高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版選擇性必修一）第30講 3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（教師版）

第05講3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡單性質(zhì)。②了解拋物線在實際問題中的初步應(yīng)用。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握拋物線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程及相關(guān)的條件，并能應(yīng)用拋物線的定義解決實際問題知識點(diǎn)01：拋物線的定義1、拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點(diǎn)和一條定直線（其中定點(diǎn)不在定直線上）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．2、拋物線的數(shù)學(xué)表達(dá)式：(為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離).【即學(xué)即練1】（2023春·四川涼山·高二寧南中學(xué)校聯(lián)考期末）已知拋物線上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為2，焦點(diǎn)為F，則（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【詳解】由題得拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為，由拋物線的定義得3.故選：B

知識點(diǎn)02：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)：方程（）（）（）（）圖形焦點(diǎn)準(zhǔn)線【即學(xué)即練2】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程如下，分別求其焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程：(1)；(2)．【答案】(1)焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為；(2)焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為．【詳解】（1）由拋物線方程為，可得，且焦點(diǎn)在軸正半軸上，所以可得其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為；（2）將化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，可得，且焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，所以焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為.特別說明：1、要注意弄清拋物線四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征及其對應(yīng)拋物線的形狀(焦點(diǎn)位置、開口方向等).拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中,有一個一次項和一個二次項,二次項的系數(shù)為1,一次項的系數(shù)為;若一次項的字母是,則焦點(diǎn)就在軸上,若其系數(shù)是正的,則焦點(diǎn)就在軸的正半軸上(開口向右),若系數(shù)是負(fù)的,焦點(diǎn)就在軸的負(fù)半軸上(開口向左);若一次項的字母是,則焦點(diǎn)就在軸上,若其系數(shù)是正的,則焦點(diǎn)就在軸的正半軸上(開口向上),若系數(shù)是負(fù)的,焦點(diǎn)就在軸的負(fù)半軸上(開口向下).2、焦點(diǎn)的非零坐標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)方程下一次項系數(shù)的.3、準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱.4、（1）通徑：過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦長等于，通徑是過焦點(diǎn)最短的弦.（2）拋物線（）上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，也稱為拋物線的焦半徑.題型01拋物線定義的理解【典例1】（2023秋·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）若拋物線上一點(diǎn)到軸的距離為，則點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為．【答案】4【詳解】由題意可得，，P縱坐標(biāo)為，由其解析式可得P橫坐標(biāo)為，由拋物線定義知.故答案為：4【典例2】（2023·四川成都·四川省成都列五中學(xué)校考三模）若拋物線上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為8，到軸的距離為6，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由拋物線定義可得：，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C

【變式1】（2023春·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，若到直線的距離為7，則.【答案】【詳解】由拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，因為點(diǎn)在上，且到直線的距離為，可得到直線的距離為，即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，根據(jù)拋物線的定義，可得點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以.故答案為：.【變式2】（2023春·江西宜春·高三江西省宜春中學(xué)校考階段練習(xí)）若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到軸距離的3倍，則.【答案】/3.5【詳解】由題知：，故由焦半徑公式得：.故答案為：.題型02利用拋物線定義求方程【典例1】（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)圓與y軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動點(diǎn)P到A的距離等于P到l的距離，則動點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為圓與軸交于，兩點(diǎn)（在的上方），所以，，又因為過作圓的切線，所以切線的方程為，因為動點(diǎn)到的距離等于到的距離，所以動點(diǎn)的軌跡為拋物線，且其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，所以的軌跡方程為．故選：A.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知動點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，則動點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】【詳解】設(shè)直線，則動點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，動點(diǎn)到直線的距離為，又因為，所以動點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，其軌跡方程為．故答案為：【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，過點(diǎn)且與y軸垂直的直線為，軸，交于點(diǎn)N，直線l垂直平分FN，交于點(diǎn)M.求點(diǎn)M的軌跡方程；【答案】【詳解】由題意得，即動點(diǎn)M到點(diǎn)的距離和到直線的距離相等，所以點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，根據(jù)拋物線定義可知點(diǎn)M的軌跡方程為；【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）動點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離比它到定點(diǎn)的距離小2，求動點(diǎn)的軌跡方程．【答案】或．【詳解】解：∵動點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離比它到定點(diǎn)的距離小2，∴動點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等．∴動點(diǎn)M到軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，且．∴拋物線的方程為，又∵x軸上點(diǎn)左側(cè)的點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離比它到點(diǎn)的距離小2，∴M點(diǎn)的軌跡方程為②．綜上，得動點(diǎn)M的軌跡方程為或．題型03拋物線上點(diǎn)到定點(diǎn)距離及最值【典例1】（2023春·河南焦作·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知點(diǎn)A是拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，則，則，所以當(dāng)時，取得最小值．故選：A【典例2】（2023春·云南昭通·高三?？茧A段練習(xí)）拋物線上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)的距離最小值為.【答案】【詳解】設(shè)，則，因為，所以，當(dāng)時取得最小值4，故答案為：4【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）動點(diǎn)在拋物線上，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為（

）A． B． C． D．12【答案】B【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時，取得最小值，最小值為故選：B【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在圓上，則長度的最小值為.【答案】3【詳解】因為拋物線和圓都關(guān)于橫軸對稱，所以不妨設(shè)，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為：，半徑為1，因此，當(dāng)時，，所以長度的最小值為，故答案為：題型04拋物線上點(diǎn)到定點(diǎn)與焦點(diǎn)距離的和（差）最值【典例1】（2023秋·陜西·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，拋物線上有一動點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A．8 B．16 C．11 D．26【答案】C【詳解】因為拋物線：，所以拋物線的準(zhǔn)線為，記拋物線的準(zhǔn)線為，作于，如圖所示：因為，，所以當(dāng)，，共線時，有最小值，最小值為.故選：C.【典例2】（2023春·甘肅武威·高二武威第六中學(xué)?？计谥校┦菕佄锞€的焦點(diǎn)，點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，到直線的距離為，則的最小值是（

）A． B． C．3 D．【答案】C【詳解】由題設(shè)，拋物線焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，故，如上圖：，僅當(dāng)共線且在兩點(diǎn)之間時等號成立.故選：C【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一定點(diǎn)，若拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上的一動點(diǎn)，則的最小值是.【答案】/【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，顯然，當(dāng)平行于軸時，取得最小值，此時，此時故答案為:.【變式1】（2023秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二?？计谀c(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，直線為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)為直線上一動點(diǎn)，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，點(diǎn)在拋物線上，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，過點(diǎn)P作于點(diǎn)N，根據(jù)拋物線的定義可得：，所以，而所以.當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)Q、點(diǎn)N、點(diǎn)M在同一條直線上時等號成立，所以有最大值1.故選：B【變式2】（2023秋·高二單元測試）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M（3，6），點(diǎn)Q在拋物線上，則的最小值為．【答案】【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，所以.當(dāng)且僅當(dāng)與準(zhǔn)線垂直時，取等號.所以的最小值為.

故答案為：.題型05根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)和準(zhǔn)線【典例1】2．（2023春·四川·高二統(tǒng)考期末）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由得，故焦點(diǎn)為，故選：B【典例2】（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期末）拋物線的準(zhǔn)線方程是．【答案】【詳解】因為拋物線的方程為，所以拋物線的準(zhǔn)線方程是.故答案為：.【變式1】（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（且）的圖像過定點(diǎn)A，若拋物線也過點(diǎn)A，則拋物線的準(zhǔn)線方程為.【答案】x=-1【詳解】因為函數(shù)經(jīng)過定點(diǎn)，所以函數(shù)經(jīng)過定點(diǎn)，將它代入拋物線方程得，解得，所以其準(zhǔn)線方程為；故答案為：.題型06拋物線的焦半徑公式【典例1】（2023春·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，該拋物線的準(zhǔn)線方程為，因為拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，則，解得.故選：C.【典例2】（多選）（2023秋·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為 B．C． D．【答案】BD【詳解】由題可知，因為點(diǎn)在拋物線上，且，所以，解得，所以，故選：BD.【變式1】（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考二模）已知為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可知，，所以又知拋物線的準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線的定義可知，，整理得，解得，所以的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：C．【變式2】（2023春·四川宜賓·高二四川省宜賓市第四中學(xué)校校考期末）拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.【答案】1【詳解】拋物線，，設(shè)點(diǎn)，依題意可知，，得，故答案為：題型07求拋物線方程【典例1】（2023春·四川南充·高二四川省南充高級中學(xué)?？计谥校?zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)題意，拋物線的準(zhǔn)線方程為，即其焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，且，得，故其標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：D.【典例2】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【詳解】設(shè)拋物線的方程為或，將點(diǎn)代入，可得或，解得或，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或，故選：C【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線同時滿足以下三個條件①的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)；②的對稱軸為坐標(biāo)軸；③的焦點(diǎn)在圓上．則的方程為．（寫出一個滿足題意的即可），【答案】（答案不唯一，只需填寫或或或中的任意一個）【詳解】由已知得：拋物線的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上；若拋物線的焦點(diǎn)在軸上，將代入可得：，拋物線的焦點(diǎn)為，；當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)為時，拋物線的方程為；當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)為時，拋物線的方程為；若拋物線的焦點(diǎn)在軸上，將代入可得：或，拋物線的焦點(diǎn)為，；當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)為時，拋物線的方程為；當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)為時，拋物線的方程為；則可同時滿足三個條件的拋物線的方程為或或或．故答案為：（答案不唯一，只需填寫或或或中的任意一個）．【變式1】（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，C上一點(diǎn)滿足，則拋物線C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：依題意得，因為，所以.又，解得，所以拋物線的方程為.故選：D【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，l是該拋物線的準(zhǔn)線，過拋物線上一點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線AB，垂足為B，射線AF交準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若，，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：由題意得：，，，所以可得，由拋物線的定義得所以是等邊三角形，所以，所以拋物線的方程是．故選：B【變式3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離．求拋物線的方程；【答案】【詳解】因為拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，所以拋物線的定義得，所以，解得．所以拋物線的方程為；題型08拋物線的實際問題【典例1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）清代青花瓷蓋碗是中國傳統(tǒng)茶文化的器物載體，具有“溫潤”“淡遠(yuǎn)”“清新”的特征．如圖，已知碗體和碗蓋的內(nèi)部均近似為拋物線形狀，碗蓋深為，碗蓋口直徑為，碗體口直徑為，碗體深，則蓋上碗蓋后，碗蓋內(nèi)部最高點(diǎn)到碗底的垂直距離為（碗和碗蓋的厚度忽略不計）（

）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】以碗體的最低點(diǎn)為原點(diǎn)，向上方向為軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示．

設(shè)碗體的拋物線方程為（），將點(diǎn)代入，得，解得，則，設(shè)蓋上碗蓋后，碗蓋內(nèi)部最高點(diǎn)到碗底的垂直距離為，則兩拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，代入到，解得，解得．故選：C【典例2】（2023春·廣東韶關(guān)·高二?？茧A段練習(xí)）有一個隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一長方形和拋物線構(gòu)成，如圖所示.為了保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少為0.7m，若行車道總寬度為7.2m，則車輛通過隧道時的限制高度為m.【答案】3.8【詳解】由題意，如圖建系：則，，，，如圖可設(shè)，拋物線方程為，將代入，可得，求得，故拋物線方程為，將代入拋物線方程，可得，.故答案為：3.8.【變式1】（2023春·甘肅白銀·高二?？计谀﹫D中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時，拱頂距離水面2米，水面寬度為8米，則當(dāng)水面寬度為10米時，拱頂與水面之間的距離為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【詳解】以拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，可設(shè)拱橋所在拋物線的方程為，又拋物線過點(diǎn)，則，解得，則拋物線的方程為，當(dāng)時，，故當(dāng)水面寬度為米時，拱頂與水面之間的距離為米.故選：D【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)學(xué)與建筑的結(jié)合造就建筑藝術(shù)，如圖，吉林大學(xué)的校門是一拋物線形水泥建筑物，若將校門輪廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成拋物線的一部分，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為．校門最高點(diǎn)到地面距離約為18.2米，則校門位于地面寬度最大約為（

）A．18米 B．21米 C．24米 D．27米【答案】C【詳解】依題意知，拋物線，即，因為拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以，所以拋物線方程為，令，則，解得，所以校門位于地面寬度最大約為米.故選：C.A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由拋物線，可得，所以，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為所以該拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為.故選：C.2．（2023春·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線C：過點(diǎn)，則C的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】拋物線C：過點(diǎn)，則，解之得，則拋物線C方程為，則C的準(zhǔn)線方程為故選：B3．（2023春·廣東東莞·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）一種衛(wèi)星接收天線（如圖1），其曲面與軸截面的交線可視為拋物線的一部分（如圖2），已知該衛(wèi)星接收天線的口徑米，深度米，信號處理中心位于焦點(diǎn)處，以頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，則該拋物線的方程為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，結(jié)合圖形可知，，由于該拋物線開口向右，可設(shè)，即，解得，于是.故選：B4．（2023春·湖北·高二十堰一中校聯(lián)考期中）已知的頂點(diǎn)都在拋物線上，且的重心為拋物線的焦點(diǎn)F，則（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【詳解】由題意得,，設(shè)，，，點(diǎn)是的重心，，，根據(jù)拋物線的定義可得.故選：B.5．（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）拋物線繞其頂點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)之后，得到的圖象正好對應(yīng)拋物線，則（

）A． B． C．1 D．【答案】B【詳解】拋物線即的開口向上，將其繞頂點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到的拋物線，開口向右，其方程為，則，故選：B.6．（2023春·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在C上，則（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【詳解】點(diǎn)在C：上，設(shè)，而拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故，則.故選：D7．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，P為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為Q，若，則△PFQ的面積為（

）A．4 B． C． D．【答案】C【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝－1，焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，，由拋物線的定義知，因為，所以△PFQ為等邊三角形，所以，又，所以，n＝3，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為，所以，所以．故選：C．

8．（2023·重慶萬州·重慶市萬州第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）過拋物線的焦點(diǎn)，作傾斜角為的直線交于，兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則線段的長度為（

）A．8 B．16 C．24 D．32【答案】D【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，

直線的方程為，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，所以，因為，所以，所以直線的方程為，拋物線，設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立可得，由韋達(dá)定理可得，則故選：D二、多選題9．（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)?？计谀┫铝姓f法中，正確的有（

）A．過點(diǎn)并且傾斜角為0°的直線方程為B．雙曲線的漸近線方程為C．點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為D．拋物線的準(zhǔn)線方程是【答案】BC【詳解】對A，過點(diǎn)并且傾斜角為0°的直線方程為，故錯誤；對B，雙曲線的漸近線方程為，故正確；對C，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為，則由解得，故正確；對D，拋物線，，準(zhǔn)線方程為，故錯誤.故選：BC10．（2023春·廣西·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線C的一個焦點(diǎn)重合，點(diǎn)P是這兩條曲線的一個公共點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A． B．的周長為16C．的面積為 D．【答案】AB【詳解】由已知，雙曲線右焦點(diǎn)，即，故A項正確．且拋物線方程為．對于B項，聯(lián)立雙曲線與拋物線的方程，整理可得．，解得或（舍去負(fù)值），所以，代入可得，．設(shè)，又，所以，，，則的周長為16，故B項正確；對于C項，易知，故C項錯誤；對于D項，由余弦定理可得，，故D項錯誤．故選：AB

三、填空題11．（2023秋·高二課時練習(xí)）點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的方程是．【答案】【詳解】當(dāng)時，準(zhǔn)線，由已知得，所以，所以拋物線方程為．故答案為：.12．（2023春·江蘇南京·高二南京市江寧高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為，經(jīng)過點(diǎn)F的直線與拋物線C相交A，B兩點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)M，若，，則.【答案】4【詳解】

由題意易知，可設(shè)，由，可得Q為AM中點(diǎn)，則，又由可得:，即，由題意可知直線AB、BM的斜率存在，故，聯(lián)立拋物線與直線AB可得所以有由拋物線定義得，故答案為：4四、解答題13．（2023春·四川遂寧·高二統(tǒng)考期末）分別求適合下列條件的方程：(1)長軸長為10，焦距為4的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】(1)或(2)或【詳解】（1）設(shè)橢圓的長軸長為，焦距為由條件可得.所以.所以，當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時，標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時，標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在軸上時，可設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得，此時，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在軸上時，可設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得，解得，此時，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.綜上所述，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.14．（2023春·四川成都·高二校考階段練習(xí)）動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到直線的距離，設(shè)動點(diǎn)P的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)經(jīng)過定點(diǎn)直線與曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，求直線的方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）根據(jù)拋物線的定義可知，動點(diǎn)P的軌跡為拋物線，且該拋物線以為焦點(diǎn)，所以所以，所以曲線的方程為.（2）若直線垂直于軸，則AB的中點(diǎn)在軸上，不滿足題意，若直線不垂直于軸，設(shè)，且，因為在曲線上，所以，兩式相減得，，所以，即，所以的方程為整理得.15．（2023秋·河南信陽·高二信陽高中?？计谀┮阎獟佄锞€的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線C的方程；（2）若過點(diǎn)M的直線l與拋物線C相切，求直線l的方程．【答案】（1）；（2）或【詳解】（1）的準(zhǔn)線過故，則拋物線方程為（2）設(shè)切線方程為與拋物線方程聯(lián)立有故故直線l的方程為：或B能力提升1．（2023春·河南開封·高三統(tǒng)考期末）已知拋物線，圓，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B． C．2 D．3【答案】B【詳解】由題意知，，設(shè)，則，所以，

故當(dāng)時，，所以.故選：B.2．（2023春·陜西漢中·高二統(tǒng)考期末）過圓錐曲線的焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對稱軸垂直的弦被稱為該圓錐曲線的通徑，清代數(shù)學(xué)家明安圖在《割圓密率捷法》中，也稱圓的直徑為通徑.已知圓的一條通徑與拋物線的通徑恰好構(gòu)成一個正方形的一組鄰邊，則（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【詳解】因為圓的一條通徑與拋物線的通徑恰好構(gòu)成一個正方形的一組鄰邊，而拋物線的通徑與軸垂直，所以圓的這條通徑與軸垂直，且圓的通徑的右端點(diǎn)就是拋物線通徑的上端點(diǎn)，因為圓的圓心為，半徑為，所以該圓與軸垂直的通徑的右端點(diǎn)為，即拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則，即.故選：C.

3．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模