高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修二）第35講 8.6.2直線與平面垂直的判定定理（第1課時(shí)）（學(xué)生版）

第12講8.6.2直線與平面垂直的判定定理（第1課時(shí)）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解直線與平面垂直的定義。②了解直線與平面所成角的概念.。③.掌握直線與平面垂直的判定定理。④會(huì)用定理判定線面垂直。本節(jié)主要內(nèi)容是在直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間直線與平而垂直的定義:通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理:能運(yùn)用直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題教學(xué)重點(diǎn)是通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出直線與平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理的過程，其核心是理解判定定理、性質(zhì)定理的條件由內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化與化歸思想，體現(xiàn)在不同語言之間的轉(zhuǎn)化，把線面垂首問題轉(zhuǎn)化為線線垂直問題知識(shí)點(diǎn)01：直線與平面垂直（1）定義：如果一條直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么直線垂直于平面，記為．直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面，垂線與平面的交點(diǎn)P叫垂足.（2）符號(hào)語言：對于任意，都有.（3）圖形語言：（4）應(yīng)用：①若直線與平面垂直，則這條直線與這個(gè)平面內(nèi)的所有直線都垂直，從而可判斷直線與平面內(nèi)的直線互相垂直，即“若,,則”,簡述為“若線面垂直，則線線垂直”因此直線與平面垂直的定義不僅是直線與平面垂直的判定方法，也是證明直線與直線垂直的重要且常用的方法.②重要結(jié)論：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直；過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.知識(shí)點(diǎn)02：直線與平面垂直的判定定理（1）直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.簡記：線線垂直線面垂直（2）符號(hào)語言：，，，，（3）圖形語言：如圖【即學(xué)即練1】（2024上·全國·高三期末）如圖所示，已知平面，，點(diǎn)E和F分別為和的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)證明：平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）連接，在中，∵點(diǎn)E和F分別是和的中點(diǎn)，，又平面且平面，平面；

（2）為中點(diǎn)，，平面，平面，平面，，又平面且，平面.知識(shí)點(diǎn)03：直線與平面所成角（1）直線與平面所成角的定義如圖，一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足，過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影，平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.【即學(xué)即練2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）在正方體中，與平面所成角的大小為.【答案】【詳解】由于⊥平面，故即為與平面所成角，因?yàn)椋?，故與平面所成角為.故答案為：（2）說明：①為斜線②與的交點(diǎn)為斜足③直線為在平面上的射影④直線與射影所成角(角)為直線與平面上所成角⑤當(dāng)直線與平面垂直時(shí)：；當(dāng)直線與平面平行或在平面內(nèi)時(shí)：⑥直線與平面所成角取值范圍：.（3）直線與平面所成角的求解步驟①作：在斜線上選取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)向平而引垂線，在這一步確定垂足的位置是關(guān)鍵；②證：證明所找到的角為直線與平面所成的角，其證明的主要依據(jù)為直線與平面所成的角的定義；③算：一般借助三角形的相關(guān)知識(shí)計(jì)算.題型01判斷線面垂直【典例1】（2024上·上海徐匯·高二統(tǒng)考期末）已知直線和平面，若，則“”是“”的（

）條件.A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要【典例2】（2024上·上海·高二上海市建平中學(xué)?？计谀┫铝嘘P(guān)于直線與平面垂直的判斷中，正確的是（

）.A．若直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，則直線與平面垂直B．若直線與平面內(nèi)的兩條平行直線垂直，則直線與平面垂直C．若直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則直線與平面垂直D．若直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則直線與平面垂直【變式1】（2024·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知平面α和α外的一條直線l，下列說法不正確的是（）A．若l垂直于α內(nèi)的兩條平行線，則l⊥αB．若l平行于α內(nèi)的一條直線，則l∥αC．若l垂直于α內(nèi)的兩條相交直線，則l⊥αD．若l平行于α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥α【變式2】（2023下·北京·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知直線，和平面，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．是平面的斜線題型02證明線面垂直【典例1】（2023上·上海·高二專題練習(xí)）如圖，為⊙O的直徑，垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點(diǎn)，⊥，N為垂足.求證：⊥平面；【典例2】（2023上·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，是的中點(diǎn)，且.

(1)求證：平面；(2)若，求證：平面.【典例3】（2024上·上海長寧·高二上海市民辦新虹橋中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知正四棱柱，(1)求證：平面；(2)求證：平面平面【變式1】（2024上·北京·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，E為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：平面.【變式2】（2024上·全國·高三期末）正四棱錐中，，，其中為底面中心，為上靠近的三等分點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求四面體的體積．【變式3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面．證明：平面；

題型03補(bǔ)全線面垂直的條件【典例1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l，a，b，平面，若要得到結(jié)論，則需要在條件，，⊥，⊥中另外添加的一個(gè)條件是.【典例2】（2023·全國·高二假期作業(yè)）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面ABC，底面是以∠ABC為直角的等腰三角形，AC=2，=3，D是的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段上，當(dāng)AF=時(shí)，CF⊥平面.【典例3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖：在三棱柱中，已知面，，當(dāng)?shù)酌鏉M足條件時(shí)，有．（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）．【變式1】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）已知平面ABCD，則四邊形ABCD滿足時(shí)，有．（試寫出一個(gè)滿足的條件）【變式2】（2023下·全國·高一專題練習(xí)），，是三直線，是平面，若，，，，且__________（填上一個(gè)條件即可），則有．【變式3】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，在中，M為邊BC的中點(diǎn)，沿AM將折起，使點(diǎn)B在平面ACM外．在什么條件下直線AM垂直于平面BMC？題型03直線與平面所成的角【典例1】（2024·陜西渭南·統(tǒng)考一模）在正三棱柱中，，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023上·北京·高二北京市八一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，，則與平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【典例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如下圖所示，矩形中，，，沿將折起，使得點(diǎn)C在平面上的射影落在上，則直線與平面所成的角為．

【典例4】（2023下·天津和平·高一統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，為中點(diǎn)，平面，，為中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)證明：平面；(3)求直線與平面所成角的余弦值.【變式1】（2023上·湖北·高二湖北省紅安縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖是四棱錐的平面展開圖，四邊形是矩形，，，，，，則在四棱錐中，與平面所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如下圖所示，在平行六面體中，底面為矩形，側(cè)棱與、均成60°角，則側(cè)棱與底面所成的角為．

【變式3】（2024·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）如圖，在平面內(nèi)，是的斜線，若，則與平面所成角是．【變式4】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，所有的棱長都相等，側(cè)棱底面，求直線與平面所成角的正弦值.

題型04直線與平面所成角的最值（范圍）【典例1】（2024上·河南漯河·高二漯河高中?？茧A段練習(xí)）在正方體中，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則與平面所成角的取值范圍為（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為1，分別是棱，的中點(diǎn)．若點(diǎn)為側(cè)面正方形內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且平面，則與側(cè)面所成角的正切值最大為（

）

A．2 B．1 C． D．【典例3】（2024上·黑龍江大慶·高二大慶外國語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）在中，，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動(dòng)點(diǎn)的斜邊上．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦的最大值．【變式1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，二面角的大小為，且與交線所成的角為，則直線所成的角的正切值的最小值為（

）

A． B． C． D．【變式2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，，平面平面，且.

(1)證明：；(2)若是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成的角的正切值最大值.

題型05根據(jù)線面角求參數(shù)【典例1】（2024上·山東淄博·高三統(tǒng)考期末）已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為2和4，若側(cè)棱與底面ABCD所成的角為，則該正四棱臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．【典例2】（2024上·上海·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知正方形的邊長為1，平面，三角形是等邊三角形．(1)求異面直線與所成的角的大??；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成的角大小為？若存在，求出的長度，若不存在，說明理由.【典例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知四棱錐，底面為菱形，平面，，，為上一點(diǎn)．

(1)平面平面，證明：．(2)當(dāng)直線與平面的夾角為時(shí)，求三棱錐的體積．【變式1】（2024上·上海長寧·高二上海市民辦新虹橋中學(xué)?？计谀┮阎比庵牡酌媸钦切?，與底面中心的連線垂直于底面，側(cè)棱，，且與底面所成角的大小是，則此三棱柱的底面邊長是．【變式2】（2024上·上海黃浦·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面ABCD，為的中點(diǎn)．(1)設(shè)平面與直線相交于點(diǎn)，求證：為的中點(diǎn)；(2)若，，直線與平面所成角的大小為，求PD的長．【變式3】（2024·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）如圖，四棱錐的底面ABCD是邊長為2的正方形，E，F(xiàn)，M分別為邊PD，PB，PC的中點(diǎn)，N為BF的中點(diǎn)．(1)證明：平面AEF；(2)若，，直線PA與平面ABCD所成的角為60°，求三棱錐的體積．題型06點(diǎn)到平面的距離【典例1】（2024·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，直三棱柱中，.過點(diǎn)的平面和平面的交線記作.(1)證明：；(2)求頂點(diǎn)到直線的距離.【典例2】（2023上·上?！じ叨？计谀橹苯翘菪?，，，，平面，，(1)求證：；(2)求點(diǎn)到直線的距離.【變式1】（2023上·山東濰坊·高二統(tǒng)考期中）在棱長為4的正方體中，點(diǎn)A到平面的距離為（

）A． B． C．1 D．2【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面，，.求點(diǎn)B到平面PAC的距離；A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）空間中直線l和三角形的兩邊，同時(shí)垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．垂直 C．相交 D．不確定2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在正方體的六個(gè)面中，與垂直的平面有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2019下·江蘇常州·高一校聯(lián)考期中）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱長為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面CC1B1B（含邊界）上的動(dòng)點(diǎn)，要使AB1⊥平面C1DF，則線段C1F的長的最大值為（

）A． B． C． D．4．（2019下·江蘇·高一校聯(lián)考期末）已知正方體棱長為，則點(diǎn)到平面的距離為（）A． B． C． D．5．（2020下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示的正方形中，分別是，的中點(diǎn)，現(xiàn)沿，，把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使，，重合為點(diǎn)，則有（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面6．（2022下·江西贛州·高二贛州市贛縣第三中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，直三棱柱ABC一中，側(cè)棱長為2，，，D是的中點(diǎn)，F(xiàn)是上的動(dòng)點(diǎn)，，DF交于點(diǎn)E，要使平面，則線段的長為（

）A． B． C． D．7．（2023下·河南安陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在圓柱中，為底面直徑，是的中點(diǎn)，是母線的中點(diǎn)，是上底面上的動(dòng)點(diǎn)，若，，且，則點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B． C． D．8．（2023上·四川宜賓·高二四川省興文第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知正三棱柱的側(cè)棱長與底面邊長相等,則與側(cè)面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)l，m是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下面命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，，則10．（2023上·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第四中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為2的正方形，與交于點(diǎn)，面，且，則以下說法正確的是（

）

A．平面 B