數(shù)學(xué)歸納法的變式及應(yīng)用

關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法的變式及應(yīng)用1.引言

數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法。它是一種常用于證明與正整數(shù)集有關(guān)命題的重要論證方法，在幾何證明和代數(shù)證明中都有著廣泛的應(yīng)用。第2頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.數(shù)學(xué)歸納法第一類數(shù)學(xué)歸納法（數(shù)學(xué)歸納法）第一類數(shù)學(xué)歸納法的基本形式為：設(shè)是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果(1)成立；(2)假設(shè)成立，則也成立；那么，對(duì)任意自然數(shù)n都成立。第3頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天第二類數(shù)學(xué)歸納法

第二類數(shù)學(xué)歸納法又稱串值歸納法，它的基本形式為：設(shè)是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果(1)成立；(2)假設(shè)對(duì)于所有適合n<k的正整數(shù)n成立，則也成立；那么，對(duì)任意自然數(shù)n都成立。第4頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2.3.2證明可以僅用4分和5分郵票來(lái)組成等于和超過12分的每種郵資。(1)當(dāng)n=12,13,14,15時(shí)，命題為真。票加上1個(gè)4分郵票就可以了。為了組成n+1分郵資，用組成n-3分郵資的郵即可以用4分和5分郵票來(lái)組成k（）分郵資。(2)對(duì)于任意自然數(shù)n15,假定命題為真第5頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天兩類數(shù)學(xué)歸納法是等價(jià)的

第一數(shù)學(xué)歸納法和第二數(shù)學(xué)歸納法是等價(jià)的，即用第一數(shù)學(xué)歸納法證明的可以用第二數(shù)學(xué)歸納法證明，反之亦然。第6頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.數(shù)學(xué)歸納法的變式

1跳躍歸納法跳躍歸納法的基本形式為：那么，對(duì)任意自然數(shù)都成立。數(shù)k+l正確；(2)假設(shè)對(duì)于自然數(shù)k正確，就能推出命題對(duì)自然(1)成立；設(shè)是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果第7頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天反歸納法的基本形式為：

設(shè)是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果(1)對(duì)無(wú)窮多個(gè)自然數(shù)成立；(2)假設(shè)對(duì)于自然數(shù)k正確，就能推出命題對(duì)自然數(shù)k-1正確；那么，對(duì)任意自然數(shù)n都成立。

2反歸納法（倒推歸納法）第8頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天例求證n個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于這n個(gè)數(shù)的幾何平均值，即證明：(1)當(dāng)n=2時(shí)，因此命題對(duì)n=2正確。當(dāng)n=4時(shí)，

因此命題對(duì)n=4正確。同理可推出命題對(duì)都正確（s為任意自然數(shù)）。第9頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)設(shè)命題對(duì)n=k正確，令則由歸納假設(shè)命題對(duì)n=k正確，所以所以 即 第10頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天

命題對(duì)n=k-1也正確，由反歸納法原理知，命題對(duì)一切自然數(shù)成立。

第一類數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是：由成立往后推出也成立；而反歸納法的關(guān)鍵恰是：由成立往前推出成立。第11頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天雙歸納法的基本形式為：設(shè)命題P與兩個(gè)獨(dú)立的自然數(shù)對(duì)m與n有關(guān)，若(1)命題P對(duì)m=1與n=1是正確的；(2)從命題對(duì)自然數(shù)對(duì)（m,n）正確就能推出該命題對(duì)自然數(shù)對(duì)（m+1,n）正確，和對(duì)自然數(shù)對(duì)（m,n+1）也正確；則命題P對(duì)一切自然數(shù)對(duì)（m,n）都正確。3雙歸納法（二元?dú)w納法）第12頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天蹺蹺板歸納法的基本形式為：有兩個(gè)命題,如果(1)正確；(2)假設(shè)正確，那么也是正確的；(3)假設(shè)正確，那么也是正確的；那么，對(duì)于任意自然數(shù)n,命題都是正確的。4蹺蹺板歸納法與螺旋式上升歸納法第13頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天例已知數(shù)列1，3，7，12，19，27，37，48，61……設(shè)為其第n項(xiàng)，為其前n項(xiàng)的和，其中求證：證明：令為；為為(1)，即是正確的。第14頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)假設(shè)那么即，假設(shè)是正確的，那么也正確。即，假設(shè)是正確的，則也正確。(3)假設(shè)，那么因此，對(duì)任何自然數(shù)都是正確的。第15頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天說明：作為“蹺蹺板歸納法”的推廣，還可能要使用若干結(jié)論螺旋式上升的證明方法，這種方法的基本形式為：有五個(gè)命題，如果(1)是正確的；(2)那么，這五個(gè)命題都是正確的。第16頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天數(shù)學(xué)歸納法和反證法的關(guān)系

凡是用數(shù)學(xué)歸納法證明的命題都可以用反證法來(lái)證明，因而數(shù)學(xué)歸納法在使用上可以用反證法來(lái)代替，反之不然。第17頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天

每一種形式的數(shù)學(xué)歸納法都有兩個(gè)步驟，第一步是驗(yàn)證步驟，第二步是歸納步驟。這兩步相輔相成，缺一不可。下面這個(gè)例子就是很好的說明。5.關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法的若干說明第18頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天例

二項(xiàng)式曾引起數(shù)學(xué)家們的極大興趣，最使數(shù)學(xué)家們感性趣的是把它分解為具有整系數(shù)因子的乘積。

對(duì)許許多多特殊n的值，考查的分解式。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)：在分解式中，x的各次冪的所有系數(shù)的絕對(duì)值都不超過1。實(shí)際上，第19頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25日，星期天第20頁(yè),共22頁(yè)，2024年2月25