人教A數(shù)學必修二教案3.3.2 兩點間的距離

3.3.2兩點間的距離

（-）教學目標

,1.知識與技能：掌握直角坐標系兩點間的距離，用坐標證明簡單的兒何問題。

.2.過程與方法：通過兩點間距離公式的推導，能更充分體會數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性。；

3.情態(tài)和價值：體會事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，能用代數(shù)方法解決幾何問題。

（二）教學重點、難點

重點，兩點間距離公式的推導；難點，應用兩點間距離公式證明幾何問題。

,（三）教學方法

.啟發(fā)引導式

，教

學環(huán)教學內(nèi)容師生互動設計意圖

復習數(shù)軸上兩點的距離公式.設問一：

.同學們能否用以前所學

復習設置情境

知識解決以下問題：

引入導入新課

.已知兩點P\（XI,x）,Pl

3，丫2）求島尸2l

過P、P1分別向X軸和），軸作垂在教學過程中，可以提出

線，垂足分別為M（0,y）,MT.（及，問題讓學生自己思考，教師提

0）直線PiNi與P2M2相交于點Q.示，根據(jù)勾股定理，不難得到.通過

.在直角△A8C中，|PP2|2=|P@2提問思考

+|。。2『，為了計算其長度，過點Pl教師引

概念向x軸作垂線，垂足為必（XI，0）過點導，使學

形成P2向y軸作垂線，垂足為M（o,”），生體會兩

于是有島QF=IM2Mll2=|X2-X||2,點間距離

回六四對山一刈.公式形成

由此得到兩點間的距離公式的過程.

22

|枕|=y/f,x,-x,）+（y2-y,）

教師講解思路，學生上臺通過

例1已知點A（-l,2）,8（2,后）在x

板書.例題講

軸上求一點，使1PAi=|PB|,并求|P4|.教師提問：還有其它的解法，解，使學

的值.由學生思考，再討論提出生掌握兩

解：設所求點P（x,0）,于是有.解法二：由已知得，線段AB點間的距

應用

的中點為M（L2力自），直線離公式及

舉例

2222其應用.

J(x+1>+(0-2)2=^(%_2)+(0-V7)

AB的斜率為

.../+2X+5=X2-4X+11

.解得x=1

所求點P(l,0)且

2

,V7-22+V73.1

1PA\=7(1+1)2+(0-2)2=2&k=-----------=----=??(%--)|PA|

322-772

同步練習，書本112頁第1、2題.="(1+2)2+(0-2/=2夜吝^

線段AB的垂直平分線的方程

是

2+幣3,1

.y、=L(XG

22-772

在上述式子中，令y=0,解得

X=1.

.所以所求點尸的坐標為(1,0).

因此

\PA\=7(1+2)2+(0-2)2=2夜

例2證明平行四邊形四條邊的平方此題讓學生討論解決，再讓學

和等于兩條對角線的平方和.由學生歸納出解決上述問題的生深刻體

分析：首先要建立直角坐標系，用坐基本步驟：會數(shù)形之

標表示有關(guān)量，然后用代數(shù)進行運算，第一步：建立直角坐標系，間的關(guān)系

最后把代數(shù)運算“翻譯”成幾何關(guān)系.用坐標表示有關(guān)的量.和轉(zhuǎn)化，

證明：如圖所示，以頂點A為坐標原第二步：進行有關(guān)代數(shù)運并從中歸

點，AB邊所在的直線為x軸，建立直算.納出應用

角坐標系,有A(0,0).第三步：把代數(shù)結(jié)果“翻代數(shù)問題

設3(a,0),D(b,c),由平行四邊形譯”成幾何關(guān)系.解決幾何

的性質(zhì)的點C的坐標為(a+兒e),因思考：同學們是否還有其問題的基

為|A8F=q2,|CD|2=a2,它的解決辦法？本步驟.

■OF=b2+c2=18cl2還可用綜合幾何的方法證

\AOc=(a+b)2+c2,明這道題.

\BD\2=(b-a)2+c2

所以，|AB|2+|CD|2+\AD\2+|SQ2=

2(a2+b2+c2)

|AC|2-|eD|2=2(a2+b2+c2)所以，

■Bp+|CD|2+KD|2+|BC|2=|AC|2+

\BD\2

因此，平行四邊形四條邊的平方和等

于兩條對角線的平方和.

主要講述了兩點間距離公式的推讓學

導，以及應用，要懂得用代數(shù)的方法生更進一

歸納

解決幾何問題，建立直角坐標系的重師生共同總結(jié)步體會知

總結(jié)

要性.識形成過

程

課后布置作業(yè)由學生獨立完成鞏固深化

3

作業(yè)見習案3.3的第二課時.

備選例題

例1已知點43,6),在x軸上的點?與點4的距離等于10,求點P的坐標

【解析】設點P的坐標為(x,0),由|尸4|=10,得：

7(X-3)2+(0-6)2=10解得：U或x=-5.

所以點P的坐標為(-5,0)或(11,0).

例2在直線/：3x-y-l=0上求一點P,使得：

(1)P到A(4,1)和8(0,4)的距離之差最大;

(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距離之和最小.

【解析】(1)如圖，B關(guān)于/的對稱點)(3,3).

AB'：2x+y-9=0

,f2x+j-9=0&〃卜=2/曰…c

由,解得尸(2,5).

[3x-y-l=0[y=5

(2)C關(guān)于/對稱點C'(|,g)

由圖象可知：\PA\+\PC\^\AC)|

當尸是4C'與/的交點P(U,竺)時“=”成立，

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A尸片，哥.

77

例3如圖，一束光線經(jīng)過戶(2,1)射到直線/：x+y+1=

0,反射后穿過點。(0,2)求：(1)入射光線所在直線的方程;

(2)沿這條光線從P到Q的長度.

【解析】(1)設點。'3,6)是。關(guān)于直線/的對稱點