等比數列定義與通項

關于等比數列定義與通項名稱等差數列概念常數性質通項通項變形舊知回顧從第2項起,每一項與它前一項的差等同一個常數公差(d)d可正可負,且可以為零第2頁,共27頁，2024年2月25日，星期天如果一碗面由256根面條組成,請問需要拉面師傅拉幾次才能得到?第3頁,共27頁，2024年2月25日，星期天我國古代一些學者提出：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”如果把“一尺之棰”看成單位“1”，那么得到的數列是:我國銀行的定期儲蓄中有“復利”的支付利息的方式，現存入銀行1萬元，年利率為1.98%，那么5年內各年末的本利和分別是:拉面時前9次拉伸成的面條根數構成一個數列:

上面數列有什么共同特點?從第二項起,每一項與前一項的比都等于同一個常數。1,2,4,8,16,32,64,128,2561.0198，1.01982,1.01983,

1.01983,1.01984,1×1.01985第4頁,共27頁，2024年2月25日，星期天等比數列的有關概念觀察數列(1)

2，4，8，16，32，64.(2)1，3，9，27，81，243，…(3)(4)(5)5，5，5，5，5，5，…(6)1，-1，1，-1，1，…

定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數（指與n無關的數），這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示。以上6個數列的公比分別為…公比q=2遞增數列公比q=3遞增數列公比d=x公比q=1非零常數列公比q=-1擺動數列因為x的正負性不確定，所以該數列的增減性等尚不能確定。公比q=遞減數列第5頁,共27頁，2024年2月25日，星期天1.等比數列定義一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它前一項的比都等于同一個常數，這個數列就叫做等比數列.這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母q表示?；蚱鋽祵W表達式：第6頁,共27頁，2024年2月25日，星期天對等比數列的認識：（1）即等比數列的每一項都不為0；（2）即等比數列的公比不為0；（3）為非零常值數列.第7頁,共27頁，2024年2月25日，星期天練一練是不是是不確定（2）４，－８，１６，－３２，64（3）－3，－3，－3，－3,……,－3（4）2,0,0,0，0（5）1,x,x2,x3,……xn-1……1、判別下列數列是否為等比數列?是第8頁,共27頁，2024年2月25日，星期天2.等比數列的通項公式問題：如何用和表示第項.①歸納猜想法②疊乘法這個式子相乘得

，所以

.第9頁,共27頁，2024年2月25日，星期天等比數列的通項公式為:②函數觀點①方程思想類指數函數式解方程,知三求一第10頁,共27頁，2024年2月25日，星期天（1）數列：1，2，4，8，16，…1234567891024681012141618200●●●●●nan第11頁,共27頁，2024年2月25日，星期天（2）數列：12345678910123456789100●●●●●●●nan第12頁,共27頁，2024年2月25日，星期天（3）數列：4，4，4，4，4，4，4，…12345678910123456789100●●●●●●●●●●nan第13頁,共27頁，2024年2月25日，星期天（4）數列：1，-1，1，-1，1，-1，1，…12345678910123456789100●●●●●●●●●●nan第14頁,共27頁，2024年2月25日，星期天等比數列的增減性:1.當q＞1,a1＞0或0＜q＜1,a1＜0時,{an}是遞增數列;2.當q＞1,a1＜0,或0＜q＜1,a1＞0時,{an}是遞減數列;3.當q＝1時,{an}是常數列;4.當q＜0時,{an}是擺動數列．第15頁,共27頁，2024年2月25日，星期天1.下面有四個結論：①由第一項起乘相同常數得后一項，這樣所得到的數列一定為等比數列；②常數列b,b,b，…,b一定為等比數列；③等比數列{an}中，若公比q=1,則此數列各項相等；④等比數列中，各項與公比都不為零.正確說法的個數為（）(A)0(B)1(C)2(D)3【解析】選C.其中正確的為③，④；①，②中不能保證各項及公比不為0,所以錯誤.第16頁,共27頁，2024年2月25日，星期天2.等比數列{an}中，２a4＝a6-a5，則公比是()(A)0(B)１或2(C)-1或2(D)－1或-2【解析】選C.由已知得２＝q2－q，所以q＝-1或2.第17頁,共27頁，2024年2月25日，星期天3.設a1，a2，a3，a4成等比數列，其公比為2，則的值為()(A)(B)(C)(D)1【解析】選A.第18頁,共27頁，2024年2月25日，星期天典型例題講解在等比數列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.[思路探索]解答本題可將條件轉化為關于基本元素a1與q的方程組，求出a1和q，再表示其他量．【例1】第19頁,共27頁，2024年2月25日，星期天第20頁,共27頁，2024年2月25日，星期天由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.第21頁,共27頁，2024年2月25日，星期天第22頁,共27頁，2024年2月25日，星期天

a1和q是等比數列的基本量，只要求出這兩個基本量，其他量便可迎刃而解．此類問題求解的通法是根據條件，建立關于a1和q的方程組，求出a1和q.第23頁,共27頁，2024年2月25日，星期天例2、某種放射性物質不斷變化為其他物質，若每經過一年，剩留的這種物質是原來的84%，則這種物質的半衰期為多少？（精確到1年）典型例題講解第24頁,共27頁，2024年2月25日，星期天例3、如右邊框圖，請寫出所打印數列的前5項，并建立數列的遞推公式，這個數列是等比數列嗎？開始n=1輸出A結束A=1n>5?n=n+1否是典型例題講解第25頁,共27頁，2024年2月25日，星期天例4:

一個等比數列的第