初二上冊全等三角形

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全等三角形專題講解

專題一全等三角形判別方法的應(yīng)用

專題概說：判定兩個三角形全等的方法一般有以下4種：

1．三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫成“SSS”）

2．兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫成“SAS”）

3．兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫成“ASA”）

4．兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫成“AAS”）

而在判別兩個直角三角形全等時，除了可以應(yīng)用以上4種判別方法外，還可以應(yīng)用“斜邊、直角邊”，即斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（簡寫成“HL”）．也就是說“斜邊、直角邊”是判別兩個直角三角形全等的特有的方法，它僅適用于判別兩個直角三角形全等．

三角形全等是證明線段相等，角相等最基本、最常用的方法，這不僅因為全等三角形有許多重要的角相等、線段相等的特征，還在于全等三角形能把已知的線段相等、角相等與未知的結(jié)論聯(lián)系起來．那么我們應(yīng)當怎樣應(yīng)用三角形全等的判別方法呢？

（1）條件充分時直接應(yīng)用

在證明與線段或角相等的有關(guān)問題時，經(jīng)常需要先證明線段或角所在的兩個三角形全等，而從近年的中考題來看，這類試題難度不大，證明兩個三角形的條件比較充分．只要同學們仔細觀看圖形，結(jié)合已知條件分析查找兩個三角形全等的條件即可證明兩個三角形全等．

例1已知：如圖1，CE⊥AB于點E，BD⊥AC于點D，BD、CE交于點O，且AO平分∠BAC．那么圖中全等的三角形有___對．

分析：由CE⊥AB，BD⊥AC，得∠AEO=∠ADO=90o．由AO平分∠BAC，得∠EAO=∠DAO．又AO為公共邊，所以△AEO≌△ADO．所以AEO=DO，AE=AD．又∠BEO=∠CDO=90o，

∠BOE=∠COD，所以△BOE≌△COD．由

EDAE=AD，∠AEO=∠ADO=90o，∠BAC為公O

共角，所以△EAC≌DAO．所以AB=AC．又BC∠EAO=∠DAO，AO為公共邊，所以△ABO≌△ACO．圖1所以圖中全等的三角形一共有4對．

（2）條件不足，會增加條件用判別方法

此類問題實際是指條件開放題，即指題中沒有確定的已知條件或已知條件不充分，需要補充使三角形全等的條件．解這類問題的基本思路是：執(zhí)果索因，逆向思維，逐步分析，探究結(jié)論成立的條件，從而得出答案．例2如圖2，已知AB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，還需添

A加的條件是（只需填一個）_____．

12

分析：要使△ABC≌△ADE，留意到∠1=∠2，

所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠EAC．

要使△ABC≌△ADE，依據(jù)SAS可知只需AC=AE圖2

即可；依據(jù)ASA可知只需∠B=∠D；依據(jù)AAS可知只需∠C=∠E．故可添加的條件是AC=AE或∠B=∠D或∠C=∠E．

（3）條件比較隱藏時，可通過添加幫助線用判別方法

在證明兩個三角形全等時，當邊或角的關(guān)系不明顯時，可通過添加幫助線作為橋梁，溝通邊或角的關(guān)系，使條件由隱變顯，從而順當運用全等三角形的判別方法證明兩個三角形全等．

例3已知：如圖3，AB=AC，∠1=∠2．

求證：AO平分∠BAC．A分析：要證AO平分∠BAC，即證∠BAO=∠BCO，

要證∠BAO=∠BCO，只需證∠BAO和∠BCO所在的兩

個三角形全等．而由已知條件知，只需再證明BO=CO即可．證明：連結(jié)BC．12O因為AB=AC，所以∠ABC＝∠ACB．BC因為∠1=∠2，所以∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2．圖3

即∠3=∠4，所以BO=CO．

因為AB=AC，BO=CO，AO=AO，

所以△ABO≌△ACO．

所以∠BAO=∠CAO，即AO平分∠BAC．

（4）條件中沒有現(xiàn)成的全等三角形時，會通過構(gòu)造全等三角形用判別方法

有些幾何問題中，往往不能直接證明一對三角形全等，一般需要作幫助線來構(gòu)造全等三角形．

例4已知：如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC，D為BC的中點，CE⊥AD于E，交AB于F，連接DF．

求證：∠ADC=∠BDF．C

證明：過B作BG⊥BC交CF延長線于G，DE所以BG∥AC．所以∠G=∠ACE．因為AC⊥BC，

BFCE⊥AD，所以∠ACE=∠ADC．所以∠G=∠ADC．A

G因為AC=BC，∠ACD＝∠CBG=90o，所以圖4

△ACD≌△CBG．所以BG=CD=BD．因為∠CBF=∠GBF=45o，BF=BF，所以△GBF≌△DBF．所以∠G=∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．

說明：常見的構(gòu)造三角形全等的方法有如下三種：①涉及三角形的中線問題時，常采納延長中線一倍的方法，構(gòu)造出一對全等三角形；②涉及角平分線問題時，經(jīng)過角平分線上一點向兩邊作垂線，可以得到一對全等三角形；

③證明兩條線段的和等于第三條線段時，用“截長補短”法可以構(gòu)造一對全等三角形．

（5）會在實際問題中用全等三角形的判別方法

新課標強調(diào)了數(shù)學的應(yīng)用價值，留意培育同學們應(yīng)用數(shù)學的意識，形成解決簡潔實際問題的力量﹒在近年中考消失的與全等三角形有關(guān)的實際問題，體現(xiàn)了這一數(shù)學理念，應(yīng)當引起同學們的重視．

例5要在湖的兩岸A、B間建一座欣賞橋，由于條件

限制，無法直接度量A，B兩點間的距離﹒請你用學過的數(shù)

學學問按以下要求設(shè)計一測量方案﹒

(1)畫出測量圖案﹒

(2)寫出測量步驟（測量數(shù)據(jù)用字母表示）﹒圖5

(3)計算A、B的距離（寫出求解或推理過程，結(jié)果用字母表示）﹒分析：可把此題轉(zhuǎn)化為證兩個三角形全等．第(1)題，測量圖案如圖5所示．第(2)題，測量步驟：先在陸地上找到一點O，在AO的延長線上取一點C，并測得OC=OA，在BO的延長線上取一點D，并測得OD=OB，這時測得CD的長為a，則AB的長就是a．第(3)題易證△AOB≌△COD，所以AB=CD，測得CD的長即可得AB的長．

解：(1)如圖6示．

(2)在陸地上找到可以直接到達A、B的一點O，在AO的延長線上取AB一點C，并測得OC＝OA，在BO的延長線上取一點D，并測

得OD＝OB，這時測出CD的長為a，則AB的長就是a．

O(3)理由：由測法可得OC=OA，OD=OB．

又∠COD=∠AOB，∴△COD≌△AOB．C

D

∴CD=AB=a．圖6

評注：本題的背景是同學熟識的，供應(yīng)了一個同學A

D動手操作的機會，重點考查了同學的操作力量，培育了

E同學用數(shù)學的意識﹒F

練習：1．已知：如圖7，D是△ABC的邊BCAAB上一點，AB∥FC，DF交AC于點E，DE=FE．圖7

求證：AE=CE．

D2．如圖8，在△ABC中，點E在BC上，點

D在AE上，已知∠ABD=∠ACD，∠BDE=∠CDEE

求證：BD=CD．圖8A3．用有刻度的直尺能平分任意角嗎？下面是一種M

PC方法：如圖9所示，先在∠AOB的兩邊上取OP=OQ，

再取PM=QN，連接PN、QM，得交點C，則射線OCOQNB平分∠AOB．你能說明道理嗎？圖9

A4．如圖10，△ABC中，AB=AC，過點A作GE

GE∥BC，角平分線BD、CF相交于點H，它們的

延長線分別交GE于點E、G．試在圖10中找出3

對全等三角形，并對其中一對全等三角形給出證明．P圖10

5．已知：如圖11，點C、D在線段

AB上，PC=PD．請你添加一個條件，使圖

中存在全等三角形，并賜予證明．ACDB

所添條件為__________，你得到的一圖11A對全等三角形是△_____≌△_____．

F6．如圖12，∠1=∠2，BC=EF，那么需要EBC補充一個直接條件_____（寫出一個即可），才能A使△ABC≌△DEF．圖12D

7．如圖13，在△ABD和△ACD中，

BCAB=AC，∠B=∠C．

D求證：△ABD≌△ACD．圖13CD

8．如圖14，直線AD與BC相交于點O，O且AC=BD，AD=BC．A

A圖14B求證：CO=DO．

9．已知△ABC，AB=AC，E、F分別E

A為AB和AC延長線上的點，且BE=CF，EFCBG交BC于G．求證：EG=GF．圖15F

B

10．已知：如圖16，AB=AE，BC=ED，

點F是CD的中點，AF⊥CD．CFD求證：∠B=∠E．圖16

11．如圖17，某同學把一把三角形的玻璃

打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊大小

外形完全一樣的玻璃，那么最省事的方法是（）﹒

(A)帶①和②去(B)帶①去

(C)帶②去(D)帶③去圖17

12．有一專用三角形模具，損壞后，只剩下

如圖18中的陰影部分，你對圖中做哪些數(shù)據(jù)度量后，

就可以重新制作一塊與原模具完全一樣的模具，并

說明其中的道理．圖18E

13．如圖19，將兩根鋼條AA、BB的中點O連在一起，使AA、BB可以圍著點O自由轉(zhuǎn)動，就做成了一個測量工件，則AB的長等于內(nèi)槽寬AB，那么判定△OAB≌△OAB的理由是（）

（A）邊角邊（B）角邊角

（C）邊邊邊（D）角角邊圖19

專題二角的平分線

從一個角的頂點動身，把一個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．角的平分線有著重要的作用，它不僅把角分成相等的兩部分，而且角的平分線上的點到角兩邊的距離相等，到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上，再加上角的平分線所在的直線是角的對稱軸．因此當題目中有角的平分線時，可依據(jù)角的平分線性質(zhì)證明線段或角相等，或利用角的平分線構(gòu)造全等三角形或等腰三角形來查找解題思路．O（1）利用角的平分線的性質(zhì)證明線段或角相等12例6如圖20，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，ED

34CBD⊥OA于D，交點為C．

BA求證：AC=BC．圖20

證法：∵AE⊥OB，BD⊥OA，∴∠ADC=∠BEC=90?．

∵∠1＝∠2，∴CD=CE．

在△ACD和△BCE中，

∠ADC=∠BEC，CD=CE，∠3＝∠4．

∴△ACD≌△BCE(ASA)，∴AC=BC．

說明：本題若用全等方法證明點C到OA、OB距離相等，鋪張時間和筆墨，不如直接應(yīng)用角平分線性質(zhì)證明，緣由在于同學們已經(jīng)習慣了用全等的方法，不擅長直接應(yīng)用定理，仍去找全等三角形，結(jié)果相當于重新證明白一次定理，以后再學新定理，應(yīng)用時要留意全等定勢的干擾，留意采納簡捷A證法．

例7已知：如圖21，△ABC中，BD=CD，∠1＝∠FE

1D2求證：AD平分∠BAC．

證明：過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．圖21

在△BED與△CFD中，∠1＝∠2，∠BED＝∠CFD＝90?，BD=CD，∴△BED≌△CFD(AAS)．

∴DE＝DF，∴AD平