2024年九江市高三數(shù)學(xué)第二次模擬統(tǒng)考試卷附答案解析

年九江市高三數(shù)學(xué)第二次模擬統(tǒng)考試卷注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試題卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．若集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知，則（

）A． B． C． D．3．若函數(shù)在（1，2）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．第14屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-International

Congreas

of

Mathematics

Education）在我國(guó)上海華東師范大學(xué)舉行.如圖是本次大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦——3、7、4、4，這是中國(guó)古代八進(jìn)制計(jì)數(shù)符號(hào)，換算成現(xiàn)代十進(jìn)制是，正是會(huì)議計(jì)劃召開的年份，那么八進(jìn)制換算成十進(jìn)制數(shù)，則換算后這個(gè)數(shù)的末位數(shù)字是（

）

A．1 B．3 C．5 D．75．在正方體中，為四邊形的中心，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．平面平面 D．若平面平面，則平面6．已知，，，則（

）A． B． C． D．7．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，P為C上一點(diǎn)，以為直徑的圓與C的兩條漸近線相交于異于點(diǎn)O的M，N兩點(diǎn).若，則C的離心率為（

）A． B． C． D．8．已知一個(gè)圓臺(tái)內(nèi)接于球（圓臺(tái)的上、下底面的圓周均在球面上）.若該圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和2，且其表面積為，則球的體積為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．射擊作為一項(xiàng)綜合運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，不僅需要選手們技術(shù)上的過(guò)硬，更需要他們?cè)谂R場(chǎng)發(fā)揮時(shí)保持冷靜和專注.第19屆亞運(yùn)會(huì)在我國(guó)杭州舉行，女子10米氣步槍團(tuán)體決賽中，中國(guó)隊(duì)以1896.6環(huán)的成績(jī)獲得金牌，并創(chuàng)造新的亞洲紀(jì)錄.決賽中，中國(guó)選手黃雨婷、韓佳予和王芝琳在最后三輪比賽中依次射擊，成績(jī)（環(huán)）如下：黃雨婷韓佳予王芝琳第4輪105.5106.2105.6第5輪106.5105.7105.3第6輪105106.1105.1則下列說(shuō)法正確的是A．三輪射擊9項(xiàng)成績(jī)極差為1.5B．三輪射擊成績(jī)最好的一輪是第五輪C．從三輪射擊成績(jī)來(lái)看，黃雨婷射擊成績(jī)最穩(wěn)定D．從三輪各人平均成績(jī)來(lái)看，韓佳予表現(xiàn)更突出10．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在上，若定點(diǎn)滿足，則（

）A．的準(zhǔn)線方程為 B．周長(zhǎng)的最小值為C．直線的傾斜角為 D．四邊形不可能是平行四邊形11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，，則下列命題正確的是（

）A．為奇函數(shù) B．為上減函數(shù)C．若，則為定值 D．若，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．為助力鄉(xiāng)村振興，九江市教科所計(jì)劃選派5名黨員教師前往5個(gè)鄉(xiāng)村開展“五育”支教進(jìn)鄉(xiāng)村黨建活動(dòng)，每個(gè)鄉(xiāng)村有且只有1人，則甲不派往鄉(xiāng)村A的選派方法有種.13．歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線，這條線稱之為三角形的歐拉線.已知，，，且為圓內(nèi)接三角形，則的歐拉線方程為.14．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知A，B，C成等差數(shù)列，，則面積的最大值是，.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．已知函數(shù)在處的切線方程為(1)求a，b的值；(2)判斷的單調(diào)性.16．2023年10月10日，習(xí)近平總書記來(lái)到九江市考察調(diào)研，特別關(guān)注生態(tài)優(yōu)先，綠色發(fā)展.某生產(chǎn)小型污水處理設(shè)備企業(yè)甲，原有兩條生產(chǎn)線，其中1號(hào)生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品優(yōu)品率為0.85，2號(hào)生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品優(yōu)品率為0.8.為了進(jìn)一步擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，同時(shí)響應(yīng)號(hào)召，助力長(zhǎng)江生態(tài)恢復(fù)，該企業(yè)引進(jìn)了一條更先進(jìn)、更環(huán)保的生產(chǎn)線，該生產(chǎn)線（3號(hào)）生產(chǎn)的產(chǎn)品優(yōu)品率為0.95.所有生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品除了優(yōu)品，其余均為良品.引進(jìn)3號(hào)生產(chǎn)線后，1，2號(hào)生產(chǎn)線各承擔(dān)20%的生產(chǎn)任務(wù)，3號(hào)生產(chǎn)線承擔(dān)60%的生產(chǎn)任務(wù)，三條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品都均勻放在一起，且無(wú)區(qū)分標(biāo)志.(1)現(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)檢員，從所有產(chǎn)品中任取一件進(jìn)行檢測(cè)，求取出的產(chǎn)品是良品的概率；(2)現(xiàn)某企業(yè)需購(gòu)進(jìn)小型污水處理設(shè)備進(jìn)行污水處理，處理污水時(shí)，需幾臺(tái)同型號(hào)的設(shè)備同時(shí)工作.現(xiàn)有兩種方案選擇：方案一，從甲企業(yè)購(gòu)進(jìn)設(shè)備，每臺(tái)設(shè)備價(jià)格30000元，可先購(gòu)進(jìn)2臺(tái)設(shè)備.若均為優(yōu)品，則2臺(tái)就可以完成污水處理工作；若其中有良品，則需再購(gòu)進(jìn)1臺(tái)相同型號(hào)設(shè)備才能完成污水處理工作.方案二，從乙企業(yè)購(gòu)進(jìn)設(shè)備，每臺(tái)23000元.需要三臺(tái)同型號(hào)設(shè)備同時(shí)工作，才能完成污水處理工作.從購(gòu)買費(fèi)用期望角度判斷應(yīng)選擇哪個(gè)方案，并說(shuō)明理由.17．如圖，三棱錐中，平面，，，，點(diǎn)滿足，.

(1)證明：平面平面；(2)點(diǎn)在上，且，求直線與平面所成角的正弦值.18．已知橢圓：和圓C：，C經(jīng)過(guò)E的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B為E的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，C上的點(diǎn)D滿足.(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線與C相切于第一象限的點(diǎn)P，與E相交于M，N兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為Q.當(dāng)最大時(shí)，求的方程.19．定義兩個(gè)維向量，的數(shù)量積，，記為的第k個(gè)分量（且）.如三維向量，其中的第2分量.若由維向量組成的集合A滿足以下三個(gè)條件：①集合中含有n個(gè)n維向量作為元素；②集合中每個(gè)元素的所有分量取0或1；③集合中任意兩個(gè)元素，，滿足（T為常數(shù)）且.則稱A為T的完美n維向量集.(1)求2的完美3維向量集；(2)判斷是否存在完美4維向量集，并說(shuō)明理由；(3)若存在A為T的完美n維向量集，求證：A的所有元素的第k分量和.1．A【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】由，即，解得或，所以，又，所以.故選：A2．D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再求其共軛復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)?，所?故選：D3．C【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)求解.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，由函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減且恒大于0，則有，解得.故選：C4．B【分析】換算后由等比數(shù)列求和得，改寫成，利用二項(xiàng)式定理展開即可求解.【詳解】由進(jìn)位制的換算方法可知，八進(jìn)制換算成十進(jìn)制得：，因?yàn)槭?0的倍數(shù)，所以，換算后這個(gè)數(shù)的末位數(shù)字即為的末尾數(shù)字，由可得，末尾數(shù)字為3.故選：B5．B【分析】根據(jù)正方體性質(zhì)結(jié)合圖形可知異面，可判斷A；通過(guò)證明平面，可判斷B；記的中點(diǎn)分別為，然后證明是平面和平面的夾角或其補(bǔ)角，由為等腰三角形可判斷C；由可判斷D.【詳解】A選項(xiàng)：由正方體性質(zhì)易知，，所以四點(diǎn)共面，由圖知，平面，直線在平面內(nèi)，且不過(guò)點(diǎn)A，所以異面，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：因?yàn)槠矫?，平面，所以，又為正方形，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，又平面，所以，B正確；C選項(xiàng)：記平面平面，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又平面，所以，所以，記的中點(diǎn)分別為，由正方體性質(zhì)可知，，所以，所以，同理，，所以是平面和平面的夾角或其補(bǔ)角，又對(duì)稱性可知，為等腰三角形，故為銳角，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：因?yàn)椋耘c平面相交，D錯(cuò)誤.故選：B6．A【分析】利用兩角差的余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得到方程組，即可求出、，再求出即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，解得，所以，又，所以，所?故選：A7．B【分析】結(jié)合題意可得，，即可借助點(diǎn)到直線的距離公式表示出，即可計(jì)算出的值，即可得離心率.【詳解】設(shè)，有，即，由題意可得、，漸近線方程為，故，又，故，則，即，解得或，則或，由，故，，即，則.故選：B.8．C【分析】利用圓臺(tái)表面積得母線長(zhǎng)和圓臺(tái)的高，由勾股定理求出球的半徑，可計(jì)算體積.【詳解】設(shè)圓臺(tái)母線長(zhǎng)為l，上、下底面半徑分別為和，則圓臺(tái)側(cè)面積為，上、下底面面積分別為和.由圓臺(tái)表面積為，得，所以圓臺(tái)高，設(shè)球半徑為，圓臺(tái)軸截面為等腰梯形，且，高為1.作于點(diǎn)，設(shè)，由，則球心在圓臺(tái)外部.則有，解得，所以球的體積為.故選：C.9．ABD【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)計(jì)算極差判斷選項(xiàng)A；計(jì)算各輪總成績(jī)判斷選項(xiàng)B，由數(shù)據(jù)波動(dòng)性判斷選項(xiàng)C，計(jì)算平均值判斷選項(xiàng)D.【詳解】三輪射擊9項(xiàng)成績(jī)極差為106.5-105=1.5，A正確；第四輪的總成績(jī)?yōu)?17.3環(huán)，第五輪的總成績(jī)?yōu)?17.5環(huán)，第六輪的總成績(jī)?yōu)?16.2環(huán)，B正確；王芝琳的射擊成績(jī)波動(dòng)小，最穩(wěn)定，C錯(cuò)誤；黃雨婷的平均成績(jī)約為105.67，韓佳予的平均成績(jī)?yōu)?06，王芝琳的平均成績(jī)約為105.33，D正確.故選：ABD.10．BD【分析】首先表示出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，由距離公式得到方程，即可求出，求出拋物線方程，即可判斷A、C，根據(jù)拋物線的定義判斷B，求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷D.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，又點(diǎn)滿足，所以，即，解得或（舍去），所以拋物線，則準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)為，故A錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線的定義可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以周長(zhǎng)的最小值為，故B正確；因?yàn)?，所以直線的傾斜角為，故C錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)作的平行線，交拋物線于點(diǎn)，即，解得，即，則，所以四邊形不是平行四邊形，故D正確.故選：BD11．ACD【分析】令求出，令求出，再令即可得到函數(shù)的奇偶性，從而判斷A、B，令即可判斷C，令結(jié)合，即可得到，從而判斷D.【詳解】因?yàn)椋?，令，可得，則，令，可得，則，令，可得，令，可得，所以，所以為奇函數(shù)，故A正確；因?yàn)椤?，所以不可能為上減函數(shù)，故B錯(cuò)誤；令可得，所以，故C正確；令可得，因?yàn)?，所以，所以，，，所以，所以，故D正確.故選：ACD12．96【分析】由特殊元素優(yōu)先安排，則先安排A地，后安排剩余4個(gè)鄉(xiāng)村，再結(jié)合分步乘法求解即可.【詳解】第一步，由于甲不派往鄉(xiāng)村A，則A地有種選派方法，第二步，其他4個(gè)鄉(xiāng)村有種選派方法，所以共有種選派方法.故答案為：96.13．##【分析】首先將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，即可求出、，從而得到圓心坐標(biāo)即的外心坐標(biāo)，再確定的重心坐標(biāo)，即可得解.【詳解】依題意，解得，所以圓，即，故圓心坐標(biāo)為，即的外心坐標(biāo)為，又的重心坐標(biāo)為，又點(diǎn)、均在直線上，所以的歐拉線方程為.故答案為：14．12【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)可得B，結(jié)合重要不等式及三角形面積公式即可求得三角形面積的最大值；運(yùn)用正弦定理可得，，由余弦定理可得，代入求解即可.【詳解】由題意知，，又，所以，又，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故面積的最大值為.因?yàn)?，，所以，，所以，由余弦定理得，所?故答案為：；.15．(1)，(2)在上單調(diào)遞增【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得；（2）借助導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)數(shù)的最值后即可得原函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】（1），由題意可得，，則，可得，，即，；（2），，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，故在上單調(diào)遞增.16．(1)(2)選擇方案一，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)全概率計(jì)算公式求解即可.（2）計(jì)算兩種不同方案的數(shù)學(xué)期望，根據(jù)期望的意義比較期望值的大小即可判斷.【詳解】（1）設(shè)“任取一件產(chǎn)品為優(yōu)品”，“產(chǎn)品為第號(hào)生產(chǎn)線生產(chǎn)”，由全概率公式得：則從所有產(chǎn)品中任取一件是良品的概率為：.（2）選擇方案一，理由如下：設(shè)從甲企業(yè)購(gòu)進(jìn)設(shè)備的費(fèi)用為元，則可取：，，由（1）知：所以.設(shè)從乙企業(yè)購(gòu)進(jìn)設(shè)備的費(fèi)用為元，則，因?yàn)?，故選擇方案一比較合適.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）首先由線面垂直的性質(zhì)得到，，即可說(shuō)明，從而得到平面，即可得證；（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，，又點(diǎn)滿足，，所以，在中，在中，，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由（1）可知平面，平面，所以平面平面，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，則平面，又平面，平面，所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)，所以，，因?yàn)?，所以，即，解得，所以為的中點(diǎn)，則，設(shè)平面的法向量為，又，，則，取，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.

18．(1)(2)【分析】（1）C經(jīng)過(guò)E的焦點(diǎn)及點(diǎn)D在C上，列方程組求出，可求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線方程，與橢圓和圓聯(lián)立方程組，求兩點(diǎn)坐標(biāo)，表示出，利用基本不等式求取最小值時(shí)參數(shù)的值，得的方程.【詳解】（1）依題意得，由，得，代入的方程中，得，①又經(jīng)過(guò)的焦點(diǎn)，得，即，②由①②解得所以的方程為.（2）解法一：依題意，設(shè)l的方程為，，則有，，由l與C相切，得，即，又，兩式相減得，有，，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得，中，，當(dāng)最大時(shí)，最大，，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，得，即的最大值為，此時(shí)，，故l的方程為.解法二：依題意，設(shè)l的方程為，，聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)得，由，得，，聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)得，由，得，，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，當(dāng)最大時(shí)，，故l的方程為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與圓錐曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，要強(qiáng)化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．19．(1)(2)不存在完美4維向量集，理由見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用的完美維向量集定義求解即可.（2）分別研究，，，，時(shí)，結(jié)合新定義及集合中元素的互異性即可判斷.（3）依題意可得，運(yùn)用反證法，假設(shè)存在，使得，不妨設(shè)，分別從及兩方面證得矛盾即可得，進(jìn)而可證得結(jié)果.【詳