已知X(13)=2+j3,則

X*(3)=(2+j3)。說明：DFT的性質(zhì)。實(shí)序列的DFT的共軛對稱性：X(k)＝X*(N-k)，或X(N-k)＝X*(k)。（牢記）3.4頻域采樣定理離散傅里葉變換相當(dāng)于信號傅里葉變換的等間隔采樣，也就是說實(shí)現(xiàn)了頻域的采樣，便于計(jì)算機(jī)計(jì)算。那么是否任一序列都能用頻域采樣的方法去逼近呢？這是一個(gè)很吸引人的問題。我們考慮一個(gè)任意的絕對可和的序列x(n)，它的z變換為如果對X(z)單位圓上進(jìn)行等距離采樣現(xiàn)在要問，這樣采樣以后，信息有沒有損失？或者說，采樣后所獲得的有限長序列xN(n)能不能代表原序列x(n)。為了弄清這個(gè)問題，我們從周期序列開始由于所以也即是原非周期序列x(n)的周期延拓序列，其時(shí)域周期為頻域采樣點(diǎn)數(shù)N。在第一章我們看到，時(shí)域的采樣造成頻域的周期延拓，這里又對稱的看到，頻域采樣同樣造成時(shí)域的周期延拓。因此，如果序列x(n)不是有限長的，則時(shí)域周期延拓時(shí)，必然造成混疊現(xiàn)象，因而一定會產(chǎn)生誤差。對于長度為M的有限長序列，只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)N大于或等于序列長度M時(shí)，才有即可由頻域采樣值X(k)恢復(fù)出原序列x(n)，否則產(chǎn)生時(shí)域混疊現(xiàn)象，這就是所謂的頻域采樣定理。（重點(diǎn)—記?。。。﹥?nèi)插公式：簡答題：有限長序列的長度為M，對其進(jìn)行頻域采樣，不失真的條件是什么？3.5DFT的應(yīng)用舉例1.用DFT計(jì)算線性卷積用循環(huán)（周期）卷積計(jì)算有限長序列的線性卷積(重點(diǎn))對周期要求：（N1、N2分別為兩個(gè)序列的長度）(記住!!)簡答題：兩個(gè)有限長序列，，對它們進(jìn)行線性卷積，結(jié)果用表示，的長度是多少？如果進(jìn)行圓周卷積，那么什么時(shí)候線性卷積和圓周卷積的結(jié)果相等？2.用DFT進(jìn)行譜分析的誤差問題（1）混疊現(xiàn)象利用DFT逼近連續(xù)時(shí)間信號的傅里葉變換，為避免混疊失真，按照抽樣定理的要求，采樣頻率至少是信號最高頻率的兩倍。解決混疊問題的唯一方法是保證采樣頻率足夠高。（2）頻譜泄露任何帶限信號都是非時(shí)限的，任何時(shí)限信號都是非帶限的。實(shí)際問題中遇到的離散時(shí)間序列可能是非時(shí)限的、無限長序列，在對該序列利用DFT進(jìn)行處理時(shí)，由于作DFT的點(diǎn)數(shù)總是有限的，因此就有一個(gè)必須將該序列截?cái)嗟膯栴}。序列截?cái)嗟倪^程相當(dāng)于給該序列乘上一個(gè)矩形窗口函數(shù)RN(n)。如果原來序列的頻譜為，矩形窗函數(shù)的頻譜為，則截?cái)嗪笥邢揲L序列的頻譜為由于矩形窗函數(shù)頻譜的引入，使卷積后的頻譜被展寬了，即的頻譜“泄露”到其它頻率處，稱為頻譜泄露。在進(jìn)行DFT時(shí)，由于取無限個(gè)數(shù)據(jù)是不可能的，所以序列的時(shí)域截?cái)嗍潜厝坏?，泄露是難以避免的。為了盡量減少泄露的影響，截?cái)鄷r(shí)要根據(jù)具體的情況，選擇適當(dāng)形狀的窗函數(shù)，如漢寧窗或漢明窗等。（3）柵欄效應(yīng)由于DFT是有限長序列的頻譜等間隔采樣所得到的樣本值，這就相當(dāng)于透過一個(gè)柵欄去觀察原來信號的頻譜，因此必然有一些地方被柵欄所遮擋，這些被遮擋的部分就是未被采樣到的部分，這種現(xiàn)象稱為柵欄效應(yīng)。由于柵欄效應(yīng)總是存在的，因而可能會使信號頻率中某些較大的頻率分量由于被“遮擋”而無法得到反映。此時(shí)，通常在有限長序列的尾部增補(bǔ)若干個(gè)零值，借以改變原序列的長度。這樣對加長的序列作DFT時(shí)，由于點(diǎn)數(shù)增加就相當(dāng)于調(diào)整了原來柵欄的間隙，可以使原來得不到反映的那些較大的頻率分量落在采樣點(diǎn)上而得到反映。簡答題：用DFT進(jìn)行譜分析帶來哪些誤差問題？采取什么措施可以減少這些誤差？第四章：快速傅里葉變換并不是一種新的變換，它是離散傅里葉變換的一種快速算法。4.1直接計(jì)算DFT的問題及改進(jìn)的途徑直接計(jì)算DFT，需要次復(fù)數(shù)乘法，次復(fù)數(shù)加法。直接計(jì)算離散傅里葉變換，由于計(jì)算量近似正比于N2，顯然對于很大的N值，直接計(jì)算離散傅里葉變換要求的算術(shù)運(yùn)算量非常大。我們可以利用系數(shù)WNnk的特性來改善離散傅里葉變換的計(jì)算效率。（1）的對稱性（2）的周期性利用的對稱性和周期性，將大點(diǎn)數(shù)的DFT分解成若干個(gè)小點(diǎn)數(shù)的DFT，F(xiàn)FT正是基于這個(gè)基本思路發(fā)展起來的。分類：按時(shí)間抽?。―IT）算法和按頻率抽?。―IF）算法?；?FFT的算法原理和FFT運(yùn)算特點(diǎn)1）數(shù)據(jù)要求：2）計(jì)算效率（乘法運(yùn)算次數(shù)：，加法計(jì)算次數(shù)：NM）（復(fù)數(shù)運(yùn)算）（DFT運(yùn)算：乘法運(yùn)算次數(shù)：，加法計(jì)算次數(shù)：）（復(fù)數(shù)運(yùn)算）對于算法原理，要求能夠看懂分解流圖。1時(shí)域抽取法如下(重點(diǎn))：設(shè)序列x(n)長度為N，且滿足N=2M，M為正整數(shù)。按n的奇偶把x(n)分解為兩個(gè)N/2則x(n)的DFT為所以將X(k)又可以寫為上式將N點(diǎn)DFT分解為兩個(gè)N/2點(diǎn)的DFT運(yùn)算，運(yùn)算過程如下圖示利用蝶形運(yùn)算求解。DIT-FFT算法與DFT運(yùn)算量的比較直接計(jì)算DFT與FFT算法的計(jì)算量之比為N越大，F(xiàn)FT的優(yōu)點(diǎn)越為明顯說明：至少掌握第一次分解的過程（要能寫出相關(guān)數(shù)學(xué)表達(dá)式分析）并畫出至少第一次分解的蝶形圖(重點(diǎn))2頻域抽樣法將長度為N=2M的序列x(n)前后對半分開,其N點(diǎn)DFT可表示為按k的奇偶可將X(k)分為兩部分k取偶數(shù)時(shí)k取奇數(shù)時(shí)令得到注：DIT—FFT與DIF—FFT比較DIT奇偶分組：輸入倒，輸出順計(jì)算：先乘后加（減）DIF前后分組：輸入順，輸出倒計(jì)算：先加（減）后乘第五章：本章主要掌握IIR和FIR兩種濾波器的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。5.1基本單元結(jié)構(gòu)一個(gè)數(shù)字網(wǎng)絡(luò)可以用差分方程表示，也可以用單位脈沖響應(yīng)來表示，也可以用系統(tǒng)函數(shù)來表示。但是對于研究這個(gè)系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)方法，即它的運(yùn)算結(jié)構(gòu)來說，用方框圖或信號流圖最直接。對于延時(shí)、乘以系數(shù)以及相加這三種基本運(yùn)算來說，方框圖和信號流圖表示法如下圖所示。以二階數(shù)字濾波器y(n)=b1y(n-1)+b2y(n-2)+ax(n)為例，它的方框圖和信號流圖如下圖所示。一般來說，用方框圖表示數(shù)字濾波器，結(jié)構(gòu)明顯、直觀；而用信號流圖來表示，則簡單、方便。利用圖論中的轉(zhuǎn)置定理，可以把一個(gè)信號流圖轉(zhuǎn)化為另一個(gè)等價(jià)的信號流圖。轉(zhuǎn)置定理如果將流圖中所有支路方向都顛倒或反向，并交換輸入x(n)和輸出y(n)，則其特性保持不變，新流圖是原流圖的轉(zhuǎn)置形式。例如，上圖中流圖的轉(zhuǎn)置形式如下圖(a)所示，但通常的習(xí)慣是將輸入x(n)畫在流圖的左邊，而輸出畫在流圖的右邊，這樣得到圖(b)所示的轉(zhuǎn)置結(jié)構(gòu)。5.2無限長脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)IIR濾波器具有以下特點(diǎn)：單位脈沖響應(yīng)h(n)無限長；系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限z平面（0<|z|<∞）上有極點(diǎn)存在；結(jié)構(gòu)上存在從輸出到輸入的反饋，即結(jié)構(gòu)是遞歸型的。1.直接型對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為：直接型包括直接Ⅰ型和直接Ⅱ型，書本講授的為直接Ⅱ型。直接Ⅱ型的推導(dǎo)，利用到線性移不變系統(tǒng)，交換級聯(lián)子系統(tǒng)的次序，系統(tǒng)函數(shù)不變。對于直接Ⅱ型，要求能夠直接由差分方程或系統(tǒng)函數(shù)繪出相應(yīng)的信號流圖，反之亦然。特點(diǎn)：便于理解，累積誤差大，運(yùn)算速度相對慢。2．級聯(lián)型對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為：把濾波器用若干二階子網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)起來構(gòu)成，每個(gè)二階子網(wǎng)絡(luò)采用直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)。特點(diǎn)：級聯(lián)型結(jié)構(gòu)中每一個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)決定一個(gè)零點(diǎn)、一個(gè)極點(diǎn)，每一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)決定一對零點(diǎn)、一對極點(diǎn)。相對直接型結(jié)構(gòu)，其優(yōu)點(diǎn)是調(diào)整方便，此外，運(yùn)算累積誤差較直接型小。3．并聯(lián)型對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為：特點(diǎn)：每一個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)決定一個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，每一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)決定一對共軛極點(diǎn)，調(diào)整極點(diǎn)位置方便，但調(diào)整零點(diǎn)位置不如級聯(lián)型方便。運(yùn)算誤差不積累。運(yùn)算速度最高。例：已知IIRDF的系統(tǒng)函數(shù)為畫出直接I型、直接II型的結(jié)構(gòu)流圖。解：先將化為的有理式直接I型：直接II型：例：已知IIRDF的系統(tǒng)函數(shù)為畫出級聯(lián)型和并聯(lián)型的結(jié)構(gòu)流圖。解：級聯(lián)型并聯(lián)型：5.3有限長脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)FIR濾波器具有以下特點(diǎn)：單位脈沖響應(yīng)h(n)有限長；系統(tǒng)函數(shù)H(z)在|z|>0處收斂，對因果系統(tǒng)而言，極點(diǎn)全部位于z=0處；結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入的反饋。FIR濾波器有以下幾種基本結(jié)構(gòu)：直接型；級聯(lián)型。1．直接型特點(diǎn)：直觀明了，便于理解，但不便于調(diào)整參數(shù)。2．級聯(lián)型將H（z）因式分解得到特點(diǎn)：每一個(gè)一階因子控制一個(gè)零點(diǎn)，每一個(gè)二階因子控制一對共軛極點(diǎn)，調(diào)整零點(diǎn)位置比直接型方便，但H（z）中的系數(shù)比直接型多（近似3/2N），因而需要的乘法器多。例：已知FIRDF的系統(tǒng)函數(shù)為畫出直接型和級聯(lián)型的結(jié)構(gòu)流圖。解：直接型：級聯(lián)型：簡答題：IIR和FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)形式有哪些？各自有什么特點(diǎn)?第六章：本章講授了設(shè)計(jì)IIR濾波器常用的兩種設(shè)計(jì)方法——脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。6.1引言1.數(shù)字濾波器的分類（1）IIR和FIR數(shù)字濾波器這是根據(jù)濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)的長度是否有限來劃分的。若h(n)是一個(gè)長度為M+1的有限長序列，通常將此時(shí)的系統(tǒng)稱為有限長單位脈沖響應(yīng)（FIR，F(xiàn)initeImpulseResponse）系統(tǒng)。如果系統(tǒng)函數(shù)的分母中除a0外，還有其它的ak不為零，則相應(yīng)的h(n)將是無限長序列，稱這種系統(tǒng)為無限長單位脈沖響應(yīng)（IIR，InfiniteImpulseResponse）系統(tǒng)。（2）低通、高通、帶通、帶阻濾波器注意：數(shù)字濾波器（DF）與模擬濾波器（AF）的區(qū)別數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)都是以2π為周期的，濾波器的低通頻帶處于2π的整數(shù)倍處，而高頻頻帶處于π的奇數(shù)倍附近。2.設(shè)計(jì)指標(biāo)描述濾波器的指標(biāo)通常在頻域給出。數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)一般為復(fù)函數(shù)，通常表示為其中，稱為幅頻響應(yīng)，稱為相頻響應(yīng)。對IIR數(shù)字濾波器，通常用幅頻響應(yīng)來描述設(shè)計(jì)指標(biāo)，而對于線性相位特性的濾波器，一般用FIR濾波器設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)。IIR低通濾波器指標(biāo)描述：——通帶截止頻率，——阻帶截止頻率，——通帶最大衰減，——阻帶最小衰減，——3dB通帶截止頻率3.設(shè)計(jì)方法三步：（1）按照實(shí)際需要確定濾波器的性能要求。（2）用一個(gè)因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這個(gè)性能要求。（3）用一個(gè)有限精度的算法去實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)。IIR濾波器常借助模擬濾波器理論來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，設(shè)計(jì)步驟為：先根據(jù)所給的濾波器性能指標(biāo)設(shè)計(jì)出相應(yīng)的模擬濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)(butterworth濾波器設(shè)計(jì)法等，有封閉公式利用)，然后由Ha(s)經(jīng)變換得到所需的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。在變換中，一般要求所得到的數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)應(yīng)保留原模擬濾波器頻率響應(yīng)的主要特性。為此要求：（1）因果穩(wěn)定的模擬濾波器必須變成因果穩(wěn)定的數(shù)字濾波器；（2）數(shù)字濾波器的頻響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響。6.2脈沖不變法、雙線性不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器1脈沖響應(yīng)不變法步驟設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為，相應(yīng)的單位沖擊響應(yīng)是，。LT[.]代表拉氏變換，對進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到，將h(n)=作為數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)，那么數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)便是的變換。因此脈沖響應(yīng)不變法是一種時(shí)域逼近方法，它使在采樣點(diǎn)上等于。但是，模擬濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果是，所以下面基于脈沖響應(yīng)不變法的思想，導(dǎo)出直接從到的轉(zhuǎn)換公式。設(shè)模擬濾波器只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于多項(xiàng)式的階次，將用部分分式表示：式中為的單階極點(diǎn)。將進(jìn)行逆拉氏變換，得到：式中，是單位階躍函數(shù)。對進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為，得到：對上式進(jìn)行變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，即特點(diǎn)（重點(diǎn)）優(yōu)點(diǎn)：1.頻率變換關(guān)系是線性的，即，如果不存在頻譜混疊現(xiàn)象，用這種方法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器會很好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻響特性。2.數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖擊響應(yīng)波形，時(shí)域特性逼近好。缺點(diǎn)：會產(chǎn)生不同程度的頻譜混疊失真，其適合用于低通、帶通濾波器的設(shè)計(jì)，不適合用于高通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。2雙線性不變法將雙線性變換(牢記映射公式)帶入，得特點(diǎn)（重點(diǎn)）優(yōu)點(diǎn)：1.不產(chǎn)生頻域混疊現(xiàn)象2.雙線性變換法可由簡單的代數(shù)公式將直接轉(zhuǎn)換成。缺點(diǎn)：與之間的非線性關(guān)系是雙線性變換法的缺點(diǎn)，是數(shù)字