電大離散數(shù)學集合論部分期末復習題

離散數(shù)學11秋集合論綜合練習輔導PAGEPAGE3一、單項選擇題1．若集合A＝{a，{a}，{1，2}}，則下列表述正確的是()．A．{a，{a}}AB．{1，2}AC．{a}AD．A正確答案：C2．若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，則下列表述正確的是()．A．AB，且ABB．BA，且ABC．AB，且ABD．AB，且AB正確答案：A注意：這兩個題是重點，大家一定要掌握，還有靈活運用，譬如，將集合中的元素作一些調(diào)整，大家也應該會做．例如，2011年1月份考試的試卷的第1題1．若集合A＝{a，{1}}，則下列表述正確的是()．A．{1}AB．{1}AC．{a}AD．A答案：A3．設集合A={1,a}，則P(A)=()．A．{{1},{a}}B．{,{1},{a}}C．{,{1},{a},{1,a}}D．{{1},{a},{1,a}}正確答案：C注意：若集合A有一個或有三個元素，那么P(A)怎么寫呢？若A是n元集，則冪集P(A)有2n個元素．當n=8或10時，A的冪集的元素有多少個？（應該是256或1024個） 4．集合A={1,2,3,4,5,6,7,8}上的關系R={<x，y>|x+y=10且x,yA}，則R的性質(zhì)為（）．A．自反的B．對稱的C．傳遞且對稱的D．反自反且傳遞的因為寫出二元關系R的集合表達式為R={2,8，8,2，3,7，7,3，4,6，6,4，5,5}顯然，R是對稱的，不是自反的、反自反的、傳遞的．要求大家能熟練地寫出二元關系R的集合表達式，并能判別R具有的性質(zhì)．正確答案：B5．如果R1和R2是A上的自反關系，則R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反關系有（）個．A．0B．2C．1D．3教材第40頁第三行指出，若R1和R2是A上的自反關系，則R1∪R2，R1∩R2也是A上的自反關系．正確答案：B注意：若R1和R2是A上的對稱關系，則R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中有幾個是對稱關系?6．設集合A={1,2,3,4}上的二元關系R={1,1，2,2，2,3，4,4}，S={1,1，2,2，2,3，3,2，4,4}，則S是R的（）閉包．A．自反B．傳遞C．對稱D．以上都不對由42頁定義2.3.4知道，關系R的對稱閉包s(R)是包含R并具有對稱性的最小的關系，由此也可以判定S是R的對稱閉包．正確答案：C24135724135的哈斯圖如右圖所示，若A的子集B={3,4,5}，則元素3為B的（）．A．下界B．最大下界C．最小上界D．以上答案都不對由教材第54頁的定義2.5.11知道，集合B的最大元一定是B的上界，而且是B的最小上界．因此可以判定選項C正確．正確答案：C8．設A={1,2,3,4,5,6,7,8}，R是A上的整除關系，B={2,4,6}，則集合B的最大元、最小元、上界、下界依次為()．A．8、2、8、2B．8、1、6、113624587C13624587集合A上的整除關系R的哈斯圖如右圖所示．由哈斯圖可知，集合B的無最大元和上界，最小元和下界都是2，因此，選項D正確正確答案：D9．設A={a,b}，B={1,2}，R1，R2，R3是A到B的二元關系，且R1={<a，2>,<b，2>}，R2={<a，1>,<a，2>,<b，1>}，R3={<a，1>,<b，2>}，則（）不是從A到B的函數(shù)．A．R1B．R2C．R3D．R1和R3由教材第55頁的定義2.6.1知道，函數(shù)是單值性，也就是說，定義域A中任意一個a與值域B中唯一的b有關系，而R2中的a有兩個值2，1與它有關系，所以而R2不是函數(shù)．正確答案：B10．設A={a，b，c}，B={1，2}，作f：A→B，則不同的函數(shù)個數(shù)為（）．A．2B．3C．6D．8因為：f1={a,1，b,1，c,1}，f2={a,1，b,1，c,2}，f3={a,1，b,2，c,1}，f4={a,2，b,1，c,1}，f5={a,1，b,2，c,2}，f6={a,2，b,1，c,2}，f7={a,2，b,2，c,1}，f8=a,2，b,2，c,2}．正確答案：D二、填空題1．設集合A={0,1,2,3}，B={2,3,4,5}，R是A到B的二元關系，則R的有序對集合為．因為A∩B={2,3}，所以從集合A，B中只能分別去2，3組成關系R．應該填寫：R={2,2，2,3，3,2，3,3}注意：如果將二元關系R改為則R的有序對集合是什么呢？2．設集合A={1,2,3,4}，B={6,8,12}，A到B的二元關系R＝那么R－1＝因為R＝{<3，6>，<4，8>}，所以R－1＝{<6，3>，<8，4>}應該填寫：{<6，3>，<8，4>}3．設集合A=｛a,b,c,d｝，A上的二元關系R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}，則二元關系R具有的性質(zhì)是．根據(jù)教材第38頁的定義2.3.1，若對任意aA，a與a都沒有關系，即<a,a>R，則稱R為A上反自反的關系．應該填寫：反自反的4．設集合A=｛a,b,c,d｝，A上的二元關系R={<a,a>,<b,b>,<b,c>,<c,d>}，若在R中再增加兩個元素，則新得到的關系就具有對稱性．應該填寫：<c,b>,<d,c>注意：第3，4題是重點，我們不僅要熟練掌握，尤其是A和R的元素都減少的情況，而且如果新得到的關系具有自反性，那么應該增加哪兩個元素呢？5．設A={1,2}上的二元關系為R={<x,y>|xA，yA,x+y=10}，則R的自反閉包為．因為滿足條件xA，yA,x+y=10的關系只有空關系，空關系的閉包是IA．應該填寫：IA注意：如果二元關系改為R={<x,y>|xA，yA,x+y<10}，則R的自反閉包是什么呢？6．設R是集合A上的等價關系，且1,2,3是A中的元素，則R中至少包含等元素．因為等價關系一定是自反的、對稱的、傳遞的，由二元關系R是自反的，所以它至少包含<1,1>,<2,2>,<3,3>等元素．應該填寫：<1,1>,<2,2>,<3,3>7．設集合A={1,2}，B={a,b}，那么集合A到B的雙射函數(shù)是．應該填寫：{<1,a>,<2,b>}，{<1,b>,<2,a>}想一想：集合A到B的不同函數(shù)的個數(shù)有幾個？三、判斷說明題（判斷下列各題，并說明理由．）1．如果R1和R2是A上的自反關系，判斷結論：“R-11、R1∪R2、R1∩R2是自反的”是否成立？并說明理由．解：正確．因為R1和R2是A上的自反關系，即IAR1，IAR2．a(chǎn)bcdgefhabcdgefh由IAR1，IAR2，得IAR1∪R2，IAR1∩R2．所以，R1-1、R1∪R2、R1∩R2是自反的．2．若偏序集<A，R>的哈斯圖如右圖所示，則集合A的最大元為a，最小元不存在．解：錯誤．集合A的最大元不存在，a是極大元．結論不成立．a(chǎn)bc因為a與g、h沒有關系，由關于最大元、最小元、極大元和極小元的定義2.5.9知道，A的最大元應該大于等于A中其它各元素，而A的極大元應該大于等于A中的一些元素，可以與Aabc注意：題目修改為：若偏序集<A，R>的哈斯圖如右圖所示，則集合A的最大元為a，極小元不存在．3．設集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，判斷下列關系f：A→B是否構成函數(shù)，并說明理由．(1)f={<1,4>,<2,2,>,<4,6>,<1,8>}；(2)f={<1,6>,<3,4>,<2,2>}；(3)f={<1,8>,<2,6>,<3,4>,<4,2,>}．解：(1)f不能構成函數(shù)．因為A中的元素3在f中沒有出現(xiàn)．(2)f不能構成函數(shù)．因為A中的元素4在f中沒有出現(xiàn)．(3)f可以構成函數(shù)．因為f的定義域就是A，且A中的每一個元素都有B中的唯一一個元素與其對應，滿足函數(shù)定義的條件．四、計算題1．設集合A={{1},{2},1,2}，B={1,2,{1,2}}，試計算（1）AB；（2）A∩B；（3）A×B．解：（1）AB={{1},{2},1,2}{1,2,{1,2}}={{1},{2}}（2）A∩B={{1},{2},1,2}∩{1,2,{1,2}}={1,2}（3）AB={{1},{2},1,2}{1,2,{1,2}}={<{1},1>,<{1},2>,<{1},{1,2}>,<{2},1>,<{2},2>,<{2},{1,2}>,<1,1>,<1,2>,<1,{1,2}>,<2,1>,<2,2>,<2,{1,2}}2．設A={1，2，3，4，5}，R={<x，y>|xA，yA且x+y4}，S={<x，y>|xA，yA且x+y<0}，試求R，S，RS，SR，R-1，S-1，r(S)，s(R)．解：R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>},S=，RS=，SR=，R-1=R，S-1=，r(S)=IA．s(R)={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}3．設A={1,2,3,4,5,6,7,8}，R是A上的整除關系，B={2,4,6}．（1）寫出關系R的表示式；（2）畫出關系R的哈斯圖；（3）求出集合B的最大元、最小元．解：（1）R=I{<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<1,7>,<1,8>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<3,6>,<4,8>}（2）關系R的哈斯圖如下圖所示112346578關系R的哈斯圖（3）集合B沒有最大元，最小元是：2．五、證明題1．試證明集合等式：A(BC)=(AB)(AC)．證：若x∈A(BC)，則x∈A或x∈BC，即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C．即x∈AB且x∈AC，即x∈T=(AB)(AC)，所以A(BC)(AB)(AC)．反之，若x∈(AB)(AC)，則x∈AB且x∈AC，即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C，即x∈A或x∈BC，即x∈A(BC)，所以(AB)(AC)A(BC)．因此．A(BC)=(AB)(AC)．注意：第1題也是重點，我們要熟練掌握．想一想：等式A(BC)=(AB)(AC)如何證明？2．對任意三個集合A,B和C，試證明：若AB=AC，且A，則B=C．證明：設xA，yB，則<x，y>AB